Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекція 10. Поверхні другого порядку.
Загальна теорія поверхонь другого порядку значно складніша порівняно з теорією кривих. Ми не будемо викладати її тут детально. Познайомимось лише з основними видами поверхонь та їх властивостями.
1. Загальне рівняння другого порядку трьох змінних.
Загальне рівняння другого порядку, що описує деяку поверхню в тривимірному просторі, залежить від трьох змінних і має вид:
(1)
Перетвореннями системи координат можна звести це рівняння до одного з канонічних рівнянь поверхонь другого порядку.
Розглянемо основні з них.
1.1. Еліпсоїд.
Канонічним рівнянням еліпсоїду є рівняння виду: (2)
З рівняння (2) безпосередньо випливає, що по-перше, дана поверхня симетрична відносно всіх трьох координатних площин, і по-друге, . Точки , , , , та називаються вершинами еліпсоїда. Покажемо, що якщо існує переріз еліпсоїда поверхнею паралельною до однієї з координатних площин, то таким перерізом завжди є еліпс (власне, цій обставині він і завдячує своєю назвою). Дійсно, розглянемо переріз площиною , де . Маємо: . Ці рівняння визначають
Рис. 1 еліпс з півосями та (див. рис. 1). . Максимальні півосі, рівні і , матиме еліпс, одержаний в перерізі координатною площиною при . При перерізи перетворюється на точки – вершини еліпсоїда. Аналогічні міркування справедливі і для перерізів еліпсоїда площинами та .
1.2. Однопорожнинний гіперболоїд.
Однопорожнинний гіперболоїд задається канонічним рівнянням виду:
(3)
Очевидна симетрія точок поверхні відносно всіх трьох координатних площин. Дослідимо форму поверхні з допомогою перерізів площинами паралельними координатним. Розглянемо спочатку переріз поверхні площиною . Маємо:
Ці рівняння при будь-якому значенні визначають еліпс з півосями та . Мінімальні півосі, рівні і , матиме еліпс, одержаний в перерізі координатною площиною при .
В перерізі однопорожнинного гіперболоїда будь-якою з Рис. 2 площин матимемо гіперболу:
Її дійсною віссю при буде , а уявною – . Якщо ж , то дійсна вісь буде рівна
, а уявна – рівна . Зауважимо, що при перерізи являють собою дві прямі, що перетинаються в точці . Аналогічно можна переконатись, що і в перерізі будь-якою з площин також отримаємо гіперболу. Рівняння (3) приховує одну дуже важливу особливість однопорожнинного гіперболоїда, а саме; пара зазначених вище прямих є лише однією парою з двох сімейств таких пар прямих, цілком розташованих на цій поверхні. Це так звані прямолінійні твірні однопорожнинного гіперболоїда. Визначимо їх. Рівняння (4) можна подати у вигляді:
, або (4)
Розглянемо тепер пряму лінію, утворену перетином двох площин, визначених при деяких значеннях числових параметрів та :
(5)
Координати кожної точки прямої (5), очевидно задовольняють рівняння (4), а отже, і рівняння (3). Тому всі точки прямих (5) лежать на гіперболоїді (3). Аналогічними міркуванням переконайтесь, що і сімейство прямих
(6)
також належить однопорожнинному гіперболоїду (3) при всіх значеннях параметрів та . Якщо розглянути довільну точку на гіперболоїді (3) і підставити її координати в одне з рівнянь сімейства (5) або (6), то визначимо значення параметрів та , які відповідають парі прямих, що проходять саме через цю точку однопорожнинного гіперболоїда. Зрозуміло, що значення цих пар параметрів можуть бути визначені лише з точністю до спільного множника. Однопорожнинний гіперболоїд зображена на рис. 2.
1.3. Двопорожнинний гіперболоїд.
Двопорожнинний гіперболоїд задається канонічним рівнянням виду:
(7)
Ця поверхня, очевидно, також симетрична відносно всіх трьох координатних площин. Форму поверхні знову встановимо з допомогою перерізів. Розглянемо спочатку переріз площиною . Маємо:
Бачимо, що при дані рівняння визначають еліпс з півосями та . Переріз взагалі не існує при , а при стає точкою . Ці точки є вершинами двопорожнинного гіперболоїда – ця поверхня складається з двох окремих частин (рис. 3).
Дослідимо тепер переріз цієї поверхні площиною :
В перерізі при будь-якому значенні маємо гіперболу,
дійсна вісь якої рівна і паралельна осі , а уявна,
Рис. 3 рівна , паралельна осі .
Аналогічно переконайтесь, що і в перерізі площиною при довільному значенні матимемо гіперболу з дійсною
віссю, паралельною осі і уявною – паралельною осі .
1.4. Еліптичний параболоїд.
Канонічним рівнянням еліптичного параболоїду є наступне: (8)
Ця поверхня є симетричною відносно координатних площин та і розташована над площиною . В перерізі площиною при одержимо еліпс (при перерізу належить лише вершина еліптичного параболоїда – точка ):
Півосі цього еліпса рівні та .
Якщо ж розглянути переріз еліптичного параболоїду наприклад площиною , то одержимо параболу:
, вершиною якої є точка з координатами , а вісь
Рис. 4 паралельна осі . Так само і в перерізі площиною для довільного зна-
чення параметра матимемо параболу. Цей факт і пояснює назву цієї поверхні. Її вигляд показаний на рис. 4.
Зауваження. Слід зазначити, що будь-яка з розглянутих вище поверхонь може бути одержана при обертанні відповідної кривої другого поряду навколо деякої осі. Наприклад, еліпс , розташований в площині , при обертанні навколо осі опише еліпсоїд обертання: .
Перетворенням координат , при якому вздовж осі відбувається «стискання», якщо , або «розтягування», якщо , можна одержати еліпсоїд (2), де .
Одно- та двопорожнинний гіперболоїди обертання можна одержати обертанням гіперболи відповідно навколо уявної або дійсної осей, а параболоїд обертання – обертанням параболи навколо її осі симетрії. Описане вище перетворення координат, застосоване до вказаних поверхонь обертання, приведе до рівнянь (3), (7), (8).
Поверхня, до розгляду якої ми переходимо далі, в цьому розумінні є унікальною, тому що не може бути одержана обертанням жодної кривої другого порядку.
1.5. Гіперболічний параболоїд.
Гіперболічний параболоїд описується канонічним рівнянням: (9)
Теорема. Гіперболічний параболоїд (9) є поверхнею, утвореною рухом параболи , вершина якої ковзає вздовж нерухомої параболи так, що площини обох парабол залишаються взаємно перпендикулярними, а осі – протилежно напрямленими (див. рис. 5).
Доведення. Розглянемо довільну точку , яка належить поверхні, одержаній вказаним рухом параболи. Нехай точка належить рухомій параболі в той момент, коли її вершина знаходиться в точці з координатами , де – відстань від площини рухомої параболи до координатної площини. Оскільки точка належить водночас і нерухомій параболі, то , а координати точки задовольняють рівняння:
Оскільки , а , то одержуємо рівняння
рис. 5 , звідки й випливає рівняння (9).
Зауваження. Якщо осі обох парабол, що рухаються описаним вище способом, напрямлені в один бік, то одержимо еліптичний параболоїд (8).
Дослідимо форму параболічного гіперболоїда (поки що законним в його назві здається лише слово параболічний) за допомогою перерізів.
Розглянемо спочатку переріз поверхні площиною, паралельною :
Маємо в перерізі гіперболу (виняток складає випадок, коли , тоді переріз являє собою пару прямих в площині , що перетинаються в початку координат: ). Дійсна вісь такої гіперболи при паралельна осі , а уявна – осі . При – навпаки, дійсна вісь паралельна осі , а уявна – осі .
В перерізі площиною одержимо одне з положень рухомої параболи, яка утворила своїм рухом дану поверхню: . В перерізі площиною також утворюється парабола:
Вісь цієї параболи паралельна осі та співнапрямлена з нею, а вершина знаходиться нижче координатної площини . Загальний вигляд гіперболічного параболоїда на рис. 5 нагадує «сідло».
Зауваження. Гіперболічний параболоїд так само, як і однопорожнинний гіперболоїд має два сімейства прямолінійних твірних. Пропонуємо самостійно переконатись в тому, що їх рівняннями є наступні:
рис. 5 та
1.6. Конуси та циліндри.
Окремим класом поверхонь є так звані конічні та циліндричні поверхні. З точки зору загальної теорії поверхонь другого порядку, дані поверхні є виродженими (наприклад, у випадку кривих другого порядку гіпербола вироджується в пару прямих, що перетинаються, а парабола – в пару паралельних прямих). Дамо точні означення та одержимо рівняння цих поверхонь.
1 Означення. Циліндричною поверхнею (або просто циліндром) називається поверхня, утворена рухом прямої лінії, що зберігає деякий сталий напрямок (ця пряма називається твірною циліндра) і перетинає деяку криву другого порядку – напрямну циліндра (див. рис. 6 ).
Будемо вважати, що твірна циліндра має напрямний вектор з координатами , а напрямна задана як лінія перетину двох поверхонь:
(10)
(Одна з цих поверхонь, як правило є площиною, а інша – одна з поверхонь, описаних вище).
Розглянемо довільну точку , що належить циліндру. Нехай – та точка напрямної (1), яка належить тій самій твірній, що і точка . Тоді координати точок і пов’язані наступним співвідношенням , звідки маємо:
рис. 6 (11)
Далі підставимо вирази (11) в одне з рівнянь напрямної (10), адже точка має задовольняти рівняння напрямної. Виразимо звідси через і знову підставимо знайдений вираз для у формули (11). Залишилось тепер знайдені координати точки підставити у друге з рівнянь напрямної (10). Таким чином одержимо рівняння циліндра.
Реалізуємо цей алгоритм на прикладі.
2. Приклад. Скласти рівняння циліндра, напрямна якого задана рівняннями ; , а твірні перпендикулярні до площини напрямної.
Оскільки напрямна лежить в площині , то твірні цього циліндру мають напрямок нормалі цієї площини: . Нехай точки та вибрані як описано вище. Тоді рівняння твірної, що через них проходить є таким: , звідки , , . З другого рівняння напрямної знаходимо, що , а тому , , . Підставимо координати точки тепер у перше рівняння напрямної та спростимо одержаний вираз: , звідки одержимо рівняння циліндра .
3. Означення. Конічною поверхнею (або просто конусом) називається поверхня, утворена рухом прямої лінії, що проходить через деяку фіксовану точку– вершину конуса (ця пряма називається твірною конуса) і перетинає деяку криву другого порядку – напрямну конуса (див. рис. 7).
Нехай вершиною конуса є точка , а напрямна як і у випадку з циліндром, задана як лінія перетину двох поверхонь: (12)
(Одна з цих поверхонь, як правило є площиною, а інша – одна з поверхонь, описаних вище).
Розглянемо довільну точку , що належить циліндру. Нехай – та точка напрямної (3), яка належить тій самій твірній, що і точка . Тоді координати точок і пов’язані наступним співвідношенням , звідки маємо: (13)
рис. 7 Підставимо вирази (13) в одне з рівнянь напрямної (12), оскільки точка має задовольняти рівняння напрямної. Виразимо звідси через і знову підставимо знайдений вираз для у формули (13). Щоб одержати рівняння конуса, підставимо знайдені координати точки у друге з рівнянь напрямної (12).
Розглянемо приклад.
4. Приклад. Скласти рівняння конуса з вершиною в початку координат, напрямна якого дана рівняннями ; .
Нехай – довільна точка циліндра, – відповідна точка напрямної. Тоді їх координати задовольняють рівність: , звідки . Оскільки , то , а отже . З першого рівняння напрямної, якому також задовольняє точка , одержимо рівняння конуса: , або .
5. Зауваження. Циліндр, напрямні якого перпендикулярні площині твірної, називається прямим циліндром. В залежності від форми напрямної його називають круговим, еліптичним, гіперболічним або параболічним.
6. Зауваження. Конус, твірною якого є коло, а вершина конуса проектується в центр цього кола, називається прямим круговим конусом.
PAGE 1
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8