на тему- Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Пошукова робота на тему:
Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні.
План
- Довжина дуги кривої в декартових і полярних координатах
- Площа поверхні
- Площа поверхні обертання
- Площа циліндричної поверхні
10.3. Довжина дуги
Це питання для кривої , заданої рівнянням , вже розглядалося в п.9.1. Там була знайдена формула
(10.9)
Якщо крива задана параметрично, тобто у вигляді то
(10.10)
Для просторової кривої, заданої параметрично , довжина дуги обчислюється за формулою
(10.11)
аналогічно формулі (10.10). Виведення цієї формули базується на розгляді елемента дуги, кінці якої збігаються з кінцями діагоналі паралелепіпеда, а саме, діагональ є хордою елемента дуги.
У випадку задання кривої в полярній системі координат , матимемо
(10.12)
Пропонується вивести цю формулу, узявши до уваги, що рівняння кривої в полярних координатах можна записати як параметричні з параметром q :
і використавши формулу (10.10).
Приклад 1. Обчислити довжину кривої, заданої рівнянням .
Р о з в ‘ я з о к. Досить обчислити довжину дуги, що обмежує зверху заштриховану на рис.10.7 фігуру, а потім помножити її на 8. Користуючись формулою (10.12), одержимо
10.4. Площа поверхні
10.4.1. Площа поверхні обертання
Довжина дуги, що обмежує смужку зверху (рис.10.9),
Ця дуга в разі обертання утворить поверхню обертання, площа якої дорівнюватиме бічній поверхні конуса, який має висоту , а радіуси основ його . Тоді площа поверхні цього конуса нескінченно малої висоти
Нескінченно малою вищого порядку нехтуємо і в результаті одержимо звідки
(10.7)
10.4.2. Площа циліндричної поверхні
На рис. 10.10 зображено циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі . Нехай ця поверхня задана рівняннями
Рис.10.9 Рис.10.10
Виділивши смужку так, як показано на рис. 10.10 , знайдемо її площу
(10.8)
Зауваження 1. При одержанні формул (10.1) – (10.2), (10.4) – (10.8) виділені елементи фігур вважалися прямокутниками (див. рис. 10.1, 10.4,10.5 ), сектором з центральним кутом ( рис. 10.2), тонким циліндричним шаром (рис. 10.3), що не вплинуло на остаточний результат, бо такі заміни реальних фігур здійснюються нехтуванням нескінченно малих величин вищих порядків. Цей факт можна було б строго довести.
Приклад . Еліпс із великою піввіссю і малою піввіссю робить один оберт навколо великої осі і вдруге – навколо малої осі. Визначити поверхню обертання еліпса в кожному з двох випадків.
Р о з в ‘ я з о к. Досить розглянути лише половину еліпса:
В результаті обертання навколо великої осі одержимо за (11.7)
де - ексцентриситет еліпса.
За допомогою підстановки матимемо
У випадку обертання навколо малої осі для обчислення поверхні обертання одержуємо інтеграл
В обох випадках поверхня еліпсоїда виразилась через елементарні функції.
2. Будівництво за спец
3. по теме- Госпитальная терапия Вопрос 9832 К нефротическому синдрому приводят- а хронический гломерул
4. Совершенствование пространственно-предметного компонента среды социальной службы
5. Реферат- Образ медведя в фольклоре
6. Контрольная работа предназначена для углубления и расширения знаний по дисциплине Статистика
7. тема финансового контроля и аудита в Российской Федерации
8. Виды монархий в современном мире
9. ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г
10. Реферат- Структура макроэкономики
11. Сущность учетной политик
12. Диаграмма состояния железоуглерод (стабильная) и получение чугунов
13. Административно-правовые отношения в сфере управления финансами и кредитом
14. окаменелости ископаемые фоссилии
15. Задание
16. Определение емкости конденсатора Преподаватель
17. Управление прибылью и рентабельностью торгового предприятия
18. Что такое культура речи Культурной можно считать такую речь которая отличается смысловой точнос
19. ЛАБОРАТОРНАЯ ДИАГНОСТИКА ИНФЕКЦИОННЫХ БОЛЕЗНЕЙ ЖИВОТНЫХ
20. реферату- Економічна теорія предмет і методи вивченняРозділ- Економічна теорія Економічна теорія предмет