Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ
Тема 1 : Класичний метод аналізу перехідних процесів в лінійних електричних колах. Загальні відомості про перехідні процеси. Класичний метод аналізу.
1.Закони комутації. Початкові умови.
Причини виникнення перехідних процесів:
Зовнішні дії на коло, що ведуть до виникнення перехідних процесів, називають комутацією кола, яку позначають за допомогою ідеального ключа.
Перехідні процеси виникають в колах , де присутні реактивні елементи, то б то присутні запаси магнітної (електричної) енергії в котушці індуктивності (ємності) . Звідси випливають перший та другий закони комутації електричних кіл.
Формульовка:
Струм через індуктивність і напруга на конденсаторі не можуть змінюватися стрибком і в момент після комутації зберігає величину і напрямок, що були безпосередньо перед комутацією.
Початкові умови характеризують енергію накопичену в реактивних елементах до моменту комутації. Розглядають нульові і ненульові початкові умови. При нульових початкових умовах індуктивність еквівалентна розриву кола, а емність еквівалентна короткому замиканню.
2. Методи аналізу перехідних процесів. Класичний метод аналізу.
Методи аналізу перехідних процесів поділяються на часові та частотні.
Часові методи це: класичний метод розрахунку електричних кіл і метод інтеграла Дюамеля.
Частотні методи це: операторний і спектральний методи розрахунку електричних кіл.
Класичний метод розрахунку базується на складанні і вирішенні інтегро-диференціальних рівнянь електричного кола з урахуванням початкових умов, які перетворюються на звичайні лінійні неоднорідні диференціальні рівняння, де часткове рішення неоднорідного рівняння це - аналіз сталого режиму електричного кола після комутації, а загальне рішення – описує вільні коливання в електричному колі.
3. Порядок розрахунку електричних кіл класичним методом.
Тема 2 : Аналіз перехідних процесів в колах першого порядку
Навчальні питання
1. Процеси в колі першого порядку при підключенні джерела постійної напруги.
Нарисовати схему, відповідно питанню, яка складається з джерела постійної напруги, резистора та конденсатора. Ключ замикання поставити після джерела. То б то схема першого порядку чи коло з одним реактивним елементом. Відповідно колу першого порядку скласти рівняння першого порядку за другим законом Кірхгофа для замкнутого контуру відносно напруги на ємності. Проаналізувати лінійно неоднорідне диференціальне рівняння.
На схемі показати комутацію, то б то замкнути ключ, тоді в електричному колі закінчився перехідний процес і діє сталий режим. Напруга на ємності буде носити примушений характер, а струм не буде проходити, то б то дорівнює нулю. Тому примушена складова на ємності дорівнює Е.Р.С.
Рішення такого рівняння знаходять у вигляді суми часткового рішення і загального рішення однорідного рівняння.
Складають характеристичне рівняння: RCp + 1 = 0 , знаходять його корень
p = - 1/RC , який визначає властивості електричного кола.
Далі досліджують електричне коло до комутації, тоб то початкові умови у цьому випадку дорівнюють нулю.
Uc ( 0-) = Uc ( 0+) = Uc ( 0 ) = 0
А, щоб записати загальне рішення, необхідно знайти постійну інтегрування
Uc ( t ) = Ucприм. ( t ) + Аеpt , в початковий момент постійна інтегрування
дорівнює : 0 = Е + А, А = - Е , коли звести все до купи, то отримаємо:
Uc ( t ) = Ucприм. ( t ) + Uc вільне ( t ) = Е ( 1 - еpt ),
побудувати графік залежності напруги на ємності від часу, проаналізувати.
Висновок: Напруга на ємності до комутації і в момент дорівнює нулю, а при
збільшенні часу до нескінченності напруга змінюється за експоненційним законом до напруги джерела живлення.
Аналогично можно аналізувати залежність напруги на опорі та струм у колі.
2. Вільні процеси в колі першого порядку
Розглядають ту ж саму схему, але ключ замкнутий і в момент комутації
конденсатор був заряджений до напруги джерела живлення.
Необхідно закоротити джерело живлення, тоді в в колі за рахунок накопиченої електричної енергії виникають вільні коливання.
За другим законом Кірхгофа складають лінійно однорідне диференціальне рівняння і за допомогою класичного методу розрахунку знаходять напругу на ємності в короткозамкненому контурі.
Uc ( t ) = Е еpt
Показати залежність напруги на ємності та на опорі.
3. Стала часу та тривалість перехідних процесів
Швидкість перехідних процесів не залежить від зовнішньої дії і визначається
тільки параметрами елементів кола.
Для RC -кола стала часу τ = RC
Для RL - кола стала часу τ = L | R
Стала часу дорівнює зворотньому модулю кореня характеристичного рівняння, має розмірність – час, тоб то це час, протягом якого модуль вільної складової перехідного процесу затухаючи зменшується в е-раз в порівнянні з початковим значенням.
Вважають, що перехідні процеси в колі закінчились, коли з моменту їх
виникнення минув час t > ( 3-5) τ , а точніше 4,6 τ , тобто чим більше стала часу , тим довше існують перехідні процеси в лінійному електричному колі.
4. Якісний аналіз перехідних процесів в колах першого порядку.
В лінійних електричних колах першого порядку перхідні процеси
незалежать від складу , характеру дії на коло і мають спільну ознаку, а саме:
напруги і струм змінюються за експоненційним законом від початку ( t = 0),
до кінцевого моменту часу ( t = нескінченності ), тому аналіз перехідних процесів можна провести наближено, тоб то якісно без складання диференціальних рівнянь і їх розв`язування.
Для цього визначають початкове і кінцеве значення шуканої функції і з`єднують їх експоненційно.
Лінійні електричні кола першого порядку – це кола з одним реактивним елементом, типу RC , RL. Аналізувати такі кола можна за допомогою класичного методу розрахунку. Інтерес для дослідження мають напруги на опорі, ємності та індуктивності, а також струм в колі. Перехідні процеси
підпорядковані експоненцвйному закону і проходять з однаковою швидкістю незалежно від характеру комутації. Вільні коливання в таких колах носять аперіодичний характер. Перехідні процеси можна вважати закінчившимися,
коли амплітуда вільних коливань зменшиться в 20 і більще разів, тоб то тривалість перехідного процесу дорівнює 4,6 τ.
Тема 3 : Аналіз перехідних процесів в колах другого порядку.
. Навчальні питання
Аналізують послідовний коливальний контур:
Після комутації у колі відбувається вільний процес за рахунок накопиченої у конденсаторі енергії. Згідно алгоритму класичного метода розрахунку за першим етапом складемо лінійно – неоднорідне диференціальне рівняння відносно шуканих величин, які підлягають законам комутації .
після комутації:
поділемо на і позначимо ,
отримаємо :
Примушена складова дорівнює нулю.
Характеристичне рівняння:
Початкові умови ненульові. Напруга на ємності дорівнює Е.Р.С.
Загальне рішення шуканої функції має вид:
В момент t = 0 знаходять постійні інтегрування А1, А2
,
Остаточний вигляд загального рішення шуканої функції :
побудувати графік і зробити висновок : Характер коливань аперіодичний.
2. Загальні співвідношення
Використовуючи формули : ,
Отримаємо загальні співвідношення:
,
Одержані формули носять загальний характер, то б то визначають процеси у колі незалежно від співвідношень між параметрами елементів.
Побудувати графіки і зробити аналіз.
На характер перехідних процесів, що відбуваються у колі після комутації суттєво впливають корені характеристичного рівняння.
Характер перехідного процесу кола залежить від коренів характеристичного рівняння!!
Три варіанта значень коренів:
1). Дійсні, від`ємні, різні.
за умовою , то б то r >2, , - добротність
Енергія не циркулюється, а за один цикл перетворюється у теплову.
Корені характеристичного рівняння розташовані в площині комплексної змінної р. Показати на комплексній площині.
Висновок: процеси в колі з добротністю менше 0,5 носять аперіодичний характер, амплітуда струму і напруги зменшується по експоненті до нуля.
2). Дійсні, від`ємні, рівні. Кратні корені.
За умовою , то б то r = 2
Корені характеристичного рівняння розташовані на відємній полуосі в площині комплексної змінної р. Показати на рисунку.
Висновок: процеси в колі з добротністю рівною 0,5 носять аперіодичний характер. Режим роботи кола на межі між коливальним і аперіодичним характерами перехідних процесів називають критичним.
3). Комплексно – спряжені корені
за умовою , то б то r < 2 , добротність набагато більше 0,5
У цьому випадку корені :
Розташовані на комплексній площині у лівій напівплощині. Показати.
Чим більше добротність контуру, тим менше коефіцієнт і тим ближче до уявної осі розташовані корені.
Якщо підставити значення коренів в комплексній формі в співвідношення напруги на ємності, то отримаємо:
Аналогічно знаходять струм і напруги на ємності і опорі.
Побудувати графіки залежності. У цьому випадку у контурі виникають затухаючі періодичні коливання, які змінюються за законом синуса.
Характер перехідних процесів залежить від співвідношення між початковою фазою Е.Р.С. ідеалізованого джерела напруги і аргументом вхідного опору кола. Амплітуда коливань у часі зменшується за експоненційним законом.
Таким чином характер перехідних процесів в послідовному коливальному колі повністю визначається розтошуванням коренів характеристичного рівняння у плоскості комплексної змінної. Така залежність є загальною властивістю лінійних електричних кіл любого порядку складності.
Тема 4 : Часові характеристики електричних кіл
Навчальні питання
1. Принцип накладання в теорії перехідних процесів
При дії на електричне коло короткочасних імпульсних сигналів в ньому виникають перехідні коливання, тому зовнішню дію на коло уявляють у вигляді суми простих ідеалізованих дій, які можна описати одиничними функціями часу. Реакцію кола на таку кожну дію шукають у вигляді лінійної комбінації часткових реакцій кола на дію кожної ідеалізованої складової зовнішньої дії.
На лінійні електричні кола розповсюджується принцип суперпозиції, чи метод накладання. Він справедливий тільки для лінійних фізичних систем.
Фундоментальний принцип полягає: Реакція лінійного електричного кола на суму дій є сума реакцій окремих дій.
Від вибору виду елементарних дій залежить степінь складності і точності розрахунку перехідного процесу. Тому елементарну дію необхідно вибрати таким чином, щоб у сукупності вони точніше вказували зовнішню дію. В зв`язку з цим вхідний сигнал довільної форми представляють у вигляді суми одиничних скачківі чи у вигляді суми одиничних імпульсів.
2. Типові ( елементарні дії)
Одинична ступінчаста функція – це функція 1(t - t0) , яка задовольняє умовам:
Коли t0 = 0 , одиничну ступінчасту функцію позначають як 1 ( t ), позначення такої функції в загальному випадку може відрізнятися від одиниці і мати певний фізичний зміст: наприклад - підключення до кола ЕРС- відповідає дії на коло ступінчастої функції, за допомогою якої можна представити різні варіанти дій або сигналів, що діють на електричне коло. Показати графічно.
Функція Дірака, чи - функція - це функція, яка описує одиничний імпульс і дорівнює похідній від часу ступінчастої функції.
Графічно зобразити функцію вектором. Важливість функції в її властивостях, які виходять з інтегрування:
1).
2).
Таким чином за допомогою дельта функцій можна виділити значення функції
в довільний момент часу. Цю властивість - функцій
3. Часові характеристики електричних кіл.
В залежності від характера типової дії розрізняють часові характеристики :
перехідні, при використанні ступінчастої функції і імпульсні функції.
Перехідні характеристики - - це відношення амплітуди реакції кола на дію одиничної ступінчастої функції або дію стрибка струму( напруги ) при нульових початкових умовах.
В залежності від дії і реакції на цю дію розрізняють слідуючи види перехідних характеристик :
- перехідний коефіцієнт передачі за напругою
- перехідний коефіцієнт передачі за струмом
- перехідний коефіцієнт передачі провідності
- перехідний коефіцієнт передачі опору
Порядок визначення часових характеристик.
По перше неохідно знати, який перехідний коефіцієнт передачі треба знайти.
Далі необхідно визначити реакцію кола і знайти відношення реакції до дії.
Тема 5 : Загальні відомості про операторний метод аналізу
Навчальні питання
Суть операторного метода розрахунку перехідних процесів полягає в тому, що в основі його лежить пряме інтегральне перетворення Лапласа:
за допомогою якого функція часу , то б то Е.Р.С., напруга, струм, перетворюється в функцію комплексної змінної . До того функція часу повинна задовільняти умовам Діріхле, бути рівною нулю, коли t < 0 та забезпечувати збіжність (сходимість) інтеграла Лапласа.
Шукану функцію часу називають ОРИГИНАЛОМ, а функція, яка
відповідає їй називається ЗОБРАЖЕННЯМ по Лапласу. Між ними
існує відповідність, яку можна записати через символічний знак.
чи
Якщо при розрахунку перехідних процесів класичним методом виникають труднощі при визначенні початкових умов, то операторний метод дозволяє початкові умови включити в вихідне рівняння в якості допоміжних джерел Е.Р.С ., чи струму.
Таким чином, застосування операторного метода дозволяє алгебраізирувати інтегро-диференціальні рівняння. Виконав алгебраїчні дії визначають зображення шуканої величини, як функції комплексної змінної. При зворотньому застосуванні від комплексної змінної до функції реального часу визначають шукану величину. Цей перехід виконується за допомогою прямого і зворотнього перетворення Лапласа, покладенного в основу операторного метода розрахунку перехідних процесів в лінійних електричних колах.
2. Основні властивості та теореми перетворення Лапласа.
Для спрощення розрахунків розроблені спеціальні таблиці відповідності оригіналів і їх зображень за Лапласом, а також обгрунтовані властивості та теореми перетворення Лапласа.
- Єдинність - Якщо функції відповідає зображення за Лапласом , то це зображення єдинне і навпаки.
= , =
-Лінійність - Сумі оригіналів відповідає сума іх зображень.
З цієї властивості витікає наслідок, а саме: добуток оригинала на сталу А відповідає добуток зображення на цю сталу А.
А = А
- Граничні співвідношення - і зворотнє.
- Зображення за Лапласом сталої величини А дорівнює цій же величині, поділеної на оператор Р.
Теорема диференцювання
Якщо функції відповідає зображення , то похідна n-ого порядку над оригиналом відповідвє:
Теорема інтегрування
Якщо деяка функція визначається як інтеграл , то :
= =+, тоб то цій первинній функції ,якщо початкові умови нульові відповідає:
=
Теорема запізнювання оригинала
Якщо оригинал запізнюється на час t0 , то це відповідає добудку операторного зображення на множник .
Теорема зміщення зображення
Заміна в зображенні оператора Р на оператор ( р+) відповідає
добутку оригинала на множник .
Теорема згортання
Добутку операторних зображень відповідає згортання їх оригіналів.
Теорема розкладання
Якщо зображення по Лапласу має вигляд раціонального дробу, до того степінь полінома чисельника менше степіні полінома знаменника, а коефіцієнти дробу – дійсні числа, і корені рівняння знаменника прості, то можна записати:
Тема 6 : Аналіз перехідних процесів операторним методом
1. Операторна еквівалентна схема електричного кола.
Еквівалентні операторні схеми лінійного електричного кола – це схеми, де джерела живлення Е.Р.С. та струму представлені операторними зображеня, а пасивні елементи – операторними опорами, які при ненульових початкових умовах мають додатково внутрішні джерела.
2. Закони Ома та Кірхгофа в операторній формі.
Закон Ома та закони Кірхгофа в операторний формі формулюються на підставі певних властивостей перетворень Лапласа.
Необхідно згадати визначення цих законів для миттєвих значень електричних величин.
Відповідно властивості перетворення Лапласа – єдинності, можна записати закони в операторній формі.
,
, ,
Алгебраічна сума зображень струмів вузла дорівнює нулю.
Алгебраічна сума операторних зображень падінь напруг на елементах замкненого електричного кола дорівнює алгебраічної сумі операторних зображень незалежних джерел і внутрішніх джерел, обумовлених ненульовими початковими умовами.
Порядок розрахунку перехідних процесів операторним методом
Тема 7 : Операторні функції електричних кіл
Навчальні питання
1. Визначення та класифікація операторних функцій.
Операторною функцією лінійного електричного кола називають
відношення операторного зображення реакції кола до операторного
зображення дії при нульових початкових умовах.
, де : = ,
В операторній формі диференційні рівняння , які описують процеси в лінійних електричних колах можна записати , з використанням теореми диференцювання і лінійної властивості, у вигляді:
Але, якщо повернутися до операторної функції, то вона запишеться:
= , де -- a, b –дійсні числа,
значення яких визначаються параметрами пасивних елементів кола і
керованих джерел, які входять до складу кола. Тому цей запис можна
представити як:
де : корені рівняння, що відповідають поліному чисельника, якщо
його дорівняти до нуля і вони називаються нулями операторної функції.
корені рівняння, що відповідають поліному в знаменнику,коли його
прирівняти до нуля і їх називають полюсами оператоної функції.
Рівняння в знаменнику називають характеристичним рівнянням.
Класифікація операторних функції.
В залежності від того, на яких парах чотириполюсника розглядають дію і
реакцію, операторні функції поділяють на вхідні і передаточні.
Вхідні – відповідно, коли дія і реакція розглядаються на одній парі зажимів.
Передаточні – коли дія і реакція – на різних парах зажимів.
В залежності від того, які електричні величини (напруга чи струм)
відповідають дії і реакції, операторні функції поділяють на :
- операторні коефіцієнти передачі;
- операторні опори;
- операторні провідності.
Розглятуті ще у першому семестрі комплексні функції електричних кіл
- є частковими випадками операторних функцій, тому що операторні функції - це функції узагальненої комплексної частоти . В зв`язку
з цим зв`язок між названими функціями встановлюють таким чином:
З цих співвідношень витікає, що обчислення операторних функцій може бути здійснено тими ж методами і прийомами, що і комплексні функції. ( Згадати методи розрахунку електричних кіл синусоідального струму.)
Наведені формули свідчать, що операторна функція лінійного електричного кола не залежить від зовніщньої дії, а визначається схемою кола і параметрами його елементів. Властивості операторних функцій
дають можливість простіше розраховувати задачі.
Неохідно згадати матеріал лекції № 23, запитати студентів про перехідні та імпульсні характеристики , тоб то:
, коли , аналогично:
, з цього
Зображення по Лапласу від одиничної функції дорівнює одиниці поділеної на оператор Р, то б то
, тому
Залишається: , то б то
Аналогично можна показати зв`язок операторної функції з імпульсною
характеристикою і отримати :
Тема 8 : Спектральне представлення періодичних сигналів
Навчальні питання
Розглядають періодичний сигнал, то б то послідовність імпульсів довільної форми :
, де n = 1, 2, 3. Т – період повторення
імпульсів.
В силу цієї властивості періодичні коливання не можуть використовуватися
для передачі інформації.
Періодичну функцію, яка на протязі періоду задовольняє умовам Діріхле, можна розкласти в тригонометричний ряд Фурьє (записати)
В комплексній формі ряд Фурьє:
Всі форми ряду Фурьє зв`язані між собою, а коефіцієнти рядів визначаються співвідношеннями :
,
Комплексний коефіцієнт :
Вихідний сигнал можна представити постійною складовою, амплітуда якої складається з С0 /2 і нескінченною сумою гармонік, кожна з яких має свою амплітуду, частоту і початкову фазу.
Сукупність усіх гармонік сигналу називається частотним спектром сигналу.
Спектр поділяють на АЧС і ФЧС.
АЧС - це сукупність амплітуд всіх гармонік, що складають сигнал. Він показує залежність амплітуд складових спектра від частоти.
ФЧС - це сукупність початкових фаз, що складають сигнал. Показує, як залежать від частоти початкові фази складових.
Постійну складову С0 прийнято називати нульовою гармонікою.
Гармонічне коливання з частотою називають першою гармонікою.
Кутова частота першої (основної) гармоніки дорівнює частоті проходження імпульсів.
Аргумент косинуса – () =Фn - це повна фаза n-ої гармоніки.
- початкова фаза гармоніки.
Спектр сигналу симетричний відносно початку координат, коли .
Кожній гармоніці з частотою відповідає гармоніка з частотою
. Відємні частоти не мають фізичного змісту і обумовлені особливостями комплексного представлення гармонічної функції.
Можна розглянути зміщення сигналу відносно початку на будь який час
І зробити висновок, що воно не впливає на амплітуди сигналу, але початкові фази при цьому отримають добавку.
3 . Частотні спектри періодичної послідовності прямокутних імпу льсів.
Розглядають на прикладі : спектр ПППІ напруги.
U(t) - амплітуда
t0 - зміщення імпульса
- тривалість імпульсу
Вводять ще один параметр : скважність
Якщо представити данний сигнал тригонометричним рядом Фурьє і підставити значення коефіцієнтів в вихідну формулу, то при відсутності
зміщення сигналу миттєве значення напруги запишеться:
Для АЧС справедливо :
таким чином закон зміни амплітуд гармонік спектра визначається функцією
, яка називається арочний сінус аргумента Х. Функція змінна, тому враховують модуль.
Далі розраховують частоти і будують спектрограму.
Для ФЧС справедливо :
Знак другого доданка вибирається зі зручності побудові, довільно.
Початкові фази зображують у вигляді прямих ліній перпендикулярних до вісі частот з довжиною, яка відповідає .
Тема 9: Аналіз частотних спектрів періодичних сигналів
Навчальні питання
Це питання необхідно розглянути за допомогою прикладів, а саме:
1 приклад. Побудувати АЧС.
На вхід кола подається П П П І з постійним періодом Т, змінною тривалостю імпульсу. При цьому скважність дорівнює 3. Припустимо, що тривалість імпульсу зменшиться в двічі. Після розрахунку можна зробити висновки:
1). Відстань між гармоніками не змінюється і дорівнює ;
2). Ширина арки збільшується в двічі.
3). Число гармонік в арці збільшується.
4). Амплітуди гармонік зменшуються.
2 приклад. Побудувати АЧС.
При тієї же скважності залишити незмінною тривалість імпульсу, а змінювати період послідовності прямокутніх імпульсів. Показати на спектрограмі з розрахунком параметрів. Висновки:
1). Інтервал між гармоніками змінюється.
2). Ширина арки не змінюється.
3). Число гармонік змінюється.
4). Амплітуди гармонік змінюються.
Тепер необхідно побудувати ФЧС для двох варіантів.
1 приклад. Припустимо,що скважність парне число, зміщення сигналу відсутнє. На графіку необхідно показати вісі, на них частоти вказати і за формулою розрахувати спектр.
Висновки: На частотах першої арки – перпендикуляри висотою в нуль. В другій арці – відповідає . Таким чином в парних арках, де сигнал не має зміщення, початкові фази дорівнюють , а непарних дорівнюють нулю.
2 приклад. Умови залишаються, але імпульс зміщується в часі. Тоді в межах кожної арки початкові фази змінюються за лінійним законом відповідно частоті. Огинаюча ФЧС пряма лінія, що проходить під певним кутом до частотної вісі через початок координат, або через точки .
АЧС періодичного синалу не залежить від часового положення сигналу на часовій вісі, ФЧС залежить!
Середня за період потужність, яка виділяється у навантаженні при проходженні струму, пропорційна середньому квадрату струму:
Як що розкласти цей струм в ряд Фурьє і зробити операцію усереднення,
то
А середнє значення за період потужності:
Середня потужність дорівнює сумі потужностей. Які виділяються у навантаженні кожною гармонікою спектра. Ця потужність не залежить від початку відліку струму, а залежить від амплітуд врахованих гармонік. З останнього рівняння можна знайти діюче значення струму.
Діюче значення періодичного несинусоідального сигналу зв`язано з амплітудами гармонік його спектра більш складними співвідношеннями в порівнянні з синусоідальним струмом.
При зростанні номера гармоніки, амплітуда її, а значить потужність, енергія - зменшуються, тому при аналізі немає необхідності враховувати всі складові.
Тому під шириною спектра сигналу розуміють діапазон частот в межах якого зосереджена основна енергія його повної енергії і називають ефективною шириною спектра.
Для сигналу у вигляді П П П І ця частина енергії зосереджена в першій та другій арках:
,
лінійна частота
Отже ширина спектра визначається тільки тривалостю імпульса.
Спектр періодичної послідовності прямокутніх імпульсів, тоб то спектр сигналів, який обчислен за допомогою рядів Фурьє дискретний, або лінійчастий. Тому енергія сигнала зосереджена в окремих частотних складових, в перших арках спектра. Повторити попередні висновки.
Тема 10 : Спектральне представлення неперіодичних сигналів
Навчальні питання
Для неперіодичних сигналів використовують пряме перетворення Фурьє
( інтеграл Фурьє). Розглядають один з часткових випадків неперіодичних сигналів – одиночний імпульс, як граничний випадок періодичної послідовності імпульсів при необмеженому зростанні періоду. При цьому зберігається справедливість використання ряду Фурьє.
Враховуючи формулу для обчислення комплексної амплітуди можна записати:
По мірі зростання періоду, амплітуди гармонік зменшуються, інтервал між сусідніми гармоніками скорочується , лінійчастий спектр все більше згущається. Коли , то частота перетворюється в диференціал, а дискретні частоти в поточну частоту, операційне складання замінюється інтегралом, в результаті співвідношення (1) перетворюється в (2) і спектр –
суцільний.
(2)
Внутрішній інтеграл позначають (3)
І називають спектральною щільністю (густина) , або спектральна характеристика, або спектр неперіодичного сигналу, а її компоненти відповідно називають амплітудно – частотним спектром у показниковій формі.
- АЧС (4)
- ФЧС (5)
Повертаючись до (2) , зворотнє перетворення Фурьє :
(6)
Формули (3) і (6) представляють пару перетворень Фурьє : пряме і зворотнє.
Можна показати встановлення зв`язку між спектральною щільністю і комплексною амплітудою гармонік і в результаті отримати :
(7)
Розмірність ( амплітуда / Гц ).
Висновок: Огинаюча суцільного спектра неперіодичного сигнала і огинаюча дискретного спектру періодичного сигнала співпадають.
Розглянуті раніше перетворення Лапласа розповсюджуються на перетворення Фурьє, як частковий випадок, коли
Лінійність
Спектральна щільність похідної:
Спектральна щільність інтеграла :
аналогічно інші теореми і властивості.
Розподіл енергії в спектрі неперіодичного сигналу
Неперіодичний сигнал має кінцевий запас енергії:
Енергію можна представити через спектральну щільність і цим визначити як розподіляється енергія сигналу в межах його частотного спектру.
шляхом зміни змінної ( ) , отримаємо:
Враховуючи, що добуток під першим інтегралом дорівнює квадрату модуля спектральної щільності, можна записати :
Цей кінцевий вираз називається формулою Релея чи рівність Парсеваля, а функція під інтегралом називається енергетичним спектром неперіодиного сигналу.
Енергетичний спектр неперіодичного сигналу можна розрахувати двома шляхами:
Енергетична ширина спектра це та частина спектра сигнала, де присутня основна доля енергії сигналу, то б то :
, де
= 0,9 до 0,99 , коефіцієнт, визначаючий долю енергії в полосі частот
( ),
Під енергетичною тривалістю імпульсу розуміють ту частину імпульсу , де заключена основна доля енергії.
Заключення
Фундаментальний висновок : сигнал і його спектральна щільність
взаємно однозначно зв`язані прямим та зворотнім перетворенням Фурьє. Всі проміжні викладки при використанні інтеграла Фурьє зручніше і простіше робити на підставі комплексної форми.
ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей.-М.: Радио и связь, 1986.
3. Шебес М.Р. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. – М: Высшая школа, 1973
T
t
U(t)
EMBED Equation.3 