Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Одиночный прямоугольный импульс может быть представлен следующим выражением:
.
Спектральная плотность для одиночного прямоугольного импульса имеет вид:
Пример Определим спектральную плотность низкочастотного шума корреляционная функция которого имеет вид:
Спектральная плотность при этом равна:
Проверка: Выполним обратное преобразование
Определим оригинал как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции
,
где sk – значения полюсов; n – количество полюсов; m – кратность полюсов.
При этом, корреляционная функция равна
2. Дискретное преобразование Фурье
В цифровой технике для обработки дискретной информации широко используются ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье. При этом, используются комплексные экспоненциальные СБФ, для которых характерны свойства ортогональности, ортонормированности, полноты и мультипликативности
, при k = m+n. (9)
Ряд Фурье может быть представлен в виде
(10)
где nT (или n) – дискретное время; (2/N) k – круговая частота .
Прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) имеет вид:
0 k N 1 (11)
Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ), т.е. спектральные коэффициенты вычисляются по формуле:
0 n N 1 (12)
где N – количество отсчетов N=T/t+1; T- интервал времени; t – шаг дискретности; n – номер отсчета.
Для сокращения записи преобразований введен поворачивающий множитель:
. (13)
Дискретное преобразование Фурье удобно представить в матричной форме:
, (14)
где X – вектор отсчетов сигнала; x – вектор спектральных коэффициентов; W – квадратичная матрица (NN) отсчетов базисных функций; W-1 – обратная W;
(15)
При реализации алгоритмов вычисления ДПФ необходимо учитывать количество выполняемых арифметических операций и их тип (умножение, сложение и т.д.), процедуры обращения к памяти и ее объем для хранения коэффициентов. В дискретном преобразовании Фурье необходимо выполнить N2 умножений и N2 сложений.
Если число точек N небольшое или большое число точек с нулевыми значениями, то целесообразно использовать ДПФ, в противном случае целесообразно использовать так называемое быстрое преобразование Фурье (БПФ). Сущность БПФ заключается в прореживании исходной выборки сигнала по времени – n или по частоте – k.
При этом, для вычисления спектральных коэффициентов требуются одни и те же промежуточные спектры, что существенно сокращает объем вычислений. В некоторых случаях оказывается удобная БПФ с прореживанием по времени, в других случаях по частоте.
Пример 4. Определить дискретную спектральную плотность, если спектральная плотность непрерывного сигнала равна
.
Решение: Алгоритм решения задачи можно представить в виде
.
1. Для заданной спектральной плотности определим корреляционную функцию
2. Определим дискретную корреляционную функцию
Определим дискретную спектральную плотность
4. Определим дискретную спектральную плотность в форме Z преобразования, выполнив подстановку z = epT.
Проверка: Определим дискретную корреляционную функцию
Для выражения спектральной плотности определим значения полюсов – zk, их количество и кратность – m
Используя теорему Коши о вычетах, корреляционную функцию можно определить как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции
Так как корреляционная функция является четной, то ее можно представить в виде
Выводы
При реализации алгоритмов БПФ возможно распараллеливание вычислений (специализированные процессоры), что позволяет ускорить выполнение преобразований.
Области применения дискретного преобразования Фурье:
дискретный спектральный анализ;
моделирование цифровых фильтров;
распознавание образов;
дискретный анализ речевых сигналов;
исследование дискретных систем управления.
Список использованной литературы