Постановка задачи В данной курсовой работе необходимо решить дифференциальное уравнениес заданными на
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Введение
1.Постановка задачи
В данной курсовой работе необходимо решить дифференциальное уравнение
с заданными начальными значениями x0=1, xk=2, y0=1, h=0.1. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения
.Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного, а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов, построить их графики.
Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Геометрический смысл задачи:
y’=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX,- угловой коэффициент (рис. 1).
y
α
0 х
Рис. 1
Существование решения:
Если правая часть f(x;y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами x-x0<a и y-y0<b , то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определенное в окрестности x-x0<h , где h- положительное число.
Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица
, где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x;y) имеет ограниченную производную f’y=(x;y) в R, то можно положить N=max при (x;y)R
2.Метод Эйлера
Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.
Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка
y’=f(x;y)
с начальным условием
y(x0)=y0
Выберем шаг h и введем обозначения:
xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,
xi-узлы сетки,
yi- значение интегральной функции в узлах
Проведем прямую АВ через точку (x0;y0)
x1=x0+h
Рассмотрим треугольник АВС, он прямоугольный, в этом треугольнике известен tan α,и
, выражаем , , с другой стороны , левые части выражений равны, значит равны и правые, т.е.. Выразим или , найдем точку В(x1; y1),
x1=1+0.1=1.2
y1=1+0,1*3,72=2,372.
Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера:
3.Эйлер модифицированный
Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
y’=f(x;y)
с начальным условием
y(x0)=y0
Выберем шаг h и введём обозначения:
xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,
xi -узлы сетки,
yi- значение интегральной функции в узлах
При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.
Проведем решение в несколько этапов.
1. Обозначим точки: А(), B() и C(x 1;y 1).
2. Через точку А, с координатами (1;1) проведем прямую под углом , где
3. На этой прямой найдем точку B (), получим B(1,05;1,186)
4. Через точку B проведем прямую под углом, где
5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.
6. Найдем точку C(x1;y1).Координаты точки С: х1=х0+h, x1=1.1; y1=yB+ *f(xB;yB), y1=
7.После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения xi, yi:
Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке это хорошо видно. Так величина характеризует погрешность метода Эйлера, а– погрешность метода Эйлера Модифицированного.
4.Блок-схемы основных процедур
5.Листинг программы на языке Visual Basic
6.Формы программы в Visual Basic
7.Проверка в MathCad
Заключение
End
Yi=Yi-1+h*F(xi-1; yi-1)
xi=x0+i*h
i=0,…,N-1
h=(xk-x0)/n
Eiler (x0, xk, y0, N, Y)
Eiler M (x0, xk, y0, N, Y)
Yi=Yi-1+h*F(xi+h/2; yi-1+h/2*F(xi-1; yi-1))
End
X=x0+i*h
h=(xk-x0)/n
i=0,…,N-1
chastnoe
C=ex+1-y*x
2. ответственное лицо.html
3. Проблема взаимоотношения человека и машин
4. тема административного права
5. Возвышение Московского княжеств
6. ЛЕКЦИЯ Техникоэкономические характеристики доменного производства по учебной дисциплине- Эконо
7. то- окружные суды судебные палаты и Правительствующий сенат со всеми департаментами военные и морские суды
8. Op Jive это бесплатный танцевальный кооператив
9. Подземный меридиан уже публиковался ранее под названием Покоренный Атаман
10. практикум для студентов специальности 020400 Психология Автор кандидат педагогическ
11. Тема- Методологические основы юридической психологии Цель занятия- рассмотреть методологические принципы
12. Лабораторная работа 2 Создание Webсайта и Webстраницы Цель ~ освоение техникой создания Webсайта основанн
13. Влияние налогообложения на формирование издержек предприятия
14. это нападение в целях хищения чужого имущества совершенное с применением насилия опасного для жизни или зд
15. Расчет себестоимости единицы изделия
16. Сушка Цель работы- Рассчитать параметры процесса сушки сельскохозяйственной культуры и
17. разному окрашенными причем отмечается непрерывное изменение ощущений при переходе от фиолетового и синего
18. Реферат- Загальні правила змагань в легкій атлетиці
19. Особливості впливу сучасної сімї на девіантну поведінку молоді
20. Укрепление правового положения потребительской кооперации.html