Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант 3
Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме):
Решение. а). Выразим тангенс через синус и косинус: . Применим формулы для синуса разности и косинуса разности. Тогда . Воспользуемся формулами связи между тригонометрическими и гиперболическими функциями: ch(πi/2)=cos(π/2); sh(πi/2)=
= i·sin(π/2). Получим: .
б). Воспользуемся формулой . В данном случае . Найдём модуль и аргумент этого числа: (первая четверть). Таким образом .
Ответ. а) ; .
Задача 2. Выяснить геометрический смысл соотношения. Сделать чертёж.
Решение. Так как z=x+iy, то данное соотношение имеет вид:
Или . Возведём обе части в квадрат. Получим: . Или Уравнение можно поделить на 2, получим: 3x-y-4=0.
Ответ. Данное соотношение представляет уравнение прямой .
Задача 3. Решить уравнение:
Решение. Перейдём к гиперболическим функциям:
Получим уравнение Или Умножим уравнение на 2eiz. Тогда уравнение примет вид: Введём обозначение V=eiz. Найдём корни квадратного уравнения (1+i)V2+2V+(1-i)=0 :
. Следовательно,
Таким образом, имеем два корня:
Найдём модули и аргументы этих чисел:
.
Так как V=eiz, то iz=LnV или z=-i·LnV. Далее воспользуемся формулой . Получим: . Аналогично,
.
Ответ. , .
Задача 4. Доказать тождество.
Решение. Рассмотрим правую часть равенства:
, что и требовалось доказать.
Задача 5. Восстановить аналитическую функцию по заданной мнимойой части её:
если f(i)=0.
Решение. Чтобы функция v(x,y) бала мнимой частью аналитической функции нужно, чтобы она была гармонической, т.е. лапласиан ∆v был бы равен нулю: ∆v=0, . Проверим выполнение этого условия, для чего найдём производные второго порядка от v по x и по y:
Чтобы лапласиан ∆v был равен нулю, нужно положить A=1. Таким образом, функция является гармонической. Восстановим действительную часть u(x,y)
функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y), пользуясь условиями Даламбера-Эйлера:
Из первого условия получаем: Тогда , или Производная по y от этого выражения равна С другой стороны по второму условию Даламбера-Эйлера Приравнивая эти выражения, получим: Или Таким образом, Тогда Перейдём к переменной z: .
Воспользуемся дополнительным условием f(i)=0. В данном случае f(0)=1+C. Т.е. C=-1.
Ответ.
Задача 6. Вычислить интеграл по дуге C от точки z1 до точки z2.
Решение. Вычислим интеграл, сводя его к криволинейным интегралам второго рода по формуле . В данном случае f(z)=1+2(x-iy) или Значит . Примем y за параметр. Тогда x=y2, dx=2ydy. Начальной точке z1=0 соответствует значение y=0, конечной z2=1-i – значение y=-1. Следовательно,
.
Ответ. .
Задача 7. Вычислить интеграл от аналитической функции. .
Решение. Применим формулу интегрирования по частям:
Перейдём к тригонометрическим функциям: . Получим:
.
Ответ. .
Задача 8. Найти интеграл, используя интегральную формулу Коши, по конту-
рам L1, L2, L3.
Решение. 1). Подынтегральная функция аналитична всюду, за исключением точек z=2, z=-1, z=1, z=-i и z=i. В круге есть одна особая точка z=2. Тогда по интегральной формуле Коши
.
2). Внутри области также расположена одна особая точка z=-1. Тогда по интегральной формуле Коши : .
3) Внутри круга находится две особых точки: z=-1 и z=i. Поэтому применим теорему Коши для многосвязной области:
, где l1 - окружность достаточно малого радиуса с центром в точке z=-1, а l2 - окружность малого радиуса с центром в точке z=i. Первый интеграл в этой сумме совпадает с I2. Вычислим второй интеграл по интегральной формуле Коши: . Тогда .
Ответ. .
Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.
3) 8<|z+3|.
Решение. Корнями уравнения z2-2z-15=0 являются числа z1=5 и z2=-3. Разложим эту дробь на простые дроби: Или . При z=5 получим A=1/4. Если положить z=-3, то получим В=3/4. Следовательно, 1). В кольце имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом: Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где . В первой дроби q=z/5, во второй дроби q=-3/z. Следовательно,
2). В кольце выполняются неравенства . Следовательно, .
3)
Ответ. 1). в кольце .
2). в кольце .
3) в кольце 8<|z+3|.
Задачи 10-11. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
10. 11.
Решение. 10.. Значения z1=i и z2=-i являются полюсами подынтегральной функции кратности 2. Тогда
(так как ch(iz)=cos(z), sh(iz)=isin(z)).
. Здесь учтено, что ch(0)=1, а sh(0)=0. Получим окончательно:
11. Подынтегральная функция имеет существенно особую точку z=1. Поэтому для вычисления вычета относительно этой точки следует разложить функцию в ряд Лорана. Воспользуемся разложением в ряд функции sh(w) по степеням w: Полагая , найдём разложение данной функции:
Последующие члены ряда не содержат степеней (z-1)-1. Вычет данной функции равен коэффициенту при (z-1)-1 в данном разложении, т.е. . Следовательно.
Ответ. 10. . 11.
Задача 12. Вычислить несобственный интеграл с помощью вычетов.
Решение. Найдём корни знаменателя функции , решая биквадратное уравнение: (z2)2+25(z2)+144=0, . Следовательно, . В данном случае в верхней полуплоскости расположены два полюса z=3i и z=4i функции
Тогда
Следовательно.
Ответ.
Задача 13. Вычислить интеграл от заданной ветви многозначной функции по кривой С от точки z1 до точки z2.
, где С – верхняя полуокружность , z1=1, z2=-1, .
Решение. Рассмотрим функцию Рассматривается та ветвь функции, для которой в точке z=1 функция будет принимать заданное значение. С одной стороны , так как 1=cos(0)+isin(0). С другой стороны . Сравнивая эти выражения, приходим к выводу, что указанной ветви функции соответствует значение k=2. Следовательно, данная ветвь функции имеет уравнение .
Таким образом, .
Ответ. .
x
y
x-y-4=0
-1
2
x
y
L1
L2
L3
-i