Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
32. Гидравлические характеристики поперечного сечения потока.
Смоченный периметр χ — это периметр той части поперечного сечения русла, которая смочена движущейся жидкостью, или периметр твердых границ потока (рис. 5.2).
Если движение напорное (рис. 5.2,а), то смоченный периметр равен периметру поперечного сечения. Например, в круглой трубе с диаметром D смоченный периметр χ = πD. Гидравлический радиусR — это отношение площади поперечного сечения потока к смоченному периметру:
(5.4)
При напорном течении в круглой трубе R= , т.е. гидравлический радиус вдвое меньше геометрического. При напорном течении в круглой трубе R= , т.е. гидравлический радиус вдвое меньше геометрического. Для широкого прямоугольного русла (при b, рис. 5.2,в) можно считать
При других формах поперечных сечений потока (например, рис. 5.2,6) геометрическая интерпретация гидравлического радиуса не имеет смысла. Наряду с такими характеристиками живого сечения, как объемный расход Q и массовый расход Qм, введенными соответственно равенствами (3.8) и (3.9), при решении задач о движении жидкости в поле силы тяжести используют понятие весового расхода:
Qв = (5.7)
Связь между указанными расходами установим в виде
Qв = gQM = ρgQ (5.7)
Весьма важной характеристикой живого сечения является средняя скорость V, которая определяется зависимостью
(5.8)
Ее можно интерпретировать следующим образом. Если в каждой точке живого сечения нормальная составляющая скорости жидкости unравна средней скорости v, то объемный расход жидкости Q через это сечение равен расходу при действительном распределении un по живому сечению. Как правило, средняя скорость вводится для живых сечений, в которых движение равномерное или плавноизменяющееся. Для плоского живого сечения, в котором скорости жидкости во всех точках параллельны, средней скорости V может быть приписано направление, и она может рассматриваться как векторv =nv, где n — нормаль к плоскости живого сечения.
В последующем изложении потребуется рассматривать не только поток объема, веса или массы жидкости через живое сечение, но также и поток кинетической энергии жидкости и поток количества движения жидкости через живое сечение. Выразим эти величины через среднюю скорость жидкости V в поперечном сечении.
Поток кинетической энергии Qк через живое сечение га, согласно (3.13) и (3.10), равен
(5.9)
где к = - плотность распределения кинетическои энергии в произвольной точке живого сечения; un — нормальная к живому сечению проекция скорости жидкости в этой же точке. Поскольку в живом сечении un = u, то(5.11)
В реальных потоках, встречающихся при решении технических и технологических задач, при равномерном и плавноизменяющемся движении в большей части живого сечения скорость жидкости и мало (на 5... 10 %) отличается от средней скорости v. Поэтому, если под интегралом заменить изменяющуюся в живом сечении скорость и на постоянную скорость у, то погрешность от такой замены будет невелика, и ее можно учесть, введя корректирующий множитель α:
(5.11)
Множитель α называется коррективом кинетической энергии, или коэффициентом Кориолиса. Согласно (5.11),
α = . (5.12)
Таким образом, корректив кинетической энергии представляет собой отношение потока кинетической энергии через живое сечение, вычисленного в соответствии с реальным распределением скорости жидкости по сечению, к потоку кинетической энергии, вычисленному в предположении, что скорость жидкости в живом сечении постоянна и равна средней скорости v,
Как показывают расчеты, в большинстве встречающихся на практике потоков α = 1,05...1,10.
Поток количества движения QI через живое сечение ω в соответствии с (3.13) и (3.11) равен
Q1 =, (5.13)
где i = ρun = ρu— вектор плотности распределения количества движения. Как и в предыдущем случае, заменивun на u, а затем подставив под интеграл вместо скорости u среднюю скоростьv, получим
Q1 = nn(5.14)
где v= nv, Q = vω. Множитель α0 называется коррективом количества движения или коэффициентом Буссинеска. Согласно (5.14),
(5.15)
т.е. корректив количества движения представляет собой отношение потока количества движения через живое сечение, вычисленного при реальном распределении скорости по живому сечению, к потоку количества движения, вычисленному в предположении, что скорость жидкости в живом сечении постоянна и равна средней скорости. При решении технических и технологических задач для большинства потоков принимают α0 = 1,03...1,07.
33. Уравнение неразрывности.
Рассмотрим установившееся движение жидкости при отсутствии фазовых переходов в трубе с произвольно изменяющимся по ее длине поперечным сечением (рис. 5.3). Пусть в этой трубе есть сечения, где движение равномерное или близкое к нему, т.е. плавноизменяющееся, например, сечения 1 — 1, 3—3, 2—2.
Зафиксируем в качестве контрольного объем V трубопровода между сечениями 1—1 и 2—2, контрольная поверхность А показана на рис. 5.3 штриховой линией. Запишем для этого контрольного объема закон сохранения массы:
(5.16)
Используя представление субстанциальной производной в виде суммы локальной и конвективной составляющих, перепишем (5.16) в виде
(5.17)
При установившемся движении плотность ρ, как и размеры и очертание контрольного объема V, не зависит от времени. Поэтому первое слагаемое в левой части уравнения (5.17) равно нулю. В результате(5.18)
где А = ω 1+ω2 + Aбок , ω1,ω2 площади живых сечений 1 — 1 и 2—2, Абок — площадь боковой поверхности трубы. Очевидно, что на боковой поверхности un = 0, следовательно,
Учитывая, что un — это проекция скорости на внешнюю нормаль к поверхности А, имеем ип> 0, если скоростьu направлена из объема V, ограниченного поверхностью А. Если жидкость (см. рис. 5.3) движется слева направо, то в сечении 1—1 скорость ип< 0. Действительно, в этом сечении -ип = 1Д), а в сечении 2—2 скорость un = u2. С учетом этого уравнение (5.19) представим в виде . (5.20)
Как было определено выше, масса жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую поверхность, называется массовым расходом. Следовательно, вместо (5.20) можно записать QM1 = (5.21)
где QM1 и QM2 — массовые расходы в сечениях 1 — 1 и 2—2, соответственно. Проведя аналогичные рассуждения относительно любого другого сечения, например, 3—3, получим QM1= QM2 = QM3 (5.22) т.е. при движении жидкости в трубе с непроницаемыми стенками массовый расход вдоль потока остается постоянным:QM = сопst (вдоль потока). (5.23)
Для несжимаемой жидкости при р = сonst равенство (5.21) записывается для объемного расхода Q в виде Q1 = = Q2 (5.24)
или О = соnst (вдоль потока). (5.25). Полученные равенства (5.21)—(5.25) называются уравнениями неразрывности.Используя понятие средней скорости и полагая, что в живом сечении плотность жидкости постоянна, запишем уравнение неразрывности (5.21) в виде ρ1v1ω1 = ρ2v2ω2(5.26) или для несжимаемой жидкости v1ω1 = v2ω2(5.27)
Последнее равенство называют уравнением неразрывности в форме Леонардо да Винчи.
Если все характеристики потока не зависят от какой-либо одной координаты, например от у, можно рассматривать изменение их только в плоскости (х, г), т.е. решать так называемую плоскую задачу.В указанном случае можно перейти к удельным характеристикам, приходящимся на единицу линейного размера потока в направлении оси у. Так, например, равномерное безнапорное течение в прямоугольном канале (рис. 5.4), ширина b которого намного больше глубины потока h, можно рассматривать как плоское. Удельным расходом называют объемный расход, приходящийся на единицу ширины потока:
q= (5.28). Поскольку продольная скорость uх зависит только от координатыz, ее распределение по вертикали обычно изображают в виде эпюры скоростиux = ux(z), а элементарную площадь поперечного сечения dА представляют в виде dА =bdz. В соответствии с (5.8) средняя скорость (5.29) Согласно (5.29), в условиях плоской задачи средняя скорость численно равна высоте прямоугольника, равновеликого эпюре скорости.
34.Уравнение Бернулли для установившегося напорного потока вязкой несжимаемой жидкости.
Уравнение Бернулли, относится к установившимся напорным потокам вязкой жидкости. В некоторых случаях возникает необходимость в более общей форме этого уравнения, относящейся к неустановившимся напорным потокам несжимаемой (р = const) жидкости в трубах с абсолютно жесткими (недеформируемыми) стенками в фиксированный момент времени.
Для неустановившегося движения в выражении для субстанциальной производной (5.38) нельзя полагать равной нулю локальную составляющую, так как скорость жидкости зависит от времени:
Это слагаемое без преобразований войдет в окончательную форму уравнения Бернулли (5.47), которое для неустановившегося движения примет вид
(5.59) где
(5.60). Величина hин представляет собой изменение в единицу времени кинетической энергии жидкости в контрольном объеме V (при неустановившемся движении), отнесенное к весовому расходу, и называется инерционным напором.Уравнение (5.59) справедливо для каждого фиксированного момента времени t=tф из временного интервала, в течение которого рассматривается неустановившееся движение. При этом следует иметь в виду, что инерционный напор представляет собой не потерянную (диссипированную) механическую энергию, а изменение механической энергии потока между сечениями 1 — 1 и 2—2, обусловленное локальным изменением кинетической энергии в каждой точке потока. Инерционный напор может быть как положительным, если кинетическая энергия жидкости в контрольном объеме увеличивается во времени, так и отрицательным в противном случае. Следовательно, эта величина является дополнением к изменению энергии, обусловленному переносом (конвекцией) кинетической энергии через живые сечения. Учитывая это, иногда целесообразно включать инерционный напор в полный напор во втором сечении:
При этом уравнение Бернулли для установившегося и неустановившегося движений имеет одинаковую форму (5.54).
50. Предпосылки использования анализа размерностей. Основные положения анализа размерностей. π-теорема. Практически важные характеристики потока жидкости или газа, такие как силовое воздействие на обтекаемое тело, диссипация механической энергии движения жидкости в каналах и т.п., определяются значительным количеством параметров. Например, обтекание однородным потоком несжимаемой жидкости кругового цилиндра, ось которого перпендикулярна вектору скорости потока, определяется гидромеханическими свойствами жидкости, т.е. плотностью р и вязкостью ц, диаметром цилиндра D, скоростью потока VM и состоянием обтекаемой поверхности цилиндра. В первом приближении можно принять, что на поверхность цилиндра наклеены песчинки с характерным размером А, который называют шероховатостью и измеряют в единицах длины. Величину Д можно считать характеристикой состояния обтекаемой поверхности. Пусть целью экспериментального исследования является определение силы F, действующей на цилиндр со стороны потока. Вследствие симметрии эта сила совпадает по направлению со скоростью потока, и приложена она к оси цилиндра. Следовательно, опытным путем необходимо измерить лишь численное значение F, приходящееся на единицу длины цилиндра; согласно изложенному выше,(24.1). В результате экспериментального исследования следует получить данные, достаточные для того, чтобы с их помощью определить силу, действующую на любой встречающийся в инженерной практике цилиндрический объект. Это может быть ветровая нагрузка на дымовую трубу диаметром 5 метров или же на электрический провод диаметром 0,5 см, нагрузка от руслового потока на нефтепровод диаметром 1,4 м, пересекающий реку, а может быть нагрузка на стержень диаметром 2 см системы охлаждения электрического трансформатора в потоке масла.
Организуем эксперименты следующим образом. Зафиксируем значения рил (т.е. используем в качестве рабочей жидкости, например, воздух при заданных температуре и давлении). Поместим цилиндр диаметром D и шероховатостью А в поток жидкости (например, в аэродинамическую трубу) и, задавая несколько значений скорости воздуха V„,, с помощью динамометра определим силу, действующую на единицу длины цилиндра. В результате получим зависимость F = f1(V∞). Изменив шероховатость поверхности цилиндра (наклеив на его поверхность другие песчинки) и проведя такие же опыты, получим F = f2(V∞). Использовав песчинки десяти различных размеров (чтобы изучить возможно более широкий диапазон встречающихся на практике шероховатостей), представим результаты экспериментов в виде графика (рис. 24.1).
Для того, чтобы установить большую часть встречающихся на практике сочетаний параметров, подобные графики следует получить для различных сочетаний оставшихся параметров р, η и D. Если для каждого из них в диапазоне возможных значений задать по 10 точек для экспериментального построения указанного графика, то материалы исследований будут представлены в виде 1000 графиков. Помимо неудобства и громоздкости представления, следует иметь в виду практически неприемлемую стоимость подобной программы исследований (например, представим себе лабораторную установку, позволяющую измерить, задавая различные скорости течения, силу, действующую со стороны потока воды на цилиндр диаметром 2 м). Объем экспериментов может быть существенно сокращен, а результаты исследований можно представить в несравненно более компактном виде, если предварительно воспользоваться упрощением зависимости (24.1) на основе анализа размерностей.
Основные положения анализа размерностей. П-теорема
Основой анализа размерности является положение о том, что все математические равенства, выражающие связь между физическими величинами (параметрами потока жидкости или газа в гидромеханике), должны быть размерно-однородными или однородными по размерностям. Это означает, что:
размерность правой части равенства должна быть такой же, как и размерность левой части того же равенства;
складывать и вычитать можно только величины, имеющие одинаковые размерности.
Эти очевидные правила (вряд ли кому-нибудь представится возможность сложить один килограмм с один метром) позволяют получить нетривиальные результаты, что вызывает у начинающих исследователей настороженное отношение к анализу размерностей. С одной стороны, результаты получаются как бы "из ничего", из бесспорных предпосылок, которые не похожи на привычный фундамент физических наук; с другой стороны, результаты не имеют вида окончательных физических зависимостей, они требуют дополнительного, чаще всего экспериментального изучения явлений.
Продемонстрируем на примерах основные особенности технических приемов, используемых в анализе размерностей, и возможности, которые он предоставляет.
Предварительно зафиксируем, что в механике жидкости и газа используются первичные размерности: масса М; длина L; время Т; температура 0.
В дальнейшем с помощью анализа размерности будут рассмотрены лишь изотермические задачи, и температура не будет входить в число размерных параметров, определяющих интересующие нас гидромеханические явления. Поэтому примем, что в нашем распоряжении имеются три независимые первичные размерности: М, L, Т. Размерности других физических параметров называются вторичными, или производными. Они получаются из зависимостей, определяющих эти параметры. Размерности наиболее часто употребляемых в гидромеханике величин
В качестве примера, на котором могут быть показаны основные приемы анализа размерности, рассмотрим задачу с распространением возмущения свободной поверхности в покоящейся жидкости, заполняющей широкий прямоугольный канал с горизонтальным дном (рис. 24.2). Жидкость имеет плотность ρ, она невязкая (η = 0), влиянием боковых стенок пренебрегаем и изменение всех характеристик рассматриваем лишь в плос-
кости (х, z). Пусть через сечение 1 — 1 начинает поступать расход Q; в результате отметка свободной поверхности возрастет в этом сечении на величину hB, а скорость изменится от 0 до , где h0 — глубина невозмущенного потока; b — ширина канала. Это возмущение (сочетание hB и v0) будет распространяться вдоль оси х с некоторой скоростью с. Напомним, что эта задача была рассмотрена в главе 11, и на основе решения дифференциальных уравнений мелкой воды (Сен-Венана) было определено, что если hB « h0, то
(24.2)
Покажем, как аналогичный результат можно получить, используя анализ размерностей. Здесь следует выделить несколько этапов решения задачи.
1-й этап. Устанавливаем, от каких величин может зависеть искомая скорость распространения возмущения с. Это наиболее ответственный этап, требующий глубокого понимания физики процесса. В данном случае характерными величинами, определяющими процесс распространения, являются плотность жидкости р, глубина в канале h0, ускорение силы тяжести g, амплитуда возмущения hB и скорость v0 поступления жидкости в канал. Для упрощения задачи с тем, чтобы результат ее решения можно было сравнить с (24.2), допустим, как и в главе 11, что hB<< h0 и v0<<c, так что эти величины не оказывают влияния на процесс (в принятии подобных допущений и заключается ответственность первого этапа). При этом (24.3)
Все величины, от которых зависит значение с, имеют различные размерности. Поскольку в соответствии с положением об однородности по размерностям их нельзя суммировать, то остается только возможность добиться одинаковой размерности левой и правой частей (24.2), возводя эти величины (ρ, h0 и g) в какие-либо степени и составляя произведения из этих степеней:
(24.4)
где к — безразмерный коэффициент; х1; х2, х3 — числа, которые следует определить.
2-й этап. Подставим вместо всех величин, входящих в (24.4), размерности и потребуем, чтобы размерность левой части была равна размерности правой:
Приравняв показатели степени у одноименных размерностей, получим систему уравнений:
3-й этап.
Решив эту систему, найдем
В результате выражение (24.2) приобретает вид
Или (24.5)
Сравнивая (24.5) с (24.2), отметим, что с помощью анализа размерности получена структура зависимости сот g и h0 такая же, как и с помощью дифференциальных уравнений мелкой воды. Но для вычисления скорости с по формуле (24.5) необходимо определить значение безразмерного коэффициента к; для этого анализа размерностей недостаточно, необходимо либо провести эксперимент, либо использовать дифференциальные уравнения движения жидкости. Параметр к, являясь безразмерным, обладает универсальностью в том смысле, что достаточно провести один опыт в одном лотке при одной глубине h0, и найденное в этом опыте значение к можно использовать для всех других глубин.
Кроме того, анализ размерностей позволил установить, что скорость с не зависит от рода жидкости, т.е. и в воде и в ртути скорость распространения возмущений свободной поверхности одинакова.
Отметим, что приведенный пример показал основные особенности анализа размерностей. С одной стороны, не проводя экспериментов и не используя физических законов, только из условий однородности по размерности мы установили, что скорость с не зависит от рода жидкости, установили структуру зависимости с от глубины. С другой стороны, полученная зависимость (24.5) дает лишь структуру зависимости и требует дополнительных (но, что существенно, значительно меньших по объему) исследований (экспериментальных или теоретических).
Рассмотрим ту же задачу о скорости распространения возмущения в канале.
1-й этап. Примем в более сложной постановке, что hB — не бесконечно малая величина и что с зависит не только от ρ, h0 и g, но также и от hB (24.6)
Как и в предыдущей задаче, представим зависимость (24.6) в виде (24.7)
2-й этап. Подставив в (24.7) размерности (24.8)
и приравняв показатели степени у М, L и Т, получим (24.9)
3-й этап. Полученная система уравнений не имеет единственного решения, так как здесь количество неизвестных (4) больше количества уравнений (3). Одну из неизвестных X; можно задать. Пусть это будет х4; выразив остальные неизвестные через нее:
Получим
или (24.10)
Поскольку x4 является произвольным безразмерным числом, то полученный результат можно интерпретировать следующим образом. Положим, что х4 = 1, 2, 3,...; при этом с можно представить в виде ряда (24.11)
Этот ряд (если он сходится, что вполне правдоподобно при hB < h0) представляет собой некоторую неизвестную функцию Тогда зависимость (24.11) можно записать в виде (24.12)
Таким образом, на этом примере выявлена еще одна особенность анализа размерностей: если количество размерных параметров, от которых зависит искомая величина, больше трех (количества первичных размерностей), то с помощью анализа размерностей можно установить структуру зависимости, выявить безразмерные комбинации независимых размерных величин и в результате упростить определение окончательной зависимости, уменьшив количество независимых переменных. Так, вместо экспериментального определения скорости с как функции четыре переменных (ρ, h0,g,hB) анализ размерности позволил свести задачу к
определению с как функции одной переменной hB/ h0
В общем виде полученный частный результат формулируется в виде так называемой Н-теоремы, которую приведем без доказательства.
Если физический процесс описывается однородным по размерности равенством
где y1,y2,…yn — размерные параметры, то существует эквивалентное равенство для меньшего количества (n - m) безразмерных параметров: (24.14)
где П 1, П2,..., Пn-m — безразмерные параметры, составленные из y1,y2,…yn Значение m обычно равно (теоретически — не больше) числу первичных размерностей, с помощью которых выражаются размерности y1,y2,…yn (если первичные размерности М, L и Т, как в рассмотренном выше примере, то m = 3).
Название П-теоремы происходит от использованной для обозначения безразмерных параметров греческой буквы П. Эту теорему часто связывают с именем Бэкингэма, хотя анализ размерности впервые был предложен Фурье.
П-теорема, как типичная математическая теорема существования, лишь устанавливает возможность перехода от равенства (24.13) к равенству (24.14); в ней отсутствуют указания на то, как из размерных параметров уi составить безразмерные параметры Пj и, тем более, какой набор Пj будет эффективен при решении той или иной физической задачи. Отметим, что из любого безразмерного параметра, например, из Пj , возведением в степень можно образовать также безразмерные параметры
| и т.п. . Более того, безразмерные параметры можно образовывать, составляя произведения степеней двух и более безразмерных параметров
В связюс этим возникает вопрос о том, как при использовании П-теоремы сформировать такой набор безразмерных параметров П1, П2,..., Пn-m, который обеспечит наиболее простой вид функции F. Эта функция, как правило, определяется экспериментально, и поэтому точность ее определения существенно зависит от вида функции, аппроксимирующей экспериментальные данные. Как было указано, П-теорема не дает ответа на этот вопрос.
В разделе 24.1 было показано, что в конечном итоге все задачи экспериментального исследования гидромеханических явлений связаны с вопросами их подобия и моделирования, поэтому для установления набора безразмерных параметров, позволяющих эффективно решать ту или иную задачу, обратимся к общим вопросам о подобии и моделировании физических процессов.
51.Подобие гидромеханических явлений. Геометрическое, кинематическое и динамическое подобие потоков жидкости и газа.
Для того, чтобы два гидромеханических объекта (два потока жидкости или газа) были подобны, необходимо соблюдение трех типов подобия этих явлений (потоков):
геометрическое подобие; кинематическое подобие; динамическое подобие.
Для определенности будем считать один из объектов натурным, или прототипом, а второй объект — модельным; все параметры натурного объекта обозначим индексом "н", а модельного — "м".
Геометрическое подобие натурного и модельного объектов обеспечивается, если подобны все треугольники, связывающие сходственные точки физических границ этих объектов.
Так, на рис. 24.3 подобны треугольники АМВМЕМ и АНВНЕН; CMBMDM и CHBHDH и т.д. Постоянное отношение расстояния между двумя произвольными точками модельного объекта к расстоянию между соответствующими точками натурного объекта называется линейным масштабом модели:
Из определения геометрического подобия следует, что угол между двумя плоскими элементами физических границ в модельном объекте равен углу между соответствующими элементами натурного объекта.
Геометрическое подобие криволинейных границ потока обеспечивается аппроксимацией с необходимой точностью этих границ кусочно-плоскими поверхностями. При этом, в частности, круглоцилиндричес-кой поверхности диаметром DH в натурном объекте будет соответствовать в модельном объекте также круглоцилиндрическая поверхность диаметром DM=M l DH.
Кинематическое подобие предполагает, что картина течения в модельном объекте подобна натурной картине течения, другими словами, в сходственных точках скорости жидкости (или какая-либо другая скорость, например, скорость движущегося в жидкости тела) в натурном и модельном объектах одинаково ориентированы относительно физических границ, а отношение значений модельной и натурной скоростей, которое называется масштабом скорости, постоянно во всех точках потока: (24.16)
Это условие особенно важно при возможности образования отрывных течений: одни и те же физические границы могут формировать качественно различающиеся картины течения; примеры таких течений, когда физическими границами являются труба с резким увеличением диаметра и круговой цилиндр, представлены на рис. 24.4 и 24.5, соответственно. Очевидно, что потоки при безотрывном обтекании физических границ (рис. 24.4,а и 24.5,a) не подобны кинематически потокам, имеющим отрывные зоны (водовороты, каверны и т.п. на рис. 24.4,6'и 24.5,6), и следовательно, такие пары течений не могут рассматриваться как модельный и натурный объекты.
Динамическое подобие потоков формулируется на основе закона подобия Ньютона, согласно которому в каждой из сходственных точек модельного и натурного потоков многоугольники сил, действующих на каждую жидкую частицу (включая силу инерции), должны быть: подобны, причем коэффициент подобия (масштаб сил должен быть постоянен во всей области течения; одинаково ориентированы относительно физических границ (рис. 24.6).
Из условий подобия следует, что отношение двух каких-либо сил, действующих на жидкую частицу в любой точке модельного объекта (например, силы вязкости (Fη)м , к силе давления (Fp)м , должно быть равно отношению аналогичных сил, действующих в сходственной точке натурного объекта, т.е. (24.17)
52. Критерии динамического подобия, их роль и физический смысл.
Из условий подобия следует, что отношение двух каких-либо сил, действующих на жидкую частицу в любой точке модельного объекта (например, силы вязкости (Fη)м , к силе давления (Fp)м , должно быть равно отношению аналогичных сил, действующих в сходственной точке натурного объекта, т.е.
(24.17)
Такие равенства, записанные для различных сочетаний сил, формирующих течение жидкости, рассматривают как критерии динамического подобия натурного и модельного объектов.
Рис. 24.6. Динамическое подобие гидравлических объектов: а — модельный объект; б — натурный объект
В большинстве задач гидромеханики сила инерции жидкой частицы является формирующей течение силой, в то время как силы другой природы (силы вязкости, давления, тяжести, электромагнитного происхождения, поверхностного натяжения) не всегда вносят ощутимый вклад в баланс сил, и в отдельных задачах те или иные силы целесообразно исключать из рассмотрения, считая их вклад исчезающе малым. С учетом этого принято при составлении критериев подобия рассматривать отношения внешних для заданной жидкой частицы сил к силе инерции этой частицы.
Для того, чтобы выразить критерии подобия через параметры модельного и натурного объекта, введем понятия характерной скорости и и характерного линейного размера ℓ объекта. В различных случаях величина и может обозначать либо среднюю скорость потока в трубе V, либо линейно-связанную с ней скорость жидкой частицы в фиксированной точке потока, либо пульсационную скорость при турбулентном движении, либо динамическую скорость ua, определяемую через касательное напряжение на твердой границе. Аналогично и характерный линейный размер ℓ может представлять собой либо диаметр трубы D, в которой течет жидкость, либо глубину потока в открытом канале h, либо диаметр шара, обтекаемого жидкостью, либо линейный размер жидкой или твердой частицы при определении действующих на них сил.
Оценим значения сил, действующих на жидкие частицы, полагая на основании изложенного выше, что характерная для данного объекта площадь поверхности, на которую действует сила, равна ℓ2,характерный
Э и и объем — ℓ3, а пространственная производная скорости ∂u/∂ℓ~u/ℓ
Сила инерции Fин жидкой частицы равна произведению ее массы ρℓ3 на ускорение; при установившемся
движении ускорение жидкой частицы (24.18)
Аналогично найдем выражение для других сил:
Сила тяжести: , (24.19)
Сила вязкости: (24.20)
Сила давления (24.21)
Составим отношение значений каждой из трех последних сил к силе инерции (24.18) для модельного объекта и приравняем соответствующим отношением для натурального объекта.
Или
Или
(24.22)
Безразмерное выражение называют числом Фрyда и обозначают:
(24.23)
Число Фруда является критерием динамического подобия, если в состав сил, определяющих гидродинамическое явление входят силы тяжести и инерции. Используя (24.23), условие подобия (24.22) представим в виде
(24.24)
Или
,
. (24.25)
Безразмерное выражение uℓ/ν называют числом Рейнольдса и обозначают
. (24.26)
Число Рейнольдса является критерием динамического подобия, если в состав сил, формирующих поток, входят силы вязкости и инерции. Используя (24.25) в виде
(Re)м=(Re)н. (24.27
или
Безразмерное выражение называют числом Эйлера или коэффициентом давления и обозначают Еu (множитель ½ вводят в знаменательно, чтобы последний был близок к скоростному напору в уравнении Бернулли):
. (24.28)
Число Эйлера обычно не рассматривается как независимый критерий динамического подобия; согласно уравнениям гидродинамики (в частности, уравнению Бернулли), поле давления и поле скорости жидкости связаны друг с другом; перепад давления Δрнапример, при обтекании жидкостью твердого тела связан со скоростью потока, а скорость потока связана с перепадом давления, так что значение числа Эйлера, как правило, не может рассматриваться как независимый критерий подобия. Вместе с тем, в динамически подобных потоках
(Еu)м=(Еu)н(24.29)
Кроме критериев подобия, получаемых из закона динамического подобия Ньютона, при моделировании гидромеханических явлений необходимо принимать во внимание еще целый ряд безразмерных величин.
ИЛИ
4. При моделировании натурных объектов, в которых возможны эффекты, связанные со сжимаемостью жидкости, в качестве критерия подобия следует использовать число Маха
(24.30)
где а — скорость звука в жидкости.
При этом для подобия модельного и натурного объектов необходимо равенство Мм=Мн(24.31)
или
(24.32)
Кроме того, в этом случае следует включить в число независимых безразмерных параметров, определяющих подобие процессов, и показатель адиабатыk=cp/cV
5. При необходимости учесть поверхностные эффекты на границе, разделяющей различные жидкости (например, воду и воздух), в число критериев подобия включают число Вебера
, (24.33)
Где σ – коэффициент поверхностного натяжения.
Этот критерий следует учитывать, рассматривая лишь течения тонких слоев жидкости со свободной поверхностью (пленочные течения).
6. При нестационарных граничных условиях, когда, например, какое- нибудь твердое тело колеблется с некоторой частотой Ωв потоке жидкости, из трех размерных величин, определяющих этот процесс: из скорости потока и, линейного размера тела ℓи частоты Ω— можно образовать безразмерную величину, которую называют числом Струхала:
. (24.34)
Если колебания тела задаются внешней по отношению к потоку силой (рис. 24.7), то число Струхала является независимым критерием подобия, и при изучении этого явления на модели следует потребовать выполнения условия:
(24.35)
или
.
В некоторых случаях колебания тела в турбулентном потоке обуслов- лены именно обтеканием его жидкостью, образованием за телом турбу-лентного следа, цепочки вихрей и т.п. Такие явления приходится рас- сматривать при проектировании дымовых труб, мостов, линий электро-
передач; здесь число Струхала — это зависимый безразмерный параметр, а независимыми будут число Рейнольдса и, возможно,число Маха.
Безразмерные параметры, представляющие собой произведения величин, имеющиотличающиеся друг отдруга размерности (например, числа Рейнольдса, Фруда и т.п.), называют безразмерными комплексами.Наряду с ними, используют безразмерные параметры в виде отношения двух величин, имеющих одинаковую размерность; например, число Маха, относительная ширина открытого потока β=b/h, относительная шероховатость Δг = Δ/ ℓ (в круглой трубе ℓ — диаметр D, а в открытом русле ℓ — глубина потока h), относительная длина трубы ℓ/ D и т.п. Такие параметры называются безразмерными симплексами.
Безразмерные комплексы и симплексы, которые используются как критерии подобия (для обеспечения геометрического и динамического подобия), называют независимыми безразмерными параметрами подобия. Кроме них в гидромеханике используют так называемые зависимые (искомые) безразмерные параметры подобия. В их число входят из приведенных выше число Эйлера Еu, в некоторых задачах – число СтрухалаSh. Кроме этих чисел, зависимыми безразмерными параметрами являются:
коэффициент гидравлического трения для круглой трубы диаметром D: , (24.36)
коэффициент местной потери напора: (24.37)
коэффициент лобового сопротивления движущегося тела: (24.38)
коэффициентподъемнойсилы:
Зависимые (искомые) безразмерные параметры рассматривают как функцию от независимых (задаваемых) безразмерных параметров.