Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
21
Міністерство освіти і науки України
Львівський національний університет імені Івана Франка
Воробець Марія Богданівна
УДК 517.95
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-СИМВОЛЬНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ КОШІ ТА ДВОТОЧКОВОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ СИСТЕМ РІВНЯНЬ ІЗ ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ЗА ЧАСОМ
01.01.02 –диференціальні рівняння
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Львів –
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики та програмування Національного університету “Львівська політехніка” Міністерства освіти і науки України
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,
професор Каленюк Петро Іванович,
директор Інституту прикладної математики та
фундаментальних наук Національного університету
“Львівська політехніка”, завідувач кафедри
обчислювальної математики та програмування
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,
професор Іванчов Микола Іванович,
завідувач кафедри диференціальних рівнянь Львівського
національного університету імені Івана Франка;
доктор фізико-математичних наук,
професор Слюсарчук Василь Юхимович,
професор кафедри вищої математики
Українського державного університету
водного господарства та природокористування
Провідна установа: Інститут прикладної математики та механіки НАН України, відділ нелінійного аналізу (м. Донецьк)
Захист відбудеться “_26_” _лютого__ 2004 року о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою:
79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377
З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5)
Автореферат розісланий “_23_” _січня_ 2004 року
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Бокало М.М.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Багато явищ у природі, науці та техніці моделюються початковими та крайовими задачами для систем диференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за часовою змінною. Прикладом цього є, зокрема, задача Коші та задача типу Діріхле для рівняння теорії пружності в переміщеннях (рівняння Ляме).
Серед задач з умовами за однією змінною для диференціальних рівнянь з частинними похідними найбільш повно вивченою є задача Коші. Важливі результати в цьому напрямку належать Е.Хольмгрену, А.М.Тихонову, І.Г.Петровському, В.Е.Лянце, Л.Шварцу, І.М.Гельфанду, Г.Є.Шилову та іншим дослідникам. Ю.А.Дубінський та Я.В.Радино при дослідженні задачі Коші для рівнянь із частинними похідними застосовували якісно нову техніку диференціальних операторів безмежного порядку. Формалізм цієї техніки використовувався для розв’язування конкретних задач механіки та фізики А.І.Лур’є, В.В.Власовим, Б.А.Бондаренком та іншими авторами. Диференціальні оператори безмежного порядку у класах цілих функцій вивчалися А.Ф.Лєонтьєвим, Ю.Ф.Коробейником, Ф.І.Гече, В.К.Кубраком та іншими.
Дво- і багатоточкові за часовою змінною задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними, порівняно із задачею Коші, ще не є достатньо вивченими. Вони, взагалі кажучи, є некоректними за Адамаром. Багатоточкові задачі для диференціальних рівнянь із частинними похідними в обмежених областях з використанням методу Фур’є та метричного підходу вивчали Б.Й.Пташник та його учні. Дослідження класів існування та єдиності розв’язку таких задач пов’язане з проблемою малих знаменників та оцінки їх знизу. У роботах В.М.Борок та її учнів реалізовано інший (не зв’язаний з проблемою малих знаменників) підхід до задачі визначення класів існування та єдиності розв’язків багатоточкової задачі.
Початкові та крайові задачі для диференціальних рівнянь із частинними похідними розв’язуються за допомогою різних операційних методів, наприклад, операторним методом, методом початкових функцій, методом інтегральних перетворень та іншими методами. До цих методів належить й диференціально-символьний метод, розроблений П.І.Каленюком та З.М.Нитребичем на основі узагальненого методу відокремлення змінних, який є зручним для розв’язування задач з умовами за однією виділеною (часовою) змінною. За допомогою цього методу П.І.Каленюком та З.М.Нитребичем досліджувались початкові та крайові задачі для диференціальних рівнянь із частинними похідними зі сталими та змінними за часом коефіцієнтами, П.Л.Соханом досліджувались початкові та крайові задачі для систем рівнянь із частинними похідними першого порядку за часом та Я.М.Плешівським досліджувались початкові та крайові задачі для полілінійних систем рівнянь із частинними похідними.
У даній дисертаційній роботі за допомогою диференціально-символьного методу, індукованого узагальненим відокремленням змінних, досліджена задача Коші та двоточкова задача для системи лінійних диференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за часовою змінною та до безмежного порядку включно за просторовими змінними. Вказано умови однозначної розв’язності та побудовано зображення розв’язків цих задач.
Диференціально-символьний метод розв’язування вказаних вище задач можна застосовувати до багатьох важливих для практики задач математичної фізики. Тому тематика дисертаційної роботи, пов’язана з виділенням класів однозначної розв’язності задачі Коші та двоточкових задач для рівнянь і систем рівнянь із частинними похідними і, що особливо важливо, побудовою зображення розв’язків цих задач, є актуальною з теоретичного та практичного погляду.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов’язана з тематикою наукових досліджень кафедри обчислювальної математики та програмування Національного університету “Львівська політехніка”. Дисертаційна робота виконана в рамках науково-дослідної роботи “Дослідження нелокальних, багатоточкових та різноконтурних задач для диференціальних рівнянь із частинними похідними” (номер державного реєстру 0103U001338).
Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у застосуванні диференціально-символьного методу до дослідження задачі Коші та двоточкової задачі для системи диференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за часовою змінною та до безмежного порядку включно за просторовими змінними.
Задачі дослідження:
Об’єкт дослідження: система диференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за часовою змінною та до безмежного порядку включно за просторовими змінними.
Предмет дослідження: задача Коші та двоточкова задача для системи диференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за часовою змінною та до безмежного порядку включно за просторовими змінними.
Методи дослідження: диференціально-символьний метод, породжений узагальненою схемою відокремленням змінних, методи теорії цілих функцій.
Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі вперше отримані такі результати:
Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані у подальшому дослідженні задачі Коші та двоточкових задач для систем диференціальних рівнянь із частинними похідними. Їх також можна використати для розв’язування конкретних задач практики, які моделюються розглянутими в дисертаційній роботі задачами.
Особистий внесок здобувача. Основні результати, включені в дисертаційну роботу, одержані автором самостійно. У спільних роботах [4,5] науковому керівнику П.І.Каленюку належить постановка задач, передбачення результатів та аналіз отриманих результатів. У роботі [4] формулювання теореми належить З.М.Нитребичу, а доведення теореми проведено автором дисертації. У роботі [5] автору дисертації належить формулювання і доведення теореми, а З.М.Нитребичем введене означення мінімального многочлена матриці, залежної від вектор-параметра.
Апробація результатів дисертації. Результати досліджень доповідались та обговорювались на VIII Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (2000р., м.Київ); Міжнародній конференції “Диференціальні та інтегральні рівняння” (2000р., м. Одеса); Міжнародній конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (2001р., м. Чернівці); Міжнародній науковій конференції “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (2001р., м. Дрогобич); International Conference on Functional Analysis and its Applications (2002, Lviv); Міжнародній науковій конференції “Шості Боголюбовські читання” (2003р., м. Чернівці); математичному семінарі кафедри обчислювальної математики та програмування Національного університету “Львівська політехніка” (керівник: проф. П.І.Каленюк); Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники: проф. М.І.Іванчов, проф. П.І.Каленюк, чл.-кор. НАН України Б.Й.Пташник).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у роботах [1-11], з яких 5 є статтями у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.
Структура і об’єм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів і списку використаної літератури. Загальний обсяг роботи –127 сторінок машинописного тексту. Список літератури містить 85 праць і займає 8 сторінок.
Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику П.І.Каленюку за наукове керівництво та постійну увагу при виконанні даної дисертаційної роботи.
Надалі використано такі позначення:
-вимірний дійсний евклідів простір; -вимірний комплексний простір;
–множина всіх точок з з цілими координатами; – множина усіх точок з з цілими невід’ємними координатами; ; – множина усіх точок з з невід’ємними координатами.
Для довільних вводяться позначення:
; ; ;
–нульовий вектор розміру ;
–одинична матриця порядку ; – нульова матриця порядку ;- символ транспонування;
- символ Кронекера: ;
;
;
–перетворення Фур’є функції ;
;
;
–простір функцій , які для фіксованого є функціями із і неперервно залежать від разом із першою та другою похідними за часом;
–ціла функція };
–ціла функція порядку, що не перевищує , за сукупністю змінних }; ;
–ціла функція експоненційного типу за сукупністю змінних };
–ціла функція довільного скінченного порядку за сукупністю змінних };
, такі, що , де є многочленом, степінь якого за сукупністю змінних не перевищує .
У вступі обгрунтована актуальність теми, висвітлено сучасний стан наукової проблеми, вказані мета й задачі дослідження, наукова новизна, апробація отриманих результатів, кількість публікацій та структура роботи.
У другому розділі за допомогою диференціально-символьного методу, індукованого узагальненим відокремленням змінних, досліджена задача Коші для однорідної системи диференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за часом і загалом безмежного порядку за просторовими змінними та виділено класи функцій, в яких даний розв’язок існує і є єдиним.
Підрозділ 2.1 присвячений знаходженню в області розв’язку наступної задачі Коші:
, (1)
. (2)
де –шукана вектор-функція; , , – задані вектор-функції; –довільні диференціальні вирази зі сталими коефіцієнтами та цілими символами , .
Позначимо через визначник матриці , а через –алгебричні доповнення елементів матриці . Тоді є поліномом щодо вигляду . Нехай –розв’язок такої задачі Коші:
, (3)
. (4)
Формальний розв’язок задачі (1), (2) можна записати у такому вигляді:
, (5)
де ,
, ,
, (6)
а оператори визначаються для аналітичних на функцій через ряди Маклорена шляхом формальної заміни на , , .
У підрозділі 2.2 для побудови формального розв’язку задачі (1), (2) використано поняття мінімального многочлена матриці та зведеної приєднаної матриці, залежної від вектор-параметра.
Позначимо через , , мінімальний многочлен матриці , а через зведену приєднану матрицю.
Нехай –розв’язок такої задачі Коші:
, (7)
. (8)
Тоді розв’язок задачі (1), (2) можна записати таким чином:
, (9)
де ,
,
, . (10)
Підрозділ 2.3 присвячений виділенню класів аналітичних функцій, у яких так побудовані розв’язки існують та є єдиними.
Теорема 2.1. Нехай , , є довільними диференціальними виразами зі сталими коефіцієнтами та цілими в символами . Нехай, крім того, функції , , , належать до класу , де індекс визначений рівністю
(11)
де –степінь полінома за сукупністю змінних . Тоді у класі вектор-функцій, компоненти яких , , для фіксованого належать до , існує єдиний розв'язок задачі (1), (2), який можна подати у вигляді (5)((9)).
У підрозділі 2.4 розглядається випадок, коли праві частини початкових умов (2) не належать до класу .
Визначимо дію диференціальних виразів у формулі (5), , , наступним чином:
, (12)
де - ціла функція, тоді розв’язок задачі (1),(2) можна подати у такому вигляді:
, . (13)
У випадку, коли , для побудови розв’язку задачі зручніше користуватися такою формулою:
, . (14)
Теорема 2.2. Нехай для всіх , , . Тоді у класі вектор-функцій , компоненти яких належать до , існує єдиний розв’язок задачі (1), (2), який можна подати у вигляді (13)((14)).
Використовуючи одержані результати, у підрозілі 2.5 побудовано розв’язки задачі Коші для конкретних однорідних систем рівнянь з частинними похідними другого порядку за часом, зокрема, для однорідної системи рівнянь Ляме та вказано класи однозначної розв’язності цих задач.
У третьому розділі за допомогою диференціально-символьного методу, породженого узагальненим відокремленням змінних, досліджена задачі Коші для неоднорідної системи рівнянь із частинними похідними другого порядку за часом і загалом безмежного порядку за просторовими змінними та виділено класи однозначної розв’язності задачі.
Підрозділ 3.1 присвячений побудові за допомогою характеристичного многочлена системи розв’язку в області задачі Коші:
, (15)
. (16)
де –задана вектор-функція.
Формальний розв’язок задачі (15), (16) можна записати таким чином:
, (17)
де , – характеристичний многочлен системи, елементи матриць , , визначаються за формулами (6).
У підрозділі 3.2 формальний розв’язок задачі (15), (16) побудовано за допомогою мінімального многочлена системи. Цей розв’язок можна зобразити таким чином:
. (18)
Підрозділ 3.3 присвячений виділенню класів однозначної розв’язності задачі (15), (16).
Теорема 3.1. Нехай , є довільними диференціальними виразами зі сталими коефіцієнтами та цілими в символами . Нехай, крім того, функції , , є аналітичними на і для кожного фіксованого належать до класу , де індекс визначений рівністю (11). Тоді у класі вектор-функцій, компоненти яких , для фіксованого належать до , існує єдиний розв'язок задачі (15), (16), який можна подати у вигляді (17)((18)).
У підрозілі 3.4 побудовано розв’язки задачі Коші для конкретних неоднорідних систем, зокрема, для неоднорідної системи рівнянь Ляме та вказано класи однозначної розв’язності цих задач.
У четвертому розділі за допомогою диференціально-символьного методу, індукованого узагальненим відокремленням змінних, досліджена двоточкова задача для системи диференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за часом та загалом безмежного порядку за просторовими змінними та виділено класи однозначної розв’язності задачі.
Підрозділ 4.1 присвячений побудові розв’язку двоточкової задачі для однорідної системи рівнянь другого порядку за часом.
В області вивчена задача для системи рівнянь (1) з двоточковими умовами
. (19)
де .
Побудові формального розв’язку задачі (1), (19) за допомогою характеристичного многочлена системи присвячений підрозділ 4.1.1.
Позначимо, як і в розділі 2, через визначник матриці , через –алгебричні доповнення елементів матриці .
Тоді розв’язок задачі (1), (19) можна записати таким чином:
, (20)
де (21)
а елементи матриці , як і матриці , визначаються за формулою (6).
Матриці , визначені за формулою (21), є аналітичними на множині
. (22)
Підрозділ 4.1.2 присвячений побудові формального розв’язку задачі (1), (19) за допомогою мінімального многочлена системи.
У підрозділі 4.1.3 виділено класи однозначної розв’язності задачі (1), (19).
Теорема 4.1. Нехай , , є довільними диференціальними виразами з цілими в символами , . Нехай, крім того, функції , , , належать до класу , де множина визначена рівністю (22). Тоді у класі вектор-функцій, компоненти яких , , для кожного фіксованого належать до , існує єдиний розв’язок задачі (1), (19), який можна зобразити у вигляді (20).
У підрозділі 4.2 побудовано формальний розв’язок двоточкової задачі для неоднорідної системи рівнянь (15) з двоточковими умовами
, (23)
виділено класи його існування та єдиності.
Формальний розв’язок задачі (15), (23), побудований за допомогою характеристичного многочлена матриці у підрозділі 4.2.1, можна записати у такому вигляді:
, (24)
де , –матриці, визначені за формулою (21).
Побудові формального розв’язку задачі (15), (23) за допомогою мінімального многочлена системи, присвячений підрозділ 4.2.2.
У підрозділі 4.2.3 виділено класи однозначної розв’язності задачі (15), (23).
Теорема 4.2. Нехай , , є диференціальними виразами зі сталими коефіцієнтами та цілими в символами , . Нехай, крім того, аналітичні на функції , , для кожного фіксованого належать до класу , де множина визначена рівністю (22). Тоді у класі вектор-функцій, компоненти яких , , для кожного фіксованого належать до , існує єдиний розв’язок задачі (15), (23), який можна зобразити у вигляді (24).
На підставі одержаних результатів у підрозділі 4.3 побудовано розв’язок двоточкової задачі для системи рівнянь Ляме та вказано класи однозначної розв’язності задачі.
ВИСНОВКИ
дисертаційна робота присвячена дослідженню за допомогою диференціально-символьного методу, індукованого узагальненою схемою відокремленням змінних, задачі Коші та двоточкової задачі для системи лінійних диференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за часовою змінною та до безмежного порядку включно за просторовими змінними.
У дисертації для системи лінійних диференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за часовою змінною та до безмежного порядку включно за просторовими змінними вперше одержано такі результати:
Результати роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані у подальшому дослідженні задачі Коші та двоточкових задач для систем диференціальних рівнянь із частинними похідними та при розв’язуванні конкретних задач механіки.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
АНОТАЦІЯ
Воробець М.Б. Диференціально-символьний метод розв’язування задачі Коші та двоточкової задачі для системи рівнянь із частинними похідними другого порядку за часом.- Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 –диференціальні рівняння.- Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2003.
У дисертаційній роботі диференціально-символьний метод, породжений узагальненим відокремленням змінних, вперше застосовано до дослідження задачі Коші та двоточкової задачі для системи диференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за часом та загалом безмежного порядку за просторовими змінними. Розв’язки задач отримано як результати дій диференціальних виразів, взагалі кажучи, безмежного порядку, символами яких є вихідні дані задачі за параметрами.
Виділено класи однозначної розв’язності задач. Серед цих класів є класи аналітичних функцій, які допускають однозначне аналітичне продовження до цілих функцій певних порядків зростання за сукупністю змінних, а також простори Соболєва безмежного порядку.
Використовуючи одержані результати, побудовано розв’язки задачі Коші та двоточкової задачі для конкретних систем диференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за часом, зокрема, для системи рівнянь Ляме. вказано класи однозначної розв’язності цих задач.
Ключові слова: диференціально-символьний метод, схема відокремлення змінних, задача Коші, двоточкова задача.
Vorobets M.B. Differential-symbol method of solving the Cauchy problem and twopoint problem for a system of partial differential equations of the second order in time.- Manuscript.
The thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph. D.) by speciality 01.01.02 - differential equation. The Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2003.
In the dissertational work, the differential-symbol method induced by the generalized separation of variables is for the first time applied to the investigation of Cauchy problem and two-point problem for a system of partial differential equations of the second order in time and of infinite order in space variables. Solutions of the problems are obtained as a result of actions of differential expressions, in general, of infinite order such that their symbols are initial data of the problem with respect to parameters.
Classes of unique solvability of the problems are specified. These classes include classes of analytic functions that admit univalent analytic continuation to entire functions of certain order of growth with respect to all variables, and Sobolev spaces of infinite order.
As an application of the above results, the solution of Cauchy problem and two-point problem are constructed for some specific systems of partial differential equations of the second order in time variable, in particular, for the Lame system of equations. Classes of unique solvability of these problems are specified.
Key words: differential-symbol method, scheme of separation of variables, Cauchy problem, two-point problem.
Воробец М.Б. Дифференциально-символьный метод решения задачи Коши и двухточечной задачи для системы уравнений в частных производных второго порядка по времени.- Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 –дифференциальные уравнения.- Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2003.
Начальные и краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных решаются с помощью различных операционных методов, например, операторным методом, методом начальных функций, методом интегральных преобразований и другими методами. К этим методам принадлежит и дифференциально-символьный метод, разработанный П.И.Каленюком и З.Н.Нитребичем на основании обобщенного метода разделения переменных. Этот метод очень удобен при решении задач с условиями по одной выделенной (временной) переменной.
Диссертация посвящена исследованию задачи Коши и двухточечной задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка по времени и бесконечного порядка по пространственным переменным с помощью дифференциально-символьного метода, индуцированного обобщенным разделением переменных. В частности, в работе изучены следующие задачи:
Решения рассматриваемых задач представлены как результат действия дифференциальных выражений, вообще говоря, бесконечного порядка, символами которых выступают исходные данные задачи по параметрам, после чего параметры приравниваются к нулю.
Выделены классы однозначной разрешимости задач. Для задачи Коши это классы аналитических функций, допускающих однозначное аналитическое продолжение к целым функциям некоторых порядков, а также пространства Соболева бесконечного порядка.
Используя полученные результаты, исследована задача Коши и двухточечная задача для конкретных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка по времени, в частности, для системы уравнений Ламе.
Ключевые слова: дифференциально-символьный метод, схема разделения переменных, задача Коши, двухточечная задача.
Підписано до друку 21.01.2004 р.
Папір друк. №1. Спосіб друку –офсет.
Формат 6090/16. Умовн. друк. аркушів 1,0
Тираж 100 прим.
Замовл. № 18/2
Друк ВКП фірма “ВМС”
м. Львів, вул. Вузька, 3
тел./факс (0322) 97-05-67, 76-26-65