Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 10. Дифференцирование функций.
Пусть функция задана параметрически на множестве Х посредством переменной t, называемой параметром:
Предположим, что функции х=(t) и у=(t) имеют производные ((t)0).
Тогда первая производная функции выражается формулой:
так как функцию у=f(х) можно рассматривать, как сложную функцию , а по правилам дифференцирования сложной и обратной функций получаем:
Вторая производная функции выражается формулами:
|
I способ |
II способ |
Замечание: II способ вычисления второй производной функции заданной параметрически применим в том случае, если первая производная компактно упрощена и от полученного выражения легко считается производная, в противном случае применим I способ.
Например: Вычислить первую и вторую производные функции:
Например: Вычислить первую и вторую производные функции:
При дифференцировании выражений, имеющих вид, удобный для логарифмирования, можно предварительно выполнить логарифмирование.
Замечание: Если в качестве переменной дифференцирования выступает у (переменная, которая является не аргументом, а функцией), необходимо вычислять производную согласно рассмотренным правилам, обязательно умножая на у (на производную внутренней функции).
Заметим, что данная функция является степенно-показательной функцией и её производную находят только лишь логарифмическим дифференцированием.
Логарифмируя по основанию е находим:
Применим основное свойство логарифма:
Дифференцируем обе части равенства:
Пусть уравнение, связывающее х и у, определяет у, как неявную функцию х. Для нахождения производной , в точке х=х0, у=у0 не нужно искать явное выражение функции. Достаточно приравнять дифференциалы обеих частей уравнения и из полученного равенства найти производную.
Замечание: Если в качестве переменной дифференцирования выступает у (переменная, которая является не аргументом, а функцией), необходимо вычислять производную согласно рассмотренным правила, обязательно умножая на у (на производную внутренней функции).
Найти первую и вторую производные неявной функции: .
Дифференцируя обе части уравнения получаем:
Для вычисления второй производной, дифференцируем обе части уравнения, получаем:
Теорема (правило Лопиталя): Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а и g(х)0. Пусть в указанной окрестности точки а. Тогда, если существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причём справедлива формула:
Замечание 1: Правило Лопиталя раскрывает неопределённости типа и .
Замечание 2: Правило Лопиталя может применяться многократно
Замечание 3: Правило Лопиталя применяется и для х, х+, х-, хх0-0, хх0+0.
PAGE 5