Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция № 4
2.3. Операции над нечёткими множествами
Над нечеткими множествами можно производить различные типовые операции по аналогии с четкими множествами.
Наиболее распространенными являются:
▪ отношения вложения,
▪ дополнительного нечеткого множества,
▪ пересечения,
▪ объединения нечетких множеств,
которые записываются в следующем виде:
; (2.1)
|
(2.2) |
|
|
= ; |
(2.3) |
|
= . |
(2.4) |
Графически эти отношения для «колоколообразной» функции принадлежности отображаются в соответствии с рис. 2.3.
Если обозначить через R(x) совокупность всех нечетких множеств в X, то система {R(x), , , } образует булеву алгебру нечетких множеств. При этом выполняются законы идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, двойного отрицания и законы де Моргана.
|
|
Рис. 2.3. Основные операции над нечеткими множествами
На рис. 2.3: а — отношение вложения (АВ); б — дополнительное нечеткое множество (); в — пересечение нечетких множеств (AВ); г — объединение нечетких множеств (АВ).
Пусть имеются нечеткие подмножества А, В, С в множестве X. Тогда для них будут справедливы следующие соотношения, представленные в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Операции над нечеткими множествами и их свойства
|
Операции над нечеткими множествами |
Свойства операций |
|
АВ = В А |
Коммутативность |
|
(AB)С = A(BC) |
Ассоциативность |
|
AA = A |
Идемпотентность |
|
A(BC) = (AB)(AC) |
Дистрибутивность |
|
(A) = A |
Двойное отрицание |
|
(AB) = АB |
Теоремы де Моргана для нечетких множеств |
Но закон комплементарности для этих множеств не выполняется, т. е. в случае нечеткого множества имеет место выполнение следующего соотношения:
|
, . |
(2.5) |
причем равенство не удовлетворяется, что видно из рисунка 2.4.
Рисунок 2.4. Невыполнение закона комплементарности
2.4. Основная структура и принцип работы
системы нечёткой логики
Типовая структура CHЛ, представленная на рисунке 2.5, состоит из четырех главных компонентов: входной преобразователь четкой переменной в нечеткую (другое название – блок фаззификации, от слова fuzzy – нечеткий), база правил нечеткой логики, блок нечеткого логического вывода и выходной преобразователь из нечеткой переменной в четкую (блок дефаззификации).
Рисунок 2.5. Типовая структура системы управления с нечёткой логикой
Если выходной сигнал блока дефаззификации не является управляющим сигналом для объекта, то СНЛ будет являться системой принятия решения на базе нечеткой логики.
Блок фаззификации осуществляет преобразование измеренных реальных данных (например, скорости, температуры, давления и т.д.) в подходящие для этого значения лингвистических переменных.
Нечеткая база правил (база нечётких правил) содержит опытные данные о процессе управления и знания экспертов в данной области.
Блок вывода, являющийся ядром СНЛ, моделирует процедуру принятия решения человеком. Организация вывода основана на проведении рассуждений по нечетким входным данным в целях достижения необходимой стратегии управления или принятия решения.
Блок дефаззификации применяется для выработки четкого решения или управляющего воздействия в ответ на результаты, полученные в блоке вывода.
Более детально работа этих компонентов описывается ниже.
В процессе функционирования СНЛ в системе управления вычисляются значения управляющих воздействий на объект управления на основе данных, получаемых при наблюдении или измерении переменных состояния управляемого процесса, обеспечивающих достижение желаемой цели управления. Применительно к САУ входными сигналами для применяемой в ней СНЛ являются текущее значение управляемой переменной, ошибка управления, производная от ошибки, интеграл от ошибки и т. п.
Правильный выбор переменных состояния управляемого процесса, а также управляющих воздействий на объект управления очень важен для работы СНЛ и оказывает основное влияние на её эффективность. И здесь важна квалифицированная работа эксперта (или экспертов), его инженерные знания и опыт.
Фаззификация. Блок фаззификации выполняет функцию преобразования четких значений входных переменных в нечеткие. Такое преобразование фактически является своего рода нормированием, необходимым для перевода измеренных данных в субъективные оценки. Следовательно, оно может быть определено как отображение наблюдаемых значений входных переменных в соответствующие нечеткие.
Следуя правилам задания лингвистических переменных, входной вектор X и вектор выходного состояния Y, который содержит возможные состояния (или управляющие сигналы) объекта управления, могут быть определены соответственно как:
|
; |
(2.6) |
|
, |
(2.7) |
где xi – входные лингвистические переменные, образующие пространство входов
U=U1U2...Un системы,
уi – выходные лингвистические переменные, образующие пространство выходов её
V = V1V2...Vm.
Из уравнений (2.6) и (2.7) следует, что входная лингвистическая переменная хi в предметной области Ui характеризуется множеством термов и множеством соответствующих им функций принадлежности .
Например, если хi означает скорость, то может означать {«очень медленно», «медленно», «средне», «быстро» и т. д.}.
Аналогично, выходная лингвистическая переменная определяется множествами и .
Размер (или мощность) множества термов || = определяет число нечетких разбиений входного пространства на подмножества в соответствии с выбранной степенью детализации описания объекта управления.
На рис. 2.6, а изображены три нечетких подмножества на интервале [-1, +1]. Случай семи нечетких пересекающихся подмножеств представлен на рис. 2.6, б.
Рисунок 15.6 – Графическое представление нечеткой декомпозиции:
а – грубая нечеткая декомпозиция с тремя нечеткими подмножествами: N – отрицательный, Z – ноль, Р – положительный;
б – более детальная нечеткая декомпозиция с семью компонентами: NB – отрицательный большой, NS – отрицательный средний, NM – отрицательный маленький, ZE – ноль, PM – положительный маленький, РS – положительный средний, РВ – положительный большой.
Количество разбиений входного нечеткого множества при решении определенной задачи управления определяет максимальное число правил нечеткой логики.
Правильный выбор нечеткой декомпозиции входного и выходного пространств, а также правильный выбор функций принадлежности играют основную роль в процессе достижения успешного результата при проектировании СНЛ.
К сожалению, эти задачи не являются детерминированными и не имеют универсального решения. Обычно для поиска эффективной декомпозиции входного и выходного пространства на лингвистические переменные используется эвристи-ческий метод проб и ошибок. При этом выбор входных и выходных функций принадлежности основан на субъективных критериях.
Перспективным подходом к автоматизации и ускорению процедуры выбора функций принадлежности считают использование нейронных сетей, обеспечивающих возможность обучения на примерах входных и выходных функций принадлежности, применяемых в заданной предметной области.
В реальных СНЛ наблюдаемые данные обычно являются четкими (хотя они могут быть зашумлены). Естественный и простой метод входного преобразования заключается в том, чтобы преобразовать четкое значение х0 в нечеткий синглетон (singleton) A.
В данном случае всякое конкретное значение xi(t) в момент времени t отображается на нечеткое множество со значением , а на нечеткое множество со значением и т.д.
База правил нечеткой логики. Правила нечеткой логики представляются набором нечетких «IF-THEN» конструкций, в которых предпосылки и заключения подразумевают использование лингвистических переменных. Этот набор управляющих правил нечеткой логики (или нечетких управляющих утверждений) характеризует связь входа системы с ее выходом.
Общая форма представления правил нечеткой логики для случая СНЛ с множеством входов и одним выходом (MISO — «multi-input-single-output») применительно к САУ такова:
|
Ri : IF is ..., AND is THEN , , |
(2.8) |
где х,..., у и – лингвистические переменные, представляющие переменные состояния некоторого управляемого процесса и управляющие выходы, соответствено;
и – лингвистические значения переменных х,..., у и в предметных областях U,...,V и W, соответственно.
Вариант другой формы представления правил нечеткой логики подразумевает, что заключение представляется как функция переменных состояния управляемого процесса х,..., у, т. е.
|
Ri : IF is ..., AND is THEN z = , , |
(2.9) |
где – функция переменных х,..., у состояния управляемого процесса.
Аналогичные по сути преобразования входных переменных в выходные СНЛ будут и в тех случаях, когда число последних больше одной.
Необходимо отметить, что в обоих видах правил нечеткой логики входные переменные имеют лингвистические значения, а выходные имеют либо лингвистические значения, либо (иногда) и детерминированные значения.
Блок вывода. Блок вывода представляет собой ядро СНЛ, используемое для моделирования приближенных рассуждений и процесса принятия решений человеком в сложных ситуациях. Нечеткие выводы, нечеткие или приближенные рассуждения – это наиболее важные моменты при использовании средств нечеткой логики в управлении сложными объектами. Для организации нечетких выводов необходимо определить понятие отношения.
Предположим, что знание эксперта А В отражает нечеткое причинное отношение предпосылки и заключения, которое называется нечетким правилом R: R = AB.
Почти все реально работающие прикладные системы, использующие промежуточные нечеткие отношения, это системы, основанные на нечетких продукционных правилах. При выполнении нечетких выводов используются нечеткие отношения R, заданные между одной областью (множеством X) и другой областью (множеством Y) в виде нечетного подмножества прямого произведения X Y, определяемого по следующей формуле:
|
, |
(2.10) |
где X = {х1,х2,...,хn] – область посылок;
Y = {у1,у2,...,уm) – область заключений;
– функция принадлежности нечеткому отношению R:
[0,1], а знак означает совокупность (объединение) множеств.
Рисунок 2.7. Иллюстрация получения итогового результата нечеткого вывода
по Ларсену
Дефаззификация. Под дефаззификацией понимается процедура преобразования нечетких величин, получаемых в результате нечеткого вывода, в четкие. Эта процедура является необходимой в тех случаях, где требуется интерпретация нечетких выводов конкретными четкими величинами, т. е. когда на основе функции принадлежности возникает потребность определить для каждой точки в Z числовые значения.
В настоящее время отсутствует систематическая процедура выбора стратегии дефаззификации. На практике часто используют два наиболее общих метода: метод центра тяжести (ЦТ — центроидный), метод максимума (ММ).
Для дискретных пространств в центроидном методе формула для вычисления четкого значения выходной переменной представляется в следующем виде:
|
в общем случае . |
(2.11) |
Стратегия дефаззификации ММ предусматривает подсчет всех тех z, чьи функции принадлежности достигли максимального значения. В этом случае (для дискретного варианта) получим
|
, |
(2.12) |
где – выходная переменная, для которой функция принадлежности достигла макси-мума; m – число таких величин.
Из этих двух наиболее часто используемых стратегий дефаззификации, стратегия ММ дает лучшие результаты для переходного режима, а ЦТ — в установившемся режиме из-за меньшей среднеквадратической ошибки.
_________
, а в общем случае (2.11)
PAGE 7