Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Элементарными преобразованиями матрицы являются:
1. Перемена местами двух строк (столбцов).
2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.
3. Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).
Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице А (обозначается В~А). [5]
Теорема1 При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется. [1, стр 36]
Теорема2 (об обратимости элементарных преобразований). Если матрица A′ получается из матрицы A при помощи конечного числа элементарных преобразований, то и наоборот, матрицу A можно получить из матрицы A′ при помощи конечного числа элементарных преобразований.
Теорема3 (об эквивалентности систем линейных уравнений). Пусть A¯ и A¯′ — расширенные матрицы систем линейных уравнений. Если матрицу A¯′ можно получить из матрицы A¯ при помощи конечного числа элементарных преобразований, то соответствующие системы линейных уравнений эквивалентны.[5;4,стр 14]
Элемент строки матрицы назовем крайним, если он отличен от нуля, а все элементы этой строки, находящиеся левее него, равны нулю.
Матрица называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки. [3]
Или ступенчатой называется матрица, обладающая следующими свойствами:
1) если i-я строка нулевая, то (i + 1)-я строка также нулевая;
2) если первые ненулевые элементы i-й и (i+1)-й строк расположены в столбцах с номерами ki и ki+1 соответственно, то ki < ki+1.
Наглядно эти свойства означают, что ниже нулевой строки могут располагаться лишь нулевые строки, а все элементы, располагающиеся влево и вниз от первого ненулевого элемента какой-либо строки, являются нулями. Происхождение названия нетрудно объяснить, рассматривая, например, ступенчатую матрицу
0 3 9 2
0 0 5 5
0 0 0 6
0 0 0 0
Теорема 3 (о приведении матрицы к ступенчатому виду).
Всякую матрицу конечным числом элементарных преобразований I(т.е. переставлены две строки/столбца) и II типа (т.е произведено умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля) можно превратить в ступенчатую матрицу. [4,стр 15]
Теорема 1 Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк. [1, стр 36]
Определение 1. Пусть T — элементарное преобразование строк. Элементарной матрицей называется матрица T(E). Мы будем обозначать ее E(T) или E (T)n , если необходимо указать ее размер. Другими словами, элементарная матрица — это результат одного элементарного преобразования единичной матрицы.
Основное свойство элементарных матриц описывается следующим утверждением.
Лемма 1. Пусть A [k*l] -матрица, а T — элементарное преобразование строк. Тогда T(A) = E(Т)kA.
Лемма 2. Пусть A[k*l] матрица, а T0 — элементарное преобразование столбцов. Тогда T0(A) =AEl(T0)
Лемма 3. Пусть A[k*l] -матрица, а T и T0 — некоторые элементарные преобразования строк и столбцов, соответственно. Тогда
T0(T(A)) = T(T0(A)).[5;2]
1)Рассмотрим в пространстве произвольную прямую L. Отметим на ней точку (x0,y0,z0), определяющую радиус, вектор p=(x0,y0,z0) и лежащий на ней вектор a=(a1,a2,a3)≠0, приложенный к точке Q0=(x0,y0,z0).Произвольную текущую точку прямой обозначим через Q=(x,y,z) и ее радиус-вектор через p=(x,y,z). Вектор p-p0 можно записать в виде p-p0=ta, где t-некоторое число (скаляр).Если действительная переменная t пробегает интервал (-∞,∞), то конец вектора p=p0+ta пробегает всю прямую L. Поэтому говорят, что равенство
p-p0=ta (-∞<t<∞) (1)
есть уравнение прямой, проходящей через точку Q0=(x0,y0,z0) и направленной в сторону вектора a.
Рис. 1
На языке координат уравнение (1) распадается на три уравнения:
x-x0=ta1
y-y0=ta2 -параметрическое уравнение
z-z0=ta3 (1')
Исключая из них параметр t, получим уравнения прямой (систему из двух уравнений)
( x-x0):a1=(y-y0):a2=(z-z0):a3 - уравнение прямой в каноническом виде (1'') где a1, a2, a3 одновременно не равны нулю.
2)Пусть заданы уравнения двух плоскостей
Ax+By+Cz+D=0, (3)
A’x+B’y+C’z+D’=0. (4)
Если коэффициенты первого из них соответственно пропорциональны коэффициентам второго (A:B:C=A’:B’:C’), то плоскости (3) и (4) параллельны или даже совпадают (при условии A:B:C:D=A’:B’:C’:D’). В противном случае плоскости (3) и (4) пересекаются по прямой. В этом случае один из определителей
АB AC BC
A’B’ A’C’ B’C’
не равен нулю. Для определенности будем считать, что первый
A B ≠0
A’ B’ (5)
Тогда уравнения (3), (4) можно решить относительно x и y и мы получим x=az+µ
y=βz+ν (6)
где α,β ,µ ,ν - некоторые числа. Уравнения (6) эквивалентны следующим: (x-µ):α=(y-ν):β=z:1 (7)
Мы видим, что при условии (5) уравнения двух плоскостей (3), (4) определяют прямую (7), т. е. геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям (3), (4). Она проходит через точку (µ,ν,0) и имеет направление вектора (α,β,1). Числа α,β или одно из них могут быть равными нулю, тогда уравнения (7) будут иметь символический характер.[5;6,стр 89]
1. . Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс.
2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд.,стер. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004.
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры
4. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии .Учебное пособие. Издательский дом ГУ ВШЭ.Москва 2007
5. Лекционные материалы
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика.