Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Квадратичні лишки
Означення. Число a Î Zn* називається квадратичним лишком або квадратом за модулем n, якщо існує таке x Î Zn*, що x2 º a (mod n). Якщо такого x не існує, то число a називається квадратичним нелишком. Множина усіх квадратичних лишків за модулем n позначається через Qn, нелишків – через . За означенням 0 Ï Zn*, отже 0 Ï Qn та 0 Ï .
Теорема. Нехай p – непарне просте число, g – генератор Zp*. Тоді число a є квадратичним лишком за модулем p тоді і тільки тоді, коли a = gi (mod p), де i – парне ціле.
Доведення. Якщо a = g2k (mod p), то a = b2 (mod p), де b = gk (mod p).
Нехай a = gk (mod p) – елемент Zp*. Піднесемо його до квадрату:
a2 = g2k (mod p) º gi (mod p). Оскільки 2k (mod p – 1) = i – парне число, то звідси і випливає твердження про те що квадрат довільного елемента a Î Zp* представляється у вигляді gi (mod p) лише для парного i.
Наслідок. | Qp | = (p - 1) / 2, || = (p - 1) / 2.
Тобто половина елементів Zp* є квадратичними лишками, а половина – ні.
Приклад. Число a = 3 є генератором Z7*. Степені a наведені у наступній таблиці
|
I |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
ai mod 7 |
1 |
3 |
2 |
6 |
4 |
5 |
1 |
Звідси Q7 = {1, 2, 4}, = {3, 5, 6}.
Схема множення кважратичних лишків та нелишків аналогічна схемі додавання парних та непарних цілих чисел:
лишок * лишок = лишок
лишок * нелишок = нелишок
нелишок * нелишок = лишок
Приклад. Дослідимо операції множення лишків та нелишків в групі Z7*.
2 Î Q7, 4 Î Q7 : 2 * 4 = 8 º 1 Î Q7
2 Î Q7, 5 Î : 2 * 5 = 10 º 3 Î
5 Î , 6 Î : 5 * 6 = 30 º 2 Î Q7
Твердження. Нехай n – добуток двох різних простих чисел p та q, n = p * q. Тоді число a Î Zn* є квадратичним лишком за модулем n тоді і тільки тоді, коли a Î Qp та a Î Qq. Звідси |Qn| = |Qp| * |Qq| = (p - 1)(q - 1) / 4 та || = 3 (p - 1)(q - 1) / 4.
Приклад. Нехай n = 21. Тоді |Q21| = (2 * 6) / 4 = 3, Q21 = {1, 4, 16},
|| =. (3 * 2 * 6) / 4 = 9, = {2, 5, 8, 10, 11, 13, 17, 19, 20}.
Означення. Нехай a Î Qn. Якщо x Î Zn* задовольняє x2 º a (mod n), то x називається квадратним коренем числа a за модулем n.
Теорема. Нехай p – просте, p º 3 (mod 4), a Î Qp. Тоді розв’язком рівняння
x2 º a (mod p)
будуть числа r та -r, де r = (mod p).
Доведення. r2 º (mod p) º (mod p) º (mod p) º (mod p) º a (mod p), оскільки за теоремою Ферма ap-1 (mod p) º 1.
Доведення теореми можна провести, використовуючи критерій Ейлера. Оскільки a – квадратичний лишок за модулем p, то
º (mod p) = 1
Враховуючи що число p можна подати у вигляді p = 4m + 3 для деякого натурального m, то = 2m + 1. Тобто = º 1(mod p) , º a (mod p). Візьмемо квадратний корінь лівої та правої частини останньої рівності:
º ± (mod p)
Приклад. Обчислити та в Z11*.
p = 11 – просте, p º 3 (mod 4), = 3.
: 53 (mod 11) º 4. –4 º 7 (mod 11).
Перевірка: 42 (mod 11) º 5, 72 (mod 11) º 5.
: 33 (mod 11) º 5. –5 º 6 (mod 11).
Перевірка: 52 (mod 11) º 3, 62 (mod 11) º 3.
Теорема. Нехай n = p * q, де p, q – непарні прості числа. Число а Î Zn* є квадратичним лишком за модулем n тоді і тільки тоді, коли а є квадратичним лишком за модулем p та q. Тобто
а Î Qn Û а Î Qp та а Î Qq
Звідси |Qn| = |Qp| * |Qq| = (p – 1)(q – 1) / 4.
Приклад. Нехай n = 21 = 3 * 7. а Î Q21 Û а Î Q3 та а Î Q7.
Q3 = {1}, поширимо остачі до 21 за модулем 3: {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19}.
Q7 = {1, 2, 4}, поширимо остачі до 21 за модулем 7: {1, 2, 4, 8, 9, 11, 15,16,18}.
|Q21| = |Q3| * |Q7| = 1 * 3 = 3. Числа, спільні в двох множинах поширених остач, і є квадратичними лишками за модулем 21.
Q21 = {1, 4, 16}.