Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
6. Свойства определителей (доказательство для .
1. Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании
Следствие. Любое свойство определителя, относящееся к строкам, справедливо и для столбцов.
2. Общий множитель элементов любой строки определителя можно вынести множителем за знак определителя
3. Если элементы какой-либо строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых в указанной строке у первого стоят первые слагаемые, у второго – вторые слагаемые, а все остальные строки, как у исходного определителя
Следствие. Свойство 3 справедливо в случае любого конечного числа слагаемых.
4. Если все элементы какой-либо строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
5. Если в определителе поменять местами любые две строки, то определитель сменит знак.
6. Если в определителе две одинаковые строки, то определитель равен нулю.
7. Если в определителе элементы двух строк пропорциональны, то определитель равен нулю.
8. Если к элементам одной строки определителя прибавить числа, пропорциональные элементам другой строки определителя, то определитель не изменится.
9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей .
9. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы (с доказательством).
Пусть - квадратная матрица - го порядка. Матрица называется вырожденной, если , и невырожденной, если .
Матрица называется обратной матрицей матрице, если .
Теорема 1 (о существовании обратной матрицы)
Для того, чтобы для матрицы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть - обратная матрица. Покажем, что - невырожденная. Действительно, по определению обратной матрицы . Следовательно, и по свойству 9 определителей . Тогда .
Достаточность.
Пусть . Вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы и составим из них матрицу
которая называется союзной матрице . Вычислим произведение :
Используя свойства определителей 11 и 12, получаем , следовательно, и . Аналогично можно показать, что . Таким образом, матрица
является обратной матрице.
10. Теорема о единственности обратной матрицы (с доказательством).
Теорема 2 (о единственности обратной матрицы)
Для любой невырожденной матрицы существует единственная обратная.
Доказательство. Предположим, что для некоторой невырожденной матрицы существует по крайней мере две обратные – матрицы и . Тогда по определению обратной матрицы и . Умножим обе части равенства на матрицу слева, а обе части равенства на матрицу справа. Получим и . По свойствам умножения матриц и , поэтому, что противоречит тому, что матрицы и различны. Следовательно, предположение о существовании матрицы, для которой существует две обратные, не верно, и для каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная.
В силу единственности обратной матрицы ее принято обозначать . Таким образом, по определению , а из теоремы 1 вытекает формула для нахождения обратной матрицы
.
Пример 1
Найти обратную матрицу для матриц 1) ; 2) .
11. Свойства обратной матрицы (с доказательством).
Свойства обратной матрицы
1..
Доказательство.
Действительно, по определению обратной матрицы , следовательно, обратной для является матрица .
2..
Доказательство.
Из равенства следует, что Так как для квадратных матриц определитель произведения матриц равен произведению определителей и , то . Так как в случае существования обратной матрицы , то .
3. Если для матриц и существуют обратные, то существует обратная матрица для их произведения .
Доказательство.
Если для матриц и существуют обратные, то. Тогда и матрица является невырожденной, так как . Вычислим произведение
Аналогично
Таким образом, при умножении матрицы справа и слева на получаем единичную матрицу, следовательно, .
Пример 2
Решить матричное уравнение
17. Линейная зависимость и линейная независимость столбцов матрицы. Перечислить свойства, связанные с линейной зависимостью столбцов. Доказать(по вашему выбору) одно из свойств.
Линейная зависимость и линейная независимость строк и столбцов матрицы
Пусть
- столбцы матрицы размерности . Линейной комбинацией столбцов матрицы называется матрица-столбец , при этом - некоторые действительные или комплексные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. Если в линейной комбинации взять все коэффициенты равными нулю, то линейная комбинация равна нулевой матрице-столбцу.
Столбцы матрицы называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю лишь когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю. Столбцы матрицы называются линейно зависимыми, если существует набор чисел , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, а линейная комбинация столбцов с этими коэффициентами равна нулю
,.
Аналогично могут быть даны определения линейной зависимости и линейной независимости строк матрицы. В дальнейшем все теоремы формулируются для столбцов матрицы.
Теорема 5
Если среди столбцов матрицы есть нулевой, то столбцы матрицы линейно зависимы.
Доказательство. Рассмотрим линейную комбинацию, в которой все коэффициенты равны нулю при всех ненулевых столбцах и единице при нулевом столбце. Она равна нулю, а среди коэффициентов линейной комбинации есть отличный от нуля. Следовательно, столбцы матрицы линейно зависимы.
Теорема 6
Если столбцов матрицы линейно зависимы, то и все столбцов матрицы линейно зависимы.
Доказательство. Будем для определенности считать, что первые столбцов матрицы линейно зависимы. Тогда по определению линейной зависимости существует набор чисел , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, а линейная комбинация столбцов с этими коэффициентами равна нулю
,.
Составим линейную комбинацию всех столбцов матрицы, включив в нее остальные столбцы с нулевыми коэффициентами
Но . Следовательно, все столбцы матрицы линейно зависимы.
Следствие. Среди линейно независимых столбцов матрицы любые линейно независимы. (Это утверждение легко доказывается методом от противного.)
Теорема 7
Для того чтобы столбцы матрицы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один столбец матрицы был линейной комбинацией остальных.
Доказательство.
Необходимость. Пусть столбцы матрицы линейно зависимы, то есть существует набор чисел , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, а линейная комбинация столбцов с этими коэффициентами равна нулю
,.
Предположим для определенности, что . Тогда то есть первый столбец есть линейная комбинация остальных.
Достаточность. Пусть хотя бы один столбец матрицы является линейной комбинацией остальных, например, , где - некоторые числа.
Тогда , то есть линейная комбинация столбцов равна нулю, а среди чисел линейной комбинации хотя бы один (при ) отличен от нуля.
Пусть ранг матрицы равен . Любой отличный от нуля минор - го порядка называется базисным. Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными.
23. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Характеристическое уравнение. Алгоритм нахождения собственных векторов матрицы.
Собственные числа и собственные векторы матрицы
Пусть дана квадратная матрица
Ненулевой вектор
называется собственным вектором матрицы если существует такое число , что
Число при этом называется собственным числом матрицы, соответствующим собственному вектору
Матричное уравнение можно переписать в виде
Последнее уравнение – есть матричная запись однородной системы уравнений с квадратной матрицей. Система имеет ненулевые решения, если
или
Последнее уравнение называется характеристическим уравнением матрицы. Все собственные числа являются корнями характеристического уравнения.
Для нахождения собственных векторов матрицы нужно выполнить следующие действия.
Пример 2.
Найти собственные векторы матрицы
24. Квадратичные формы. Различные способы записи. Матрица, ранг квадратичной формы. Изменение матрицы квадратичной формы при линейном однородном преобразовании.
Квадратичные формы
Квадратичной формой от переменных называется сумма вида
При этом предполагается, что некоторые числа, среди которых хотя бы одно не равно 0, Числа называются коэффициентами квадратичной формы.
Другой способ записи квадратичной формы
получен объединением слагаемых
Кратко квадратичная форма может быть записана
Матрица коэффициентов при переменных
называется матрицей квадратичной формы. Матрица является симметрической.
Ранг квадратичной формы – ранг матрицы квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица является невырожденной ( Предполагается, что переменные квадратичной формы могут принимать любые действительные значения. Поэтому 2 квадратичные формы равны, если они имеют одинаковые матрицы.
Пример 1. Найти матрицу и ранг квадратичной формы
Пример 2. По матрице квадратичной формы
записать саму квадратичную форму.
Если ввести в рассмотрение матрицу-столбец переменных
то квадратичную форму можно записать в матричном виде
Действительно,
Изменение матрицы квадратичной формы при линейном однородном преобразовании
Пусть переменные получены из переменных линейным однородным преобразованием
Или в матричном виде
Рассмотрим квадратичную форму Если в квадратичную форму подставить вместо переменных подставить их выражения через то получим новую квадратичную форму с некоторой матрицей При этом можно определить, как связаны матрицы и
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Квадратичная форма
имеет канонический вид, если все
Следовательно, каноническая квадратичная форма имеет вид
а ее матрица имеет диагональный вид.
Каноническая форма называется нормальной, если каждый ее коэффициент, отличный от нуля, по абсолютной величине равен 1. Например, квадратичная форма
является нормальной.
Нахождение по данной квадратичной форме конгруэнтной ей канонической квадратичной формы называется приведением квадратичной формы к каноническому виду.
Теорема 1. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду.
(доказательство методом математической индукции).
Доказательство теоремы дает практический способ приведения квадратичной формы к каноническому виду – метод Лагранжа.
Пример 4. Привести к каноническому виду квадратичную форму
Пример 5. Привести к каноническому виду квадратичную форму
Теорема 2. (Закон инерции квадратичных форм)
Все квадратичные формы, конгруэнтные данной, имеют 1) одно и тоже число нулевых коэффициентов; 2) одно и тоже число положительных коэффициентов; 3) одно и тоже число отрицательных коэффициентов. (Без доказательства)
Следствие. Любая квадратичная форма имеет единственную конгруэнтную нормальную форму.
Знакоопределенные квадратичные формы
Для нулевого набора переменных
Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любого ненулевого набора переменных выполняется и отрицательно определенной, если для любого ненулевого набора верно
Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются знакоопределенными.
Квадратичная форма называется знакопеременной, если существуют наборы переменных, для которых она принимает значения разных знаков.
Пример 6. Квадратичная форма является положительно определенной; - отрицательно определенная;
- знакопеременная, так как квадратичная форма не является ни знакоопределенной, ни знакопеременной.
Теорема 3.
Знакоопределенная квадратичная форма является невырожденной.
Теорема 4.
Если квадратичная форма является знакоопределенной, то любая конгруэнтная ей форма так же является знакоопределенной.
Теорема 5.
Для того чтобы каноническая квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее коэффициенты были положительны.
Для того чтобы каноническая квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее коэффициенты были отрицательны.
Главным минором го порядка матрицы
Называется минор матрицы го порядка, расположенный в левом верхнем углу матрицы; Для главных миноров матрицы используют специальные обозначения
Теорема 6 (критерий Сильвестра)
Для того чтобы каноническая квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительны.
Для того чтобы каноническая квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы чередовались по знаку, начиная с отрицательного.
Пример 7.
Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
Пример 8. Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
28. Определение линейного пространства. Примеры.
Линейные пространства
Линейным пространством (векторным пространством, линеалом) называется множество элементов произвольной природы, называемых векторами, для которого:
Замечание 1. Нет никаких ограничений на природу множества и задание правил операций суммы и умножения на число.
Замечание 2. Определено понятие действительного линейного пространства, так как в определении - операция умножения на действительное число.
Примеры. Определить, является ли множество линейным пространством.
(Да, множество называется координатным пространством).
29. Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства. Свойства линейно завсимых векторов (доказательство одного свойства).
Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства
Рассмотрим векторы некоторого линейного пространства Вектор
при любых действительных числах также принадлежит и называется линейной комбинацией векторов . Числа называются коэффициентами линейной комбинации. В этом случае также говорят, что вектор разложен по векторам
Если все коэффициенты линейной комбинации равны 0, то вектор – нулевой.
Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие действительные числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, а линейная комбинация векторов с этими числами равна нулевому вектору
Векторы называются линейно независимыми, если равенство
возможно лишь в случае, когда
Свойства линейно зависимых векторов
Действительно, пусть . Составим линейную комбинацию
среди чисел линейной комбинации коэффициент при нулевом векторе равен 1, отличен от нуля. Следовательно, векторы линейно зависимы.
Пусть для определенности первые векторов линейно зависимы. Тогда существует набор чисел, среди которых хотя бы одно не равно 0, а линейная комбинация с этими числами равна нулевому вектору
Рассмотрим линейную комбинацию
Так как среди чисел линейной комбинации есть хотя бы один отличный от нуля, то векторы линейно зависимы.
Доказательство.
Необходимость. Пусть векторы являются линейно зависимыми, то есть существуют такие действительные числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, а линейная комбинация векторов с этими числами равна нулевому вектору
Пусть для определенности именно Тогда, умножая обе части равенства на получим
или
Достаточность. Если
то
Это означает, что векторы линейно зависимы.
30. Базис линейного пространства. Координаты вектора относительно базиса. Действия над векторами в координатной форме.
Базис линейного пространства
Упорядоченный набор линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства , если каждый вектор представим в виде их линейной комбинации
Числа называются координатами вектора относительно рассматриваемого базиса.
Пример. В пространстве векторы
образуют базис, так как
равна лишь когда
Теорема 1.
Координаты вектора относительно любого базиса определяются единственным способом.
Доказательство. Пусть для некоторого вектора наряду с разложением
существует еще и другое разложение по тому же базису
Тогда , почленно вычитая два равенства, получаем
Базисные векторы линейно независимы, поэтому а тогда разложение по базису вектора единственно.
Основное значение базиса – операции над векторами, определенные абстрактно, становятся операциями над числами (координатами).
Теорема 2 (Действия над векторами в координатной форме)
При сложении векторов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса) складываются, при умножении на число - умножаются на это число.
Доказательство. Пусть некоторый базис линейного пространства,
Тогда
31. Размерность линейного пространства. Связь между числом векторов в базисе линейного пространства и его размерностью
Размерность линейного пространства
Если в линейном пространстве есть линейно независимых векторов, а любые – линейно зависимы, то называется размерностью линейного пространства. Обозначение
Другими словами, размерность пространства равна максимальному числу линейно независимых векторов в линейном пространстве.
Линейное пространство, в котором существует сколь угодно большое число линейно независимых векторов , называется бесконечномерным.
Теорема 3.
В мерном линейном пространстве существует базис из векторов. Любая совокупность из линейно независимых векторов является базисом линейного пространства.
Теорема 4.
Если в линейном пространстве существует базис, состоящий из векторов, то размерность линейного пространства равна - числу базисных векторов.
37. Скалярное произведение векторов. Свойства. Доказательство одного свойства.
Скалярное произведение
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними
Свойства скалярного произведения
так как
так как
так как
Следствие. Свойства 3 и 4 могут быть записаны в виде формул
Будем говорить, что последние формулы отражают свойство линейности скалярного произведения соответственно относительного первого и второго сомножителей.
Действительно,
Доказательство.
так как
38. Векторное произведение векторов. Свойства. Доказательство одного свойства.
Определение векторного произведения
Векторным произведением векторов называется вектор , удовлетворяющий условиям
При этом пишут или Если векторы неколлинеарны, то вектор векторного произведения перпендикулярен плоскости, определяемой векторами приведенными к общему началу (рис. 1).
Рис. 2
Свойства векторного произведения
Доказательство.
Необходимость. Пусть векторы коллинеарны. Это возможно в 2 случаях:
1) один из векторов нулевой; тогда
2) угол между векторами (векторы сонаправлены) или (векторы противоположно направлены), для обоих углов поэтому
Достаточность. Пусть тогда Поэтому либо один из векторов нулевой, либо Так как угол между векторами удовлетворяет неравенству то или Следовательно, векторы коллинеарны.
Действительно, обе величины равны
Доказательство. Если векторы коллинеарны, то векторное равенство верно, так как оба вектора нулевые. Будем считать, что векторы неколлинеарны. Обозначим и угол между векторами Ясно, что то есть Векторы и коллинеарны, так как они перпендикулярны плоскости, определяемой векторами По определению векторного произведения тройки и правые, а это влечет за собой противоположную направленность векторов и (рис.3). Поэтому векторы и противоположны, то есть
Рис. 3
Доказательство позже.
Декартова прямоугольная система координат называется правой, если базисные векторы системы координат образуют правую тройку. Если особо не оговорено, всегда предполагается, что система координат является правой.
Доказательство. Докажем первое равенство, остальные доказываются аналогично.
Следовательно, векторы и равны.
Доказательство. Если ортонормированный базис декартовой прямоугольной системы координат, то
Используя свойства 1,3,5, получаем
Замечание. Для запоминания последней формулы используют определитель
Действительно, раскладывая определитель по элементам первой строки, получаем
39. Смешанное произведение векторов. Свойства. Доказательство одного свойства.
Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения на
Свойства смешанного произведения
Доказательство.
Необходимость. Если векторы компланарны, то вектор перпендикулярен плоскости векторов и, следовательно, и вектору а тогда
Достаточность. Пусть тогда по определению скалярного произведения
Здесь угол между векторами и Поэтому
Тогда либо 1) , следовательно, компланарны; либо 2) , следовательно, компланарны; либо то есть вектор перпендикулярен вектору , следовательно, компланарны.
Доказательство.
Пусть - площадь параллелограмма, построенного на векторах приведенных к общему началу, вектор - орт вектора высота параллелепипеда, построенного на векторах приведенных к общему началу. Понятно, что
Если векторы образуют правую тройку (рис. 4), то если векторы образуют левую тройку (рис.5), то
Поэтому
Рис.4 Рис. 5
Доказательство. Действительно, все смешанные произведения по модулю равны объему одного и того же параллелепипеда. Первые 3 тройки и последние 3 тройки векторов – одной ориентации.
Если все векторы компланарны, то все смешанные произведения равны 0.
Следствие.
Равенство перепишем в виде
Доказательство. В силу линейности скалярного произведения относительно первого сомножителя
Применяя свойство 3, получаем свойство линейности смешанного произведения относительно второго и третьего множителей
Доказательство. Разложим определитель по элементам третьей строки
41. Алгебраические линии первого порядка. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Определение расстояния от точки до прямой.
Прямая на плоскости
Теорема. Алгебраические линии первого порядка – прямые.
Доказательство.
- заданные числа.
Покажем, что это уравнение определяет на плоскости прямую. Выберем точку координаты которой удовлетворяют уравнению
Тогда и уравнение можно записать в виде
или
Рассмотрим вектор и прямую, проходящую через точку перпендикулярно вектору Пусть точка лежит на прямой. Тогда вектор перпендикулярен вектору или
Легко убедиться, что если точка не лежит на прямой, то ее координаты не удовлетворяют уравнению Следовательно, уравнение и равносильное ему уравнение - уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнение - заданные числа, называется общим уравнением прямой. Вектор называется вектором нормали прямой.
Общее уравнение прямой, проходящей через точку
Если для точек и ввести в рассмотрение радиус-векторы , то общее уравнение (3) может быть записано в векторной форме
Если в общем уравнении прямой все коэффициенты не равны 0, то общее уравнение называется полным. Полное уравнение можно преобразовать следующим образом
Обозначим Тогда уравнение
называется уравнением прямой в отрезках. Числа указывают, какие отрезки прямая отсекает от осей координат.
Каноническое уравнение, параметрические уравнения прямой
Пусть на плоскости задана прямая и выбрана декартова прямоугольная система координат. Пусть Ненулевой вектор , лежащий на прямой называется направляющим вектором прямой.
Выберем произвольную точку Если то и существует такое число , что здесь параметр, Так как то получаем
(5)
Уравнения (5) называются параметрическими уравнениями прямой.
Если то из уравнений (5)
можно исключить параметр
Уравнение (6) называется каноническим уравнением.
Если одно из чисел равно 0, также используют каноническое уравнение (6), полагая, что, если знаменатель дроби равен 0, это означает, что числитель равен 0. Например, если то из уравнений (5)
Так как то второе равенство означает, что любое. Поэтому в этом случае уравнение прямой параллельной оси Каноническое уравнение
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Выведем уравнение прямой, проходящей через 2 точки и Вектор является направляющим вектором прямой, в качестве начальной точки можно взять любую из точек . Подставляя в каноническое уравнение его координаты, получаем
Последнее уравнение и есть уравнение прямой, проходящей через точки
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Рассмотрим прямую, не параллельную оси В этом случае из параметрических уравнений
может быть исключен параметр
Уравнение (7) является уравнением прямой с угловым коэффициентом. Обычно коэффициент обозначают
Можно проверить, что равен тангенсу угла наклона прямой к оси Этим объясняется название коэффициента.
Если раскрыть скобки в уравнении (7) и сгруппировать числа, то получим еще одну форму уравнения прямой с угловым коэффициентом
Взаимное расположение двух прямых на плоскости
то взаимное расположение прямых определяется с помощью векторов нормалей к прямым и .
Условие параллельности и или
Прямые и совпадают, если
Условие перпендикулярности и или
Угол между прямыми и : определяется с помощью угла между нормалями
здесь - направляющие векторы прямых и Тогда с помощью направляющих векторов могут быть выписаны условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Условие параллельности и или
Условие перпендикулярности и или
Угол между прямыми и : определяется с помощью угла между направляющими векторами
здесь - начальные точки прямых, - угловые коэффициенты прямых.
Условие параллельности и так как
Условие перпендикулярности и
Запишем уравнения прямых в виде:
Тогда векторы нормалей и Тогда условие перпендикулярности прямых или
Угол между прямыми и : определяется с помощью угла
Действительно,
Нормальное (нормированное) уравнение прямой
Пусть - расстояние от начала координат до прямой угол между осью и перпендикуляром к прямой , - орт вектора
Если точка принадлежит прямой, то проекция вектора на ось, определяемую вектором равна
Так как то получаем уравнение
или
Можно проверить, что если точка не лежит на прямой, ее координаты не удовлетворяют уравнению (8), так как Следовательно, уравнение (8) является уравнением прямой .
Отметим, что это фактическт общее уравнение прямой, вектором нормали является единичный вектор
Величина называется отклонением точки от прямой заданной уравнением (8). Отклонение положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если точка и начало координат лежат по одну сторону от начала координат.
Расстояние от точки до прямой
Если известно общее уравнение прямой , то для нахождения нормированного уравнения, определяем нормирующий множитель (чтобы длина нормали стала равна 1)
Так как в нормальном уравнении свободный член должен быть отрицательным, то знак выбираем противоположным коэффициенту Умножив обе части общего уравнения на нормирующий множитель, получим нормальное уравнение.
Пример 2. Найти расстояние от точки до прямой
Решение. Найдем нормирующий множитель
Умножаем обе части уравнения прямой на нормирующий множитель
Тогда расстояние от точки до прямой равно
Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений
Чаще всего для решения линейной алгебраической системы используют именно метод Гаусса. Другое название метода – метод исключений. Основная идея метода заключается в том, что первая неизвестная исключается из всех уравнений, кроме первого, вторая – из всех, кроме первого и второго и так далее. В результате система приводится к системе равносильной данной, но более просто решающейся. Для того, чтобы решить систему уравнений
выпишем расширенную матрицу системы
Над строками матрицы будем производить элементарные преобразования:
С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы уравнений, равносильной исходной. При этом стараются матрицу привести к трапециевидной форме.