Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задача №1.
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:
где S –площадь треугольника ABC.
Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины X и Y независимыми?
Решение.
Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия
или
следует, что
Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y):
Вычислим плотность составляющей X:
при ,
откуда плотность составляющей X –
Вычислим плотность составляющей Y:
при ,
при ,
Поэтому плотность составляющей Y –
Найдем условную плотность составляющей X:
при , случайные величины X и Y зависимы.
Найдем математическое ожидание случайной величины X:
Найдем дисперсию случайной величины X:
Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:
Найдем математическое ожидание случайной величины Y:
Найдем дисперсию случайной величины Y:
Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:
Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y):
Тогда ковариация: ,
а значит и коэффициент корреляции
Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.
Задача №2
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:
|
Y |
X |
|
-0,2 |
,035 |
,029 |
,048 |
,049 |
|
0,1 |
,083 |
,107 |
,093 |
,106 |
|
0,3 |
,095 |
,118 |
,129 |
,108 |
Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.
Решение.
Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:
|
X |
||||
|
,213 |
,254 |
,270 |
,263 |
Проверка: + + + = 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.
Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:
|
Y |
-0,2 |
0,1 |
0,3 |
|
0,161 |
0,389 |
0,450 |