Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
13. Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей и его единственность. Неприводимые многочлены над данным полем. Примеры. Свойства неприводимых многочленов (два-три доказать). Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей и его единственность.
Пусть Р – произвольное кольцо. Многочленом от х с коэффициентами из Р назовем выражение вида
а0+а1х+а2х2+…+anxn (*),
где n – любое неотрицательное число, и а0, а1, а2,…,an – элементы кольца Р.Элемент ak (k=0,1,2…n) кольца Р будем называть коэффициентом многочлена (*) при xk. Для k>n условимся считать, что коэффициент при xk равен нулю. Для обозначения многочленов будем пользоваться символами f(x), g(x) и т.п.
Многочлены f1(x) и f2(x) будем считать равными, если для любого k коэффициент многочлена f1(x) при xk равен коэффициенту многочлена f2(x) при xk.
Замечание: Так как для задания многочлена (*) существенны лишь коэффициенты а0, а1, а2,…,an, то можно было бы назвать многочленом просто последовательность (а0,а1,а2,…,an) элементов кольца Р, определив соответствующим образом операции сложения и умножения таких последовательностей. Однако, в конечном счете, запись многочлена в виде выражения (*) оказывается более удобной.
Укажем некоторые основные свойства делимости многочленов, которые найдут в дальнейшем многочисленные применения.
В самом деле, по условию f(x)=g(x)φ(х) и g(x)=h(x)ψ(х), а поэтому f(x)=h(x)[ψ(x)φ(x)].
Действительно, из равенств f(x)=φ(x)ψ(x) и g(x)=φ(x)χ(x) вытекает f(x)g(x)=φ(x)[ψ(x)χ(x)].
Действительно, если f(x)=φ(x)ψ(x), то f(x)g(x)=φ(x)[ψ(x)g(x)].
Из II и III вытекает следующее свойство:
Действительно, если f(x)=а0+а1х+а2х2+…+anxn, а с – произвольное число, не равное нулю, т.е. произвольный многочлен нулевой степени, то
В самом деле, из равенства f(x)=φ(x)ψ(x) следует равенство f(x)=[сφ(x)]·[c-1ψ(x)].
Действительно, f(x)=c-1[cf(x)], т.е. f(x) делится на cf(x).
Если, с другой стороны f(x) делится на g(x), причем степени f(x) и g(x) совпадают, то степень частного от деления f(x) на g(x) должна быть равной нулю, т.е. f(x)=dg(x), d0, откуда g(x)=d-1f(x).
Отсюда вытекает следующее свойство:
Наконец, из VIII и I вытекает свойство
Определим те многочлены, которые играют в кольце многочленов такую же роль, какую в кольце целых чисел играют простые числа. Заранее подчеркнем, что речь в этом определении будет идти лишь о многочленах, степень которых больше или равна единице; это вполне соответствует тому, что при определении простых чисел и изучении разложений целых чисел на простые множители числа 1 и –1 исключаются из рассмотрения.
Пусть дан многочлен f(x) степени n, n≥1, с коэффициентами из поля Р. Ввиду свойства V все многочлены нулевой степени будут служить делителями для f(x). С другой стороны, по VII, делителями для f(x) будет и все многочлены cf(x), где с – отличный от нуля элемент из Р, причем ими исчерпывается все делители многочлена f(x), имеющие степень n. Что же касается делителей для f(x), степень которых больше 0, но меньше n, то они могут в кольце P[x] существовать, а могут и отсутствовать. В первом случае многочлен f(x) называется приводимым в поле Р (или над полем Р), во втором – неприводимым в этом поле.
Вспоминая определение делителя, можно сказать, что многочлен f(x) степени n приводим в поле Р, если он может быть разложен над этим полем (т.е. в кольце P[x]) в произведение двух множителей, степени которых меньше n:
f(x)=φ(х)ψ(х), (1)
и f(x) неприводим в поле Р, если в любом его разложении вида (1) один из множителей имеет степень ), а другой – степень n.
Следует обратить особое внимание на то обстоятельство, что о приводимости или неприводимости многочлена можно говорить лишь по отношению к данному полю Р, так как многочлен, неприводимый в данном поле, может оказаться приводимым в некотором его расширении . Так, многочлен х2 – 2 с целыми коэффициентами неприводим в поле рациональных чисел – он не может быть разложен в произведение двух множителей первой степени с рациональными коэффициентами. Однако в поле действительных чисел этот многочлен оказывается приводимым, как показывает равенство
.
Многочлен х2 + 1 неприводим не только в поле рациональных чисел, но и в поле действительных чисел; он делается приводимым, однако, в поле комплексных чисел, так как .
Укажем некоторые основные свойства неприводимых многочленов, причем будем помнить, что речь идет о многочленах, неприводимых в поле Р.
В самом деле, если бы этот многочлен был разложим в произведение множителей меньшей степени, то эти множители должны были бы иметь степень 0. Однако произведение любых многочленов нулевой степени снова будет многочленом нулевой степени, а не первой.
Это свойство следует из свойств I и VII. Оно позволит там, где это будет нужно, ограничится рассмотрением неприводимых многочленов, старшие коэффициенты которых равны единице.
Если (f(x),p(x))=d(x), то d(x), будучи делителем неприводимого многочлена р(х), либо имеет степень 0, либо же есть многочлен вида ср(х), с0. В первом случае f(x) и p(x) взаимнопросты, во втором f(х) делится на р(х).
Действительно, если f(х) не делится на р(х), то по в), f(х) и р(х) взаимнопросты, а тогда1, многочлен g(x) должен делится на р(х).
Свойство г) без труда распространяется на случай произведения любого конечного числа множителей.
Т: Всякий многочлен f(x) из кольца Р[x], имеющий степень n, n≥1, разлагается в произведение неприводимых множителей.
Действительно, если многочлен f(x) сам неприводим, то указанное произведение состоит всего из одного множителя. Если же он приводим, то может быть разложен в произведение множителей меньшей степени. Если среди этих множителей снова имеются приводимые, то производим из дальнейшее разложение на множители, и т.д. Этот процесс должен остановиться после конечного числа шагов, так как при любом разложении f(x) на множители сумма степеней этих множителей должна равняться n, и поэтому число множителей, зависящих от х, не может превосходить n.
Разложение целых чисел на простые множители однозначно, если ограничиваться рассмотрением целых положительных чисел. Однако в кольце всех целых чисел однозначность имеет место лишь с точностью до знаков: так, - 6=2·(-3)= (-2)·3=, 10=2·5=(-2)·(-5) и т.д. Аналогичное положение имеет место и в кольце многочленов. Если
f(x)=p1(x)p2(x)…pn(x)
есть разложение многочлена f(x) в произведение неприводимых множителей и если элементы с1, с2, …, сs из поля Р таковы, что их произведение равно 1, то
f(x)= [с1p1(x)] · [с2p2(x)]… [сs ps(x)]
также будет, ввиду б), разложением f(х) в произведение неприводимых множителей. Оказывается, что этим исчерпываются все разложения f(х):
Т: Если многочлен f(х)из кольца Р[x] двумя способами разложен во произведение неприводимых множителей:
f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x)=q1(x)q2(x)…qt(x), (2)
то s=t и, при соответствующей нумерации, имеют место равенства
qi=cipi(x), i=1, 2, …s, (3)
где сi – отличные от нуля элементы из поля Р.
Эта теорема верна для многочленов первой степени, так как они неприводимы. Будем поэтому вести доказательство индукцией по степени многочлена, т.е. будем доказывать теорему для f(x), предполагая, что для многочленов меньшей степени она уже доказана.
Так как q1(x) является делителем для f(х), то, ввиду свойства г) и равенства (2), q1(x) будет делителем хотя бы одного из многочленов pi(x), например, для p1(x). Так как, однако, многочлен p1(x) неприводим, а степень p1(x) больше нуля, то существует такой элемент с1, что
q1(x)=c1p1(x). (4)
Подставляя это выражение q1(x) в (2) и сокращая на р1(x) (что законно, так как в кольце P[x] нет делителей нуля), мы получим равенство р2(х)р3(х)…ps(x)=[c1q2(x)]q3(x)…qt(x). Так как степень многочлена, равного этим произведениям, меньше степени f(x), то уже доказано, что s – 1 = t – 1, откуда s = t, и что существуют такие элементы с2’, с3, …, сs, что с2’р2(х)= c1q2(x), откуда q2(x)=(с1-1с2’)p2(x), и cipi(x)=qi(x), i=3,…,s, Полагая с1-1с2’=с2 и учитывая (4), мы получим равенства (3).
Доказанной сейчас теореме можно дать такую более короткую формулировку: всякий многочлен разлагается на неприводимые множители однозначно с точностью до множителей нулевой степени.
Всегда можно рассматривать, впрочем, разложение следующего специального вида, которое будет для каждого многочлена уже вполне однозначным: берем любое разложение многочлена f(x) на неприводимые множители и из каждого из этих множителей выносим за скобки старший коэффициент. Мы получим разложение
f(x)=a0р1(х)р2(х)…ps(x), (5)
где все pi(x), i=1, 2 …, s, являются неприводимыми многочленами со старшими коэффициентами, равными единице. Множитель а0 будет равен старшему коэффициенту многочлена f(x), как легко доказать, выполнив перемножение в правой части равенства (5).
Неприводимые множители, входящие в разложение (5), не обязаны быть различными. Есил неприводимый многочлен р(х) встречается в разложении (5) несколько раз, то он называется кратным множителем для f(x), а именно k-кратным (в честности двукратным, трехкратным и т.д.), если в разложении (5) содержится ровно k множителей, равных р(х). Если же множитель р(х) входит в (5) лишь один раз, то он называется простым (или однократным) множителем для f(x).
Если в разложении (5) множители р1(х), р2(х),… рl(х), отличны друг от друга, а всякий другой множитель равен одному из них, и если рi(х), i=1, 2, …l, является ki-кратным множителем многочлена f(x), то разложение (5) можно переписать в следующем виде:
. (6)
Именно этой записью мы будем дальше обычно пользоваться, не оговаривая особо, что показатели равны кратностям соответствующих множителей, т.е. что pipj при ij.
14. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (без док-ва). Многочлены, неприводимые над полем комплексных чисел. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами в произведение неприводимых множителей. Сопряженность мнимых корней многочлена над полем действительных чисел. Многочлены, неприводимые над полем действительных чисел.
Пусть F[x] – кольцо полиномов от х над полем F.
О: Поле F называется алгебраически замкнутым, если любой полином положительной степени из F[x] имеет в поле F хотя бы один корень
Т. Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.
Д-во: Пусть f – произвольный полином положительной степени из F[x]. Если f(0)=0, то нуль есть корень полинома f. Допустим, что f(0)0, и положим М=|f(0)|. Пусть r – такое положительное число, что
(1) (zC)(|z|≤r→M≤|f(z)|).
Такое r существует2.
Пусть K={zC| |z|≤r}. Функция |f| достигает наименьшего значения на множестве K3, т.е. существует такое число аK, что
(2) |f(a)|≤|f(z)| для всякого zК (|z|≤r0),
в частности
(3) |f(a)|≤|f(0)|=М.
Из (1) и (3) получим
(4) (zC)(|z|≤r0→|f(a)|≤|f(z)|).
На основании (2) и (4) заключаем, что
(5) (zC)(|f(a)|≤|f(z)|).
Если f(a)0, то, по лемме Даламбера4, существует такое комплексное число с, что
|f(с)|<|f(а)| (сС).
Однако последнее неравенство противоречит (5), поэтому случай, когда f(a)0 невозможен. Следовательно, f(а)=0, т.е. комплексное число а является корнем полинома f.
Следствия:
1. Всякий полином из кольца С[x], степень которого больше единицы, приводим в кольце С[x].
Действительно, пусть fС[x] и степень f>1. По теореме, существует аС такое, что f(a)=0. Тогда5 (x – a) делит f, т.е. существует полином g в С[x], что f=(х – а)·g. При этом степень g>0, поскольку степень f>1. Таким образом, полином f приводим в кольце С[x].
2. Любой полином f положительной степени из кольца С[x] можно единственным образом представить в виде произведения комплексного числа и нормированных линейных множителей, т.е. в виде
(1) f=c(x – 1)…( x – n),
где 1, …, n – корни полинома f (в С) и с – старший коэффициент полинома.
Это утверждение вытекает из следствия 1 6
Если в разложении (1) 1, …, m есть все различные корни полинома f в С, то это разложение можно представить в виде
(2) k1+…+km=n.
Разложение (2) называется каноническим разложением полинома f на неприводимые множители. Число ks называется показателем кратности корня s.
3. Всякий полином f положительной степени n из С[x] имеет точно п комплексных корней, если каждый его корень считать столько раз, какова его кратность.
Т. Пусть f – полином, степень которого больше единицы, неприводимый над полем действительных чисел R. Тогда существуют такие a, b R, что b0 и полином f ассоциирован с полиномом (x – a)2+b.
Д-во: По теореме об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел полином f имеет хотя бы один комплексный корень. Пусть a+bi – корень полинома f, где a, b множеству R. Если b=0, то x – a делит f, что противоречит условию неприводимости f над кольцом R. Следовательно, b0. Применим к полиномам f и (x – a)2+b теорему о делении с остатком. Согласно этой теореме, в кольце R[x] существуют полиномы q(x) и cx+d такие, что
Полагая в этом равенстве x=a+bi, получаем
Отсюда вытекает, что ca+d=0, bc=0. Так как b0, то c=0 и d=0. Таким образом,
f(x)=q(x)[(x – a)2+b2].
Поскольку, по условию, полином f неприводим над кольцом R, то степень полинома q(x) равна нулю. Следовательно, полином f ассоциирован с полиномом (x – a)2+b.
Следствие: В кольце R[x] неприводимы только полиномы первой степени и полиномы второй степени, ассоциированные с полиномами вида (x – a)2+b, где a, b – любые действительные числа и b0.
Из этого следствия и доказанной выше теоремы вытекает следующая теорема.
Т. Любой полином f положительной степени из кольца R[x] можно единственным образом представить в виде произведения действительного числа и неприводимых над R полиномов не выше чем второй степени:
где bk0.
Следствия:
Т. Каждый многочлен f(x) C[x] степени n≥1 может быть разложен на линейные множители в кольце C[x].
Д-во: Согласно «основной теореме алгебры»7 всякий многочлен f(x) C[x] степени n≥1 имеет корень х0 в поле С. В случае, когда степень f(x) больше единицы, из наличия корня у многочлена f(x) вытекает его приводимость8. Следовательно, в кольце C[x] неприводимы только многочлены первой степени.
Каждый многочлен f(x) C[x] степени n≥1 может быть разложен на неприводимые множители в кольце C[x]. Из предыдущего замечания вытекает, что это разложение является разложением на линейные множители. ч.т.д.
При изучении многочленов с действительными коэффициентами представляют интерес не только их действительные, но и мнимые корни, рассмотрение которых позволяет, в частности, выяснить, какие многочлены приводимы в кольце R[x].
Установим одно простое свойство совокупности всех комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами.
Т. Если комплексное число х0 является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное числотакже является корнем этого многочлена.9
Д-во: Пусть данный многочлен имеет вид
По условию, f(x0)=0, т.е.
Для вычисления воспользуемся следующими свойствами операции комплексного сопряжения
а также тем, что любое действительно число совпадает со своим сопряженным. Имеем:
т.е. также является корнем многочлена f(x).
ч.т.д.
Из этой теоремы можно вывести, что в кольце R[x] неприводимы только многочлены первой степени и многочлены второй степени, не имеющие действительных корней.
В самом деле, пусть f(x) R[x] – многочлен степени п≥3 и х0 – какой-либо комплексный корень. Если х0 R, то многочлен f(x) делится на х – х0 в кольце R[x] и, следовательно, приводим. Если х0 R, то, по доказанной теореме, также является корнем многочлена f(x) (причем ). В этом случае в разложение многочлена f(x) на линейные множители в кольце C[x] входят множители и . Следовательно, f(x) делится на квадратный трехчлен
.
Так как и , то
и, значит, многочлен f(x) приводим в кольце R[x].
Таким образом, в кольце R[x] всякий многочлен, степень которого больше двух приводим. Что касается многочленов второй степени, то из них неприводимы в кольце действительных чисел те и только те, которые не имеют действительных корней.
Из описания неприводимых многочленов в кольце R[x] следует, что нормированные разложение на неприводимые множители любого многочлена f(x) R[x] имеет вид
(1)
где х1,х2,…,xs – различные числа, а - различные квадратные трехчленные, не имеющие действительных корней. Обозначим через yi какой-либо комплексный корень трехчлена ; тогда другим его корнем будет и, значит,
(2)
Подставляя эти выражения в (1), получаем разложение многочлена f(x) на линейные множители C[x]:
(3)
Заметим, что yi yj при i j, так как в противном случае из формулы (2) следовало бы, что
По той же причине . Отсюда следует, что yi и - корни кратности li/ Таким образом, каждому неприводимому делителю h(x) второй степени многочлена f(x) R[x] соответствует пара сопряженных мнимых корней многочлена f(x), причем кратность каждого из них равна кратности делителя h(x).
Поскольку мнимые корни алгебраического уравнения с действительными коэффициентами разбиваются на пары сопряженных, то число действительных корней (с учетом кратностей) либо равно степени уравнение, либо на четное число меньше. В частности, любое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.
15. Строение простого алгебраического расширения поля. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби. Дать определение простого алгебраического расширения поля. Сформулировать и доказать теорему о строении простого алгебраического расширения поля. Привести пример использования этой теоремы в элементарной математике.
Простое расширение поля. Пусть P [x] – кольцо полиномов от х над полем P, где P – подполе поля F. Напомним, что элемент поля F называется алгебраическим над полем P , если является корнем какого-нибудь полинома положительной степени из P [x].
О: Пусть P F и F. Простым расширением поля P с помощью элемента называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество P и элемент . Простое расширение P с помощью обозначается через P (), основное множество поля P () обозначается через P().
Пусть F, P [x] – кольцо полиномов от х и
т.е. P[] есть множество всех выражений вида , где а0, а1,… аn, Р и п – любое натуральное число.
Легко видеть, что алгебра - подкольцо поля P () – является кольцом; это кольцо обозначается символом P [].
Т1. Пусть P [x] – кольцо полиномов от х над P и P () – простое расширение поля P . Пусть ψ – отображение P[х] на P[] такое, что ψ(f) = f() для любого f из P[х]. Тогда:
Д-во: Утверждения (а) и (b) непосредственно следуют из определения ψ. Отображение ψ сохраняет главные операции кольца P [x], так как для любых f и g из P [x]
Далее, по условию, ψ есть отображение P[х] на P[]. Следовательно, ψ является гомоморфизмом кольца P [x] на кольцо P [].
Поскольку ψ – гомоморфизм кольца P [x] на P [], то11 фактор-кольцо P [x]/Ker ψ изоморфно кольцу P [].
Следствие. Пусть - трансцендентный элемент над полем P . Тогда кольцо полиномов P [x] изоморфно кольцу P [].
Д-во: В силу трансцендентности над P Ker ψ = {0}. Поэтому2 P [x]/{0} P []. Кроме того, фактор-кольцо кольца P [x] по нулевому идеалу изоморфно P [x]. Следовательно, P [x] P [].
Минимальный полином алгебраического элемента. Пусть P [x] – кольцо полиномов над полем P .
О. Пусть - алгебраический элемент над полем P . Минимальным полиномом элемента над P называется нормированный полином из P [x] наименьшей степени, корнем которого является . Степень минимального полинома называется степенью элемента над P .
Легко видеть, что для всякого элемента , алгебраического над P , существует минимальный полином.
Предложение: Если - алгебраический элемент над полем P , а g и – его минимальные полиномы над P , то g = /
Д-во: Степени минимальных полиномов g и совпадают. Если g , то элемент (степени п над P ) будет корнем полинома g - , степень которого меньше степени полинома (меньше п), что невозможно. Следовательно g = .
Т2. Пусть - алгебраический элемент степени п над полем P ( Р) и g – его минимальный полином над P . Тогда:
Д-во: Допустим, что полином g приводим в кольце P [x], т.е. существуют в P[x] такие полиномы и h, что
g = h, 1 ≤ deg , deg h < deg g = n.
Тогда g() = () h() = 0. Так как P () – поле, то () = 0 или h() = 0, что невозможно, поскольку, по условию, степень элемента над P равна n.
Предположим, что f P[x] и f() = 0. По условию, g() = 0. Следовательно, f и g не могут быть взаимно простыми. Поскольку полином g неприводим, то g делит f.
|
P |
Пусть ψ – гомоморфизм кольца P [x] на кольцо P [] (ψ(f) = f() для всякого f из P[х]), рассмотренный в Т1. В силу (b) ядро гомоморфизма ψ состоит из кратных полинома g, т.е. Ker ψ = (g). Следовательно12 фактор-кольцо =P [x]/(g) изоморфно кольцу P [].
Поскольку P[] P(), то P [] есть область целостности.
|
P |
|
P |
|
P |
|
P |
|
P |
|
P |
Так как P [], то фактор-кольцо также есть область целостности. Нам надо показать, что любой ненулевой элемент из обратим в . Пусть f – элемент смежного класса . Так как , то f() 0; поэтому полином g не делит f. Поскольку полином g неприводим, отсюда следует, что полиномы f и g – взаимно простые. Следовательно, в P[x] существуют такие полиномы u и v, что uf + vg = 1. Отсюда вытекает равенство , показывающее, что элемент обратим в кольце . Итак, установлено, что фактор-кольцо является полем.
В силу (с) и (d) P [] является полем и поэтому P() P[]. Кроме того, очевидно, P[] P(). Значит, P[] = P(). Следовательно, кольцо P [] совпадает с полем P ().
Строение простого алгебраического расширения поля.
Т3. Пусть - алгебраический над полем P элемент положительной степени п. Тогда любой элемент поля P () однозначно представим в виде линейной комбинации п элементов 1, , …,n-1 с коэффициентами из Р.
Д-во: Пусть - любой элемент поля P (). По Т2 P() = P[]; следовательно, в P[х] существует полином f такой, что
(1) = f ().
Пусть g – минимальный полином для над P ; в силу условия теоремы его степень равна п. По теореме о делении с остатком, существуют в P[х] полиномы h и r такие, что
(2) f = gh+r, где r = 0 или deg r < deg g = n, т.е.
r = c0 + c1x + …+ cn-1xn-1 (ci P).
Полагая в (2) х = и учитывая равенство (1), имеем
(3) = c0 + c1 + …+ cn-1n-1.
Покажем, что элемент однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, , …,n-1. Пусть
(4) = d0 + d1 + …+ dn-1n-1 (di P)
- любое такое представление. Рассмотрим полином
= (с0 – d0) + (с1 – d1)x + …+ (сn-1 – dn-1)xn-1.
Случай, когда степень меньше п, невозможен, так как в силу (3) и (4) () = 0 и степень меньше степени g. Возможен лишь случай, когда = 0, т.е. c0 = d0,…, cn-1 = dn-1. Следовательно, элемент однозначно представим в виде линейной комбинации элементов1, , …,n-1.
Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби. Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть - алгебраический элемент степени n>1 над полем P ; f и h – полиномы из кольца полиномов P [x] и h() 0. Требуется представить элемент в виде линейной комбинации степеней элемента , т.е. в виде (), где Р[x].
Эта задача решается следующим образом. Пусть g – минимальный полином для над P . Так как, по Т2, полином неприводим над P и h() 0, то g не делит h и, значит, полиномы h и g – взаимно простые. Поэтому в P[x] существуют такие полиномы u и v, что
(1) uh + vg = 1.
Поскольку g() = 0, из (1) следует, что
u()h() = 1, .
Следовательно, , причем f, u Р[x] и f()u() Р[x]. Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби .
1 т.к. Если произведение двух взаимнопростых многочленов делится на третий, то на него делится каждый из этих многочленов
2 В силу теоремы о возрастании модуля полинома: Пусть f – полином положительной степени из С[z]. Для всякого действительного числа М>0 существует такое действительное число r>0, что для любого комплексного числа z |f(z)|≥М, как только |z|≥r.
3 В силу теоремы: Модуль любого полинома f из С[z] достигает своего наименьшего значения на множестве С.
4 Пусть f(х) – полином положительной степени над полем комплексных чисел и аС.Если f(a)0, то существует такое комплексное число с, что |f(с)|<|f(а)|.
5 По теореме: Пусть f – полином над кольцом К и с0К. Элемент с0 является корнем полинома f тогда и только тогда, когда х – с0 делит полином f в кольце К[x].
6 и теоремы о разложимости полинома над полем в произведение нормированных неприводимых множителей. Любой полином положительной степени из F[x] можно единственным образом представить в виде произведения элемента поля F и нормированных неприводимых в кольце F[x] полиномов.
7 Основная теорема алгебры: Всякое алгебраическое уравнение положительной степени с числовыми коэффициентами имеет корень в поле комплексных чисел
8 По теореме Безу многочлен, имеющий корень х0, делится на х – х0. Степень частного при этом, очевидно, будет на единицу меньше степени самого многочлена. Поэтому, всякий многочлен, степени ≥2, имеющий корень в поле Р, приводим.
9 Отметим, что утверждение теоремы представляет интерес только в случае, когда х0 – мнимое число, поскольку, если х0 действительное, то
10 Алгебра называется фактор-кольцом кольца K по идеалу I и обозначается через K /I.
11 По теореме: Пусть f – эпиморфизм кольца K на кольцо K ’с ядром I. Тогда фактор-кольцо K /I изоморфно кольцу K ’.
12 По теореме: Пусть f – эпиморфизм кольца K на кольцо K ’с ядром I. Тогда фактор-кольцо K /I изоморфно кольцу K ’.