Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Розділ 5. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
Упорядковані пари чисел (х0,у0) на координатній площині відповідає одна точка Р0 (х0,у0). Аналогічно, в n-вимірному просторі n упорядкуваним дійсним числам відповідає одна точка Р0(х10,х20,…,хn0), де числа х10,х20,…,хn0 будуть координатами цієї точки. Дані означення можна вважати вимірними і у випадку n-вимірного простору. Означення: Множина точок називається зв’язаною, якщо будь-які її дві точки можна з’єднати ламаною лінією так, щоб всі точки цієї лінії належали цій множині.. Означення: Множина точок називається обмеженою, якщо її точки належать множині точок круга скінченого радіуса. Означення: Множина точок, координати яких задовільняють нерівність (х1-х10)2+(х2-х20)2+…+(хn-хn0)22 (5,1) називається -околом точки Р0(х10,х20,…,хn0). Зауваження: У випадку двовимірного простору нерівність (5,1) можна представити у вигляді (х – х0)2+(у-у0)22. Вона означає внутрішність круга з радіусом R= та з центром у точці Р0(х0,у0). Якщо з -околу точки Р0 вийняти саму точку Р0 одержимо виколотий -окіл точки Р0. Означення: Точка називається внутрішньою для множини точок, якщо вона належить цій множині радіусом з деяким своїм -околом і зовнішньою, якщо існує її окіл з точок, жодна з яких не належить цій множині. Означення: Зв’язана множина, яка складається тільки з внутрішніх точок, називається відкритою областю (або просто областю). Означення: Точка називається межовою для області, якщо в будь-якому її -околі знайдуться точки, що не належать області. Означення: Множина межових точок називається межею області. Означення: Область об’єднана зі своєю межею називається замкненою областю. Означення: Множина називається опуклою, якщо будь-які її точки множини можна зв’язати відрізком.
Озн.: Якщо кожній точці Р(х1,х2,…,хn) множини D n-вимірного простору поставлено у відповідність з деяким законом одне і тільки одне дійсне число zE R, то кажуть, що в області DRn задано ф-ію n незалежних змінних z=f(х1,х2,…хn). При цьому D називають областю визначення ф-ії, Е – областю значень ф-ії. Згідно з означенням функцію z=f(х1,х2,…хn) можна розглядати як ф-ію точки і записувати як z=f(P). В частковому випадку, при n=2 кажуть, що задана ф-ія двох змінних z=f(x;y), якщо кожній парі (х;у)D на площині підставлено у відповідність тільки одне число z. Для прикладних питань економіки має значення розгляд ф-ії двох або трьох незалежних змінних. Як ф-ію однієї змінної, ф-ії двох зміннх можна зобразити: 1) аналітично (у вигляді формули), наприклад: Z=x(y2+2x); таблично (у вигляді таблиці), наприклад:
|
У Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
2 |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
3 |
3 |
6 |
8 |
10 |
|
4 |
9 |
4 |
15 |
12 |
графічно; Для графічного зображення ф-ії двох змінних необхідна система координат Оxyz у тривимірному просторі. Кожній парі чисел х та у відповідає точка Р(х;у) площини Оху. В точув Р(х;у) проводимо пряму перпендикулярно до площини Оху, та відмічаємо на ній відповідне значення ф-ії z; дістаємо в просторі точку Q з координатами (x;y;z), яка позначається символом Q(x;y;z). Точки Q, які відповідають різним значенням незалежних змінних, складають певну поверхню у просторі. Така поверхня є графічним зображенням ф-ії z=f(x;y). Зауваження: На практиці побудувати графік ф-ії важко, адже йдеться про зображення на площині просторової фігури, а це не завжди вдається. Існує й інший спосіб геометричного зображення ф-ії двох змінних – зображення за допомогою ліній рівня. Озн.: Лінією рівня називається множина всіх точок площини, в яких ф-ія z=f(x;y) набуває однакових значень. Рівняння ліній рівня записується у вигляді f(x;y)=C. Накресливши кілька ліній рівня та зазначивши, яких значень набуває на них ф-ія, одержимо наближене уявлення про зміну ф-ії. Елементарний приклад зображення ф-ії за допомогою ліній рівня-зображення рельєфу місцевості на географічній карті. Висота місцевості над рівнем моря є ф-єю координат точки земної поверхні. За лініями рівної висоти, нанесеними на карту, легко уявити собі рельєф даної місцевості.
Область – це множина, для якої виконані умови:
Для знаходження області визначення ф-ії двох змінних необхідно:
Озн.: число В називається границею ф-ії z=f(x;y) при хх0, уу0, якщо для будь-якого існує число 0 таке, що при виконанні нерівності 0(х-х0)2+(у-у0)2 виконується нерівність f(x;y)-B і позначається lim(x,y)(1,2) f(x;y)=B. Зауваження: для ф-ії багатьох змінних справедливі теореми про границю суми, добутку та частки, які аналогічні відповідним теоремам для ф-ії однієї незалежної змінної. Озн.: Ф-ія z=f(x;y) називається неперервною в точці Ро(х0,у0), якщо lim(x,y)(1,2) f(x;y) =f(х0;у0). Озн.: Ф-ія z=f(x;y) називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області. Озн.: нехай ф-ія z=f(x;y) визначена на множині Е, а змінні х та у, у свою чергу, залежать від змінних u та v і х=х(u;v), у =у(u;v), де обидві ф-ії х(u;v) та у(u;v) визначені на множині D. Якщо для будь-якого (х;у)D значення х(u;v) та у(u;v) такі, що (х;у)Е, то кажуть, що на множині D визначена складна ф-ія z=f(x;y), де х=х(u;v), у =у(u;v); х,у – проміжні змінні; u,v – незалежні змінні. Що ж до властивостей неперервної ф-ії двох змінних, то треба згадати декілька теорем: Теорема: якщо ф-ія неперервна в точці, то вона обмежена деякм околом цієї точки. Теорема2: Якщо ф-ії f(x;y) та g(x;y) неперервні в точці (х0;у0), то в цій точці будуть неперервними f(x;y) g(x;y), f(x;y) g(x;y), f(x;y)/ g(x;y) при g(x0;y0). Теорема3: якщо ф-ія f(x;y) неперервна на замкненій множині, то вона обмежена на цій множині. Теорема4: якщо ф-ія f(x;y) неперервна на замкненій обмеженій множині, то серед її значень є як найменші, так і найбільші. Теорема5: (про нуль неперервної ф-ії). Нехай ф-ія f(x;y) неперервна на зв’язаній множині D і приймає у двох точках А та В цієї множини значення різних знаків. Тоді у множині D знайдеться така точка, що в ній ф-ія обертається на нуль. Теорема6: (про проміжне значення): Нехай ф-ія f(x;y) неперервна на зв’язаній множині D і у двох будь-яких точках А і В цієї множини приймає нерівні значення f(A), f(B). Тоді на цій множині вона приймає будь-яке значення , яке лежить між f(A) і f(B), тобто існує така точка сD, що f(c)= .
Графічно; Для графічного зображення ф-ії двох змінних необхідна система координат Оxyz у тривимірному просторі. Кожній парі чисел х та у відповідає точка Р(х;у) площини Оху. В точув Р(х;у) проводимо пряму перпендикулярно до площини Оху, та відмічаємо на ній відповідне значення ф-ії z; дістаємо в просторі точку Q з координатами (x;y;z), яка позначається символом Q(x;y;z). Точки Q, які відповідають різним значенням незалежних змінних, складають певну поверхню у просторі. Така поверхня є графічним зображенням ф-ії z=f(x;y). Зауваження: На практиці побудувати графік ф-ії важко, адже йдеться про зображення на площині просторової фігури, а це не завжди вдається. Існує й інший спосіб геометричного зображення ф-ії двох змінних – зображення за допомогою ліній рівня. Озн.: Лінією рівня називається множина всіх точок площини, в яких ф-ія z=f(x;y) набуває однакових значень. Рівняння ліній рівня записується у вигляді f(x;y)=C. Накресливши кілька ліній рівня та зазначивши, яких значень набуває на них ф-ія, одержимо наближене уявлення про зміну ф-ії. Елементарний приклад зображення ф-ії за допомогою ліній рівня-зображення рельєфу місцевості на географічній карті. Висота місцевості над рівнем моря є ф-єю координат точки земної поверхні. За лініями рівної висоти, нанесеними на карту, легко уявити собі рельєф даної місцевості.
6. Частинні похідні та частинні диференціали.
Озн.: ф-ія z=f(x;y) називається диференційовною в точці (х0;у0), якщо її повний приріст z можливо подати у вигляді z=Ах+Ву+у, де А,В – числа, - нескінченно малі при х у. Головна лінійна частина приросту ф-ії, тобто Ах+Ву називається повним диференціалом ф-ії (точніше першим диференціалом), f(x,y,) у точці(х0;у0) і позначається dz: dz=Ax+By. Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) диференційовна в точці (х0;у0), тоді існують границі limx xz/x та limy yz/y. Означення: нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в точці (х0;у0) і в її деякому околу. Якщо існує limx xz/x(limy yz/y), то вона називається частинною похідною по х (по у) ф-ії z=f(x;y) визначена в точці (х0;у0) і позначається zx, або z’x або fx(x0;y0)(zx, z’y, fy(x0;y0)). Диференціали незалежних змінних збігаються з її приростами: х=х, у=у. Повний диференціал ф-ії z=f(x;y) обчислюється за формулою z=(zx) x+(zу) у.
7. Повний диференціал.
Головна лінійна частина приросту ф-ії, тобто Ах+Ву називається повним диференціалом ф-ії (точніше першим диференціалом), f(x,y,) у точці(х0;у0) і позначається dz: dz=Ax+By. Диференціали незалежних змінних збігаються з її приростами: х=х, у=у. Повний диференціал ф-ії z=f(x;y) обчислюється за формулою z=(zx) x+(zу) у.
8. Похідна за напрямом.
Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в деякому околу точки Р0 (х0,у0); l – деякий промінь з початком в точці Р0 (х0,у0); Р(х;у) – точка на цьому проміні, яка належить околу, що розглядається - околу точки Р0 (х0,у0); L – довжина відрізка Р0Р. Границя liml (f(P)-f(Р0))/ L, якщо вона існує називається похідною ф-ії z=f(x;y) за напрямом ĺ в точці Р0 і позначається zl. В частинному випадку, zx є похідна ф-ії z=f(x;y) за додатним напрямом осі Ох, zу – похідна ф-ії z=f(x;y) за додатнм напрямом осі Оу. Похідна за напрямом zl характеризує швидкість змінювання ф-ії z=f(x;y) в точці Р0 (х0,у0) за напрямом ĺ. Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) має в точці Р0 (х0,у0) неперервні частинні похидні, тоді в цій точці існує похідна zl за будь-яким напрямом ĺ=(cos, cos), причому zlРо=zxРо cos+zуРо cos, де zxРо, zуРо – значення частинних похідних у точці Р0 (х0,у0).
9. Градієнт.
Означення: Вектор з координатами (zx; zу), який характеризує напрям максимального зростання ф-ії z=f(x;y) в точці Р0 (х0,у0) називається градієнтом ф-ії z=f(x;y) в цій точці і позначається grad z: grad z==zxРо і+zуРо j, де ij – одиничні орти. Аналогічно для ф-ії трьох змінних u=u(x;y;z) похідна за напрямом l=(cos;cos;cos) дорівнює: ulРо=uxРо cos+uуРо cos+uzРо cos. Для ф-ії трьох змінних u= =u(x;y;z) градієнт у точці Р0 (х0,у0,z0) визначається наступним чином grad u==uxРо і +uуРо j +uzРоk, де і, j, k – одиничні орти і uxРо uуРо, uzРо – обчислені в точці Р0 (х0,у0,z0). Похідна за напрямом l ф-ії z=f(x;y) та градієнт пов’язані співвідношенням zl= grad zl.
10. Дотична та нормаль до поверхні.
Нехай задана F (x,y,z) = 0 – поверхня S. M (x0, у0 , z0) Є S. Площина, в якій лежать всі можливі дотичні до заданої поверхні, що проходять через точку М0 - наз. дотичною площиною, точка М – точка дотику.
Рівняння дотичної площини: F`x (x- x0)+ F`y (y- y0)+ F`z (z- z0) =0.
F`x F`y F`z - частинні похідні. x0, у0 , z0 - координати точки дотику.
Нормаллю до поверхні S в точці (x0, у0 , z0) – наз. перпендикуцляр до дотичної площини, що проходить через задану точку.
Рівняння нормалі (x- x0)/ F`x = (y- y0)/ F`y = (z- z0)/ F`z
11. Частинні похідні та диференціали вищих порядків.
Нехай ф-ія z=f(x;y) має частинні похідні в усіх точках мнодини D. Візьмемо будь-яку точку (х,у)D; в цій точці існують частинні похідні zx та zу, які залежать від х та у, тобто вони є ф-ії двох змінних. Значить можна ставити питання про знаходження їх частинних похідних. Якщо вони існують, то називають похідних другого порядку і позначаються відповідно 2z/x2 або f”xx(x,y), 2z/y2 або f”yy(x,y), 2z/xy або f”xy(x,y), 2z/y x або f”yx(x,y). Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих порядків, наприклад: х(2zx2)=3zx3, у(2zx2)=3zx2у.Означення: Диференціалом другого порядку від ф-ії z=f(x;y) називається диференціал від її повного диференціалу, тобто 2z=(z). Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків 3z=(2z)……… nz=(n-1z).
12. Похідна складної функції.
13. Поняття якобіану.
Важливим формальним засобом дослідження є визначники, які складені з частинних похідних. Нехай дано n ф-ій від n змінних
у1=f1(x1,x2,…,xn)
y2=f2(x1,x2,…,xn)
………………
yn=fn(x1,x2,…,xn),
які визначені в деякій n-вимірній області D і мають у цій області неперервні похідні по всім змінним. Складемо з цих похідних визначник:
Цей визначник називають функціональним визначником Якобі або якобіаном системи ф-ії уі=fі(х1,х2,…,хn) (і=1,n). Якобіан має властивості, які подібні до властивостей звичайної похідної. Якобіан використовують при обчисленні кратних інтегралів, при замінні змінної тощо.
14. Екстремум функції багатьох змінних. Необхідні та достатні умови.
Означення: нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в деякому околу точки (х0,у0) і неперервна в цій точці. Якщо для всі точок (х;у) цього околу виконується нерівність f(х;у)f(х0,у0) [f(х;у)f(х0,у0)], тоді ця точка (х0,у0) називається точкою максимуму (мінімуму) ф-ії z=f(x;y). Точки максимуму й мінімуму називаються точками екстремуму. Теорема (необхідна умова екстремуму): Якщо ф-ія z=f(x;y) має екстремум в точці (х0,у0), тоді в цій точці частинні похідні zx і zу або дорівнюють нулю, або хоча б один з них не існує. Теорема (достатня умова екстремуму): Нехай ф-ія z=f(x;y) має екстремум у точці (х0,у0) неперервні частинні похідні першого й другого порядку, причому f’x(х0,у0)=0, f’y(х0,у0)=0, а також f”x2(х0,у0)=А, f”xy(х0,у0), fy2(х0,у0). Якщо: 1) АС-В2 і А, тоді (х0,у0) точка максимуму ф-ії z=f(x;y); 2) АС-В2 і А, тоді (х0,у0) точка мінімуму ф-ії z=f(x;y); 3) АС-В2, тоді в точці (х0,у0) немає екстремуму; 4) АС-В2=0, тоді потрібні додаткові дослідження. Алгоритм дослідження ф-ії z=f(x;y) на ексремум: 1) знайти перші частинні похідні zx і zу; 2) знайти стаціонарні точки, тобто точки в яких zx=0, zу=0; 3) знайти частинні похідні другого порядку2z/x2, 2z/xy, 2z/y2; 4) Обчислити значення частинних похідних другого порядку в стаціонарних точках; 5) для кожної стаціонарної точки знайти = АС-В2 і зробити висновки на базі теореми про достатню умову для екстремуму.
15. Метод найменших квадратів.
Нехай х1,х2,…хn – послідовність значень незалежної змінної, а у1,у2,…уn – послідовність відповідних значень незалежної змінної. Необхідно відібрати пряму, яка “найліпшим” чином відображала б залежність між хі та уі. Це означає, що відхилення фактичних значень ф-ії від підібраної прямої має бути мінімальним. Нехай ŷ=а+вх є рівнянням цієї прямої. Маємо ŷ1=а+вх1, ŷ2=а+вх2,…, ŷn=а+вхn. Відхилення від фактичних значень ф-ії складають: уі- ŷі= уі-(а+вхі)= уі-а- вхі, (і=1,n). Ці відхилення мусять бути додатними або від’ємними, тому пряма підбирається так, щоб сума квадратів відхилень f=(у1-а-вх1)2+(у2-а-вх2)2+…+(уn-а-вхn)2 була найменшою. Отже треба визначити а і в так, щоб ф-ія f досягала мінімуму. Необхідна умова існування мінімуму полягає в тому, що fa=0, fb=0. Маємо (уі-а-вхі)2=уі2+а2+в2хі2-2ауі+2авхі-2вхіуі, отже,
Обчислюємо, звідки знаходимо, що Таким чином, ми одержимо два рівняння з двома змінними а і в: Розв’язування цих двох рівнянь дає значення а і в, які визначають пряму, що найменшим чином відображає хід змінювання функції.
16. Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.
Нехай на відкритій множині DR2 задано ф-ії u=f(x;y), v=(x;y) і Е – множина точок, що задовільняють рівняння (х;у)=0. Означення: Рівняння називають рівнянням зв’язку, точку (х0,у0)Е називають точкою умовного строгого максимуму ф-ії u=f(x;y) відносно рівняння зв’язку ((х;у)=0) якщо існує такий окіл точки (х0,у0) для всіх точок (х,у) (х0,у0), що задовільняють рівняння зв’язку, вірна нерівність f(х,у)f(х0,у0). Якщо при таких умовах виконується f(х,у)f(х0,у0), тоді точку (х0,у0) називають точкою строгого мінімуму ф-ії u=f(x;y) при обмеженнях (х;у)=0. Аналогічно вводяться поняття нестрогого умовного екстремуму. Точки умовного максимуму та мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремуму інколи називають відносним екстремумом. Нехай ф-ії u=f(x;y), v=(x;y) неперервно диференційовні в околу (х0,у0) і (х; у) дорівнєю 1 в точках, що задовільняють рівняння зв’язку. Означення: Ф-ію L(х,у)= f(х,у)+ (х,у) називають ф-єю Лагранжа, параметр - множником Лагранжа. Теорема (необхідна умова існування умовного екстремуму): Для того, щоб точка (х0,у0) була точкою умовного екстремуму ф-ії u=f(x;y), при рівнянні зв’язку (х;у)=0 необхідно, щоб її координати при деяких значеннях задовільняли систему рівнянь: L(х,у)/х=0; L(х,у)/у=0; (х,у)=0. Ці умови означають, що точка (х0,у0) є стаціонарною точкою ф-ії Лагранжа і її координати задовільняють рівння зв’язку. Теорема (достатня умова умовного екстремуму): Нехай ф-ії u=f(x;y), v=(x;y) подвійно неперервно диференційовані в околу точки (х0,у0) і нехай в цій точці виконуються необхідні умови існування екстремуму ф-ії f(x;y) при обмеженні (х;у)=0. Тоді, якщо d(х0,у0)=( (х0,у0)/x)dx+( (х0,у0)/y)dy, f(х,у) другий диференціал d2L(х0,у0) ф-ії Лагранжа є достатньо (від’ємно) визначеною квадратичною формою, то ф-ія u=f(x;y) в точці (х0,у0) має умовний строгий мінімум (максимум). Якщо при попередніх умовах диференціал d2L(х0,у0) є невизначеною квадратичною формою, тоді в точці (х0,у0) умовного екстремуму немає.
17. Задача про найбільше та найменше значення функції у замкненій області.
Як випливає з теореми про проміжне значення (властивості неперервної ф-ії двох змінних), ф-ія неперервна на замкнутій обмеженій множині D, досягає на ній найбільшого та найменшого значень. Ці значення вона може приймати як як у внутрішній точках множини D (кожна точка є точкою екстремуму ф-ії, в цій точці перші частинні похідні дорівнюють нулю або не існують), так і на її межі, тобто необхідно спеціальне дослідження межових точок множини D.
18. Поняття комплексного числа.
Озн.: Комплексним числом називається число виду z=a+ib, де а,b – дійсні числа, і2=-1. Число а називають дійсною частиною, ib – уявною частиною, і – уявною одиницею. Множина комплексних чисел позначається С. Озн.: Комплексні числа виду а+bi й а-bi називають спряженими. Комплексні числа виду а+bi й -а-bi називають протилежними. Спряжене до комплексного числа z позначається z. Озн.: Два комплексних числа а+bi й а1+b1i вважаються рівними в тому і тільки тому випадку, якщо а=а1й b= b1. Зауваження: Щодо комплексних чисел не прийнято жодної угоди, яке з них вважати більшим.
19. Дії над комплексними числами.
20. Тригонометрична та показникова форма комплексного числа.
Зображення комплексних чисел за допомогою точок на площині дає можливість подати число а+bi в іншому вигляді, а саме – у тригонометричній формі. Нехай точка М зображає комплексне число а+bi. Тоді ОА=а, АМ=б. Позначимо віддаль ОМ точки від початку координат через r, а кут АОМ утворюваний ОМ з віссю х-ів через . Тоді з трикутника АОМ матимемо: a=rcos, b=rsin Підставивши в комплексне число а+bi значення а й b дістанемо а+bi= rcos+ rsinі або а+bi= r(cos+ і sin). Це і є тригонометрична форма комплексного числа. Довжина ОМ=r називається модулем комплексного числа, а кут АОМ= - його аргументом.
21. Формули Муавра, Ейлера.
Виконуючи дії з комплексними числами поданими в тригонометничній формі, ми використовуємо формули Муавра й Ейлера. При піднесенні до степеня використовуємо ці формули. Нехай треба число a=R(cos+isin) піднести до степеня n: Матимемо: an=[R(cos+isin)]n=Rn(cosn+sinn) Модуль степеня комплексного числа дорівнює тому самому степеневі модуля основи, а аргумент – аргументові основи, помноженому на показник степеня. В окремому випадку, якщо r=1, попередня формула набуває вигляду (cos+isin)=cosn+іsin. Ця формула має назву формули Муавра. Формула Ейлера: еiz=cosz+isinz, е-iz=cosz-isinz, cosz= еiz+ е-iz/2, sinz= еiz- е-iz/2i.
22. Розв’язування алгебраїчних рівнянь.
Означення: Будь-яке рівняння, в якому невідоме пов’язане з даними числами за допомогою скінченого числа шістьох алгебраїчних дій (додавання, від-німання, множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня), можна звести до такого цілого й раціонального виду Ахт+Вхт-1+Схт-2 + …+Кх+L=0, де коефіцієнти А,В,С,…,К,L є сталі дійсні або комплексні числа, т є показник степеня рівняння. Деякі коефіцієнти в окремих випадках можуть дорівнювати нулеві. Рівняння такого виду називають алгебраїчним. Алгебраїчні рівняння степеня вищого від другого називають рівняннями вищих степенів. Рівняння вищих степенів становлять предмет вищої алгебри. Елементарна алегбра розглядає тільки деякі окремі види цих рівнянь. Вища алгебра встановлює таку важливу теорему: всяке алгебраїчне рівняння має дійсний або коьплексний корінь (Теорема Гаусса). Допустивши це твердження, можна показати, що алгебраїчне рівняння має стільки коренів, дійсних або комплексних, скільки одиниць у показнику його степеня. Тоді вище вказане рівняння можна подати у вигляді: А(х-)(х-)(х-)…(х-)=0, де всіх різниць: х-, х-,…,…буде т. В окремих випадках деякі і навіть усі корені можуть бут однаковими. При розв’язуванні алгебраїчних рівнянь необхідно звернути увагу на декілька тверджень: Твердження1: Сума коренів будь-якого алгебраїчного рівняння дорівнює –В/А, а добуток коренів дорівнює (-1)тL/А; Твердження2: якщо алгебраїчне рівняння з дійсними коефіцієнтами має комплексні корені, то число цих коренів парне. Твердження3: Якщо алгебраїчне рівняння з дійсними коефіцієнтами має n коренів виду p+qi, то воно має ще n коренів виду p-qi; Твердження4: алгебраїчне рівняння непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймі один корінь; Твердження5: Рівняння з довільними буквеними коефіцієнтами степеня не вище четвертого можна в загальному розв”язати алгебраїчно, тобто для коренів цих рівнянь знайдені загальні формули складені з коефіцієнтів рівняння за допомогою алгебраїчних дій; Твердження6: Рівняння з довільними буквеними коефіцієнтами степеня вищого від четвертого не можна у загальному розв’язати алгебраїчно, проте, коли коефіцієнти рівняння якого завгодно степеня виражені числами, завжди є змога обчислити з бажаним степенем наближення всі його корені, як дійсні так і уявні. Способи такого обчислення викладаються у вищій алгебрі.
23. Первісна функція.Теорема про множину первісних.
Означення: Ф-ія F(х) називається первісною для ф-ії f(х) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F’(х)=f(х) або dF(х)= f(х)dх. Із означення виходить, що первісна F(х) – диференційовна, а значить неперервна ф-ія на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжка, на якому вона розглядається. Теорема (про множину первісних): Якщо F(х) – первісна для ф-ія f(х) на проміжку І, то 1) F(х)+С – також первісна для f(х) на проміжку І; 2) будь-яка первісна Ф(х) для f(х) може бути представлена на проміжку І. (Тут С=сonst називається довільною сталою). Наслідок: Дві будь-які первісні для однієї й тієї самої ф-ії на проміжку І відрізняються між собою на сталу величину.
24. Невизначений інтеграл та його властивості.
Означення: Ф-ія F(х)+С, що являє собою загальний вираз всієї множини первісних для ф-ії f(х) на проміжку І, називається невизначеним інтегралом від ф-ії f(х) і позначається f(х)dх= F(х)+С, (F’(х)=f(х)), де - знак невизначеного інтеграла; f(х) – підінтегральна ф-ія; f(х)dх – підінтегральний вираз; dх – диференціал змінної інтегрування. Геометричний зміст невизначеного інтеграла полягає в тому, що ф-ія у=F(х)+С є рівнянням однопараметричної сім’ї кривих, які одержуються шляхом паралельного переносу вздовж осі ординат. Властивості, що випливають із означення невизначеного інтеграла: 1) похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній ф-ії ( f(х)dх)’=( F(х)+С)’= F’(х)=f(х); 2) диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу;3) dF(х)+С=F(х)+С. Властивості, що відображають основні правила інтегрування: 4) сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла, тобто kf(х)dх= k f(х)dх, k0; 5) невизначений інтеграл від суми ф-ій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих ф-ій, якщо вони існують, тобто f1(x)+f2(x))dx= f1(x)dx+f2(x)dx.
25. Задача інтегрування та її розв”язування.
Означення: Операція знаходження первісних для ф-ії f(х) називається інтегруванням f(х). Задача інтегрування ф-ії на проміжку полягає у тому, щоб знайти всі первісні ф-ії на цьому проміжку, або довести, що ф-ія немає первсіних на цьому проміжку. Для розв’язання задачі інтегрування ф-ії достатньо знайти одну будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F(х), тоді (за теоремою про множину первісних) F(х)+С – загальний вигляд всієї множини первісних на цьому прміжку.
26. “Неінтегровні функції”.
Теорема (Коші). Для існування невизначеного інтеграла для ф-ії f(х) на певному проміжку достатньо, щоб f(х) була неперервною на цьому проміжку. Зауваження: Виявляється є такі невизначені інтеграли від елементарних ф-ій, які через елементарні ф-ії не виражаються, наприклад: е-х2dх, sinx/х, cosx2dх існують у кожному із проміжків області визначення, але записати їх через основні елементарні ф-ії не можна; в такому розумінні ці інтеграли називають “неінтегровиними”.
27. Таблиця невизначених інтегралів.
28.Методи інтегрування заміною та частинами.
Теорема: Якщо ф-ії u(х) та v(х) мають неперевні похідні, то udv=uv-vdu. На практиці ф-ії u(х) та v(х) рекомендується вибирати за таким правилом: - при інтегруванні частинами підінтегральний вираз f(х)dх розбивають на два множники типу udv, тобто f(х)dх= udv; при цьому ф-ія u(х) вибирається такою, щоб при диференціюванні вона спрощувалась, а за dv приймають залишок підінтегрального виразу, який місить dх, інтеграл від якого відомий, або може бути просто знайдений. Мета ж методу підставновки (заміна змінної інтегрування) – перетворити даний інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати. Теорема: Якщо f(х) – неперервна, а х=(t) має неперервну похідну, то: f(х)dх=х=(t), dх=’(t)dt, t=-1(х)=f((t))’(t)dt. Наслідок: f((х))’(х)dх=(х)=t = f(t)dt. Зауваження Специфіка інтегрування невизначеного інтеграла не залежить від того чи змінна інтегрування є незалежною змінною, чи сама є ф-єю (на підставі інваріантності форми запису першого диференціалу).
29.Інтегрування раціональних дробів.
Означення: Відношення двох многочленів Pn(x)/Qm називається раціональним дробом. Означення: Раціональний дріб Pn(x)/Qm називається правильним, якщо степінь многочлена в чисельнику менший степеня многочлена в знаменнику, тобто nm; якщо nm, то дріб називається неправильним. Теорема. Будь-який неправильний раціональний дріб можна представити у вигляді суми многочлена (цілої частини) та правильного раціонального дробу. Означення: За домовленістю найпростішими раціональним дробами називають такі дроби чотирьох типів: І) A/(x-a); II) A/(x-a)k; III) Ax+B/x2+px+q; IV) Ax+B/(x2+px+q)k, k2, kN, D=p2-4q0, інтеграли від яких мають вигляд: I) Adx/(x-a)= Ad(x-a)/x-a=Aln|x-a|+C; II) Adx/(x-a)k=Ad(x-a)/(x-a)2=(A/(1-k)(x-a)k-1)+C; III) (Ax+B/x2+px+q)dx=(A/2a)ln|x2+ +(b/a)x+c/a|+((2aB+Ab)/2a2)*I; IV) (Ax+B)dx/(x2+px+q)k- інтегрується за допомогою рекурентних формул. Теорема: Будь-який раціональний нескоротний дріб Pn(x)/Qm, (nm) можна представити у вигляді скінченого числа найпростіших дроьів, використовуючи такі правила: 1) Якщо Qm(x)=(x-a)k*gm-k(x), то: Pn(x)/(x-a)k*gm-k(x)=A1/(x-a)+A2/(x-a)2+…+Ak/(x-a)k+r(x)/gm-k(x); 2) Якщо Qm(х)=(x2+px+q)k*gm-2k(x), то Pn(x)/((x2+px+q)k*gm-2k(x))=A1x+B1/(x2+px+q)+(A2x+B2/(x2+px+q)2+…+Akx+Bk/(x2+px+q)k+(r(x)/gm-2k(x)), де Аі, Ві і=(1,к) – деякі коефіцієнти, r(x)/gm-2k(x) та r(x)/gm-k(x) – правильні раціональні дроби. Методика інтегрування раціональних ф-ій: 1. Якщо підінтегральна ф-ія – неправильний раціональний дріб, то за допомогою ділення його розкладають на суму многочлена та правильного раціонального дробу. 2. Знаменник правильного раціонального дробу розкладають на множники. По вигляду знаменника правильний раціональний дріб представляють у вигляді суми найпростіших дробів, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів. 3. Інтегрують цілу частину та найпростіші дроби.
30.Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен.
31.Інтегрування найпростіших раціональних дробів.
Означення: За домовленістю найпростішими раціональним дробами називають такі дроби чотирьох типів: І) A/(x-a); II) A/(x-a)k; III) Ax+B/x2+px+q; IV) Ax+B/(x2+px+q)k, k2, kN, D=p2-4q0, інтеграли від яких мають вигляд: I) Adx/(x-a)= Ad(x-a)/x-a=Aln|x-a|+C; II) Adx/(x-a)k=Ad(x-a)/(x-a)2=(A/(1-k)(x-a)k-1)+C; III) (Ax+B/x2+px+q)dx=(A/2a)ln|x2+(b/a)x+c/a|+((2aB+Ab)/2a2)*I; IV) (Ax+B)dx/(x2+px+q)k - інтегрується за допомогою рекурентних формул.
32. Розклад правильного дробу на суму найпростіших.
Теорема: Будь-який раціональний нескоротний дріб Pn(x)/Qm, (nm) можна представити у вигляді скінченого числа найпростіших дроьів, використовуючи такі правила: 1) Якщо Qm(x)=(x-a)k*gm-k(x), то: Pn(x)/(x-a)k*gm-k(x)=A1/(x-a)+A2/(x-a)2+…+Ak/(x-a)k+r(x)/gm-k(x); 2) Якщо Qm(х)=(x2+px+q)k*gm-2k(x), то Pn(x)/((x2+px+q)k*gm-2k(x))=A1x+B1/(x2+px+q)+(A2x+B2/(x2+px+q)2+…+Akx+Bk/(x2+px+q)k+(r(x)/gm-2k(x)), де Аі, Ві і=(1,к) – деякі коефіцієнти, r(x)/gm-2k(x) та r(x)/gm-k(x) – правильні раціональні дроби.
37. Властивості визначеного інтеграла.
IX. Якщо f(x)— інтегровна та т < f(x) < Μ для x є [a,b], b > α, то
Доведення випливає як наслідок із властивостей І та VIII.
X. (Теорема про середнє).
Якщо функція f(x) — неперервна для x e[a,b], b>a, то знайдеться та ка точка х = сє[а,b], що:
(7.9)
Геометричний зміст теореми про середнє полягає у тому, що існує пря мокутник із сторонами f(с), сє[а,b] та b - a, який рівновеликий криволі нійній трапеції аАВв при умові, що функція f(x) > 0 та неперервна на про міжку [а; b] (рис. 7.6).
38. Теорема Ньютона-Лейбніца.
39. Методи підстановки та інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
40. Наближені обчислення визначеного інтеграла.
41. Геометричні, механічні та економічні застосування визначеного інтеграла.
42. Невластиві інтеграли. Інтеграл Ейлера-Пуассона.
43. Інтеграл Діріхле.
44. Теореми про порівняння невластивих інтегралів.
45. Поняття про подвійний інтеграл.
Розділ 8. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
46.Основні поняття диференціальних рівнянь першого та n -го порядків.
47. Задача Коші. Теорема існування та єдиності розв’язків.
Розглянемо ДР у' = f(x, у).
Означення: Задача пошуку розв'язку у = (р(х), що задовольняє умовам у = у0 при x = х0 (8.4) називається заданою Коші. Умови (8.4) називається початковими умовами, числа у0, х0 називаються початковими значеннями.
Теорема існування та єдності розв'язків
Нехай функція f(x, у) неперервна в області D і задовольняє в області І) умові Липшиця:
|f(x1 y1)-f(x,y2]<L |y1- y2|,L = const, (8.5)
тоді при (x0,y0)є D існує єдиний розв'язок у = φ(x) ДР, який задовольнж
початковим умовам (8.4) у0 = φ(xα).
Якщо в області D виконуються умови теореми існування та єдності, п> через кожну точку області D проходить єдина інтегральна крива. Задач;* Коші полягає у знаходженні інтегральної кривої, що проходить через зад;І ну точку (х0,у0).
Умови (8.5) можна замінити іншою умовою:
48. Диференціальні рівняння з відокремлюваними
змінними.
Означення: Дифеpенціальне рівняння виду N (y)M (x)dx + M (x)N (y)dy = 0 (8.15)
називається ДР з відокремлюваними змінними, тобто рівняннями, що зводяться
до ДР з відокремленими змінними. Поділимо рівняння (8.15) на Nl(y)M2(x) і одержимо ДР з відокремленими змінними
(8.16)
Рівняння (8.15) має розв'язок y = yk, x = xj, де y = yk, x = xj, є розв'язками рі рівнянь Nl(y)=0, M2(x)=0.
Аналогічно ДР виду у' = А(х)/2(у) (8.17)
є ДР відокремленими змінними. Рівняння (8.17) можна записати у вигляді
Рівняння (8.17) має розв’язок виду y = yk, f(yk)=0
49. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
Означення: Диференціальні рівняння виду
(8.29)
.
називається лінійним ДР. Якщо Q(x)≠0, то ДР є однорідним. Якщо Q(x)≡0, то ДР називається неоднорідним. Однорідні рівняння інтег руються у квадратах, як ДРЗ відокремленими змінними
Нехай відомо частинний розв'язок неоднорідного ДР.
Шукаємо загальний розв'язок неоднорідного ДР у вигляді
Y=y 0 ( x )+z
Оскільки виконується тотожність y ′0 ( x )+P( x ) y 0 ( x ) = Q(x),то для пошуку Z приходимо до однорідного ДР Ζ′+ Р(х)z = 0.
Отже, справедлива наступна теорема:
Теорема: Загальний розв'язок неоднорідного лінійного ДР дорівнює сумі частинного розв'язку неоднорідного ДР і загального розв'язку однорідного ДР.
50. Однорідні діференціальні рівняння першого порядку.
56. Поняття різницевих рівнянь.
Розділ 9. РЯДИ
57. Числові ряди.Основні поняття.
Означення: Нехай й u1, u2, u3 ..., un ... деяка нескінченна послідовність чисел. Побудований із цих чисел, за допомогою знака «+» символ,
(9.1)
називається нескінченним рядом (чи просто рядом), а самі числа u1, u2, u3 … — членами ряду; n-ий член un — називається загальним чле ном ряду.
Побудуємо часткові суми ряду:
S1 = u1;
S2 = u1 + u2;
S3 = u1 + u2 + u3;
…
Sn = u1 + u2 + u3 + un
…
Часткові суми ряду (9.2) утворюють числову послідовність: S1, S2, 53, ..., Sn, ... Надалі основним буде питання про збіжність послі довності часткових сум ряду. Таким чином, поняття ряду вводиться для побудови числових послідовностей спеціального виду — часткових сум ряду. Такі послідовності широко використовуються в математичному аналізі, наприклад, відоме число е можна представити таким рядом
Означення: Числовий ряд називається збіжним, якщо існує границя по слідовності часткових сум ряду Urn Sn = S .
При цьому величина S називається сумою ряду, а число
(9.4)
r = S – Sn = un+k + …+ un+k +… = Σ un+k
— залишком ряду. Якщо границя Sn не існує (нескінченна), то ряд називає ться розбіжним.
58. Властивості збіжних рядів.
1. Теорема9.1: Якщо збігається ряд, то збігається його залишок; навпаки із збіжності залишку випливає збіжність ряду
Наслідок 1: Із розбіжності ряду випливає розбіжність його залишку і навпаки.
Наслідок 2: Якщо відкинути скінченне число перших членів ряду або додати до нього кілька нових членів, то це не вплине на його збіжність.
2. Теорема 9.2: Якщо члени збіжного ряду (9.1) помножити на сталий множник с, то його збіжність не порушиться, а сума (9.3) помножиться на
це число с:
3. Теорема 9.3: Збіжні ряди можна почленно
додавати або віднімати, при цьому ряд
також збігається, а його сума буде S ± σ.
4. Теорема 9.4. Послідовність часткових сум збіжного ряду обмежена. Це твердження випливає із збіжності послідовності часткових сум ряду.
5. Теорема 9.5: Якщо ряд збігається, то границя його загального члена
прямує до 0, тобто:
Наслідок: Якщо , тобто необхідна умова збіжності ряду не виконується, то ряд розбігається.
59. Ряди з додатними членами. Геометрич ний ряд.
Сума членів нескінченної геометричної прогресії є ряд виду
(9.5)
із загальним членом un = aq.
Ряд (9.5) збігається, якщо знаменник прогресії q < 1
і його сума
Це виходить із таких міркувань:
гяд геометричної прогресії оуде розбіжним, якщо q > 1. В цьому випадку не виконується необхідна умова збіжності ряду, бо
60. Ознаки збіжності знакододатних рядів.
Розглянемо ряд з додатними членами u1 >0,u2 >0,..., un > 0, ... Часткові суми ряду (9.2) утворюють при цьому монотонно зрос таючу послідовність Sn, S2, ..., Sn, ...
1. Теорема 9.6. (основна): Для того щоб ряд з додатними членами збі гався, необхідно і достатньо, щоб всі його часткові суми були обмеженими.
Наслідок: Для того щоб ряд з додатними членами розбігався, необхідно І достатньо, щоб послідовність його часткових сум була необмеженою.
2. Теорема. 9.7. (ознака порівняння рядів): Якщо для рядів з додатними членами
(9.6)
(9.7)
виконується умова , то:
а) із збіжності ряду (9.7) випливає збіжність ряду (9.6)
б) із розбіжності ряду (9.6) випливає розбіжність ряду (9.7)
Означення: Якщо для рядів (9.6), (9.7) виконується умова un <vn то ряд (9.7) називається мажорантним відносно ряду (9.6); а ряд (9.6) — мінорантним відносно ряду (9.7).
3. (Ознака порівняння в граничній формі). Теорема 9.8: Якщо для рядів з додатними членами (9.6), (9.7) існує границя
, то
ряди (9.6) і (9.7) збігаються або розбігаються разом.
4. Ознака Даламбера. Теорема 9.9: Якщо для ряду додатними
членами uп > 0 Існує границя, тоді:
при l < 1 ряд збігається; при l > 1 ряд розбігається;
при l = 1 питання про збіжність ряду ознака не вирішує.
при l = 1 питання про збіжність ряду ознака не вирішує.
5. Ознака Коші (радикальна). Теорема 9.10: Якщо для ряду з до датними членами ип > 0 існує границя , тоді:
при l < 1 ряд збігається;
при l > 1 ряд розбігається;
при l = 1 питання про збіжність ряду ознака не вирішує.
Ознака Коші (інтегральна). Теорема 9.11: Якщо функція f(x) — неперервна, додатня і монотонно спадає при x ≥ 1, то ряд ∑ f(n) невластивий інтеграл f(x)dx збігаються або розбігаються разом..
61. Ряд Діріхле.
62. Знакозмінні ряди, їх абсолютна та умовна збіжність.
Означення: Ряд називається знакозмінним, якщо він містить нескін ченне число як додатних, так і від'ємних членів.
Теорема 9.12 (Коші): Якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду, то збігається і знакозмінний ряд, тобто:
Означення; Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збіга ється ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.
Означення: Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд чбігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.
Зауваження. Якщо знакозмінний ряд збігається абсолютно, то його збіж ність обумовлена достатнім спаданням по абсолютній величині його членів.
Зауваження. Якщо знакозмінний ряд збігається умовно, то його збіжність обумовлена не тільки спаданням по абсолютній величині його членів, але і Іпагмною компенсацією додатних і від'ємних членів ряду.
63.Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца.
Означення: Ряд, кожний член якого відрізняється знаком від попере днього, називається знакопочерговим. Цей ряд має вигляд:
Загальний член ряду (9.9) ип = (- І) ⁿ аn де аn> 0 .
Теорема 9.13. (Лейбніца): Якщо члени знакопочергового ряду спадають по абсолютній величині і границя абсолютної величини загального члена ряду дорівнює нулю, то ряд збігається. Коротко цю теорему можна записати так:
Наслідок 1. Знак суми збіжного знакопочергового ряду та кий же як і знак першого члена ряду (на рис. 9.1 а 1 > О, S > 0);
Наслідок 2, Якщо знакопочерговий ряд збігається, то його сума за абсолютною величиною не пе ревищує перший член ряду, тобто
|S| <|а 1|;(нарис. 9.1, 0<S< а 1).
Наслідок 3. Якщо при обчисленні суми збіжного знакопочергового ряду обмежитись тільки першими п членами, а всі інші відкинути, то похибка за абсолютною величиною не перевищить першого із відкинутих членів, тобто |rn|<| а n+1 |.
Наслідок 4. Якщо для ряду не виконується умова теореми Лейбніца ≠ , то ряд розбігається (не виконується необхідна умова збіжності).
64. Функціональні ряди. Основні поняття.
Означення. Ряд
(9.10)
де членами ряду ип(х) е функції від аргументу х, називається функціо нальним рядом. При x=x0 ряд (9.10) перетворюється на числовий
(9.11)
Якщо ряд (9.11) збігається (розбігається), то кажуть, що при х=х0 збігається (розбігається) функціональний ряд (9.10).
Означення: Всі значення аргументу х, при яких функціональний ряд збіжний, називаються областю збіжності функціонального ряду.
В області збіжності існує границя часткових сум функціонального ряду
де функція S(x) — сума ряду.
Ряд називається залишком ряду. В області збі
жності функціонального ряду має місце формула , де В загальному випадку, при дослідженні на збіжність функціонального ряду, використовується та сама методика, що і для знакозмінного ряду.
65. Степеневі ряди.
Означення: Функціональний ряд
а0 + αιx + α2x2+...+αnxn+...= Σ xn (9.12)
називається степеневим рядом, його загальний член ип(х) = ап xn, числа а0, а1, ..., ап, ... називаються коефіцієнтами степеневого ряду. Розглядають і більш загальний вигляд степеневого ряду
а0 + αι(x - c) + α2 (x - c) 2+...+αn(x - c)n+…
Якщо в (9.13) покласти χ - с=у, то одержимо ряд типу (9.12), тому власти вості ряду (9.12) неважко перефразувати і для ряду (9.13).
66.Теорема Абеля.
Теорема 9.14. (Абеля): Якщо степеневий ряд (9.12):
1) збігається при x = х0, то він абсолютно збігається для будь-якого х, що задовольняє нерівність |х |< |x0|;
2) якщо ряд (9.12) розбігається при x = х0 то він розбігається при всіх x, що задовольняють нерівність |x |> |x1|.
Ілюстрація до теореми Абеля показана на рис. 9.2.
67. Радіус , інтервал та область збіжності степеневого ряду.
Як наслідок із теореми Абеля для степеневого ряду (9.12) існує інтервал збіжності з центром в точці x = О (рис. 9.3).
Означення: Інтервалом збіжності степеневого ряду називається такий інтервал , у всіх внутрішніх точках якого ряд збігається абсолютно, а для всіх точок x > R ряд є розбіжним; при цьому, число R > О називається ра діусом збіжності степеневого ряду.
Для узагальненого степеневого ряду (9.13) інтервал збіжності (с - R; с + R) має центр симетрії в точці x = с.
Зауваження. На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках x = -R, x = R ряд може як збігатись, так і розбігатись. Це питання потребує спеці ального дослідження в кожному випадку.
Виведемо формулу для знаходження радіуса збіжності ряду (9.12). Для цього побудуємо ряд із абсолютних величин членів ряду (9.12):
(9.14)
Нехай існує границя . Тоді застосовуючи ознаку Даламбера
до ряду (9.14), одержимо:
При |x| · l <1 ряд (9.14) збігається, а значить ряд (9.12) збігається абсолют но; при |x|·l> 1 ряд (9.14) розбігається. Розбіжність ряду, установлена за озна
кою Даламбера, означає, що для цього ряду не виконується необхідна умова
збіжності: , а тому не виконується необхідна умова збіжності і
для ряду (9.12) , і ряд (9.12) при |x|·l> 1буде також розбіжним.
Отже, нерівність |x|·l<l визначає інтервал збіжності ряду (9.12):
,
Радіус збіжності визначається за формулою
(9.15)
Аналогічно, використовуючи радикальну ознаку Коші, можна одержати формулу для радіуса збіжності, степеневого ряду у вигляді:
Зауваження. Формулами (9.1) і (9.16) можна користуватися лише в тих ви падках, коли указані границі існують. В загальному випадку дослідження збі жності степеневого ряду виконується за такою самою методикою, що і для до вільного функціонального ряду, наприклад, такою, що була використана при виводі формули радіуса збіжності (9.15).
68. Ряд Тейлора. Достатня умова його збіжності.
Формули, що відображають функцію f(х) у вигляді степеневих рядів, ма ють вигляд:
(9.17)
(9.18)
Кажуть, що ряд Маклорена (9.17) дає розвинення функції в ряд поблизу точки x = 0, а ряд Тейлора (9.18) — поблизу точки x = с. Дійсно, як далі буде показано, чим ближче x до точки розвинення функції fix) в ряд, тим меншим числом членів ряду буде досягнута більша точність при обчисленні fix).
Теорема 9.15: (Достатня умова розвинення функції в ряд Маклорена): Якщо на проміжку [- R; r] похідні будь-якого порядку для функції fix)
обмежені одним і тим же числом , то на інтервалі (- R; R)
функція fix) може бути розвинена в ряд Маклорена). Іншими словами, ряд Маклорена для fix) в кожній точці із д: є (- R; R) збігається абсолютно.
Теорема 9.16: Для того щоб функцію fix) можна було розвинути в ряд Маклорена на інтервалі χ є (- R; R), необхідно і достатньо, щоб на цьому
інтервалі
70. Застосування рядів до наближених обчислень.
Розвинення функцій в степеневі ряди використовується для наближено го обчислення значень функцій, визначених інтегралів, наближеного розв'язку рівнянь та ін. При цьому в ряді Маклорена чи Тейлора для даної функції залишають декілька перших членів (як правило, не більше трьох), а всі інші відкидають. Похибка при наближених обчисленнях являє собою суму відкинутих членів ряду — залишок ряду. Для оцінки похибки, якщо ряд знакосталий, залишок ряду порівнюють із рядом нескінченно спадної геометричної прогресії. Якщо ряд зкакопочерговий, то за наслідком теоре ми Лейбніца, похибка за абсолютною величиною не перевищує першого із відкинутих членів ряду.