Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки Российской Федерации
«Государственный университет управления»
Институт информационных систем управления
Кафедра математики
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
по дисциплине «Экономико-математическое моделирование»
Выполнила Сергиенко А.В.
Институт ИУФиНА
Направление «Экономика», специальность «Финансы и кредит»
Курс 2
Преподаватель Лебедев В.В., Губарева Е.А.
Дача сдачи на проверку……………………….……
Оценка………………………………..…………………...…
Подпись преподавателя…………………….………….....….
Москва - 2013
Содержание
Введение
Заключение
Список использованной литературы
Решение задач
Задание 2. Составить математическую модель однопродуктовой фирмы с учетом отчисляемого фирмой налога, если налог взимается в размере t д.е. с единицы реализованной продукции.
C(Q) = Q2 +6 Q +10, P(Q) = 90 – 5Q;
Решение:
1.) Определить объем оптимального выпуска в зависимости от размера налоговой ставки. Построить график этой зависимости.
Поскольку доход от продажи продукции в объеме Q единиц определяется соотношением R(Q) = P * Q имеем:
R(Q) = (90 – 5Q)*Q = 90Q – 5Q2.
Прибыль в зависимости от налога, ставка которого равна t д.е. определяется следующим образом:
Тогда функция прибыли определяется соотношением:
= 90Q – 5Q2 - Q2 - 6 Q -10 - tQ = - 6Q2 + 84Q – 10 – tQ
Для того чтобы определить объем оптимального выпуска в зависимости от размера налоговой ставки найдем производную от :
;
t = 12Q + 84;
=
84
2.) Получить зависимость максимальной прибыли от размера налоговой ставки.
Построить график этой зависимости.
Для того чтобы найти зависимость максимальной прибыли от размера налоговой ставки подставим в чистую прибыль .
=
Задание 4.
Q = 15 K1/2L; Q0 = 240; PK = 4; PL = 4; ;
Решение:
Q = 15 K1/2L
Преобразовав уравнение производственной функции, получаем .
Так как Q0 = 240, то ;
На графике изображено несколько изоквант при разных Q .
Изокванта Q=240 изображена красным цветом.
2.) Вычислить предельную производительность каждого из ресурсов.
Предельные производительности факторов определяются как соответствующие частные производные:
;
(15 K1/2L)`k = ; (15 K1/2L)`L = 15
3.) Составить математическую модель фирмы, использующей два вида ресурсов для выпуска одного вида продукции.
Математическая модель фирмы, использующей два вида ресурсов для выпуска одного вида продукции:
4.) Определить минимальный объем затрат необходимых для этого выпуска. Вычислить используемые для этого объемы ресурсов.
Необходимо создать систему уравнений для решения данной задачи:
Из этого следует, что минимальный объем капитальный ресурсов К=4, а минимальный объем трудовых ресурсов L=8.
Минимальный объем затрат, необходимый для выпуска продукции находится по формуле: C (K,L) = PKK+PLL.
Подставляя формулу найденные значения находим С = 4*(8+4)=48 д.ед.
Задание 5. Составить математическую модель двухпродуктовой фирмы и сформулировать задачу принятия решения.
Заданы функция полных издержек двухпродуктовой формы C = C(Q1,Q2), где Q1 и Q2– объемы выпуска товаров первого и второго видов соответственно, функции спроса P1 = P1(Q1), P2 = P2(Q2) на эти товары и ограничение на полные издержки C(Q1,Q2) C0:
C (Q1,Q2) = Q1 +2Q2 +2, P1(Q1) =15 Q1, P2(Q2) =40 Q2, C0 =72;
Решение:
Полная прибыль фирмы определяется уравнением:
Найдем стационарные точки функции прибыли. Необходимое условие экстремума функции:
Достаточное условие экстремума функции прибыли
где = -2
Показывает, что стационарная точка является точкой максимума функции.
Итак, оптимальный объем выпуска продукции, при котором достигается максимальная прибыль в точке (7;19).
Для того, чтобы вычислить издержки фирмы, подставим значения в функцию полных издержек фирмы.
C (Q1,Q2) = Q1 +2Q2 +2 = 7 + 2*19 + 2 = 47.
Таким образом, издержки фирмы равны 47 д.ед.
2.)На плоскости Q1OQ2 построить линию постоянных издержек C(Q1,Q2) =C0 и множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме C = C0 (C(Q1,Q2) C0)
Линия постоянных издержек C(Q1,Q2) =C0
Q1 +2Q2 +2 = 72;
Q1 +2Q2 = 70;
3.)Определить возможность выпуска оптимального объема продукции при заданном ограничении на издержки C = C0.
Как мы видим, точка оптимального выпуска (7;19) входит во множество производственных возможностей фирмы.
В пункте (1) оптимальный объем выпуска, при котором, при котором достигается максимальная прибыль:
C (7,19) = Q1 +2Q2 +2 = 7 + 2*19 + 2 = 47.
Так С = 47 не превосходит C0 = 72, то и будут ответом нашей задачи.
Задание 6.
а) для сохранения объема покупки на прежнем уровне;
б) для сохранения получаемой полезности на прежнем уровне.
Сравнить полученные результаты.
Заданы функция полезности U = U(Q1,Q2) двух видов товаров; цены на эти товары P1 и P2 и ограничение на доход потребителя этих товаров P1 Q1+ P2Q2 M
U = 10Q11/2Q2; P1 = 5; P2 = 8; M = 60; U0 = 60
Решение:
Бюджетное множество задается системой неравенств:
Для моей фирмы бюджетное множество будет выглядеть так:
Линии безразличия – значения функции полезности при определенных значениях U0.
; U0 = 60
На данном графике изображено несколько линий безразличия при разных U0.
Линия безразличия при U = 60 изображена красным цветом.
Заданы функция полезности и ограничения на бюджет:
P1 = 5; P2 = 8; M = 60; U = 10Q11/2Q2
Найдем
= (10Q11/2Q2)`Q1 =
= (10Q11/2Q2)`Q2 =
Решим систему:
15
;
Изобразим точку оптимального выпуска при максимизации полезности на графике.
Сначала найдем функцию спроса на первый товар. Для этого нужно решить систему и из первого уравнения выразить Q2 и подставить во второе уравнение.
Итак, спрос на первый товар равен:
Найдем функцию спроса на второй товар:
Итак, спрос на второй товар равен:
Построим кривые функции спроса, отражающие зависимость спроса от цен на товары. M - константа.
По графику можно сделать вывод, что положение графика зависит от константы M. Чем больше M, тем больше объем продукции Q. Чем меньше цена, тем больший объем продукции согласен приобрести потребитель.
Построим кривые функции спроса, отражающие зависимость спроса от дохода потребителя. P - константа.
3.Простейшая модель экономического роста –
модель мультипликатора
В модели Дж. Кейнса рассматривается один макроэкономический рынок – рынок товаров. При этом следует отметить то, что рынок не находится в равновесии:
модель описывает процесс установления равновесия.
Эффект мультипликатора состоит в том, что увеличение инвестиций приводит к увеличению национального дохода, который возрастает в гораздо больших размерах, чем первоначальный рост автономных расходов (автономного потребления, автономных инвестиций,
государственных закупок).
Содержание мультипликатора отражено в первичном значении слова.
Multum– первая составная часть сложных слов, указывающая на множественность, многократность. Вторая часть слова – plicare – складывать, сгибать, сворачивать. Если суммировать: мультипликатор – умножитель.
Итак, мультипликатор (m) это коэффициент, который показывает во сколько раз величина изменения ВВП будет больше величины изменения автономных расходов.
Динамика национального дохода при нарушении равновесия между спросом и предложением на рынке товаров и услуг.
Пусть до момента времени t спрос был равен предложению:
После момента времени t спрос превысил предложение:
Действительно, спрос стимулирует рост предпринимательской деятельности, которая проявляется в создании новых рабочих мест, более интенсивно используется оборудование. Это приводит к росту объемов производства товаров и услуг, то есть увеличивается национальный доход (). То есть спрос создает предложение. Рост предложения вызывает рост спроса.
Но так как предельная склонность к потреблению MPC < 1, то
(МРС - величина, показывающая, насколько изменится спрос при увеличении НД на 1).
Таким образом, избыточный спрос вызывает в каждый последующий момент времени рост предложения, который приводит к сокращению избыточного спроса. В конце концов, уровень предложения увеличивается до значения, при котором .
Происходит положение равновесия.
Формализация гипотезы «спрос создает предложение».
(2)
;
Спрос равен объему потребления СD (зависит от величины национального дохода С(YS) и
инвестиций I(t)
(t)) + I(t),
Считается, что С = a + cYS(t),
а и c – положительные константы, предельная склонность к потреблению MPC <1
Следовательно функция совокупного спроса задается следующим уравнением
(3)
Сделаем 2 предположения:
Предположим, что 1.) при t < 0 , а система находилась в равновесии:
Из уравнений (2) и (3) следует, что динамика процесса изменения национального дохода, связанного с нарушением равновесия между спросом и предложением, определяется уравнением:
, (4)
где
При этом начальное значение национального дохода вычисляется по формуле:
(5)
В силу уравнения (4), новое равновесное значение национального дохода равно:
(6)
При сравнении (5) и (6) можно сделать вывод, что прирост равновесного значения национального дохода
Формула мультипликатора:
MPC – предельная склонность к потреблению;
MPS - предельная склонность к сбережению
На данном рисунке изображен мультипликативный процесс
Сначала спрос характеризовался прямой Y = YD, и система находилась в состоянии равновесия A. Затем спрос вырос (прямая Y = YD), (соответствующие переходы показаны цветом) система перешла в новое состояние равновесия B.