Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
3
ЛЕКЦІЯ 05
Теорема Остроградського-Гаусса
Перед розглядом цієї теореми слід зробити деякі попередні зауваження.
Хоча закон Кулона і принцип суперпозиції полів дають можливість визначати вектор напруженності електричного поля будь-якої системи зарядів, проте це пов'язано з досить громіздкими обчисленнями. Для спрощення цієї задачі слід скористатись деякими теоремами про загальні властивості електростатичного поля, однією з яких і є теорема Остроградського-Гаусса, яка дає можливість відмовитись від теорії далекодії (саме на ній базується закон Кулона) і звести рівняння електростатики до диференціальної форми і, таким чином, узгодити їх з теорією близькодії.
Теорема Остроградського-Гаусса пов'язує потік вектора (або вектора крізь довільну замкнену поверхню з зарядом, який охоплюється цією поверхнею. Для виведення цієї теореми слід ввести поняття потоку.
Потік вектора . Число ліній напруженості електричного поля , що пронизують елементарну площадку dS, дорівнює
де – проекція вектора на нормаль до площадки dS (рис.1).
Рис. 1
Величина
– це потік вектора напруженості крізь площадку dS, – вектор, модуль якого дорівнює dS, а напрям вектора співпадає з напрямом нормалі до площадки.
Потік вектора крізь довільну замкнену поверхню S:
Потік вектора – це алгебраїчна величина (залежить від конфігурації поля і від вибору напряму ).
Теорема Остроградського-Гауса для електростатичного поля у вакуумі
Потік вектора крізь сферичну поверхню радіусу r дорівнює:
.
Цей результат справедливий для замкненої поверхні будь-якої форми. Так, якщо оточити сферу (див. рис. 2) довільною замкненою поверхнею, то кожна лінія напруженості, яка пронизує сферу, пройде і крізь цю поверхню.
.
.
Якщо заряд розподілений в просторі з об'ємною густиною ,то теорема Остроградського-Гауса для електростатичного поля у вакуумі матиме вид:
.
Застосування теореми Остроградського-Гаусса до розрахунку полів у вакуумі
Нескінченна площина заряджена з постійною поверхневою густиною (– заряд, що припадає на одиницю поверхні). Лінії напруженості перпендикулярні даній площині і направлені від неї в обидві сторони. В якості замкненої поверхні подумки побудуємо циліндр, основи якого паралельні зарядженій площині, а вісь перпендикулярна їй (рис. 3). Повний потік крізь циліндр дорівнює сумі потоків крізь його основи (площі основ однакові і для основи співпадає з Е), тобто дорівнює 2ES. Згідно з теоремою Остроградського-Гаусса , 2ES = =, звідки
.
Цей результат свідчить про те, що напруженість не залежить від довжини циліндра і на будь-яких відстанях від площини напруженість однакова за величиною. Картина ліній напруженості наведена на рис.
Сферична поверхня радіусу R із загальним зарядом заряджена рівномірно з поверхневою густиною .
Завдяки рівномірному розподілу заряду по поверхні створюване цим зарядом поле має сферичну симетрію. Тому лінії напруженості направлені радіально (рис. 4, а).
Побудуємо подумки сферу радіусу , яка має спільний центр із зарядженою сферою. Якщо > R, то всередину поверхні потрапляє весь заряд , що створює дане поле, і, по теоремі Остроградського-Гаусса,
,
звідки
.
При > R поле спадає з відстанню по такому ж самому закону, що і для точкового заряду. Графік залежності Е від наведено на рис. 4, б. Якщо ' < R, то замкнена поверхня не містить усередині зарядів, тому всередині рівномірно зарядженої сферичної поверхні Е = 0.
Куля радіусу R із загальним зарядом заряджена рівномірно з об'ємною густиною ( – заряд, що припадає на одиницю об'єму). Внаслідок симетрії для напруженості поля ззовні кулі матимемо той же результат, що і у разі сферичної поверхні:
.
Усередині кулі напруженість інша. Сфера радіусу '< R охоплює заряд .
Тому, згідно з теоремою Остроградського-Гаусса,
.
Враховуючи, що
,
отримаємо
.
Графік залежності Е від наведено на рис. 5.
Рис. 5
4. Поле рівномірно зарядженого нескінченного циліндра (нитки)
Нескінченний циліндр радіусу R заряджений рівномірно з лінійною густиною ( – заряд, що припадає на одиницю довжини). Внаслідок симетрії лінії напруженості поля будуть направлені по радіусах кругових перерізів циліндра з однаковою густиною у всі сторони відносно осі циліндра. В якості замкненої поверхні подумки побудуємо коаксіальний із зарядженим циліндр радіусу і висотою . Потік вектора Е крізь торці циліндра дорівнює нулю (торці паралелі лініям напруженості), а крізь бічну поверхню . По теоремі Остроградського-Гаусса при > R
звідки
.
Якщо < R, то замкнена поверхня всередині не містить зарядів, і тому в цій області Е = 0.
Рис. 6
******************************************************************
Принцип суперпозиції. Поле диполя
Принцип суперпозиції (накладення) електростатичних полів
Напруженість Е результуючого поля, створюваного системою зарядів, рівна геометричній сумі напряженностей полів, створюваних в даній крапці кожним із зарядів окремо.
Електричний диполь
Система двох рівних по модулю різнойменних точкових зарядом (+& -0. відстань / між якими значно менше відстані до даних точок поля.
Плече диполя
Вектор, направлений по осі диполя (прямої, що проходить через оОа заряду) від негативного заряду до позитивного і рівні і відстані між ними.
Електричний момент диполя ______
Вектор
W
співпадаючий по напряму з плечем диполя.
-H+0J
За принципом суперпозиції, напруженість поля диполя . в довільній крапці Е = Е+ + Е_ (Е+ і ?_ — напруженості полів, створюваних відповідно позитивним і негативним зарядами).
Напруженість поля на продовженні осі диполя в крапці А
**********************************