Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им.А.Н.Туполева
(г. Набережные Челны)
Кафедра естественнонаучных дисциплин
А.Р. Вазиева
Начертательная геометрия
Учебно-методическое пособие
Набережные Челны – 2013
УДК 159.929
ББК 88.2
В13
Печатается по решению с учебно-методического совета
Казанский государственный технический университет (г.Казань).
Вазиева А.Р.
В13 Начертательная геометрия: учебно-методическое пособие / А.Р.Вазиева. – Казань: Изд-во Казанского государственного технического университета (г.Казань)., 2013. – 62 с.
Обсужден и одобрен на заседании кафедры естественнонаучных дисциплин
УДК 159.929
ББК 88.2
ã Казанский государственный технический университет (г.Казань), 2013
ã Вазиева А.Р., 2013
Содержание
Начертательную геометрию студенты изучают на первом курсе обучения. Перед изучением курса необходимо прежде всего озна комиться с программой, приобрести учебную литературу и тща тельно продумать календарный рабочий план самостоятельной учебной работы, согласуя его с учебным графиком и планами по другим учебным дисциплинам первого курса. Наряду с изучением теории необходимо ознакомиться с решением типовых задач каждой темы курса и выполнить контрольные работы.
Надо учитывать уровень своей математической подготовки, уметь достаточно точно и аккуратно выполнять графические пост роения при решении конкретных геометрических задач. Правильно построенные самостоятельные занятия по начертательной геомет рии разрешат трудности в изучении этой дисциплины и научат студента уметь представлять всевозможные сочетания геометри ческих форм в пространстве. Начертательная геометрия способствует развитию пространственного воображения (мышле ния), умению "читать" чертежи, с помощью чертежа передавать свои мысли и правильно понимать мысли другого, что крайне не обходимо инженеру.
При изучении начертательной геометрии следует придержи ваться следующих общих указаний:
1. Начертательную геометрию нужно изучать строго после довательно и систематически. Перерывы в занятиях, а также пе регрузки нежелательны.
2. Прочитанный в учебной литературе материал должен быть глубоко усвоен. В начертательной геометрии следует избегать механического запоминания теорем, отдельных формулировок и ре шений задач. Такое запоминание непрочно. Студент должен разоб раться в теоретическом материале и уметь применять его как об щую схему к решению конкретных задач.
При изучении того или иного материала курса не исключено возникновение у студента ложного впечатления, что все прочи танное им хорошо понято, что материал прост и можно не задер живаться на нем. Свои знания надо проверить ответами на поставленные в конце каждой темы учебника вопросы и решением задач.
3. Очень большую помощь в изучении курса оказывает хороший конспект учебника или аудиторных лекций, где записывают основ ные положения изучаемой темы и краткие пояснения графических построений в решении геометрических задач. Такой конспект по может глубже понять и запомнить изучаемый материал. Он служит также справочником, к которому приходится прибегать, сопостав ляя темы в единой взаимосвязи.
Каждую тему курса по учебнику желательно прочитать дваж ды. При первом чтении учебника глубоко и последовательно изу чают весь материал темы. При повторном изучении темы рекомен дуется вести конспект, записывая в нем основные положения тео рии, теоремы курса и порядок решения типовых задач. В конспек те надо указать ту часть пояснительного материала, которая плохо запоминается и нуждается в частом повторении. При подго товке к экзамену конспект не может заменить учебник.
4. В курсе начертательной геометрии решению задач должно быть уделено особое внимание. Решение задач является наилучшим средством более глубокого и всестороннего постижения основных положений теории.
Прежде чем приступить к решению той или иной геометри ческой задачи, надо понять ее условие и четко представить себе схему решения, т.е. установить последовательность выполнения операций. Надо представить себе в пространстве заданные гео метрические образы.
5. В начальной стадии изучения курса начертательной гео метрии полезно прибегать к моделированию изучаемых геометри ческих форм и их сочетаний. Значительную помощь оказывают за рисовки воображаемых моделей, а также их простейшие макеты. В дальнейшем надо привыкать выполнять всякие операции с геомет рическими формами в пространстве на их проекционных изображе ниях, не прибегая уже к помощи моделей и зарисовок. Основатель ная проверка знаний студента может быть проведена им же самим в процессе выполнения контрольных работ. Здесь студент должен поставить себя в такие условия, какие бывают на экзамене.
6. Если в процессе изучения курса начертательной геомет рии у студента возникли трудности, то он должен обратиться за письменной консультацией на кафедру института или за устной консультацией в учебно-консультативный пункт (филиал) по месту своего прикрепления. Студент-заочник должен поддерживать самую тесную связь с преподавателем-рецензентом по всем вопросам, связанным с изучением учебной дисциплины
7. Выполнив все контрольные работы по курсу начертатель ной геометрии и имея рецензии на них с отметкой "Зачтено", студент имеет право сдавать экзамен. На экзамен представляются зачтенные контрольные работы по каждой теме курса; по ним про изводится предварительный опрос-собеседование. Преподаватель вправе аннулировать представленное контрольное задание, сооб щив об этом на кафедру и на факультет, если при собеседовании убедится, что студент выполнил контрольные работы не самостоя тельно.
На экзамене студенту предлагается решить две-три задачи и ответить на один-два теоретических вопроса. Решение задач вы полняется на листе чертежной бумаги (ватман) формата А 3 (297х420) с помощью чертежных инструментов в карандаше. На эк замен необходимо принести с собой лист чертежной бумаги (ват ман формата А 3, два треугольника, карандаши ( жесткий и мяг кий), циркуль-измеритель, резинку.
Контрольные работы. Контрольные работы по начертательной геометрии представляют собой эпюры (чертежи), которые выполня ют по мере последовательности прохождения курса. Каждый конт рольный эпюр сопровождается планом его решения, т.е. кратким описанием хода решения задачи.
Задания на контрольные работы индивидуальные. Они представлены в вариантах. Студент выполняет тот вариант зада ния, номер которого соответствует сумме двух последних цифр его кода. Если, например, учебный код студента 788133, то он во всех контрольных работах выполняет шестой вариант задания. Каждая контрольная работа представляется на рецензию в полном объеме (необходимое число эпюров с объяснительными записками к ним). Представление контрольных работ по частям (отдельным эпюрам) не разрешается. На каждую контрольную работу препода ватель кафедры составляет рецензию, в которой кратко отмечает достоинства и недостатки работы. Контрольную работу вместе с рецензией возвращают студенту, и она хранится у него до экза мена. Пометки преподавателя должны быть приняты студентом к исполнению. Если работа не зачтена, преподаватель в рецензии указывает, какую часть контрольной работы надо переделать или же выполнить всю контрольную работу вновь. На повторную рецензию следует высылать всю контрольную работу полностью. К вы полнению следующей контрольной работы приступить, не ожидая ответа на предыдущую.
Контрольные работы представляются на рецензию строго в сроки, указанные в учебном графике.
Эпюры контрольных работ выполняются на листах чертежной бумаги формата А 3 (297х420 мм). На расстоянии 5 мм от линии обреза листа проводится рамка поля чертежа. С левой стороны линия рамки проводится от линии обреза листа на расстоянии 20 мм. В правом нижнем углу формата вплотную к рамке помешается основная надпись. Размеры ее и текст на ней показаны на черте жах-образцах настоящего пособия.
Задания к эпюрам берутся в соответствии с вариантами из таблиц. Чертежи заданий вычерчиваются в заданном масштабе и размещаются с учетом наиболее равномерного размещения всего эпюра в пределах формата листа.
Все надписи, как и отдельные обозначения в виде букв и цифр на эпюре, должны быть выполнены стандартным шрифтом раз мером 3,5 и 5 в соответствии с ГОСТ 2. 304-81. Эпюры выполня ются с помощью чертежных инструментов: вначале карандашом с последующей обводкой всех основных построений пастой шариковой ручки. На тщательность построений должно быть обращено серьез ное внимание. Небрежно выполненные построения не только снижа ют качество чертежа, но приводят к неправильным результатам. При обводке пастой характер и толщина линий берутся в соот ветствии с ГОСТ 2.303-68. Все видимые основные линии - сплош ные толщиной S=0,8... 1,0 мм. Линии центров и осевые – штрих - пунктирной линией толщиной от S/2 до S/3 мм. Линии построений и линии связи должны быть сплошными и наиболее тонкими. Линии невидимых контуров показывают штриховыми линиями. На это сле дует обратить внимание при выполнении всех контрольных работ, имея при этом ввиду, что заданные плоскости и поверхности не прозрачны.
Желательно при обводке пользоваться цветной пастой. При этом все данные линии обводятся черной пастой, искомые линии - красной пастой, линии построений - синей или зеленой (пастой). Все основные вспомогательные построения должны быть сохранены. Точки на чертеже желательно вычерчивать в виде окружности диа метром 1,5...2 мм с помощью циркуля - "балеринки" (см. чертежи - образцы в учебниках). Рекомендуется отдельные видимые эле менты геометрических тел и поверхностей покрывать бледными то нами красок, используя акварель, разведенную в воде тушь, чай или цветные карандаши. Всегда, однако, следует помнить о том, чтобы тона были очень бледными, не затемняли линий построе ний, надписей и обозначений.
Каждый эпюр сопровождается пояснительной запиской, в ко торой на одном листе писчей бумаги формата А4 (297х210 мм) кратко излагаются план решения задач и последовательность гра фических построений. Этот лист писчей бумаги приклеивается с левой стороны чертежного листа на полосе между краем листа и рамкой. Листы выполненной контрольной работы складывают до формата А4, вкладывают в конверт и высылают на рецензию в институт.
1. Плоскости проекций и их поля:
фронтальная V
горизонтальная Н
профильная W
2. Дополнительно вводимые плоскости или плоскости в пространстве: P;Q;R;S;T
3. Начало координат, оси координат: 0; x; y; z.
4. Точки в пространстве: А; В; С; Д;...; 1; 2; 3;...
5. Последовательность точек в пространстве А1; А2; А3;…
6. Линии (прямые и кривые) в пространстве, их отрезки АВ; ВС; 12; 23;…
7. Углы в пространстве, натуральные величины углов α; β; γ;…
8. Проекции точек:
фронтальные а'; в';...; 1'; 2';...
горизонтальные а; в;...; 1; 2;...
профильные а"; в";...; 1"; 2";...,
9. Следы прямых, их проекции M; N; m; n; m׳; n׳; m׳׳; n׳׳.
10. Следы плоскостей:
фронтальный PV; QV;…
горизонтальный PH; QH;…
профильный PW; QW;…
11. Дополнительные обозначения плоскости в пространстве:
P (ABC); Q (AB×BC); R (AB||ДС); …
на эпюре P (авс; а׳в׳с׳); Q (ав×вс; а׳в׳×в׳с׳); …
12. Плоскость аксонометрических проекций Р0
13. Система аксонометрических осей и начало координат: x0; y0; z0; o0
14. Треугольник следов плоскости аксонометрических проекций АВС или x;y;z
15. Показатели (коэффициенты) искажения по осям H; V; W.
16. Совпадение двух геометрических элементов А=а; АВ= а׳в׳;…
17. Взаимная принадлежность двух геометрических элементов; например: точка А принадлежит плоскости Р. mA ∩P; mA ∩P
18. Параллельность геометрических элементов ||
19. Пересечение двух прямых, фигур ×
20. Результат геометрических построений =
21. Прямой угол ∟
ЦЕЛЬ: Проверка и закрепление знаний теоретического материала и уме ние применять его к решению задач на построение комплексного безосного чертежа по заданным координатам, на взаимное положение точек, прямых и плоскостей; к решению задач способами преобразования проекций; к по строению фигур сечения тел плоскостями, натуральных величин сечений, разверток усеченных тел.
ОБЪЕМ: Состоит из девяти заданий, выполняемых на пяти листах Фор мата АЗ и пояснительной записки. Работа обводится тушью: заданные ли нии — черной, искомые — красной, все построения — синей, следы задан ных (введенных) плоскостей — зеленой.
Чертежи заданий 8 и 9 выполняются с акварельной заливкой проекций усеченного плоскостью геометрического тела, его развертки и аксономет рической проекции. Для выделения фигуры сечения в проекциях, развертке и аксонометрии рекомендуются повторные покрытия сечения акварельным раствором. Цвет раствора студент выбирает самостоятельно, отдавая пред почтение голубым, зеленым, желтым тонам.
Вопросы для самопроверки
Тема: Ортогональный чертеж точки, прямой и геометрического тела.
Содержание: Эпюр содержит решение двух задач.
Построить три вида тетраэдра по координатам, данным в таб лице № 1.
Построить безосный чертеж ребра АВ. Образец выполнения задания на чертеже 1.
Пояснения к теме. На рис. 1 изображены три взаимоперпендикулярных плоскости. Примем их за плоскости проекций. Одна из них — горизонтальная плоскость Н, дру гая — фронтальная плоскость V и третья — профильная плоскость W. Линии пересечения плоскостей проекций называются осями проекций. Ось проекций, разделяющая плоскости V и Н, обозначается буквой х; ось, раз деляющая плоскости V и W — 2; а ось между Н и W — у. На рис. 1а пока зано построение проекций некоторой точки А в системе Н, V, W. Проведя из т. А перпендикуляры к плоскостям Н, V, получаем проекции точки А: фронтальную, обозначенную а', горизонтальную — а и профильную — а". Итак, проекции точки получаются расположенными на прямых, перпенди кулярных к осям проекций и пересекающих ось в одной и той же точке (аX, аУ, аz).
Повернув плоскости H и W вокруг осей проекций на угол 90° по стрелкам, получим одну плоскость - плоскость чертежа; проекции а', а и а" расположатся на перпендикулярах к осям проекций — на линиях связи. В результате указанного совмещения плоскостей V, Н и W получается чертеж, известный под названием эпюр.
Наличие оси проекций определяет положение точки относительно плоскостей проекций. Отрезок ааХ выражает расстояние точки А от плоскости проекций Н, а отрезок ааz — расстояние точки А от плоскости V. Чтобы определить на чертеже расстояние от плоскости W, необходимо найти профильную проекцию этой точки. Построение профильной проекции по фронтальной и горизонтальной производится с помощью вспомогательной прямой, расположенной под углом 45о и линий связи, как показано на рис. 1б. Расстоянии точки А от плоскости W равно отрезку аау. Все это позволяет пользоваться прямоугольными координатами, т. е. числами, выражающими расстояния от трех взаимоперпендикулярных плоскостей — плоскостей ко ординат Н, V, W. Первая координата точки А, называемая ее абсциссой, рав на отрезку оах и измеряется в миллиметрах (23). Вторая координата точ ки А, называемая ее ординатой, соответствует отрезку оау и равна 15 мм. Наконец, третья — аппликата, соответствует отрезку оаz и равна 20 мм. Построение точки по задающим ее координатам в наглядном изображении сводится к
построению трех ребер параллелепипеда координат. Точки В, С и Д на рис. 1 лежат на плоскостях проекций, т. е. занимают частное положение.Точка В лежит на фронтальной плоскости проекций, она совпадает с фронтальной проекцией b׳, ее горизонтальная проекция b лежит на оси абсцисс и совпадает с точкой bx. Координаты точки В (35, 0, 37); точки С (5, 22, 0); Д (0, 28, 32).
Положим, дана точка N (40, 25, 30), эта запись означает, что точка N определяется координатами x=40 мм, у=25 мм, z=30 мм. Единица изме рения на рис. 2 равна 10 мм, соответственно по оси х отложено 4 отрезка.
Предположим, что даны фронтальные и горизонтальные проекции точек А и В (рис. 3). Проведя через одноименные проекции этих точек прямые ли нии, мы получаем проекции отрезка АВ — фронтальную (а'в') и горизонталь ную аb. С помощью линий связи и постоянной линии чертежа построена третья проекция этой прямой. Точки А и В находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей V, Н и W, т. е. прямая АВ не параллельна ни одной из них. При этом ни одна из проекций прямой не параллельна оси проекций ох и не перпендикулярна к ней. Такая прямая называется прямой общего положения.
Две прямых в пространстве могут располагаться параллельно друг дру гу, пересекаться и скрещиваться. На рис. 4 изображены две скрещиваю щиеся прямые общего положения: хотя одноименные проекции и пересе каются между собой, но точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, параллельной линиям связи |׳| и m’m, т. е. эти прямые не пере секаются между собой. Точка пересечения одноименных проекций скрещи вающихся прямых представляет собой проекции двух точек, из которых одна принадлежит одной, а вторая — другой из этих скрещивающихся прямых. Например, точка с проекциями к’ и к принадлежит прямой АВ, а точка с проекциями I’ и I принадлежит прямой СД. Эти точки одинаково удалены от плоскости V, но расстояния их от плоскости Н различны: точка с проекциями I’ и I выше, т.е. дальше от Н, чем точка с проекциями к' и к. Точки с проек циями m', m и n’ одинаково удалены от плоскости Н, но расстояния этих точек от плоскости V различны.
Точки К, L, M, N называются конкурирующими точками. С помощью их определяют видимость элементов. Из двух конкурирующих точек видимой считается та, у которой координата больше. Точка с проекциями I' и I, при надлежащая прямой СД, закрывает собой точку с проекциями к' и к прямой АВ по отношению к плоскости Н; соответствующее направление взгляда по казано стрелкой у проекции I'. По отношению к плоскости V точка N с про екциями n' и n прямой СД закрывает собой точку М с проекциями m' и m прямой АВ; направление взгляда указано стрелкой внизу, у проекции n.
В начертательной геометрии наряду с чертежами, содержащими оси проекции, применяются чертежи без указания осей. Из сравнения чертежей а) и б) рис. 5 следует, что одном случае положение плоскостей V и Н уста новленно проведением линии их пересечения оси х и тем самым установле ны расстояния точек от плоскостей проекций. На чертеже 56 вопрос о расстояниях точек А и В от плоскостей V и Н отпадает, т. к. ось проекций отсутствует; рассматриваются некоторые точки, заданные своими проекциями, безотносительно к тому, где находятся плоскости проекций.
Можно, имея чертеж без указания оси проекций, ввести эту ось и тем задать расстояния точки от условно выбранных плоскостей V и Н. Вводя ось ее надо провести обязательно перпендикулярно к линии связи, но безраз лично в какой именно точке на этой линии (если не указывается какое-либо условие). На безосном чертеже устанавливается разность расстояний точек А и В от плоскости проекций. В данном примере разность расстояний точек от плоскости Н определяется отрезком а5 (∆z), от плоскости V — отрез ком b6 (∆у).
Методические указания к выполнению эпюра
1. Задать начало координат точку О и провести оси.
2. По заданным координатам построить вершины тетраэдра и последовательно их соединить.
3. С помощью постоянной прямой построить третью проекцию тела.
4. Обозначить конкурирующие точки на трех проекциях. Определить видимость ребер.
5. Построить безосный чертеж одного ребра по разности координат.
Тема: Способы преобразования эпюра: вращение вокруг проецирующих прямых линий, замена плоскостей проекций. Содержание: Эпюр содержит три задачи.
Задача 3. Отрезок АВ задать координатами точек А и В. Найти на нем точку С, отстоящую от точки А на расстоянии i. Отрезком i задаться. На пример, i = 50 мм. Задачу решить способом вращения вокруг оси перпендикулярной к плоскостям проекций Н или V (по выбору студента).
Задача 4. Определить натуральную величину двугранного угла между плоскостями треугольников АВС и ВСД. Задачу решить способом замены плоскостей проекций.
Задача 5. Найти точку пересечения высот (ортоцентр) треугольника АЗС Задачу решить способом замены плоскостей проекций. Координаты для точек задач 3, 4, 5 взять из таблицы 1. Образец выполнения задач на чертеже 2.
Пояснения к теме
Способы преобразования проекций предназначены для решения метрических задач, связанных с определением натуральных размеров и формы изображаемых на эпюре геометрических объектов.
В начертательной геометрии чаще других рассматриваются способы вращения и замены плоскостей проекций.
Сущность способа вращения для прямой состоит в изменении положения прямой на эпюре таким образом, чтобы она заняла относительно плоскостей проекций частное положение и проецировалась без искажения. Вращение может проводиться вокруг осей, расположенных относительно плос костей проекций различным образом. На эпюре 2 мы рассмотрим вращение вокруг проецирующих осей.
При вращении точки вокруг оси, перпендикулярной плоскости проек ций, одна ее проекция перемещается по окружности, а вторая — по прямой, перпендикулярной проекции оси вращения (рис. 6а).
Окружность, описываемая точкой А, спроецируется на плоскость Н без искажения, а на плоскости V — в виде отрезка прямой (рис 6б). На рисунке 7 прямая общего положения AВ одним вращением вокруг горизонтально-проецирующей оси преобразована в линию уровня (фронтальную прямую), а вторым вращением вокруг оси перпендикулярной фронтальной плоскости проекций, прямая АВ приведена в горизонтально-проецирующее положение и проецируется на плоскость Н в точку.
Сущность способа замены плоскостей проекций заключается b том, что при неизменном положении объекта в пространстве производится за мена данной системы плоскостей проекций новой системой взаимно-перпен дикулярных плоскостей (рис. 8а). При переходе к новой системе одну из плоскостей проекций заменяют новый таким образом, чтобы данный ге ометрический элемент (прямая, плоскость) занял частное положение и проецировался без искажения (рис 36). Для того, чтобы прямая АВ спроецировалась линией уровня, вводим новую плоскость проекций параллельно заданной прямой. При этом новая ось х, будет параллельна одной из проек ций прямой, например, ось х1 проведена параллельно горизонтальной про екции аb, а новая плоскость проекций Р расположена параллельно прямой А Б, причем новая ось х1 и плоскость проекций Р могут располагаться на любом расстоянии от прямой АВ.
При замене плоскостей проекций расстояние от новой проекции точки до новой оси равно расстоянию от заменяемой проекции точки до старой оси проекций. В данном на чертеже случае, высоты (аппликаты) концов отрезка в новой системе плоскостей проекций остаются прежними.
Для того, чтобы прямая АВ оказалась проецирующей, т. е. изобразилась точкой, необходимо произвести вторую замену плоскостей проекций и расположить новую плоскость Б перпендикулярно прямой АВ рис. 86. Новая ось х2 выбрана на эпюре перпендикулярно проекции прямой aрbp. На но вой плоскости проекции 5 прямая изобразится точкой, так как координаты концов отрезка в системе Н/Р одинаковы.
Если требуется определить истинную величину плоской фигуры, напри мер, треугольника АBС, занимающего в пространстве общее положение, то для решения этой задачи необходимо преобразовать эпюр так, чтобы плос кость общего положения стала параллельной одной из плоскостей проекций новой системы. Для этого выполняются два преобразования: сначала следу ет преобразовать плоскость общего положения в проецирующую, а затем в плоскость уровня, это условие выполняется с помощью главных прямых плоскости —- линий уровня, например, горизонтали (рис. 9).
Порядок выполнения эпюра
1.Для задачи 2-3 выполняем две проекции отрезка АВ по заданным координатам.
2.Задаем ось вращения i перпендикулярно к горизонтальной плоскос ти проекций и в конце отрезка АВ.
3.Вращая отрезок АВ вокруг оси i, получаем его натуральную величину a’1b’1, на которой строим искомую точку С’1, откладывая b’1c’1=50мм, и обратным проецированием находим ее проекции С’, C.
4. Для задачи 2-4 выполняем две проекции точек А, В, С, Д по заданным координатам, соединяем точки ABC, ДВС: получаем горизонтальную и фронтальную проекции двугранного угла АВСД (abсd, a'b'c'd').,
5.Задаем ось х1 параллельно горизонтальной проекции ребра ВС (bс) двугранного угла и в результате первой замены плоскости V на плоскость Р получаем натуральную величину ребра bpcp.
6.Задаем ось х2 перпендикулярно новой проекции ребра ВС(bpcp) и, в результате второй замены плоскости Н на плоскость S, получаем вырожденную в точке проекцию ребра b│c│ и вырожденные в прямые плоскости двугранного угла, т.е. получаем действительную величину двугранного угла.
7.Для задачи 2-5 выполняем две проекции треугольника АВС( abc, a’b’c’) по заданным координатам и строим в треугольнике горизонталь А1(а’1’││ox).
8.Задаем ось Х перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали А1 (а1) и в результате первой замены плоскости V на плоскость P получаем вырожденную в отрезок проекцию треугольника арbpcp, который перпендикулярен к плоскости Р.
9.Задаем ось Х2 параллельно новой проекции треугольника арbpcp и в ре зультате замены плоскости Н на плоскость S, параллельную треугольнику ABC, получаем натуральную величину треугольника аsbscs, в котором и находим его ортоцентр Оs. Обратным проецированием находим проекции ортоцентра оp; о; o’.
Тема: Способы преобразования эпюра: плоскопараллельное перемещение, вращение вокруг линии уровня.
Содержание: Эпюр содержит решение двух задач.
Задача 6. Найти центр О (о’, о) окружности, описанной около треугольника ABC. Задачу решить способом плоскопараллельного перемещения.
Задача 7. Определить натуральный вид треугольника ABC. Задачу решить способом вращения линии уровня.
Координаты для точек задач 6, 7 взять из таблицы 1. Образец вы полнения задания на чертеже 3.
Пояснения. Плоскопараллельное перемещение можно рассматривать как вращение вокруг невыявленных осей, перпендикулярных к плоскостям проекций. Все точки геометрического объекта в этом способе перемещаются во взаимно па раллельных плоскостях, а теорема способа читается следующим образом.
При плоскопараллельном перемещении геометрического объекта одна из его проекций, не изменяясь, перемещается в плоскости проекций, другие проекции точек геометрического объекта перемещаются по прямым, парал лельным направлению оси проекций.
В решении ряда метрических задач требуется преобразовать прямую общего положения в прямую уровня, а затем — в проецирующую, выполнив при этом последовательно два преобразования. Рассмотрим решение этой за дачи Пусть дан отрезок AB (ab, a’b'), рис. 10.
Если переместить горизонтальную проекцию ab отрезка в положение a’b', параллельное оси проекций, то вторая ее проекция а'1b'1 натуральной ве личине отрезка. Проекции а'1 и b'1 прямой в смещенном положении определя ем на линиях связи и горизонтальных прямых (на следах плоскостей движения этих точек).
Перемещая фронтальную проекцию а'1b'1 в положение а'2b'2 и определяя горизонтальную проекцию отрезка а'2b'2, получим новое положение прямой, перпендикулярное горизонтальной плоскости проекций.
Применение способа плоскопараллельного перемещения к определению натуральной величины плоскости, например, треугольника, аналогично спосо бу замены плоскостей проекций, выполняя решение задачи с помощью линии уровня плоскости, например горизонтали (см. образец решения задачи 6 на чер. 3).
Способ вращения вокруг линии уровня применяется для преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня и для определения действи тельной величины плоской фигуры. Задача решается одним вращением вокруг линии уровня данной плоскости (горизонтали или фронтали).
Для уяснения рассмотрим вращение точки вокруг горизонтальной прямой (рис. 11а) до совмещения с некоторой плоскостью Н, параллельной горизонтальной плоскости проекций Н.
Точка А вращаясь вокруг горизонтали Q, опишет дугу окружности, лежа щую в плоскости проекций Р, перпендикулярной к этой прямой Q, как к оси вращения. Плоскость Р в данном случае горизонтально-проецирующая, поэ тому горизонтальная проекция окружности, описываемой точкой А, на горизонтальной плоскости проекций совпадает с горизонтальным следом плоскости Р (Рн). Центр вращения находится в точке О, в которой ось вращения Q (q) пересекает плоскость вращения Р (Рн). Радиус вращения R точки А будет равен ОА. Новое положение точки А в плоскости Н, найдем на следе Рн на расстоянии от оси вращения, равном ОА.
На рис. 11б для нахождения нового положения точки А необходимо определить натуральную величину радиуса вращения способом прямоуголь ного треугольника. В прямоугольном треугольнике оаао, одним катетом оа яв ляется горизонтальная проекция — радиуса R, вторым аао — высота точки А относительно горизонтальной плоскости Н, взятой с фронтальной проекции. Гипотенуза треугольника оао является истинной величиной радиуса вращения.
На рисунке 12 показано применение данного метода в определении вели чины угла между двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС, где вращаем точку А вокруг линии уровня (горизонтали) данного угла ВАС.
Порядок выполнения эпюра
Для задачи 3-6 вычерчиваем две проекции треугольника ABC по заданным координатам и строим в треугольнике горизонталь A1 (а1, а’1’).
Перемещаем горизонтальную проекцию треугольника abc в новое по ложение a1b1c1, располагая горизонталь a111 вертикально или перпендикуляр но к фронтальной плоскости проекций, размеры проекций треугольника оста ются без изменения.
Фронтальную проекцию треугольника в новом положении строим сог ласно теореме способа перемещения.
Вторым перемещением проекцию треугольника a│b│c│ приводим без изменения в положение a’2b’2c’2 параллельное горизонтальной плоскости Н. Построив проекцию a2b2c2 треугольника, получаем его натуральную величину, где строим центр О2 окружности описанной около треугольника a2b2c2 . Обрат ным проецированием находим фронтальную и горизонтальную проекции центра о’, о, используя вспомогательную прямую а2, а'2'.
5. Для задачи 3-7 вычерчиваем две проекции треугольнике АBC (abc, а’b’с’) по заданным координатам.
Строим фронталь плоскости треугольника с1, с’1’ за его пределами во избежание наложений изображения.
Вращаем точку В вокруг оси i, выполняя чертеж вращения на фронталь ной проекции треугольника.
Новую проекцию (a’1) точки А получаем на прямой b111 и перпендикуля ре к оси вращения а’а’1 . Соединив точки a1b1c1, получаем действительную ве личину треугольника ABC.
Тема: Сечение многогранников плоскостью.
Содержание: Построить фигуру сечения многогранника плоскостью. Определить натуральную величину сечения. Построить развертку и аксонометрическую проекцию усеченной части многогранника. Образец выполнения эпюра на чертеже 4. Размеры индивидуальных вариантов приведены в таблице 2.
Пояснения
В зависимости от положения секущей плоскости фигурой сечения пирамиды может быть:
Многоугольник, подобный основанию, если секущая плоскость па раллельна основанию.
Многоугольник, не подобный основанию, если секущая плоскость на клонена к основанию.
Треугольник, если секущая плоскость проходит через вершину пирамиды.
На образце и в условии задачи № 8 дана прямая треугольная пирамида, в любом сечении которой всегда будет треугольник. Она пересечена фрон тально-проецирующей плоскостью. Точки 1, 2 и 3 лежат на фронтальном следе Р„. Горизонтальные проекции 1, 2 и 3 этих точек находятся в пересечении линий связи, проведенных из фронтальных проекций 1', 2' и 3' с горизонтальными проекциями ребер пирамиды. Для построения профильной проекции сечения находят профильные проекции его точек 1", 2'' и 3", которые соединяют отрезками прямых. Натуральная величина фигуры сечения найдена методом вращения вокруг оси, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций. В нашем случае она совпадает с точкой пересечения следов плоскости сече ния, с точкой Рх. Искомые точки натуральной фигуры сечения получаются в результате пересечения горизонтальных линий связи, проведенных с горизон тальной проекции фигуры сечения и вертикальных, полученных в результате вращения.
Для построения развертки усеченной части вначале строят развертку по верхности полной пирамиды. Так как пирамида треугольная, боковая поверх ность ее будет состоять из трех треугольников. Для полной развертки к ним необходимо добавить еще два треугольника, фигуру сечения и основание пирамиды.
Для построения развертки необходимо определить натуральные вели чины боковых ребер. На образце это сделано методом вращения, за ось вращения принята высота пирамиды SО. Стрелками показан поворот каждого ребра до фронтального положения, т. е. переводим отрезок общего поло жения в частный случай (отрезок занимает положение фронтальной прямой). На главном виде появляется новое положение ребра, соответствую щего его натуральной величине. Развертка начинает строиться с точки 5. из которой произвольно проводят прямую, на которой откладывают натураль ную величину любого ребра, например, S1. Из этой же точки описывают ду гу, равную натуральной величине второго ребра SЗ. Для получения третьей вершины треугольника необходимо воспользоваться дугой, равной натураль ной величине соответствующего ребро основания.
Аксонометрическую проекцию усеченной части пирамиды строят по координата" Для этого ось X совмещают с высотой пирамиды и строят аксонометрическую проекцию основания, затем находят вершину S, кото рую соединяют с вершинами основания. По координатам находят в плос кости основания проекции точек сечения, из них восстанавливают перпенди куляры вверх до пересечения с соответствующим ребром. Полученные "точки соединяют отрезками прямых.
Указания к выполнению эпюра.
Выполнение эпюра следует начинать с вычерчивания трех видов пи рамиды по заданным координатам и след ос секущей плоскости.
Следует при расположении видов учесть, что чертеж будет разви ваться влево. Поэтому всю работу сначала надо выполнить сплошными тонкими линиями.
На чертеже вместо букв нанести размеры вашего варианта.
Сохранить линии построения и обозначить все необходимые точки.
Все проекции фигуры сечения выделить штриховкой или в случае от мывки — более темным тоном, большей насыщенностью цвета.
Тема: Сечение цилиндра плоскостью.
Содержание: Построить фигуру сечения цилиндра плоскостью. Определить натуральную величину сечения. Построить развертку и аксонометрическую проекцию усеченной части цилиндра. Индивидуальные варианты даны в табл. 3. Образец выполнения эпюра на чертеже 5.
Пояснения к эпюру.
В зависимости от положения плоскости, пересекающей прямой круго вой цилиндр, фигурой сечения может быть:
1. Круг (нормальное сечение), если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения цилиндрa.
2. Эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси вращения цилиндра.
3. Прямоугольник, если секущая плоскость параллельна оси вращения цилиндра.
На образце и в условии задачи № 9 дан прямой круговой ци линдр и фронтально-проецирующая плоскость сечения Р. Фигурой сечения является эллипс, горизонтальная проекция которого совпадает с одноимен ной проекцией цилиндра — окружностью, а фронтальная — представляет собой отрезок 1'—7' на фронтальном следе Рv. Точки 1' и 7' являются соот ветственно низшей и высшей точками линии пересечения и одновременно концами большой оси эллипса. Точки 41 и 42 соответственно ближай шей и наиболее удаленной относительно плоскости V точками линии пересечения и одновременно концами малой оси эллипса. Промежуточные точки 2, 3, 5 и 6 нужны для построения профильной проекции фигуры сече ния и для определения его истинной величины. Положение горизонтальных проекций точек определено делением на 12 равных частей окружности, в которую проецируется цилиндр, а положение фронтальных и профильных проекций — при помощи линий связи. Истинная величина фигуры сечения найдена вращением вокруг горизонтального следа плоскости Рн, т. е. вокруг оси перпендикулярной фронтальной плоскости проекций и совпадающей на главном виде с началом следов плоскости Рх. Построения показаны стрелками.
Построение развертки поверхности усеченной части цилиндра начинают с изображения развертки полной боковой его поверхности, которая пред ставляет собой прямоугольник. Основание прямоугольника делят на то же число равных частей, на которое разделена окружность основания цилиндра, в нашем случае на 12. Через точки деления проводят тонкими линиями об разующие на которых последовательно откладывают координаты по оси Z точек линии пересечения. Полученные точки соединяют плавной кривой по лекалу. К развертке боковой поверхности пристраивают фигуру сечения и основание.
Аксонометрическую проекцию усеченной части цилиндра строят по координатам, последовательно, переносятся точки линии пересечения с орто гональных проекций. Для этого ось Z совмещают с осью цилиндра, начало О — с центром его основания и строят аксонометрическую проекцию осно вания (овал в изометрии). По оси X откладываем расстояния между горизонтальными проекциями хорд 22, 33... т. д., взятых из точки 1; поднимаем вверх перпендикуляры до пересечения с большой осью эллипса 1—7. Через каждую полученную точку проводим хорды, перпендикулярные этой боль шой оси и параллельно аксонометрической оси ОУ и откладываем на них расстояния, взятые соответственно с горизонтальной проекции фигуры се чения. Полученные точки соединяем плавной кривой. Возможны иные спо собы построения аксонометрической проекции усеченных тел вращения.
Указания к выполнению эпюра.
1. Выполнение эпюра следует начинать, вычерчивая сплошными тонки ми линиями сначала три вида с секущей плоскостью.
При компоновке листа следует учитывать, что чертеж будет разви ваться влево.
На чертеже следует обозначить необходимые точки и сохранить ли нии построения.
Вместо указанных буквенных параметров следует нанести размеры вашего варианта.
5. При работе с лекалом следует найти такой участок, который бы плав но соединяя три точки, но обводить надо только две и дальше передвигать лекало. При таком способе вы добьетесь плавных кривых.
6. Все проекции фигуры сечения выделить штриховкой или оттенить бо лее насыщенным цветом.
ЦЕЛЬ: Проверка и закрепление знаний теоретического материала, умения применять его к решению задач на построение линий пересечение многогранников, тел вращения; к определению видов аксонометрических проекций, направление проецирования, треугольников следов, коэффициен тов искажения.
ОБЪЁМ: Состоит из 5 заданий, выполняемых на пяти листах формата АЗ, и пояснительной записки. Работа обводится в соответствии с цветами, исполь зуемыми в первой контрольной работе. Последний лист выполняется с аква рельной заливкой собственной и падающей теней. Цвет раствора студент выбирает самостоятельно, отдавая предпочтение голубым, зеленым, серым.
Вопросы для самопроверки.
8. Что называется аксонометрическими масштабами, коэффициентами (показателями) искажения?
9. Как определить аксонометрические оси, если задан треугольник следов ортогональной аксонометрической проекции?
10. В чем различие между прямоугольными и косоугольными аксонометрическими проекциями?
11. В чем сущность задачи на построение тени от точки в аксонометрий'
12.Какие направления имеют тени от вертикально и горизонтально расположенных прямых в аксонометрии?
13. Как определяются границы собственных и падающих теней цилинд рических отверстий в аксонометрии?
Тема: Построение линии пересечения многогранников.
Содержание: Построить линию пересечения шестигранной и трехгранной призмы по данным таблицы №4. Вычертить три вида и, по выбору студента, аксонометрическую проекцию. Образец выполнения эпюра на чертеже 6.
Призмой называется многогранник, две грани которого n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n-грани параллелограммы в частном случае – прямоугольники. Многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а параллелограммы – ее боковыми гранями. Основания призмы конгруэнтны. Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы. Ребра, не лежащие в основании призмы, называются боковыми ребрами.
По числу углов основания призмы подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные, шестиугольные и т.д. Призму называют прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований (рис.13) и наклонной, если не соблюдается это условие. Перпендикуляр к плоскостям оснований призмы, концы которого принадлежат этим плос костям, называют высотой .призмы. Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной.
В задании предлагаются две прямых призмы, одна правильная шести гранная, в основании другого лежит равнобедренный треугольник. В резуль тате взаимного пересечения двух многогранников образуется одна или две замкнутых ломаных линии. Две замкнутых ломаных линии образуются, ес ли поверхность одного многогранника полностью пронизывает поверхность другого. Если поверхность одного многогранника только частично врезает ся в поверхность другого, то образуется ломаная линия. Точка вершины ло маной линии пересечения поверхностей многогранников являются точками пересечения ребер одного из многогранников с гранями другого и наоборот.
Наиболее просто строятся линии пересечения двух призм, боковые гра ни которых — проецирующие плоскости. На рис. 13 показано построение проекций линии взаимного пересечения прямой четырехугольной призмы, стоящей на горизонтальной плоскости проекции Н, и прямой треугольной призмы, боковые грани которой перпендикулярны к плоскости W. Рассмат ривая горизонтальную и профильную проекции, устанавливаем, что в данном примере имеет место частичное пересечение призм и, следовательно, по лучается одна замкнутая пространственная ломаная линия пересечения по верхностей. Переднее ребро треугольной призмы и заднее ребро четырех угольной призмы в пересечении не участвуют. Горизонтальная проекция линии пересечения 7, 3, 1, 5, 8, 1 0, 6, 2, 4, 9, 7 располагается на сторонах че тырехугольника, в который проецируется на плоскость Н вертикальная приз ма, а профильная проекция 1’—3', 5'—7', 8'—9', 10'—4', 6'—2' — на сторо нах треугольника, в который проецируется на плоскость W горизонтальная призма. Остается построить фронтальную проекцию линии пересечения, для чего достаточно найти фронтальные проекции точек пересечения ребер од ной призмы с гранями другой. Фронтальные проекции 1' и 2', 3' и 4', 5' и 6' точек пересечения ребер вертикальной призмы находим по профильным проекциям 1', 2"... 6" этих точек при помощи линий связи. Фронтальные проекции 7’ и 9’, 8’ и 10' точек пересечения ребер горизонтальной призмы с гранями вертикальной находим по их горизонтальным проекциям также при помощи линий связи. Соединив последовательно найденные точки прямыми с учетом их видимости, определяем фронтальную проекцию линии пересечения поверхностей заданных призм.
Наглядное изображение пересекающихся призм показано на рис. 13 в прямоугольной диметрической проекции. Изображение выполняется поэтапно. Совместив начало координат О с центром основания четырехугольной призмы и расположив ось симметрии вдоль оси OZ, строим аксонометрическую проекцию призмы. В плоскости симметрии этой призмы, совмещенной с плоскостью ZO’Y, строим изображение поперечного сечения треугольной призмы. Построение выполняем методом координат. Аксонометрическую проекцию передней вершины дополнительного сечения призмы строим с помощью координат У/2 и Z, измеренных на чертеже. Аналогично строим аксонометрическую проекцию и других вершин. Через аксонометрические проекции вершин дополнительного сечения призмы проводим прямые, па раллельные оси ОХ, и на них в обе стороны от сечения откладываем по половине длины ребер треугольной призмы. Соединив полученные точки прямыми, завершаем построение аксонометрической проекции треугольной призмы. Линию пересечения в аксонометрической проекции строим, опре деляя точки пересечения ребер каждой призмы с гранями другой и соеди няя их последовательно прямыми. Так, точку I пересечения переднего реб ра вертикальной призмы с гранью горизонтальной находим в аксонометри ческой проекции по ее удалению Н от верхнего основания этой призмы, измеренному по чертежу; точку VII пересечения верхнего ребра гори зонтальной призмы с гранью вертикальной — по ее удалению от левого ос нования треугольной призмы и т. д.
Указания к выполнению эпюра
1. Выполнение эпюра следует начинать с вычерчивания трех видов по заданным координатам.
2. На чертеже вместо букв нанести размеры вашего варианта.
В процессе построения линии пересечения определите, из скольких частей она будет состоять.
Для максимальной наглядности правильно выберите аксонометричес кую проекцию. На черновике постройте прямоугольные изометрию и диметрию и сравните их.
Сохраните на чертеже необходимые линии построения и обозна чение точек.
Тема: Построение линии пересечения тел вращения.
Содержание: Построить линию пересечения конуса и цилиндра по размерам таблицы №5. Вычертить четыре вида и аксонометрическую проек цию. Образец выполнения эпюра на чертеже 7.
Пояснения
Линии взаимного пересечения тел вращения строят способом вспомога тельных секущих плоскостей или способом вспомогательных секущих сфер. Для правильного выбора способа построения предварительно определяют поверхности, составляющие форму детали. Построение каждой линии пере сечения начинают с определения ее спорных течек: крайних точек кривой на каждой из проекций и точек видимости. Точками видимости называют те. проекций которых являются границами видимой и невидимой частей линии пересечения.
Рассмотрим пример построения линии пересечения усеченного конуса и сферы методом вспомогательных секущих плоскостей. На виде сверху видно, что оси обоих тел находятся в одной фронтальной плоскости сим метрии. На главном виде — оба тела стоят на плоскости Н. Это позволяет сразу найти несколько опорных точек (рис. 14): 1, 31 и 32 . По главному виду видно, что т. и 1’, 3’1 и 3’2 высшая и низшие, фронтальные проекции точек 1 и 3, которые являются высшей и низшей точками линии пересечения. Точка 2’ на фронтальной проекции лежит на оси, значит на профильной проекции будет находиться на образующих конуса и являться точкой видимости кривой.
Для нахождения промежуточных точек необходимо ввести вспомогательные секущие плоскости. Они, как правило, являются плоскостями уровня. В нашем случае, так же как и на образце (чертеж 7), они параллельны горизонтальной плоскости проекций. Вспомогательная секущая плоскость, пересекая сферу, дает в сечение круг радиуса R1, равного расстоянию от оси до образующей сферы. Одновременно, эта же вспомогательная секущая плоскость пересекает конус и тоже дает в сечении круг радиусом R2, который равен расстоянию от оси конуса до его образующей. На виде сверху окружности этих радиусов пересекутся в точках 41 и 42, которые будут искомыми, все полученные точки соединяются лекалом плав ной кривой.
Проекции линии пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями, параллельными какой-либо плоскости проекций, удобно строить
способом концентрических сфер. Сущность этого способа рассмотрим на
примере построения линии взаимного пересечения поверхностей двух цилиндров (рис. 15). Линия пересечения симметрична относительно фронтальной плоскости, определяемой осями поверхностей, поэтому фронтальные
проекции видимой и невидимой ее частей сливаются в одну линию. Построение начинаем с определенных фронтальных проекций 1’ и 2" высшей и низшей точек линии пересечения (на пересечении очерков поверхностей) и их
горизонтальных проекций 1 и 2. Точка 3 на горизонтальной проекции лежит на образующих горизонтального цилиндра, фронтальная проекция точки 3’
лежит на оси горизонтального цилиндра. Наименьшей сферой, которую следует применять, является сфера, касающаяся одной из заданных поверхностей и пересекающая другую. В нашем примере такой оказывается сфера 3, фронтальная проекция которой изображается окружностью Rmin. Эта сфера касается поверхности вертикального цилиндра по окружности, фронтальной проекцией которой является прямая а'b' и пересекает горизонтальный цилиндр по окружности, проецирующейся на плоскости V в отрезок с’d’. Пересечение этих прямых дает фронтальную проекцию точки 3'. Посредством сфер 1, 2 и т.д. произвольных радиусов находим промежуточные точки.
Порядок построения изометрической проекции следующий. Сначала строят изометрическую проекцию вертикального цилиндра, а затем с по мощью размеров i и h — левое основание горизонтального цилиндра. По размерам Z1 и Z2 на контуре основания горизонтального цилиндра находят точки 5 и 6. Через полученные точки, а. также точки пересечения основа ния с осями Z и У проводят образующие горизонтального цилиндра (направ ление параллельно оси X) и на них отмеряют отрезки x1, x2, и х3 (длину образующих цилиндра) и т. д.
В результате проведенных построений полу чены точки 10, 50, 60, 30. В аксонометрии характерными точками являются точки A0, B0, E0, лежащие на очерковых образующих. Для их построения на профильной проекции из точки О" проводится прямая под углом 45o (биссекторная) до пересечения с очерком горизонтального цилиндра. С по мощью линии находится на фронтальной проекции длина образующей и переносится на аксонометрическую проекцию т. Е0. Полученные точки сое диняют плавной кривой.
Указания к выполнению эпюра
Тема: Выбор направления проецирования в прямоугольной аксонометри ческой проекции.
Содержание: В левой части листа выполняется ортогональный чертеж детали а двух видах, по индивидуальным заданиям таблицы 6. Размеры на чертеже не наносить. Выбрать наиболее удачное расположение проеци рующего луча и задать на чертеже две стороны треугольника следов аксоно метрической плоскости проекций. В правой части листа построить треуголь ник следов по выбранному направлению проецирования и восстановить в нем аксонометрические оси. Образец выполнения задания на чертеже 8.
Пояснения
Сравнивая основные виды стандартных аксонометрических проекций, можно сделать вывод, что изображения, выполненные в прямоугольных аксонометриях, обладают большей наглядностью и естественностью. Одна ко и они не всегда удовлетворяют, так как иногда нельзя избежать неже лательных совпадений и закрытий одних частей детали другими и достиг нуть хорошей видимости изображения. В этом случае необходимо правиль но выбрать направление аксонометрического проецирования, учитывая осо бенности детали, и перейти к построению прямоугольной триметрической проекции, когда масштаб для каждой аксонометрической оси оказывается различным.
Рассмотрим условия хорошей видимости и наглядности аксонометри ческого изображения на примере. Изображение заданного предмета будет наглядным, если на нем выявить просветы всех отверстий (рис. 16а). Ква дратное отверстие в основании детали будет просматриваться на изобра жении, если часть очертания верхнего контура отверстия спроецируется внутри очертания нижнего контура отверстия. Аналогичные требования обеспечат видимость и цилиндрического отверстия в боковой стенке. Для этого задаем горизонтальную и фронтальную проекции проецирующего лу ча mn и m’п' в квадратном отверстии детали так, чтобы конец N луча MN оказался внутри нижнего основания отверстия. Просматриваемость цилинд рического отверстия обеспечивается, если проецирующий луч ST (st, s't') пересечет образующую цилиндрического отверстия 23 (2'3', 23) за предела ми отверстия. Если на чертеже эти условия не выполняются, то следует из менить ранее выбранное направление проецирующего луча для квадратного отверстия детали.
Найдя подходящее направление луча, строим ортогональные проекции od, o’d’ выбранного луча в заданной системе ортогональных осей ox, оу, oz (рис.16б). Затем задаем проекции сторон треугольника следов — ab, а'с', которые перпендикулярны соответствующим проекциям выбранного луча аксонометрического проецирования (ab┴od, a'c'┴o'd'). Данные построения можно совмещать с ортогональным чертежом заданной детали, как показано на образце выполнения эпюра (чертеж 8) или на рис. 16а). Перед построением аксонометрических осей вспомним, что координатная ось oz перпендикулярна к плоскости xoy (горизонтальной), следовательно, она перпендикулярна к любой прямой этой плоскости, в том числе и к прямой А8. Или аксонометрическая проекция оси z0 перпендикулярна проекции стороны треугольника следов AВ на плоскости аксонометрических проекций Р. Рассуждая аналогично придем к выводу, что ось х0 перпендикулярна стороне треугольника следов ВС, а ось у0 перпендикулярна стороне АС. Поэтому, чтобы определить расположение аксонометрических осей, следует построить треугольник следов АВС и провести в нем высоты. Располагая ось z0 вертикально, нужно сторону треугольника следов АВ вычертить горизонтально.
На рис.16а через точку Е, произвольно выбранную на чертеже, проведем горизонтальную и вертикальную прямые. От точки Е на горизонтальной прямой отложим отрезки АЕ=ае и BЕ = bе, Затем из точки А как из центра радиусом, равным отрезку а’с', измеренному на ортогональном чертеже, сделаем отметку С на вертикальной прямой, проходящей через точку Е. Получим три вершины треугольника следов, соединяя которые построим сам треугольник АВС. Проведя высоты треугольника следов, получим аксонометрические оси при выбранном направлении проецирования.
Порядок выполнения эпюра
1. Чертеж эпюра следует начинать с перечерчивания ортогонального чертежа, выполняя два заданных в таблице 6 вида детали в масштабе 1:1.
2. Задаем фронтальные и горизонтальные проекции луча проецирования s'3', m'n', s3, mn.
3. Через выбранную точку О (оо') начала координат проводим горизонтальную и фронтальную проекции луча проецирования od, o’d’.
4. Через произвольную точку е луча оd проводим сторону треугольника следов аb перпендикулярно к лучу оd.
5. Через фронтальную проекцию а' точки А проводим сторону треугольника следов а'с' перпендикулярно к о'd’.
6. На правой половине листа проводим горизонтальную прямую АВ, равную ав и отмечаем точку Е, взяв АЕ = ае.
7. Через точку Е проводим вертикальную прямую, на которой отмечаем точку С раствором циркуля, равным а'с' из точки А как из центра.
8. Строим треугольник следов АВС и через вершины треугольника про водим аксонометрические оси ОХ┴ВС, OУ┴АС, OZ┴АВ. 9. Выполнив чертеж тонкими линиями, обводим его карандашом основными сплошными линиями ортогональный чертеж детали и аксонометри ческие оси, остальные линии — тонкой сплошной линией. Размеры детали на чертеже не наносить. Точки построения обозначить.
Тема. Определение коэффициентов искажения по аксонометрическим осям прямоугольной триметрии.
Содержание: В левой части листа выполнить прямоугольную триметрию детали, взяв индивидуальные задания в таблице 6. Оси симметрии определены на эпюре 8 и являются заданными к настоящей работе. Коэффициенты искажения по аксонометрическим осям определить, используя треугольник следов восьмого эпюра. В правой части листа выполнить стандартную прямоугольную диаметрическую аксонометрию той же детали. Образец выполнения задания на чертеже 9.
Пояснения
Реконструкция натурального координатного трехгранника по заданным аксонометрическим осям заключается в совмещении координатных плоскостей, образующих трехгранник, с плоскостью аксонометрических проекций путем вращения координатных плоскостей вокруг сторон треугольника следов (рис. 17). Из рисунка видно, что отношение длины отрезка АО0 к длине отрез ка АО или к длине отрезка АО1 является коэффициентом искажения И по аксонометрической оси X0, а отношение длины отрезка ВО0 к длине отрезков ВО или ВО — показателем V по оси У0.
Рассмотрим построение совмещенных координатных плоскостей на чертеже треугольника следов АВС, данного на рис. 18а. Совмещенная вершина трехгранника О0 должна находиться на продолжении оси О0 Z0, так как точка О вращается в плоскости перпендикулярной оси вращения — прямой АВ. На стороне треугольника следов АВ, как на диаметре, строим полуокруж ность (центр окружности лежит в точке, делящей отрезок АВ пополам). Точка пересечения оси О0 Z0 с полуокружностью является точкой О1, т. е. совмещен ным положением вершины координатного трехгранника О. Соединив точку O1 с точками А и В, получим треугольник АO│В, который является совмещен ным положением натуральной координатной плоскости хоу. Аналогично про изводится совмещение координатных плоскостей xoz, yoz.
Реконструированный натуральный координатный трехгранник может быть использован для определения:
а) величин аксонометрических масштабов по известному натуральному масштабу, а, следовательно, и величин проекций отрезков, расположенных параллельно натуральным координатным осям;
б) показателей искажения;
в) величин малых осей эллипсов, изображающих окружности в аксоно метрии.
На сторонах реконструированных координатных плоскостей откладываем отрезки, взятые на ортогональном чертеже предмета по соответствующим натуральным осям, например o1v, o2и, о2w (рис. 18а). Затем возвращаем координатные плоскости обратным вращением в исходное положение. При этом построение на сторонах реконструированных плоскостей отрезки займут соответствующие положения на аксонометрических осях: o│v0, o0и0, о0w0. Эти отрезки являются аксонометрическими единицами измерения всех парамет ров заданной детали, параллельных натуральным координатным осям х, у, z.
Отношения полученных аксонометрических единиц к истинной величине длины являются показателями искажения по аксонометрическим осям.
Чтобы упростить определение аксонометрических единиц измерения, можно пользоваться угловым графическим масштабом (рис. 186). Для постро ения масштаба необходимо на его горизонтальной шкале отложить натураль ные единицы измерения, а на вертикальной прямой — аксонометри ческие единицы измерения u0, v0, w0. Через полученные точки проводим наклонные линии ou0, ov0, оw0. Определение аксонометрических единиц изме рения проходит аналогично построению самого масштаба: например, длину детали L откладываем сначала на горизонтальной шкале масштаба, из получен ном точки по вертикали берется отрезок L0 до соответствующей линии У0. Ана логично определяются аксонометрические единицы измерения всех парамет ров детали по осям x0, y0, z0 .
Рассмотрим определение величин большой и малой осей эллипса, кото рой является аксонометрической проекцией окружности. Так как плоскости окружности в наиболее распространенных примерах расположены параллель но одной из координатных плоскостей, то большая ось эллипса параллельна соответствующей стороне треугольника следов и равна по величине диаметру изображаемой окружности. Малая ось перпендикулярна к большой, ее вели чина может быть определена на реконструированном натуральном трехгран нике так, как показано стрелками на рис. 19.
Порядок выполнения эпюра
1. На треугольнике следов АВС листа 8 произвести его реконструкцию, по строив натуральные плоскости AO1B, АО2С.
2. На сторонах натуральных плоскостей AO1, AO2 откладываем размеры детали, параллельные оси ОХ на ортогональном чертеже и проецируем их на аксонометрическую ось ОХ.
3. На стороне натуральной плоскости О2С откладываем размеры детали по высоте и проецируем их на аксонометрическую ось OZ.
4. На стороне натуральной плоскости O│B откладываем размеры детали, параллельные оси ОУ на ортогональном чертеже и проецируем их на аксоно метрическую ось ОУ.
5. Используя аксонометрические единицы измерения, полученные на осях ОХ, ОУ, ОГ на листе 9 строим прямоугольную триметрию по осям, построен ным на восьмом листе при выбранном направлении проецирования OD (od, o’d’).
6. На правой половине листа 9 строим прямоугольную диметрическую проекцию той же. детали, сравнивая наглядность обоих изображений.
7. Выполнив чертеж карандашом тонкими линиями, обводим его основными сплошными линиями, за исключением осей вращения отверстий и аксонометрических осей.
Образцы выполнения эпюров.
Таблицы задания для контрольных работ №1 и 2
Координаты точек (таблица №1)
Таблица 2
|
Обозначения |
№ вариантов |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
|
h b мм |
70 |
84 |
68 |
83 |
80 |
80 |
68 |
75 |
80 |
68 |
|
k |
81 |
75 |
78 |
77 |
68 |
72 |
70 |
64 |
74 |
80 |
|
a |
17 |
18 |
29 |
20 |
10 |
27 |
16 |
10 |
26 |
16 |
|
m |
26 |
24 |
24 |
25 |
26 |
15 |
21 |
28 |
15 |
21 |
|
c |
40 |
30 |
24 |
24 |
48 |
26 |
40 |
45 |
26 |
40 |
|
n |
60 |
64 |
60 |
60 |
55 |
72 |
68 |
70 |
72 |
68 |
|
b |
14 |
12 |
13 |
10 |
14 |
12 |
10 |
12 |
12 |
10 |
|
αo |
30 |
40 |
40 |
45 |
35 |
35 |
35 |
35 |
35 |
35 |
Таблица 3
|
Обозначения |
№ вариантов |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
|
d b мм |
50 |
42 |
44 |
46 |
54 |
48 |
44 |
50 |
40 |
46 |
|
h |
70 |
60 |
72 |
70 |
68 |
68 |
66 |
64 |
66 |
74 |
|
a |
30 |
30 |
30 |
34 |
33 |
36 |
34 |
34 |
32 |
33 |
|
αo |
45 |
30 |
50 |
30 |
45 |
40 |
40 |
40 |
30 |
45 |
Таблица 4
|
Обозначения |
№ вариантов |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
|
d b мм |
56 |
60 |
54 |
56 |
58 |
52 |
50 |
60 |
58 |
54 |
|
h |
62 |
60 |
62 |
60 |
62 |
52 |
50 |
60 |
64 |
65 |
|
a |
48 |
50 |
45 |
50 |
48 |
60 |
56 |
50 |
46 |
48 |
|
c |
34 |
40 |
32 |
36 |
36 |
30 |
38 |
40 |
32 |
34 |
|
n |
40 |
40 |
40 |
42 |
78 |
38 |
76 |
42 |
36 |
80 |
|
m |
32 |
30 |
38 |
55 |
28 |
40 |
18 |
30 |
38 |
52 |
|
l |
74 |
80 |
80 |
76 |
78 |
74 |
72 |
80 |
76 |
71 |
Таблица 5
|
Обозначения |
№ вариантов |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
|
h b мм |
58 |
56 |
70 |
60 |
54 |
52 |
56 |
55 |
50 |
52 |
|
D |
70 |
66 |
72 |
64 |
68 |
70 |
74 |
72 |
66 |
64 |
|
d |
30 |
26 |
32 |
24 |
28 |
30 |
34 |
32 |
26 |
24 |
|
d1 |
40 |
30 |
46 |
42 |
38 |
36 |
38 |
36 |
26 |
32 |
|
L |
20 |
37 |
23 |
30 |
25 |
26 |
28 |
30 |
35 |
26 |
|
L1 |
50 |
53 |
46 |
32 |
45 |
45 |
48 |
50 |
45 |
40 |
Основная литература:
1. Бубенников А. В. Начертательная геометрия. М.: Высшая школа, 1985.
2. Бубенников А. В. Начертательная геометрия. Задачи для упражнений. — М.; Высшая шко ла, 1981.
3. Виноградов В. Н. Начертательная геометрия. — М.: Просвещение, 1989.
4. Глазунов Е. А., Четверухин Н. Ф. Аксонометрия, — М.: Гостехиздат, 1954.
5. Гордон 8. О., Семенцов-Огиевский М. А. Курс начертательной геометрии. — М.: Физ-матгиз, 1971.
6. Добряков А. И. Курс начертательной геометрии. — М.—Л.: Госстройиздат, 1952.
7. Котов И. И. Начертательная геометрия. — М.: Высшая школа, 1969.
8. Кузнецов Н. С. Начертательная геометрия. — М.: Высшая школа, 1931.
9. Курс начертательной геометрии (не безе ЭВМ). Под редакцией А. М. Тевлина. — М.: Выс шая школа, 1983.
10. Начертательная геометрия. Под редакцией Крылова Н. Н. —- М.: Высшая школа, 1984.
11. Русскевич Н. Л. Начертательная геометрия. — Киев: Вища школа, 1978.
12. Тимрот Е. С. Начертательная геометрия. — М.: Стройиздат, 1962.
13. Фролов С. А. Начертательная геометрия. — М.: Машиностроение, 1983.
14. Савенкова М. Г., Мустаева В. А. Начертательная геометрия и перспектива. Методические указания к курсу. — Магнитогорск, 1989.
Подписано в печать _______. Формат 60х90 1/16
Гарнитура Times New Roman Cyr, 10. Усл. печ. лист. – ___. У.-изд. – ___.
Тираж 300 экз.
Типография
Лицензия №172 от 12.09.96 г.
420108, г. Казань
3