Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
16.Симметричность
Симметричность в математике и логике, свойство бинарных (двуместных, двучленных) отношений, выражающее независимость выполнимости данного отношения для какой-либо пары объектов от порядка, в котором эти объекты входят в пару: отношение Rназываетсясимметричным, если для любых объектов x и y из области определения xRy влечёт yRx. Примерами симметричных отношений служат отношения типа равенства (тождества, эквивалентности,подобия), их "ослабленные формы" — отношения толерантности (сходства, соседства и т. п.), а также (как следует из данного выше определения) обратные к ним отношения неравенства и др. Отношение R называется антисимметричным, если из xRy при х (уследует ù yRx (отрицание yRx), т. е. если из xRy и yRx непременно следует х = у, таковы, например, отношения порядка (по величине или какому-либо другому упорядочивающему критерию) между числами или другими объектами, отношение включения между множествами и т. п. В применении к логическим и логико-математическим операциям свойство С. называется коммутативностью (перестановочностью); например, результаты сложения и умножения чисел, объединения и пересечения множеств, дизъюнкция иконъюнкция высказываний (см. Алгебра логики) не зависят от порядка слагаемых, сомножителей и т. д. Понятия С. и коммутативности естественно обобщаются на случай произвольного числа объектов.
17.Транзитивность
свойство бинарных (двуместных) отношений: отношение R наз. т р а н з и т и в н ы м, если для любых элементов х, у и z множества, на к-ром определено это отношение, из xRy и yRz следует xRz. Примерами транзитивных отношений являются отношения типа равенства (из х = у и y = z следует x = z), порядка отношения [из х < у (или х ≤ у) и y < z (соответственно y ≤ z) следует х < z (x ≤ z)], изоморфизм, всякого рода отношения "подобия" и т.п. Отношение R такое, что для любых х, у и z из области его определения из xRy и yRz следует о т р и ц а н и е xRz, наз. и н т р а н з и т и в н ы м; напр., отношение "разночетности" между целыми числами (n и m, по определению, разночетны, если их разность нечетна, и равночетны, если их разность четна) интранзитивно; аналогичным свойством обладает отношениеразнозначностидействит. чисел и отношения, характеризующие широкий класс свойств "симметрии" и "антисимметрии" в геометрии и в физике. Из интранзитивности к.-л. отношения следует, что оно не транзитивно, но, конечно, не обратно.
18.Эквивалентность
Теорема: каждое отношение эквивалентности, определенное на А, соответствует некоторому разбиению множества А. Всякое разбиение множества А соответствует некоторому отношению эквивалентности на множестве А.Коротко: между классами всех определенных на множестве А отношений эквивалентностей и классом всех разбиений множества А существует взаимнооднозначное соответствие.Доказательство: пусть ? – есть отношение эквивалентности на множестве А. Пусть а принадлежит А. Построим множество: К a={x принадлежит A,: x~a } – всех элементов, эквивалентных а. Множество (обозначение) называется классом эквивалентности относительно эквивалентности ?. Заметим, что если b принадлежит Ka, то b~a. Покажем, что a~b?Ka=Kb. В самом деле, пусть a~b. Возьмем произвольный элемент c принадлежитKa . Тогда c~a, a~b, c~b, c принадлежит Kb и потому Kb принадлежит Ka. То, что Ka принадлежит Kb, показывается аналогично. Следовательно, Kb=Ka.
Пусть теперь Kb=Ka. Тогда a принадлежит Ka = K b, a принадлежит Kb, a~b. Что и требовалось показать.Если 2 класса Ka и K b имеют общий элемент с, то Ka = K b. В самом деле, если с принадлежитKa и K b, то b~c, c~a, b~a =>Ka = K b.
Поэтому различные классы эквивалентности либо не пересекаются, либо пересекаются и тогда совпадают. Всякий элемент с из А принадлежит только одному классу эквивалентности Кс. Поэтому система непересекающихся классов эквивалентности в пересечении дает все множество А. И потому эта система есть разбиение множества А на классы эквивалентности.
Обратное: Пусть А = сумма по или Ai – есть разбиение А. Введем на А отношение a~b, как a~b ?a,b принадлежат одному и тому же классу разбиения. Это отношение удовлетворяет следующим аксиомам:1) a ~ a (лежат в одном классе);
2) a ~ b ? b ~ a;
3) a ~ b & b ~ c ? a ~ c, т.е. введенное отношение ~ есть отношение эквивалентности.Замечание:
1) разбиение множества А на одноэлементные подмножества и разбиение А, состоящие только из множества А, называется тривиальными (несобственным) разбиением.2) Разбиение А на одноэлементные подмножества соответствует отношению эквивалентности которое есть равенство.3) Разбиение А, состоящие из одного класса А, соответствует отношению эквивалентности, содержащему A x A.4) a ? b ? [a]? = [b]? – всякое отношение эквивалентности определенное на некотором множестве разбивает это множество на попарно не пересекающиеся классы называемые классами эквивалентности.Определение: Совокупность классов эквивалентности множества А называется фактор-множеством A/? множества А по эквивалентности ?.Определение: Отображение p:A?A/?, при котором p(A)=[a]?, называется каноническим (естественным) отображением.Всякое отношение эквивалентности, определенное на некотором множестве, разбивает это множество на попарно не пересекающиеся классы, называемые классами эквивалентности.