Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Реферат на тему:
«Общая алгебра»
Выполнили:
Студентки 3 курса 4 группы
физико-математического факультета
Клюева Анна Александровна
Рыманова Марина Александровна
Преподаватель:
Королева Татьяна Ивановна
2013 г.
Оглавление
1.1. Аксиомы и тождества алгебры Кантора………………………………3
1.2. Понятие множества. Обозначение принадлежности………………..4
1.3. Способы задания множеств………………………………………...….5
1.4. Множество подмножеств. Включение………………………………..6
1.5. Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна..9
1.6. Свойства операций над множествами…………………………….…11
1.7. Декартово произведение множеств………………………………….12
В общем случае алгебра - это совокупность несущего множества и некоторых операций, заданных на нем. В алгебре Кантора (алгебре множеств) несущим множеством является булеан универсума, на котором заданы три операции: одноместная операция НЕ ( ) , двуместные операции И () и ИЛИ (). Обозначение алгебры Кантора: Ак = <P(1), , , >.Операции на множествах подчинены простым законам, перекликающимся с аксиомами алгебры чисел, но не совпадающим с ними. Аналогом операции в алгебре чисел является операция умножения, операции - сложение. Однако эти аналогии в значительной степени внешние. Законы алгебры множеств более универсальны, чем алгебры чисел.
Аксиомы алгебры Кантора
|
А1. Тождественность |
А А=А ; |
А А=А; |
|
А2. Коммута тивность: |
А В=В А; |
А В= В А; |
|
А3.Ассоциативность: |
А (В С)=(А В) С; |
А (В С)=(А В) С; |
|
А4. Дистри бутивность: |
А (В С)=(А В) (А С); |
А (В С)= (А В) (А С); |
|
А5.Законы дополнения: |
А 1=1; А =А; А А =1; 1 = ; |
А 1=А; А и = ; А А = ; =1; |
|
А6.Закон двойного отрицания: |
_ А=А ; |
|
|
Правила де'Моргана: |
|
Используя аксиомы и тождества алгебры множеств можно преобразовывать исходные множества, заданные формулами, к формулам определенного вида. Наибольший интерес представляют канонические формы представления. Одной из канонических форм представления множеств является нормальная форма Кантора, т.е. представление множества в виде объединения пересечений множеств или их дополнений. Стратегия преобразований исходной формулы состоит в следующем:
Пример 1.
А\(В\С)=А (В С ) = А (В С ) = (А В) (А С).
Полученная формула есть нормальная форма Кантора данной формулы (НФК).
Математическое понятие множества постепенно выде лилось из привычных представлений о совокупности, соб рании, классе, семействе и т. д. В 1872 г. Георг Кан тор, создатель теории множеств, определил множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо разли чаемых нашей интуицией или нашей мыслью». В первом издании «Теории множеств» Бурбаки, поя вившемся в 1939 г., в сводке результатов можно найти следующее предложение: «Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и на ходящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств».
Объекты, сущности или элементы, составляющие мно жество, обозначаются строчными латинскими буквами: х, а,...; множество часто обозначают прописными ла тинскими буквами Е, N, ... . Знак обозначает вхож дение или принадлежность; х Е читается: «элемент х принадлежит множеству Е», или короче: «х—элемент множества Е». Следует различать «общий элемент» х множества Е, т. е. произвольный элемент, характеризую щийся единственным свойством «принадлежать множест ву», и конкретные элементы а, b, c,..., каждый из ко торых отличен от остальных. Если х не принадлежит Е, будем писать х Е, что читается «х не является элемен том множества Е» или «х не принадлежит множеству Е». Если множество содержит конечное число элементов, говорят, что оно конечно; в противном случае множест во называется бесконечным. Множество Е, состоящее из элементов а, b,..., записывается
Е= [а. b........}.
Примеры. 1) Множество четных цифр Р={2, 4,6,8}.
2) Множество трехзначных чисел в двоич ной системе:
В3 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}.
1) Множество может быть задано перечислением всех его элементов.
Пример. Множество цифр: {0,1,..., 9}.
2) Обобщение первого способа состоит в том, что каждый элемент задаваемого множества определяется по некоторому элементу уже известного множества.
Пример. Считая известным множество целых чисел
Z = {....-3.-2,-1, 0. 1, 2, 3,...},
определим множество степеней числа 2
{…, 2-3, 2-2, 2-1, 20, 21, 22, 23, …}
3) Другой способ задания множеств — описание огра ничительного свойства, выделяющего элементы множе ства Е среди элементов более широкого, или основного (универсального, универсума), множества U. Множество Е называется частью, или под множеством множества U.
Пример. Пусть дано множество N натуральных чисел N = {1, 2, 3,...}. Рассмотрим совокупность всех тех элементов этого мно жества, которые делятся на 2 (ограничительное и харак теризующее свойство); полученное множество есть мно жество четных чисел Р={2, 4, 6,...}.
4) Аналитически с помощью операций на множествах.
Пусть U — основное множество. Основное, или фунда ментальное, множество в математике может быть образо вано всеми элементами какого-нибудь определенного типа.
Пример. Множество прямых плоскости, множество простых чисел и т. д.
Два свойства, эквивалентные относительно основного множества, определяют одну и ту же часть этого мно жества, и обратно. Множество элементов U, облада ющих свойством х Е, очевидно, совпадает с Е.
Пример. Пусть I — множество нечетных чисел в де сятичной системе
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. 15, 17, 19....};
за основное множество примем множество N натураль ных чисел. Можно определить множество нечетных чи сел исходя из свойства оканчиваться на нечетную деся тичную цифру 1, 3, 5, 7 или 9 (Р1); то же множество соответствует свойству не делиться на 2 (Р2). Свойства P1 и P2 эквивалентны относительно N и задают мно жество нечетных чисел, подмножество основного множе ства N.
Обратимся теперь к свойству не быть целым числом (Р3), соответствующее этому свойству подмножество ос новного множества N не содержит ни одного элемента; такое множество будем называть пустым и обозначать .
Таким образом, свойства, присущие некоторым эле ментам множества U, могут служить для задания под множеств этого множества; свойство, отличное от всех свойств элементов U, порождает пустое множество, пус тое подмножество множества U. Напротив, наибольшее подмножество, т. е. само множество U, может быть за дано любым свойством, присущим всем элементам основ ного множества.
Пусть А и В - два подмножества основного множест ва U. Если все элементы из А принадлежат В, то гово рят, что А содержится (или включено) в В; употреб ляются также выражения; В содержит A, или А есть часть множества В. В этом случае будем писать А В или В A.
Пример. Множество Р четных чисел содержится в множестве N натуральных чисел: РN.
При задании множества путем перечисления элемен тов или установления соответствия с элементами ранее изученного множества, мы можем сформулировать харак теристические свойства общего элемента подмножества Е основного множества U; эти формулировки будут теоремами, требующими доказательства; способ задания Е — аналитический.
Наоборот, если мы знаем характеристические свойст ва общего элемента подмножества Е, то мы можем определить, какие элементы основного множества U принадлежат этому подмножеству: речь идет о пара метризации подмножества Е: такой способ задания яв ляется синтетическим.
Из соотношений А В и В С следует соотношение A С; следовательно, отношение включения транзитивно. Заметим, что из А В и B A следует А = В, и наоборот. Действительно, два множества равны (идентичны), если они состоят из одних и тех же эле ментов.
Иногда вво дят понятия собственного и несобственного подмноже ства. Множество B называется собственным подмножеством множества A, если оно отлично от A и от .
В этом случае пишут A B, если возможен случай A = B (в этом случае A называется несобственным подмноже ством множества В), и А В, если В содержит хотя бы один элемент, не принадлежащий A. При такой системе обозначений невозможен случай, когда А В и B A одновременно.
Свойства подмножеств:
Два множества называются равными, если они содержат одни и те же элементы и количество этих элементов одинаково.
или или .
Множеством подмножеств некоторого основного или произвольного множества Е называется множество, эле ментами которого являются подмножества множества Е. Это множество P(Е) включает в качестве элементов пустое множество 0 и само множество Е; каждый от дельный элемент Е есть также подмножество множест ва Е.
Пример. Е ={а, b, с};
P(Е)={{}, {а}, {b}, {с}, {а, b}, {а, с}, {b, с}, {а, b, с,}}.
Теорема: Конечное множество, содержащее n элементов, имеет 2n подмножеств.
Доказательство: Пусть и пусть BA. Поставим ему в соответствие набор длины n из 0 и 1, устроенный так: если элемент aiB, то на i-ом месте ставим 1, в противном случае - 0.
|
A: |
… |
||||
|
|
|
|
|||
|
В: |
1 |
0 |
… |
0 |
Каждому подмножеству множества А соответствует свой набор. И наоборот, по всякому набору нулей и единиц можно выписать множество, являющееся подмножеством А. Таким образом, между всеми подмножествами A и п-местными наборами 0 и 1 существует взаимно однозначное соответствие, т.е. подмножеств столько же, сколько таких наборов. Поскольку на каждое из п мест можно поставить либо 0, либо 1, то общее количество п-местных наборов равно , а следовательно, и подмножеств 2n.
Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. В этом случае множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри прямоугольника, который представляет собой универсальное множество U. Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях. Выбор формы областей, изображающих множества на диаграммах, может быть произвольным (круги, внутренности эллипсов, многоугольники и т.п.). Покажем, например, с помощью диаграммы Эйлера-Венна, что множество А является подмножеством множества В:
С помощью такой диаграммы становиться наглядным, например, такое утверждение:
если АВ, а В С, то АС.
Строгое доказательство этого утверждения, не опирающееся на диаграмму, можно провести так: пусть х А; так как А В, то х В, а так как В С, то из х В следует, что х С; значит, из того, что х А, следует хС, а поэтому А С.
Дополнение множества A - множество, состоящее из всех элементов универсума, не принадлежащих A. |
|
Пересечение множеств A и B - множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и A, и B. |
|
|
3) объединение: Объединение множеств A и B - множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из указанных множеств. |
|
Дизъюнктивная сумма множеств A и B - это множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо только A, либо только B. |
|
Разность множеств A и B - это множество, состоящее из элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B. |
Операции над мно жествами, сформулированные в (1.4) обладают некоторыми свойствами, приведенными в табл. 1. Эти свойства выражаются совокупностью тождеств, справедливых независимо от конкретного содержания входящих в них множеств, являющихся подмножествами некоторого универсума U.
|
1а) |
1б) |
|
2а) |
2б) |
|
3а) |
3б) |
|
4а) |
4б) |
|
5а) |
5б) |
|
6а) |
6б) |
|
7а) |
7б) |
|
8а) |
8б) |
|
9а) |
9б) |
|
10а) |
10б) |
|
11) |
|
|
12) |
|
|
13) - закон двойного отрицания |
|
|
14) |
|
|
15) |
|
|
16) |
|
|
17) (А + В) + С = А + (В + С) |
|
|
18) А + = + А |
|
|
19)= |
|
|
20) |
Тождества (1а)-(3а) выражают соответственно коммутатив ный, ассоциативный и дистрибутивный законы для объединения, а тождества (1б)-(3б) - те же законы для пересечения. Соотно шения (4а)-(7а) определяют свойства пустого множества и универсума U относительно объединения, а соотношения (4б)-(7б) - относительно пересечения.
Выражения (8а) и (8б), называемые законами идемпотент ности, позволяют записывать формулы с множествами без коэффициентов и показателей степени. Зависимости (9а) и (9б) представ ляют законы поглощения, а (10а) и (10б) - законы де Моргана.
Соотношения (11)-(20) отражают свойства дополнения, раз ности, дизъюнктивной суммы, включения и равенства.
Первые десять свойств в табл. 1 представлены парами двойственных (дуальных) соотношений, одно из которых получается заменой в другом символов: на и на , а также на U и U на . Соответствующие пары символов , и , U называются двойственными (дуальными) символами.
При замене в любой теореме входящих в нее символов дуальны ми получим новое предложение, которое также является теоремой (принцип двойственности или дуальности). Тождество (11) не изменяется при замене символов дуальными, поэтому его называют самодвойственным.
Декартово произведение множеств A и B – это множество упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит A, а второй – принадлежит B.
Пример.
Свойства декартова произведения:
Свойство ассоциативности позволяет использовать сокращенную запись для декартова произведения нескольких множеств:
- дистрибутивность относительно пересечения
- дистрибутивность относительно разности
Доказательство: Докажем, например, дистрибутивность декартова произведения относительно операции пересечения множеств.
Особым случаем декартова произведения является произведение множества самого на себя. В этом случае говорят о декартовом квадрате множества или декартовой n-ой степени множества А.
;
Пример.
Теорема. Если множество A содержит n элементов, а B – m элементов, т.е.: , то содержит элементов.
PAGE \* MERGEFORMAT 6