Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство Образования Российской Федерации
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
«Редуцированные полукольца»
Работу выполнил студент
математического факультета
\Подпись\ ____________
Научный руководитель:
К.физ.-мат. наук
.
\Подпись\ ____________
Рецензент:
Д. физ.-мат. наук, профессор
.
\Подпись\ ____________
Допущен к защите в ГАК
Зав. кафедрой ___________________.
«___»________________
Декан факультета _______________.
«___»________________
Киров, 2003.
План.
1.Введение
Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:
a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc
для любых a, b, c S;
Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.
В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.
Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a, bS выполняется a = b, как только a+ b= ab + ba.
Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.
Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:
Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a, b, b, c S выполняется
abc = abc acb = acb.
Определение 4. Элемент aS называется нильпотентным, если в последовательности a, a, a,…, a, … встретится нуль.
Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов.
Доказательство: Пусть ab = ab. Тогда
baba = baba и baba = baba,
откуда
baba + baba = baba + baba
или иначе
(ba)+ (ba)= baba + baba.
В силу редуцированности ba = ba, т.е.
ab = ab ba = ba. (1)
Аналогично доказывается ba = ba ab = ab.
Пусть ab = ab. Тогда с помощью (1) ba = ba, откуда bac = bac и acb = acb. Значит, имеем:
ab = ab acb = acb, ba = ba bca = bca. (2)
Пусть сейчас abc = abc. Тогда
abc = abc acbc = acbc acbac = acbac acbacb = acbacb и
acbacb = acbacb (acb)+ (acb)= acbacb + acbacb acb = acb.
Таким же образом доказывается другая импликация.
Пусть a+ b= ab + ba влечёт a = b. При b = 0 получаем a= 0 a = 0. Если с= 0 для некоторого натурального n 2, то c= 0 для k с условием n 2. Получаем, что c= 0, и так далее. На некотором шаге получим c= 0, откуда с = 0. Предложение доказано.
Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a, b, 1}, операции в котором заданы следующим образом:
|
+ |
a b 1 |
|
a b 1 |
a b 1 b b b 1 b 1 |
|
|
a b 1 |
|
a b 1 |
a a a b b b a b 1 |
Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa = ab, но aa ba. Во-вторых, S –полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.
Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным, если AB P влечёт A P или B P для любых идеалов A и B. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.
Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым, если ab = 0 влечёт a P или b P для a, b S.
Предложение 2. Идеал P полукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a, b S \ P найдётся элемент s S такой, что asb P. Если S коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a, b P влечёт ab P.
Доказательство: Пусть P первичен и элементы a, b P. Тогда главные идеалы (a) и (b) не лежат в P, как и их произведение. Значит, некоторый элемент t aSb не принадлежит P, поскольку t = для некоторых u,v,w S, то хотя бы для одного i {1,…,k} a vb P, ибо в противном случае каждое слагаемое uavbw лежит в P, и следовательно, t P.
Обратно. Пусть произведение идеалов A и B лежит в P, но A P. Тогда найдётся a A \ P. Предположим, что B P. Получим, что некоторый элемент b B \ P и по условию asb P для подходящего s S. Но тогда и AB P, и следовательно, P первичный идеал.
Утверждение для коммутативного случая очевидно.
Определение 7. Подмножество T полукольца называется mсистемой, если 0 T, 1 T и для любых a, b T найдётся такой s S, что asb T.
Пример. Рассмотрим множество T = {a,a, a, … , a}, где n и a 0. Оно является подмножеством полукольца Rнеотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения. 0 T, 1 T и для a,a T с = 1S : aсa= a T. Таким образом, T является mсистемой.
Легко увидеть, что если P – первичный идеал, то S \ P является m-системой. И хотя дополнение до mсистемы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.
Предложение 3. Пусть T mсистема, а J произвольный идеал полукольца S, не пересекающийся с T. Тогда любой максимальный идеал среди содержащих J и не пересекающихся с T первичен.
Доказательство: Пусть P J, P T = и P максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSb P для некоторых a, b P. Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P, и значит, пересекаются с T. Пусть m (P + SaS) T, r (P + SbS) T и msr T для некоторого sS. Но, с другой стороны,
msr (P + SaS) (P + SbS) P +SaSbS P.
Получили противоречие, что P пересекается с T. Значит, предположение, что aSb P неверно, и P первичный идеал. Предложение доказано.
Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если M A влечёт M = A или A = S для каждого идеала A.
Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.
Доказательство: Рассмотрим нулевой идеал J и не пересекающуюся с ним mсистему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T, значит, по предложению 3 он будет первичным.
Определение 9. Для любого a S множество
Ann aS = {t S: (s S) ast=0} называется аннулятором элемента a.
Ann aS является двусторонним идеалом полукольца S.
Ann a ={s S: as = 0} правый идеал и Ann aS Ann a.
Определение 10. Для любого идеала P множество Op = {s S: (tP) sSt = 0} = {s S: Ann sS P} называется Oкомпонентой идеала P.
Лемма 1. Op является идеалом для любого первичного идеала P.
Доказательство: Пусть a, b Op. Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t, u P. В силу первичности P tsu P для подходящего s S. Для любого v S
(a + b)vtsu = (avt)su + b(vts)u = 0.
Далее, (as)vt = a(sv)t = 0, (sa)vt = s(avt) = s0 = 0, поэтому a + b, sa, as Op, и Op идеал.
Лемма 2. Пусть P M первичные идеалы полукольца.
Тогда OM Op P.
Доказательство: Пусть a OM, тогда aSt = 0 для некоторого t M. Поскольку t P, то a Op, и значит, OM Op. Для любого s S 0 = ast P. Поскольку P первичен, то a P или t P, отсюда a P, и следовательно, Op P.
Лемма 3. Для произвольных первичных идеалов P и P симметрического полукольца S верна импликация:
P P не содержит первичных идеалов Op P.
Доказательство: Предположим, что Op P. Полагая A = S \ P и B = S \ P, рассмотрим множество AB всевозможных конечных произведений элементов из A B. Покажем, что AB Op = . В самом деле, если s AB Op, то sb = 0 для некоторого b A, т.е. {0} AB. Поскольку s является произведением элементов из A B, то в силу первичности идеалов P и P и свойства симметрических полуколец uv = 0 для подходящих u B, v A. Откуда u Op P противоречие.
Таким образом, AB является mсистемой, и значит, существует первичный идеал Q, не пересекающийся с AB и содержащий Op. А так как A B AB, то P P Q. Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и Op P.
Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и P в симметрическом полукольце, если Op P , то пересечение P и P содержит хотя бы один первичный идеал.
Определим множество (a, b) = {s S: xS (axs = bxs)} идеал полукольца S для a, b S.Очевидно, (a, 0) = Ann aS.
Для произвольного идеала A обозначим пересечение первичных идеалов полукольца S, содержащие идеал A.
Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным, если для любых элементов a, b S выполняется
= (a, b).
Определение 12. Пересечение rad S всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом полукольца S.
Определение 13. Полукольцо называется полупервичным, если его первичный радикал равен нулю.
Предложение 5. Полукольцо S полупервично тогда и только тогда, когда = Ann aS для всех a S.
Доказательство: При a = 1 rad S = = Ann S = 0, т.е. S полупервично.
Пусть S полупервичное полукольцо и b . Для каждого первичного идеала P, либо P содержит Ann aS, либо Ann aS не содержится в P. В первом случае b P, во втором случае a Op P. Тогда aSb rad S = 0, откуда b Ann aS. Следовательно, Ann aS. Другое включение справедливо всегда.
Следствие 2. Строго полупервичное полукольцо является полупервичным.
Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.
Доказательство: Пусть c (a, b) для a, b S. Тогда ac bc и из редуцированности S вытекает, что acac + bcbc acbc + bcac. Элементы cac и cbc отличны друг от друга, и значит, ac bc в силу симметричности редуцированного полукольца. Аналогично ac bc, и следовательно, ac bc. По индукции ac bc. Значит, T = {1, c, c,…} mсистема, не пересекающаяся с (a, b), и поэтому найдётся первичный идеал P, содержащий (a, b), при этом c S \ P. Значит, c , откуда (a, b). Другое включение справедливо всегда.
Получили = (a, b) по определению 12 S строго полупервично, что и требовалось доказать.
Обозначим через Spec S множество всех первичных идеалов полукольца S. Для любого идеала A полукольца S положим
D(A) = {P Spec S: A P}.
Множество D({0}) = {P Spec S: {0}P} = , а Spec S = D(S).
D(A) D(B) = { P Spec S: A P B P} = { P Spec S : AB P} = D(AB).
Spec S является топологическим пространством с семейством открытых множеств вида D(A).
Лемма 4. Для любого идеала A полупервичного полукольца S
= {P Spec S: Ann A P}.
Доказательство: Обозначим через Y правую часть доказываемого равенства. Если P D(A), т.е. A P, то Ann A P, т.е. P Y. Откуда Y, ибо Y замкнуто.
Обратно, пусть P . Тогда P лежит в некоторой окрестности D(B), где B некоторый идеал в S, не пересекающийся с.
D(A) D(B) = , тогда AB rad S = 0, т.е. B Ann A.
Тогда P не содержит Ann A , иначе P содержал бы B . Следовательно, P Y . Получили Y .
Лемма 5. Пусть P первичный идеал редуцированного полукольца S. Тогда P = Op P минимальный первичный идеал.
Доказательство: Пусть P = Op , P Spec S и P P. Тогда Op OP P . Поэтому P = P, и P минимален.
Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал P редуцированного полукольца S. Предположим, что существует a P \ Op. Степени элемента a образуют mсистему (0 {a}, 1{a} и для a,a{ a} с = 1S : aсa= a{ a}),не пересекающуюся с Op. Действительно, если a Op , n , то ab = 0 для некоторого b S \ P. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое без нильпотентов, и значит ab = 0, то есть a Op ;противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P Op, не содержащий a, который будет первичным. Из следствия 1 вытекает, что в S существует первичный идеал, лежащий в P P ,что противоречит минимальности P. Значит, P Op. Также Op P (Лемма 2). Тогда P = Op.
Лемма 6. Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.
Доказательство: В самом деле, если a, b S \ P, то asb P для подходящего s S, откуда asb 0 и ab 0.
Определение 14. S –слабо риккартово a S b Ann aS
Ann aS + Ann b = S
Пример. Обозначим через N –полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём a = 0 N. Тогда Ann aS = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = N. Теперь возьмём a N \ {0}. Тогда Ann aS = {0}, а Ann b = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = {0} + N = N . Таким образом, N –слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.
3. Доказательство основной теоремы.
Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:
Доказательство: Пусть S редуцированное полукольцо. Такое S симметрическое (по предложению 1), поэтому S обладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)3)4)5)6)1) и 2)6).
1)3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал Op вполне первичен. Пусть P Spec S и ab Op при a, b S.
Тогда сS \ P: abSc = 0,т.е. absc = 0 для s S.
Возьмём s = 1 abc = 0 bc Ann aS (по определению Ann aS). Но Ann aS Ann a . Тогда bc Ann a. По условию 1) S слабо риккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = S для a S, bc Ann aS.
e Ann aS, f Ann bc: e + f = 1 (1S).
Предположим, что a Op Ann aS P (по определению Ann aS) e P.
Тогда f P, т.к. в противном случае 1P. Но P первичный идеал P собственный 1P.
f Ann bc bcf = 0. Т.к. S симметрическое bScf = 0. Но cf P (т.к. c P, f P , а P первичный идеал) b Op .
Таким образом, получили, что все идеалы Op , P Spec S, вполне первичны.
)4). По условию 3 все идеалы Op , где P Spec S, первичны. Но M Max S –является первичным идеалом (предложение 4), т.е. M Spec S. Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы OM , где M Spec S и M Max S, первичны.
Пусть P M. Тогда OM Op (лемма 2).
Если a Op , т.е. ab = 0 при некотором b S \ P и s = 1S, то a OM , ибо b OM P, а ab = 0 OM и OM псевдопрост (доказано выше). Значит и Op OM . Тогда Op = OM .
4)5). Пусть P –первичный идеал из S и P M. По условию 4) данной теоремы OM –первичный идеал и так как P M Op = OM . Также Op P (Лемма 2). Докажем, что OM –минимальный первичный идеал в S, лежащий в P. Пусть в P лежит Q минимальный первичный идеал полукольца S. Но Q M OM OQ Q. По условию 4) данной теоремы OM = OQ. . Так как Q –минимальный первичный идеал OQ = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что Op = OM =Q.
Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P произвольный минимальный первичный идеал в S, отличный от Q и лежащий в M. Тогда OP = OM (по условию 4)). Также OP = P .
Тогда получили равенство Q = OQ = OM = OP = P . Единственность доказана.
Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в M Max S, то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.
5)6). Пусть ab = 0, но Ann a + Ann b S для некоторых a, b S.
Тогда Ann a + Ann b M для подходящего M Max S.
Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P, содержащийся в M. Тогда OM P (Лемма 2). Предположим, что a P \ OM . Степени элемента a образуют mсистему (0 {a}, 1{a} и для a,a{ a} с = 1S: aсa= a{ a}),не пересекающуюся с OM. Действительно, если a OM, n , то ab = 0 для некоторого b S \ M. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит ab = 0, то есть a OM ; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P OM, не содержащий a, который будет первичным.
Пусть q, w S \ P и q, w S \ P . Тогда s S: qsw P qsw P P P P первичный идеал, что противоречит минимальности P. Значит P OM и P = OM. Первичный идеал OM псевдопрост, поэтому aOM или b OM. Откуда по определению нулькомпонент Ann a M Ann bM Ann a + Ann b M противоречие Ann a + Ann b = S.
6)1). Возьмём a, b S: ab = 0 b Ann aS.
Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:
Ann a + Ann b = S. Так как в симметрическом полукольце Ann aS = Ann a, то Ann aS + Ann b = S. Таким образом, полукольцо Sслабо риккартово, что и требовалось доказать.
2)6). Пусть a, b S и ab = 0. D(a) D(b) = {PSpec S: aP bP} = { PSpec S: ab P} (в силу первичности) = D(ab) = D(0) = .
Обратно, D(a) D(b) ={PSpec S: aP bP} ={PSpec S: ab P}=D(ab) = ab = 0, так как D(x) = x = 0.
Таким образом, ab = 0 D(a) D(b) = .
Так как S –симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы
= {SSpec S: Ann aP Ann bP} = .
Тогда Ann a + Ann b M для M Max S Spec S Ann a + Ann b = S.
В другую сторону, пусть Ann a + Ann b = S Ann aM Ann bM для подходящего M Max S Spec S.
Тогда = {S Spec S: Ann a P Ann b P} = . Таким образом, условия 2) и 6) равносильны.
Теорема доказана полностью.
Cвойство:
Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a, b полукольца S выполняется импликация:
ab = 0 и a + b A a A.
Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и b, что ab = 0 и a + b A. Так как условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда Ann a + Ann b = S, то есть c + k = 1 при некоторых c Ann a и k Ann b.
c Ann a ac = 0 (по определению аннулятора).
k Ann b bk = 0.
a = a1 + 0 = a(c + k) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + b)k = (a + b)k A.
Получили a A, что и нужно было доказать.
Литература.