Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
22
Національна академія наук України
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
Воронова Ольга Сергіївна
УДК 681.3
Операційні методи моделювання та обробки сигналів при моніторингу динамічних систем
в програмних середовищах
Mathematica та LabVIEW
01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Київ – 2002
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Відділенні гібридних моделюючих та керуючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України.
Науковий керівник доктор технічних наук,
СІМАК Лілія Олексіївна,
провідний науковий співробітник Відділення гібридних моделюючих та керуючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
Офіційні опоненти: доктор технічних наук,
САУХ Сергій Євгенович,
провідний науковий співробітник Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
кандидат технічних наук,
ОЛЕЦЬКИЙ Олексій Віталійович,
доцент факультету інформатики Національного університету “Києво-Могилянська Академія”
Провідна установа: Національний технічний університет України
“Київський політехнічний інститут” Міністерства освіти і науки України, кафедра прикладної математики, м. Київ
Захист відбудеться “ 24 ” жовтня 2002 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.185.01 Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України за адресою: м. Київ, вул. Генерала Наумова, 15
З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту проблем моделювання в енергетиці
ім. Г.Є. Пухова НАН України за адресою: м. Київ, вул. Генерала Наумова, 15
Автореферат розісланий “ 10 ” вересня 2002 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради,
кандидат технічних наук Семагіна Е.П.
Загальна характеристика роботи
Актуальність теми. Розвиток сучасних засобів обчислення та інформаційних технологій зумовив їх широке розповсюдження в задачах математичного моделювання та моніторингу динамічних систем. Поняття моніторингу виникло як складова частина процесу керування складними людинно-машинними системами, а саме як задача контролю стану системи, оцінювання його відповідності встановленим вимогам. При цьому кількість параметрів, що описують стан динамічної системи, може перевищувати фізіологічні можливості людини по сприйняттю інформації та прийняттю рішень, крім того, можлива ситуація, коли деякі суттєві параметри не можна безпосередньо виміряти приладами, або, коли зміна певних параметрів впливає на значення припустимих меж змін інших параметрів. Ці та інші фактори приводять до того, що моніторинг динамічних систем не можна звести до простого порівняння поточних значень змінних із встановленими уставками, та зумовлюють необхідність використання різноманітних методів математичного моделювання та обробки сигналів для адекватного оцінювання стану системи. При цьому широко застосовуються методи та засоби наближення, апроксимації функцій та сигналів. Відома велика кількість фундаментальних робіт, присвячених теоретичним та практичним аспектам розв’язку таких задач апроксимації, як теорія інтерполювання, теорія узагальнених спектрів, питання розвинення сигналів з різними системами базисних функцій, зокрема, інтерполювання ортогональними поліномами, тощо, які є потужним засобом вивчення динамічних процесів.
Історично склалося, що наближення функцій поліномами різних класів спиралося на ортогональні системи базисних функцій. Це було обумовлено значним спрощенням задач апроксимації в ортогональних базисах. Сучасні можливості моделювання та потужності обчислювальних засобів дозволяють поряд з ортогональними системами використовувати інші системи, які за рахунок кращого врахування особливих властивостей сигналів мають певні переваги.
При апроксимації в будь-яких базисах завжди спостерігалось прагнення до зменшення степеня апроксимуючих поліномів. Один з шляхів зменшення порядку пов’язаний із застосуванням кусково-поліноміальної апроксимації, яка призвела до створення теорії сплайнів та вейвлетів.
Класу методів апроксимації, що базуються на диференціальних перетвореннях, та їх застосуванням присвячено цілий ряд наукових праць акад. Пухова Г.Є.
Найбільш широко апроксимаційні методи застосовуються в моделюванні та чисельних методах розв’язку диференційних рівнянь. Так, відомо, що використання методів найменших квадратів, методів поліноміальної та сплайнової апроксимації дозволяє створити ефективні методи розв’язання диференційних рівнянь та дослідження розв’язків граничних задач.
В роботах Сімак Л.О. розроблені деякі методи представлення сигналів узагальненими поліномами на основі ортогональних локально-імпульсних базисних функцій, яке приводить до апроксимуючих імпульсних спектрів (АІС, АІ-спектрів) 2-го прядку. Використання специфічних властивостей матриць операторних рівнянь, що виникають при застосуванні цього методу, дозволяють значно спростити дослідження динамічних систем та породжуваних ними сигналів.
Дисертаційна робота присвячена узагальненню деяких результатів теорії апроксимуючих імпульсних спектрів на випадок АІС 3-го порядку та на випадок дискретного представлення сигналів та базисних функцій, дослідженню та розробці методів адаптивної апроксимації за допомогою АІ-спектрів, а також методів математичного моделювання динамічних систем на основі АІС, призначених для використання при розв’язанні широкого класу практичних задач. Актуальність роботи полягає в її орієнтації на розв’язання задач моніторингу динамічних систем засобами сучасних ПЕОМ та спеціальних програмних середовищ.
Вибраний науковий напрямок є ведучім в науково-дослідних роботах Відділення моделюючих та керуючих систем в енергетиці ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, де виконувалась робота.
Мета і задачі дослідження. Основною метою дисертаційної роботи є розробка та вдосконалення методів моделювання та обробки сигналів при моніторингу неперервних динамічних систем, орієнтованих на реалізацію алгоритмів в середовищах інтегрованих програмних систем моделювання.
Вказана мета зумовила необхідність розв’язання таких задач:
– аналіз вимог до систем обробки сигналів при моніторингу динамічних систем та порівняння можливостей різних апроксимаційних методів;
– вдосконалення чисельно-аналітичних методів некласичного операційного числення з метою підвищення швидкодії та точності;
– розробка методів адаптивної та мультирезолюційної апроксимації сигналів;
– розробка економічних методів апроксимації функцій (сигналів), представлених скінченими часовими рядами;
– алгоритмізація розроблених методів та розробка програм, що реалізують вказані алгоритми дослідження динамічних систем, в системах Mathematica® та LabVIEW™.
Методи дослідження носили теоретичний та практичний характер. При проведенні досліджень та розробок по дисертаційній роботі використовувались методи теорії цифрової обробки сигналів та апроксимації, математичного моделювання, прикладної та обчислювальної математики, теорії диференціальних рівнянь, операційного числення, застосовувався апарат лінійної алгебри та математичного аналізу. Отримані результати перевірялись шляхом проведення обчислювальних експериментів на ПЕОМ в середовищі інтегрованих математичних пакетів MathCAD, Mathematica®, MatLAB® та LabVIEW™.
Наукова новизна дисертації полягає в наступному:
1) досліджено та узагальнено елементи нелінійної алгебри спектрів та виведено формули для розрахунку операційних матриць інтегрування нецілого порядку в розширеному локально-імпульсному базисі;
2) розроблено та досліджено алгоритми адаптивної та мультирезолюційної апроксимації на основі локально-імпульсних базисних систем;
3) розроблено, теоретично обґрунтовано та перевірено методи апроксимації за допомогою АІС функцій та сигналів, що задані часовими рядами;
4) розроблено програми в системі LabVIEW™ та вдосконалено програми в системі Mathematica®, що реалізують апроксимаційні методи та дозволяють проводити обчислювальні експерименти;
5) розроблено програмну реалізацію операційного методу моделювання динамічних систем, орієнтованого на використання в системах моніторингу неперервних процесів.
Практична цінність. Розроблені в роботі алгоритми були реалізовані в системі символьної математики Mathematica® та в системі LabVIEW™, орієнтованій на напівнатурне моделювання, в наступних програмах:
– програми відшукання адаптивного апроксимуючого імпульсного спектру 2-го та 3-го порядків;
– програми відшукання апроксимуючих імпульсних спектрів 2-го та 3-го порядків для таблично-заданих функцій;
– програми чисельного моделювання диференційних рівнянь зі сталими коефіцієнтами взагалі нецілого порядку та їх систем операційними методами на основі АІС 3-го порядку;
– програми чисельного моделювання диференційних рівнянь зі змінними коефіцієнтами на основі АІС 3-го порядку;
– програми чисельного моделювання диференційних рівнянь на основі адаптивних апроксимуючих імпульсних спектрів;
а також у підсистемах програмного комплексу моніторингу електрозварювання.
Запропоновані в роботі методи використовувались в процесі виконання робіт за проектами Науково-технологічного центру в Україні №602 “Дослідження та розробка комплексу апаратно-програмних засобів моніторингу процесу дугового зварювання для попередньої діагностики процесу, підготовки та допускного контролю зварників в атомній енергетиці” та №1615 “Інтегрований комплекс моніторингу і тренінгу процесу дугового зварювання”.
Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертаційної роботи доповідалися, обговорювались і отримали позитивну оцінку на V Всеукраїнській міжнародній конференції з оброблення сигналів і зображень та розпізнавання образів “УкрОбраз–2000” м. Київ, 27 листопада – 1 грудня 2000р., Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем”, м. Київ, 25-28 січня 2001р., 3-тій міжнародній науково-технічній конференції “АВІА–2001”, м. Київ, 24-26 квітня 2001р., Міжнародній конференції “Optimization of finite element approximations & splines and wavelets” (OFEA–2001), м. Санкт-Петербург, Росія, 25-29 червня 2001р., 4-тій міжнародній науково-технічній конференції “АВІА–2002”, м. Київ, 23-25 квітня 2002р., Всеросійській науковій конференції “Проектирование научных и инженерных приложений в среде MatLAB”, м. Москва, Росія, 28-29 травня 2002р., а також на семінарах ВГМКСЕ ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України.
Автор дисертаційної роботи є одним з учасників проекту №1615 Науково-технологічного центру в Україні “Інтегрований комплекс моніторингу і тренінгу процесу дугового зварювання”. Запропоновані в роботі методи використовувались при розробці програмного комплексу моніторингу.
Публікації. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковано 14 друкованих робіт (з них 4 у фахових виданнях), з яких 4 виконано самостійно, 10 у співавторстві.
Структура і об’єм роботи. Дисертаційна робота обсягом 179 машинописних сторінок складається зі вступу, п’ятьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 139 найменувань та 3 додатків. Основний текст містить 144 сторінок машинописного тексту, ілюстрований 52 рисунками.
Зміст роботи
В першому розділі розглядається математична модель моніторингу, яка складається з вектору визначальних параметрів системи та з системи обмежень на ці параметри, яка визначає область їх припустимих значень. При цьому частина визначальних параметрів може безпосередньо вимірюватись за допомогою системи датчиків, а частина має оцінюватись за допомогою математичної моделі фізичного процесу. Задача моніторингу динамічних процесів висуває певні вимоги до методів апроксимації, які використовуються для отримання чисельного розв’язку моделі фізичного процесу, основними з яких є наступні: вимоги швидкодії, точності, стійкості до перешкод, властивості згладження та стиснення даних.
З точки зору цих вимог досліджуються та порівнюються відомі методи апроксимації. В загальному вигляді для довільної функції x(t) з R задача апроксимації ставиться наступним чином. Спочатку будується лінійно–незалежна система базисних функцій , . Одночасно будується множина Mn, як лінійна оболонка, що натягнута на перші n базисні функції. Визначимо узагальнений поліном
,
таким чином, що . Для того, щоб побудувати наближення x(t) серед всіх елементів Mn будемо шукати в певному розумінні найкращій. Для цього введемо функцію похибки (або функціонал) . Очевидно, що найкращім буде той елемент множини Mn, що реалізує мінімум норми функції похибки.
По вигляду функціоналу розрізняють методи рівномірного, середньоквадратичного наближення, метод мінімізації функції похибки з вагами, метод рівних площ тощо. Найчастіше в методах обробки сигналів використовується середньоквадратичне наближення
. (1)
Це пояснюється тим, що сигнали фізичних об’єктів, отримані підчас моніторингу, як правило містять шумові перешкоди, а методи засновані на середньоквадратичному наближенні дозволяють їх згладити.
В параграфах 1.2-1.4 побудовано програмні реалізації найпоширеніших методів в середовищі інтегрованих математичних пакетів MathCAD та Mathematica®, що дозволяють на ілюстративних прикладах продемонструвати особливості цих методів. На чисельних прикладах показано переваги кусково-поліноміальної апроксимації (зокрема, апроксимації, заснованій на локально-імпульсних спектрах) за середньоквадратичним критерієм (1) при їх використанні в задачах моніторингу динамічних процесів.
У другому розділі досліджуються деякі аспекти некласичного операційного методу, що породжується представленням сигналів на базі апроксимуючих імпульсних спектрів. В параграфі 2.2 розробляється узагальнення методу, зокрема, операційних матриць інтегрування із нецілим порядком та деяких правил нелінійної алгебри спектрів на випадок АІС третього порядку.
Нехай на інтервалі зміни аргументу [0,T] задано сигнал x(t). Згідно методу апроксимуючих імпульсних спектрів на тому ж проміжку вводиться розбиття , де h=T/m, та визначається складена ортогональна система базисних функцій
, (2)
, , (3)
де (t) – функція одиничного стрибка.
Представлення сигналів динамічних систем у вигляді узагальнених поліномів по системі базисних функцій (2)-(3)
, (4)
призводить до апроксимуючих імпульсних спектрів 2-го порядку та дозволяє отримати інформацію про середнє значення сигналу та його першої похідної на кожному проміжку розбиття.
В операційному просторі сигналові x(t) ставиться у відповідність вектор коефіцієнтів узагальненого поліному, який називається апроксимуючим імпульсним спектром 2-го порядку та складається з двох підвекторів X0 та X1, компоненти яких знаходяться з умови мінімізації середньоквадратичного відхилення (1) наступним чином:
, (5)
, . (6)
Формули (5)-(6) складають пряме операційне перетворення. Зворотне операційне перетворення полягає в побудові апроксимуючого поліному (4), який буде найкращим середньоквадратичним наближенням сигналу x(t).
Властивості АІ-спектрів дозволяють на основі даного операційного перетворення побудувати методи чисельного моделювання динамічних систем, математичну модель яких складають інтегро-диференційні рівняння взагалі нецілого порядку.
Введення до базису (2)-(3) додаткового набору кусково-параболічних функцій
, , (7)
дозволяє підвищити точність апроксимації та отримати додаткову інформацію про сигнал. За рахунок взаємної ортогональності підсистем складеного базису (2)-(3), (7) та лінійних властивостей операційного перетворення всі результати, отримані для АІС 2-го порядку (крім правил перетворень спектрів, що відповідають нелінійним операціям над функціями з фізичного простору), залишаються справедливими при розширенні базису.
Таким чином, в операційній області сигналові співставляється вектор АІС третього порядку, який складається з трьох підвекторів X0, X1 та X2, що відповідають трьом підсистемам базисних функцій. Компоненти X0 та X1, як і раніше, обчислюються за допомогою (5)-(6), а компоненти X2 знаходяться як
, . (8)
Таким чином, для локально-імпульсного базису (2), (3), (7) формули (5), (6), (8) складають пряме операційне перетворення, обернене визначається як
. (9)
Апроксимуючі імпульсні спектри 3-го порядку зберігають лінійні властивості АІС, зокрема:
1) Сумі функцій відповідає сума їх спектрів
2) Добутку функції на сталу відповідає добуток її спектру на ту саму сталу
3) Інтегруванню функції зі змінною верхньою межею відповідає добуток її спектру на матрицю інтегрування
,
яка має клітинний вигляд:
Цікавою властивістю АІ-спектрів, яка випливає з лінійності наданого операційного перетворення та ортогональності підсистем складеного базису, є те, що матриця інтегрування для АІС 3-го порядку фактично містить в собі матрицю інтегрування для АІС 2-го порядку, яка складається з клітин H11, H12, H21 і H22, та матрицю інтегрування для АІС 1-го порядку – клітина H11.
В роботі було отримано формули для обчислення клітин матриці, що відповідають підсистемі кусково-параболічних функцій ui(t):
де
,
Математичні моделі динамічних процесів часто записуються у вигляді інтегро-диференційних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Тому в параграфі 2.2 розглядаються питання про побудову правил перетворення спектрів в операційній області, які б основним нелінійним операціям над функціями з фізичного простору. В роботі було отримано узагальнення на випадок розширеного локально-імпульсного базису наступних правил операційної алгебри АІС.
Нехай на проміжку [0,T] визначено функції f(t) та g(t), яким в операційній області відповідають спектри та , відповідно. В роботі показано, що добутку функцій f(t) та g(t) в операційній області відповідає добуток
, (10)
де матриця GM обчислюється на основі спектру одного з множників
,
а E – одинична матриця відповідної розмірності.
Також показано, що частці двох функцій в операційній області відповідає
. (11)
На основі (10) та (11) отримані правила перетворення спектрів, що відповідають піднесенню функції з відомим спектром до довільного цілого степеня.
Отримані результати використовуються в параграфі 2.3 для розроблення та модифікації алгоритмів моделювання (чисельного розв’язання) диференційних рівнянь нецілого порядку та диференційних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Розроблена програмна реалізація цих методів в системі Mathematica®.
В третьому розділі досліджуються та розробляються методи адаптивної апроксимації кусково-неперервних функцій (сигналів) з обмеженою амплітудою за допомогою узагальненого базису локально-імпульсних функцій, який породжує АІС третього порядку.
Часто для сигналів реальних фізичних процесів чи об’єктів характерні змінний період або неперіодичність та наявність різких стрибків амплітуди. Причому ці явища лише частково є наслідками шумових перешкод. Апроксимація таких сигналів при рівномірному розбитті області визначення приводить або до істотних втрат інформації, або до надлишкового представлення. Найбільш ефективне представлення таких сигналів можна отримати за допомогою алгоритмів, що адаптивним чином будують нерівномірне розбиття. В параграфі 3.1 розробляється та досліджується метод адаптації сітки при апроксимації кусково-неперервних сигналів на основі АІ-спектрів. Нехай на проміжку [a,b] задано сигнал x(t) та введено деяке рівномірне розбиття , де . Внаслідок адитивних властивостей інтегрування, замість глобального критерію мінімізації похибки (1) можна розглядати локальний критерій
,
де параметр k позначає номер ітерації процесу покращання розбиття, а xk(t) – апроксимація сигналу на k-й ітерації. На мал.1 схематично показано розроблений алгоритм адаптивного покращання розбиття. Передбачається, що параметри , бажаний рівень похибки, та m0, який визначає початкове розбиття, задаються користувачем. Збіжність ітераційного процесу для кусково-
неперервних сигналів з обмеженою амплітудою гарантується тим, що існує розбиття з кроком hmin, яке забезпечує апроксимацію сигналу із сумарною похибкою .
На основі отриманих результатів в параграфі 3.2 було створено та досліджено адаптивний метод чисельного моделювання звичайних диференційних рівнянь з початковими умовами (задача Коші). Отриманий алгоритм є модифікацією алгоритму наведеного на мал.1. Модифікація полягає по-перше в тому, що в замість апроксимації сигналу тепер йдеться про апроксимацію розв’язку, яка отримується на основі операційної моделі диференційного рівняння, а по-друге в тому, що в ролі критерію мінімізації похибки обиралося відхилення апроксимацій розв’язку на двох послідовних масштабах mk та mk+1:
,
де – апроксимація розв’язку на масштабі mk.
Іншим способом адаптивного представлення сигналів є так званий мультирезолюційний (або багатомасштабний) аналіз. В параграфі 3.3 розробляється метод мультирезолюційного представлення кусково-неперервних сигналів на основі АІ-спектрів. Згаданий метод дозволяє розкласти сигнал на базову апроксимацію та послідовність деталізуючи сигналів. В частотній області таке представлення нагадує розвинення сигналу за допомогою перетворення Фур’є, але для неперіодичних сигналів завдяки локальному характеру отриманих апроксимацій мультирезолюційне пред-
ставлення буде більш ефективним. На мал.2 наведено схему алгоритму мультирезолюційного розвинення на основі АІС. Алгоритм має фіксовану кількість ітерацій j, яка задається користувачем.
Розроблена програмна реалізація цих методів в системі Mathematica® та проведені обчислювальні експерименти.
В четвертому розділі розробляється та досліджується метод апроксимації сигналів моніторингу, що представлені часовими рядами. Очевидно, що у випадку, коли сигнали представлені дискретними даними, операція інтегрування, яка застосовується в прямому операційному перетворенні (5)-(6), (8), має бути замінена скінченими сумами. Найпростішим способом перейти в формулах (5), (6) та (8) до скінчених сум є застосування до інтегралів квадратурних формул. Але, навіть при використанні квадратурних формул високої точності, для того щоб забезпечити малу похибку апроксимації потрібно, щоб проміжок між нижньою та верхньою межею інтеграла містив досить велику кількість (біля кількох сотень) точок часового ряду підінтегральної функції. Така вимога буде суперечити ідеям локальної апроксимації, покладеним в основу метода АІС.
Тому пропонується модифікувати формули методу АІС, замінивши середньоквадратичне наближення в просторі L2 (1) на середньоквадратичне наближення в просторі, де скалярний добуток двох функцій f та g визначається наступним чином:
,
де та , відповідно, – часові ряди, що представляють ці функції. При цьому будемо вважати, що система зняття даних забезпечує рівномірне в часі квантування сигналу, отже для його представлення достатньо лише самих значень функції.
Замінимо базисні функції (2), (3), (8) їх дискретними аналогами. Виходячи з міркувань вибору найменшої необхідної для однозначного визначення базисної функції кількості відліків було обрано наступне представлення:
, (12)
, (13)
, (14)
де i=1,…,m, а m – кількість елементів в кожному з підвекторів АІС. Необхідно зазначити, тоді як для складеної системи базисних функцій (12)-(13) властивість взаємної ортогональності її підсистем зберігається, для пари {vi, ui}, що входить до розширеного базису (12)-(14) ортогональність порушується.
Повторюючи міркування для методу АІС у випадку функцій з простору L2, ми отримаємо формули для обчислення коефіцієнтів АІ-спектрів дискретно заданих функцій.
При цьому формули для обчислення АІ-спектру другого порядку для дискретно заданої функції наслідують структуру формул для функції з L2 та мають наступний вигляд:
(15)
Для обчислення АІС третього порядку змінимо форму представлення спектру сигналу. Нехай тепер АІ-спектр – це матриця, стовпчиками якої є підвектори X0, X1 та X2, що відповідають різним базисним функціям.
Показано, що якщо ввести деяку віконну функцію (F,i), яка для кожного i виймає з вектору значень дискретної функції підмножину, що відповідає i-му інтервалу розбиття, то i-й рядок матриці АІ-спектру знаходитиметься наступним чином
, (16)
де добуток , який відповідно до термінології цифрових фільтрів будемо називати аналізуючим АІ-фільтром, має вигляд:
. (17)
На основі формул (12)-(14) були створені та програмно реалізовані в системах Mathematica®, SIMULINK та LabVIEW™ алгоритми прямого та оберненого дискретного АІС перетворення. Було проведено порівняння дискретного АІС перетворення із класичними аналітичними АІС та показано, що операційні методи чисельного розв’язання диференціальних рівнянь на основі аналітичних АІС не потребують модифікації при переході від аналітичного до дискретного операційного перетворення.
П’ятий розділ присвячено питанням застосування операційних методів апроксимуючих імпульсних спектрів при реалізації підсистем комплексів моніторингу динамічних систем. Пропонується модифікація дискретної базисної системи, яка дозволяє в рамках однієї операційної моделі (яка будується за класичними правилами операційної алгебри АІС) використовувати спектри, отримані як класичним, так і дискретним АІС перетвореннями.
Питання реалізації задачі моніторингу динамічних систем в програмних комплексах розглядаються на прикладі комплексу моніторингу дугового електрозварювання, загальну схему якого представлено на мал.3. Математична модель задачі моніторингу, що розглядається, складається з системи обмежень на параметри процесу, які можна безпосередньо виміряти, та з математичної моделі деяких параметрів процесу, яка функціонує в режимі наближеному до реального часу. При створенні підсистем обробки інформації та моделювання сигналів, що не піддаються безпосередньому вимірюванню, були використані запропоновані в роботі операційні методи моделювання на основі апроксимуючих імпульсних спектрів.
Система обмежень для розгляданої моделі має вигляд:
За допомогою математичні моделі моделюються нарощування довжини зварного шва та тепловий баланс зварної ванни:
Для розв’язання диференціальних рівнянь, що входять до даної математичної моделі використовуються розроблені методи та алгоритми. Зокрема, методи дискретного АІС перетворення та рекурсивні операційні методи розв’язання диференційних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.
В додатках до роботи наведено ілюстративні, довідкові матеріали та лістинги створених функціональних програмних модулів та підсистем.
Основні результати та висновки
Основним результатом дисертаційної роботи є розробка та ефективна програмна реалізація методів моделювання динамічних систем та обробки сигналів, що базуються на кусково-поліноміальній апроксимації за допомогою апроксимуючих імпульсних спектрів. Зокрема отримані наступні результати:
1) На основі розроблених програм в середовищах систем MathCAD, MatLAB та Mathematica, що реалізують окремі методи апроксимації одновимірних функцій проведено порівняльний аналіз апроксимаційних методів. Досліджено апроксимації функції по базисним системам різного типу. На чисельних прикладах продемонстровано особливості деяких базисних систем. Показано переваги локально-імпульсних базисів при апроксимації сигналів в системах, які функціонують в режимі реального часу. Вивчено методи апроксимації двовимірних сигналів та методи апроксимації в комплексній площині.
2) Виведені формули для обчислення операційних матриць інтегрування з нецілим порядком для розширеної системи локально-імпульсних базисних функцій, які дозволяють будувати ефективні моделі широкого класу динамічних систем, зокрема систем, що описуються диференційними рівняннями нецілого порядку.
3) Виведено узагальнення на випадок розширеної системи локально-імпульсних базисних функцій правил перетворення апроксимуючих імпульсних спектрів, що відповідають нелінійним діям над функціями у фізичному просторі.
4) На основі правил операційного числення, побудованого на АІС, з урахуванням отриманих узагальнень було розроблено, реалізовано в системах Mathematica та LabVIEW та досліджено ефективні алгоритми чисельного моделювання диференційних рівнянь нецілого порядку та звичайних диференційних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.
5) Розроблено, теоретично обґрунтовано та реалізовано в програмних середовищах систем Mathematica, SIMULINK/MATLAB та LabVIEW методи апроксимації за допомогою АІ-спектрів таблично-заданих сигналів при умові дискретного завдання базисних функцій.
6) На основі розроблених алгоритмів досліджено ряд задач теплообміну та теорії електричних кіл. Розроблені алгоритми використовувались при створенні підсистем обробки та моделювання сигналів в інтегрованому комплексі моніторингу електрозварювання.
Запропоновані та розвинуті в роботі методи моделювання на основі апроксимуючих імпульсних спектрів можна застосовувати для дослідження динамічних систем, обробки сигналів моніторингу, автоматизації експериментів в таких галузях науки і техніки як обчислювальна техніка, приладобудування, робототехніка тощо.
Публікації по темі дисертації
1. Воронова О.С. Операционные матрицы интегрирования дробного порядка для обобщенных аппроксимирующих импульсных спектров. // Электронное моделирование. – 2000. – Т.22, №5. – c. 70-83.
2. Васильев В.В., Симак Л.А., Воронова О.С. Аппроксимирующие спектры в математических моделях линейных дифференциальных уравнений нецелого порядка. // Моделювання та інформаційні технології (зб. наук. праць ІПМЕ). – 2001. – вып.7. – с.3-16.
3. Воронова О.С. Математическое моделирование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе адаптивных аппроксимирующих спектров. // Моделювання та інформаційні технології (зб. наук. праць ІПМЕ). – 2001. – вып.9. – с.91-102.
4. Васильєв В.В., Сімак Л.О., Воронова О.С. Операційні методи розв'язання диференціальних рівнянь на основі апроксимуючих поліноміальних спектрів та їх реалізація в середовищі системи Mathematica. // Вісник НАУ. - №3, 2002, – с. 12-22.
5. Васильев В.В., Симак Л.А., Воронова О.С. Аппроксимация в спектральных методах моделирования динамических систем. Сравнительный анализ. – Киев, 1998. – 70с. (Препринт/ НАНУ Отделение гибридных моделирующих и управляющих систем в энергетике ИПМЭ №04/98).
6. Васильев В.В., Симак Л.А., Чечь В.В, Воронова О.С., Косова А.М., Пилипенко Н.Н. Методы аппроксимации и цифровой обработки сигналов мониторинга. – Киев, 1998. – 72c. (Препринт / НАН Украины. Отделение гибридных моделирующих и управляющих систем в энергетике ИПМЭ; №02/98).
7. Воронова О.С. Про один метод адаптивної апроксимації неперервних сигналів апроксимуючими імпульсними спектрами. // Праці П’ятої всеукраїнської міжнародної конференції конференції “УкрОбраз-2000”, – Киїів, 2000. – с.301-304.
8. Васильєв В.В., Сімак Л.О., Воронова О.С. Операційний метод математичного моделювання звичайних диференційних рівнянь локально-імпульсними базисним системами. // Праці міжнародної конференції "Моделювання та оптимізація складних систем - 2001", 25-28 січня 2001р. – Київ, 2001. – с.20-22.
9. Васильєв В.В., Сімак Л.О., Воронова О.С. Математичне моделювання систем диференційних рівнянь дробового порядку на базі представлення сигналів апроксимуючими поліноміальними спектрами в середовищі системи Mathematica. // Матеріали ІІІ Міжнародної науково-технічної конференції “АВІА-2001”, 24-26 квітня 2001р. – Київ, 2001.
10. Vasylyev V.V., Simak L.O., Voronova O.S. Multiwavelets based on shifted Legendre polynomials. // Proceedings of International Conference OFEA-2001, June 25-29, 2001, St.Petersburg, Russia. – Санкт-Петербург, 2001. - p.176-177.
11. Voronova O.S. Operational Integration Matrices of Fractional Order for Generalized Approximating Pulse Spectra. // Engineering Simulation. – 2001. – vol.18, №5. – p.649-663.
12. Васильєв В.В., Сімак Л.О., Воронова О.С. Візуальне програмування в системах моніторингу електрозварювання. // Матеріали ІV Міжнародної науково-технічної конференції "АВІА-2002", 23-25 квітня 2002р. – К.: НАУ, 2002. – т.2. – с.55-58.
13. Сімак Л.О., Воронова О.С. Математичне моделювання нелінійних диференційних рівнянь із використанням алгебри узагальнених апроксимуючих імпульсних спектрів. // Матеріали ІV Міжнародної науково-технічної конференції "АВІА-2002", 23-25 квітня 2002р. – К.: НАУ, 2002. – т.2. – с.67-70.
14. Васильев В.В., Симак Л.А., Воронова О.С. Операционный метод моделирования динамических систем на основе аппроксимирующих импульсных спектров в среде SIMULINK. // Труды Всероссийской научной конференции “Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB”, 28-29 мая 2002, Москва, Россия. – М.: ИПУ РАН, 2002. – с. 598 – 603. – (ISBN 5-201-14940-5).
Особистий внесок автора. У роботах, написаних у співавторстві, авторові належать: [2, 4, 8, 9] – алгоритмізація операційного методу розв’язання задачі Коші для диференційних рівнянь різних типів, розробка відповідних програм та постановка обчислювальних експериментів; [5] – розробка програмних реалізацій апроксимаційних методів в системах MathCAD та Mathematica, постановка обчислювальних експериментів та проведення порівняльного аналізу методів апроксимації; [6] – розробка програм та постановка ілюстративних експериментів в системах MatLAB та Mathematica; [10] – запропоновано та розроблено методи апроксимації сигналів на основі АІ-спектрів із використанням мультирезолюційного підходу; [12] –програмна реалізація системи моніторингу в програмному середовищі пакету LabVIEW; [13] – узагальнення формул перетворення спектрів при нелінійних діях над функціями з фізичного простору для АІС 3-го порядку, алгоритмізація методів чисельного розв’язку звичайних диференційних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, розробка відповідних програмних реалізацій та проведення чисельних експериментів; [14] – програмна реалізація методів дискретних АІС перетворень та операційних моделей на їхній основі в програмному середовищі пакету SIMULINK/MatLAB.
Воронова О.С. Операційні методи моделювання та обробки сигналів при моніторингу динамічних систем в програмних середовищах Mathematica та LabVIEW. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, Київ, 2002.
Дисертацію присвячено питанням моделювання та обробки сигналів динамічних систем операційними методами, орієнтованими на створення комплексів моніторингу. Розвинуті елементи нелінійної алгебри апроксимуючих імпульсних спектрів (АІС) та виведено правила побудови операційних матриць інтегрування із нецілим порядком для розширеного базису локально-імпульсних функцій. Отримані результати були використані при розробці та модифікації алгоритмів моделювання наступних класів інтегро-диференційних рівнянь: рівнянь нецілого порядку, систем рівнянь, рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Запропоновано метод адаптації розбиття при апроксимації сигналів та розв’язанні диференційних рівнянь операційними методами на основі АІС. Розроблено алгоритм мультирезолюційного розкладу сигналів по узагальненому локально-імпульсному базису. Запропоновано та розвинуто метод апроксимації функцій та сигналів, що представлені часовими рядами, дискретними апроксимуючими імпульсними спектрами. Створено програмні реалізації всіх запропонованих методів та алгоритмів в системах Mathematica® та LabVIEW™. Розглянуто застосування отриманих результатів в комплексі моніторингу процесу електрозварювання.
Основні результати роботи використовувалися в процесі виконання науково-дослідних робіт ВГМКСЕ ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України та в проектах Науково-технологічного центру в Україні №602 “Дослідження та розробка комплексу апаратно-програмних засобів моніторингу процесу дугового зварювання для попередньої діагностики процесу, підготовки та допускного контролю зварників в атомній енергетиці” та №1615 “Інтегрований комплекс моніторингу и тренінгу процесу дугового зварювання”.
Ключові слова: моніторинг, математичне моделювання, операційні методи, апроксимація.
Voronova O.S. Operational methods for modeling and signal processing for dynamical systems monitoring within software environment of Mathematica and LabVIEW. – Manuscript.
Thesis for candidate’s degree by speciality 01.05.02 – mathematical modeling and computing methods. – G.E. Pukhov’s Institute of Simulation Problems in Power Engineering of National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2002.
The dissertation is devoted to dynamical systems modeling and signal processing by operational methods oriented to development of monitoring complexes. Some elements of nonlinear algebra of approximating impulse spectra (AIS) are developed. Rules for operational fractional integration matrices are obtained in case of extended local-impulse basis. Results earned were applied in developing and modifying of algorithms for simulation of integro-differential equations of following type: fractional equations, equations systems and equations with variable coefficients. A method for grid adapting in signals approximation and resolving of differential equations using operational methods of AIS is proposed. An algorithm for multiresolutional analysis in extended local-impulse basis is developed. A method of discrete approximating impulse spectra for discrete signals and functions approximation is proposed. All methods and algorithms proposed were implemented as software modules in Mathematica® and LabVIEW™ software. Applications of obtained results in arc welding monitoring complex is considered.
Basic results of the dissertation were used in research work of Department of Hybrid Modeling and Control Systems in Power Engineering of G.E. Pukhov’s ISPP of NAS of Ukraine and in projects of Science and Technology Center in Ukraine (projects #602 “Complex for monitoring of arc welding process”, #1615 “Integrated system for monitoring of the welding process and associated staff training”).
Keywords: monitoring, mathematical modeling, operational methods, approximation.
Воронова О.С. Операционные методы моделирования и обработки сигналов при мониторинге динамических систем в программных средах Mathematica и LabVIEW. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02. – математическое моделирование и вычислительные методы. – Институт проблем моделирования в энергетике им. Г.Е. Пухова НАН Украины, Киев, 2002.
Диссертация посвящена вопросам моделирования и обработки сигналов динамических систем операционными методами, ориентированными на создание комплексов мониторинга. Проведен сравнительный анализ известных методов аппроксимации с точки зрения требований, предъявляемых задачей мониторинга. Показаны преимущества аппроксимации с использованием локально-определенных базисных систем, в частности локально-импульсных базисных функций, на применении которых основывается операционный метод аппроксимирующих импульсных спектров (АИС).
Развиты элементы нелинейной алгебры аппроксимирующих импульсных спектров, в частности правила преобразования спектров для произведения и частного двух функций, возведения функции в произвольную целую степень. Выведены правила построения операционных матриц интегрирования с нецелым порядком для расширенного локально-импульсного базиса. Полученные результаты были использованы при создании и модификации существующих алгоритмов моделирования задачи Коши для следующих классов интегро-дифференциальных уравнений: уравнения нецелого порядка, системы линейных уравнений, уравнения с переменными коэффициентами.
Предложен метод адаптации разбиения при аппроксимации сигналов и решении дифференциальных уравнений с помощью операционных методов на основе АИС. Разработан алгоритм мультиразрешающего разложения сигналов по обобщенному локально-импульсному базису. Использование мультиразрешающего анализа при обработке данных, позволяет выделять и изучать локальные (как в частотной, так и во временной области) особенности поведения сигналов, которые невозможно определить классическими методами анализа, такими как, Фурье анализ.
Предложен и развит метод аппроксимации функций и сигналов, представленных временными рядами, с помощью дискретных аппроксимирующих импульсных спектров, основанных на дискретном представлении базисных функций. Предложенная методика позволила создать эффективную реализацию операционных методов АИС в системах цифровой обработки и моделирования сигналов.
Созданы программные реализации всех предложенных методов в системах Mathematica® и LabVIEW™. Рассмотрено применение полученных результатов в комплексе мониторинга процесса электросварки.
Основные результаты работы использовались в процессе выполнения научно-исследовательских работ Отделения гибридных моделирующих и управляющих систем в энергетике ИПМЭ им. Г.Е. Пухова НАН Украины по проектам Научно-Технологического Центра в Украине №602 “Исследование и разработка комплекса аппаратно-программных средств мониторинга процесса дуговой сварки для предварительной диагностики процесса, подготовки и допускного контроля сварщиков в атомной энергетике” и №1615 “Интегрированный комплекс мониторинга и тренажа при дуговой сварке”.
Ключевые слова: мониторинг, математическое моделирование, операционные методы, аппроксимация.