Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задача 8. Обработать выборку, полученную по результатам статистических наблюдений.
Выборка годовых объемов привлеченных депозитов 100 коммерческих банков представлена в таблице (усл. ед.):
|
57,3 |
75,1 |
78,1 |
69,3 |
60,1 |
77,3 |
66,1 |
69,5 |
72,1 |
68,7 |
|
81,1 |
69,4 |
63,1 |
67,4 |
77,1 |
82,6 |
64,8 |
72,5 |
62,5 |
8/0,7 |
|
77,6 |
65,8 |
78,3 |
57,7 |
80,7 |
64,4 |
82,8 |
67,3 |
83,1 |
70,6 |
|
75,3 |
58,0 |
60,7 |
81,3 |
67,1 |
69,6 |
82,4 |
62,3 |
66,9 |
80,6 |
|
62,7 |
73,8 |
68,9 |
83,8 |
57,0 |
72,6 |
65,6 |
78,7 |
59,5 |
70,0 |
|
73,5 |
58,1 |
64,0 |
83,9 |
84,0 |
63,5 |
74,1 |
77,7 |
68,5 |
80,5 |
|
66,3 |
73,0 |
79,1 |
71,1 |
80,4 |
62,1 |
66,7 |
83,7 |
76,8 |
59,3 |
|
71,3 |
63,7 |
71,2 |
78,9 |
65,2 |
77,9 |
74,9 |
69,1 |
70,8 |
74,8 |
|
71,6 |
72,9 |
61,9 |
71,5 |
75,4 |
71,7 |
59,9 |
74,3 |
76,1 |
70,9 |
|
61,3 |
71,4 |
71,8 |
65,0 |
67,8 |
75,5 |
71,9 |
64,9 |
74,7 |
62,9 |
Требуется:
а) представить объем привлеченных депозитов в виде вариационного ряда;
б) найти размах варьирования ряда и разбить его на 9 интервалов;
в) построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;
г) найти числовые характеристики выборки , , S2 , S, S0, коэффициент вариации v;
д) выдвинуть гипотезу о виде закона распределения годового объема привлеченных депозитов коммерческих банков и проверить ее по критерию Пирсона на уровне значимости =0,025.
е) найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения для годовых объемов привлеченных депозитов с надежностью =0,95;
Решение
а) Для построения вариационного ряда результаты наблюдений ранжируем (100 чисел запишем в порядке возрастания).
|
57.0 |
57.3 |
57.7 |
58.0 |
58.1 |
59.3 |
59.5 |
59.9 |
60.1 |
60.7 |
61.3 |
61.9 |
62.1 |
62.3 |
62.5 |
62.7 |
62.9 |
63.1 |
63.5 |
63.7 |
|
64.0 |
64.4 |
64.8 |
64.9 |
65.0 |
65.2 |
65.6 |
65.8 |
66.1 |
66.3 |
66.7 |
66.9 |
67.1 |
67.3 |
67.4 |
67.8 |
68.5 |
68.7 |
68.9 |
69.1 |
|
69.3 |
69.4 |
69.5 |
69.6 |
70.0 |
70.6 |
70.8 |
70.9 |
71.1 |
71.2 |
71.3 |
71.4 |
71.5 |
71.6 |
71.7 |
71.8 |
71.9 |
72.1 |
72.5 |
72.6 |
|
72.9 |
73.0 |
73.5 |
73.8 |
74.1 |
74.3 |
74.7 |
74.8 |
74.9 |
75.1 |
75.3 |
75.4 |
75.5 |
76.1 |
76.8 |
77.1 |
77.3 |
77.6 |
77.7 |
77.9 |
|
78.1 |
78.3 |
78.7 |
78.9 |
79.1 |
80.4 |
80.5 |
80.6 |
80.7 |
80.7 |
81.1 |
81.3 |
82.4 |
82.6 |
82.8 |
83.1 |
83.7 |
83.8 |
83.9 |
84.0 |
б) Объем выборки большой, поэтому построим интервальный вариационный ряд. Найдем:
1) = 57, = 84.
2) Размах выборки: =8457=27.
3) Величину каждого из 9 интервалов:.
4) Определим границы интервалов :
; ; ; ; ; ; ; ; ; .
5) Учитывая, что элемент, совпадающий с верхней границей интервала, относится к последующему интервалу, запишем полученные интервалы:
6) Рассчитаем интервальную частоту – число вариант, попадающих в соответствующий интервал, пользуясь таблицей пункта 1).
7) Найдем середины интервалов по формуле
8) Вычислим относительную частоту интервалов по формуле .
9) Вычислим накопленную частоту и относительную накопленную частоту для построения эмпирической функции распределения (кумуляты).
10) Для построения гистограммы относительных частот найдем высоты прямоугольников .
11) Все полученные данные представим в таблице, где также рассчитываем ,
|
№ интервала |
Интервалы |
Середина интервала |
Частота интервала |
Относительная частота |
Накопленная частота |
Относительная накопленная частота |
||||
|
1 |
[57-60) |
58.5 |
8 |
0.08 |
8 |
0.08 |
0.026 |
468 |
3422.25 |
27378 |
|
2 |
[60-63) |
61.5 |
9 |
0.09 |
17 |
0.17 |
0.03 |
553.53 |
3782.25 |
34040.25 |
|
3 |
[63-66) |
64.5 |
11 |
0.11 |
28 |
0.28 |
0.036 |
709.5 |
4160.25 |
45762.75 |
|
4 |
[66-69) |
67.5 |
11 |
0.11 |
39 |
0.39 |
0.036 |
742.5 |
4556.25 |
50118.75 |
|
5 |
[69-72) |
70.5 |
18 |
0.18 |
57 |
0.57 |
0.06 |
1269 |
4970.25 |
89464.5 |
|
6 |
[72-75) |
73.5 |
12 |
0.12 |
69 |
0.69 |
0.04 |
882 |
5402.25 |
64827 |
|
7 |
[75-78) |
76.5 |
11 |
0.11 |
80 |
0.8 |
0.036 |
841.5 |
5852.25 |
64374.75 |
|
8 |
[78-81) |
79.5 |
10 |
0.1 |
90 |
0.9 |
0.033 |
795 |
6320.25 |
63202.5 |
|
9 |
[81-84) |
82.5 |
10 |
0.1 |
100 |
1 |
0.033 |
825 |
6806.25 |
68062.5 |
|
∑ |
100 |
1 |
7086 |
507231 |
в) Построим полигон частот, откладывая по оси абсцисс середины интервалов , а по оси ординат – соответствующие частоты
Построим гистограмму относительных частот, состоящих из прямоугольников, откладывая по оси абсцисс 9 интервалов, каждый длинной , а по оси ординат – соответствующие высоты прямоугольников
Можно предположить, что годовые объемы привлеченных депозитов коммерческих банков распределены по нормальному закону с оценочными значениями параметров (найдены по графику) и , т.к. .
Построим кумуляту (аналог эмпирической функции распределения F*(x)).
По оси абсцисс откладываем середины интервалов выборки хi, а по оси ординат – относительную накопленную частоту .
г) Рассчитаем:
Выборочную среднюю
Выборочную дисперсию
Исправленную выборочную дисперсию
Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение
д) Согласно критерию Пирсона, необходимо сравнить эмпирические и теоретические частоты. Эмпирические частоты даны. Найдем теоретические частоты. Для этого перейдем от с.в. Х к с.в. и вычислим концы интервалов , , причем наименьшее значение z, т.е. z1 положим стремящимся к , а наибольшее – к . Результаты занесем в таблицу с учетом, что , :
|
№ инт. |
|||||||||||
|
1 |
57 |
60 |
8 |
– 1,51 |
– 0,5 |
– 0,4345 |
0,0655 |
6,55 |
1,45 |
0,321 |
|
|
2 |
60 |
63 |
9 |
– 1,51 |
– 1,09 |
– 0,4345 |
– 0,3621 |
0,0724 |
7,24 |
1,76 |
0,428 |
|
3 |
63 |
66 |
11 |
– 1,09 |
– 0,68 |
– 0,3621 |
– 0,2517 |
0,1104 |
11,04 |
– 0,4 |
0,014 |
|
4 |
66 |
69 |
11 |
– 0,68 |
– 0,26 |
– 0,2517 |
– 0,1026 |
0,1491 |
14,91 |
– 3,91 |
1,025 |
|
5 |
69 |
72 |
18 |
– 0,26 |
0,16 |
– 0,1026 |
0,0636 |
0,1662 |
16,62 |
1,38 |
0,115 |
|
6 |
72 |
75 |
12 |
0,16 |
0,58 |
0,0636 |
0,2190 |
0,1554 |
15,54 |
– 3,54 |
0,806 |
|
7 |
75 |
78 |
11 |
0,58 |
0,99 |
0,2190 |
0,3389 |
0,1199 |
11,99 |
– 0,99 |
0,82 |
|
8 |
78 |
81 |
10 |
0,99 |
1,41 |
0,3389 |
0,4207 |
0,0818 |
8,18 |
1,82 |
0,405 |
|
9 |
81 |
84 |
10 |
1,41 |
0,4207 |
0,5 |
0,0793 |
7,93 |
2,07 |
0,54 |
|
|
=100 |
=1 |
=100 |
=3,736 |
По таблице критических точек распределения Пирсона по уровню значимости и числу степеней свободы , где m – число интервалов, находим:
.
Так как , то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.
е) Так как с.в. Х генеральной совокупности распределена по нормальному закону, то с надежностью можно утверждать, что математическое ожидание а с.в. Х покрывается доверительным интервалом , где – точность оценки.
В нашем примере , , . Из таблицы квантилей распределения Стьюдента для находим . Т.о., . Доверительный интервал для а будет (70,86 – 1,426; 70,86+1,426)=(69,434; 72,286).
Интервальная оценка дисперсии ДХ с надежностью при неизвестном математическом ожидании имеет вид .
В нашем примере , , . Из таблицы квантилей распределения Пирсона для находим ,
Т.о., доверительный интервал для дисперсии будет .
Доверительный интервал, покрывающий СКО Х с заданной надежностью имеет вид . Из таблицы по данным и находим и, значит, доверительный интервал для СКО будет иметь границы:
.
Основные законы распределения случайных величин
|
Название |
Закон |
Числовые характеристики |
Примеры |
||
|
М |
D |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1. Биномиальный (закон Бернулли) |
np |
npq |
Число успехов в схеме Бернулли |
||
|
2. Закон Пуассона |
Простейший поток событий ( – число событий за промежуток времени t, , где m – число событий за единицу времени |
||||
|
3. Геометрический закон |
Число испытаний в схеме Бернулли до первого успеха |
||||
|
4. Показательный закон |
Время безотказной работы прибора; продолжительность телефонного разговора |
||||
|
5. Равномерный |
Ошибка округления до ближайшего целого деления. Время ожидания транспорта с постоянным интервалом движения. |
||||
|
6. Нормальный закон (Гаусса) |
а |
2 |
Размер серийно изготовленной детали (а – стандартный размер; – погрешность, отклонение от стандарта) |
||
|
7. Логнормальное |
Распределение доходов, банковских вкладов, месячной зарплаты, посевных площадей. Долговечность изделий в режиме износа и старения. |