Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
219
Колебания и волны
Механические и электромагнитные колебания
§ 140. Гармонические колебания и их характеристики
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опре деленной повторяемостью во времени. Ко лебательные процессы широко распро странены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебатель ном движении маятника изменяется ко ордината его центра масс, в случае пере менного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колеба ний может быть разной, поэтому различа ют колебания механические, электромаг нитные и др. Однако различные колеба тельные процессы описываются одинако выми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесооб разность единого подхода к изучению ко лебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению ме ханических и электромагнитных колеба ний применялся английским физиком Д. У. Рэлеем (1842—1919), А. Г. Столето вым, русским инженером-экспериментато ром П.Н.Лебедевым (1866—1912). Боль шой вклад в развитие теории колебаний внесли советский физик Л. И. Мандель штам (1879- -1944) и его ученики.
Колебания называются свободными (или собственными), если они совершают ся за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний явля ются гармонические колебания — колеба ния, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно но двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различные периоди ческие процессы (процессы, повторяющие ся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармо нических колебаний. Гармонические коле бания величины s описываются уравнени ем типа .
s=Acos(0t+), (140.1)
где А - максимальное значение колеблю щейся величины, называемое амплитудой колебаний, 0 круговая (циклическая) частотой, - начальная фаза колебаний
в момент времени t=0, (0t+)— фаза колебаний в момент времени t. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может, принимать значения от + А до -А.
Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, по вторяются через, промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за кото рый фаза колебания получает приращение 2, т. е.
0(t+T)+=(0t +)+2,
откуда
T=2/0. (140.2)
220
Величина, обратная периоду коле баний,
v=1/T, (140.3)
т. о. число полных колебаний, совершае мых в единицу времени, называется часто той колебаний. Сравнивая (140.2) и (140.3), получим
0=2v.
Единица частоты — герц (Гц):1Гц — частота периодического процесса, при ко торой за 1 с совершается один цикл про цесса.
Запишем первую и вторую производ ные по времени от гармонически колеблю щейся величины s (соответственно ско рость и ускорение):
т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды ве личин (140.4) и (140.5) соответственно равны А0 и A20. Фаза скорости (140.4) отличается от фазы величины (140.1) на π/2, а фаза ускорения (140.5) отличается от фазы величины (140.1) на . Следова тельно, в моменты времени, когда s=0,
ds/dt приобретает наибольшие значения;
когда же s достигает максимального отрицательного значения, то d2s/dt2 приобретает
наибольшее положительное значение (рис. 198).
Из выражения (140.5) следует диффе ренциальное уравнение гармонических ко лебаний
d2s/dt2+20s=0 ( 140.6)
(где учтено, что s=Acos(0t+)). Решением этого уравнения является выражение (140.1).
Гармонические колебания изобража ются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом вектор ных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси х, под.углом , равным начальной фазе колебания, откла дывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис. 199). Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью 0, то про екция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от -A до +А, а колеблющаяся величина будет из меняться со временем по закону s=Acos(0t+). Таким образом, гармо ническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, от ложенного из произвольной точки оси под углом , равным начальной фазе, и вра щающегося с угловой скоростью 0 вокруг этой точки.
221
В физике часто применяется другой метод, который отличается от метода вра щающегося вектора амплитуды лишь по форме. В этом методе колеблющуюся ве личину представляют комплексным чис лом. Согласно формуле Эйлера, для ком плексных чисел
eii=cos+isin, (140.7)
где i=-1 — мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания (140.1) можно записать в экспоненциаль ной форме:
(140.8)
представляет собой гармоническое коле бание. Обозначение Re вещественной части условимся опускать и (140.8) будем записывать в виде
В теории колебаний принимается, что ко леблющаяся величина s равна веществен ной части комплексного выражения, стоя щего в этом равенстве справа.
§141. Механические гармонические колебания
Пусть материальная точка совершает пря молинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало коорди нат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением, аналогич ным уравнению (140.1), где s=x:
х=Аcos(0t+). (141.1)
Согласно выражениям (140.4) и (140.5), скорость v и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны
Сила F=ma, действующая на колеблю щуюся материальную точку массой т, с учетом (141.1) и (141.2) равна
F= -m20x.
Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положе ния равновесия и направлена в противопо ложную сторону (к положению равнове сия).
Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гар монические колебания, равна
Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические коле бания под действием упругой силы F, равна
Сложив (141.3) и (141.5), получим форму лу для полной энергии:
Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях спра ведлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консер вативна.
Из формул (141.4) и (141.6) следует, что Т и П изменяются с частотой 20, т. е. с частотой, которая в два раза превы шает частоту гармонического колебания.
222
На рис. 200 представлены графики зави симости х, Т и П от времени. Так как <sin2>= <cos2a>=1/2, то из формул (141.3), (141.5) и (141.7) следует, что <Т> = <П>=1/2E.
§ 142. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники
Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описы ваемые уравнением вида (140.6):
Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодиче ского движения и служат точной или при ближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. При мерами гармонического осциллятора яв ляются пружинный, физический и матема тический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными; см. §146).
1. Пружинный маятник — это груз мас сой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F=-kx, где k — коэффициент упругости, в случае пружины называемый жесткостью. Уравнение движения маятника
Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармо нические колебания по закону х=Acos(0t+) с циклической частотой
0=k/m (142.2) и периодом
T=2m/k. (142.3)
Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выпол няется закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с мас сой тела.
Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна
П=kх2/2.
2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходя щей через центр масс тела (рис.201).
Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол а, то в со ответствии с уравнением динамики враща тельного движения твердого тела (18.3) момент М возвращающей силы можно
223
записать в виде
где У — момент инерции маятника относи тельно оси, проходящей через точку О, l — расстояние между точкой подвеса и цент ром масс маятника, F=-mgsinmg — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F и всегда противоположны; sin соответствует малым колебаниям маятни ка, т. е. малым отклонениям маятника из положения равновесия).
Уравнение (142.4) можно записать в виде
Принимая
0=mgl/J. (142.5) получим уравнение
идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:
=0cos(0t+). (142.6)
Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маят ник совершает гармонические колебания с циклической частотой 0 (см (142.5)) и периодом
Т = 2/0=2J/(mgl)=2L/g.
(142.7)
где L = J/(ml) — приведенная длина физи ческого маятника.
Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), по лучим
т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если ось подвеса пе ренести в центр качаний, то точка О пре жней оси подвеса станет новым центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится.
3, Математический маятник— это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешен ной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тя жести. Хорошим приближением математи ческого маятника является небольшой тя желый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.
Момент инерции математического маятника J=ml2, (142.8)
где l — длина маятника.
Так как математический маятник мож но представить как частный случай физи ческого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (142.7), получим вы ражение для периода малых колебаний математического маятника
T=2l/g. (142.9)
Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L фи зического маятника равна длине l матема тического маятника, то их периоды коле баний одинаковы. Следовательно, приве денная длина физического маятника — это длина такого математического маятни ка, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физическо го маятника.
§ 143. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре
Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические ве личины (заряды, токи) периодически изме няются и которые сопровождаются взаим-
224
ными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колеба ний используется колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последо вательно катушки индуктивностью L, кон денсатора емкостью С и резистора сопро тивлением R.
Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализиро ванном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (R0). Для возбуж дения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±Q. Тогда в началь ный момент времени t=0 (рис. 202, а) между обкладками конденсатора возник нет электрическое поле, энергия которого
(1/2C)Q2(см. (95.4)). Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он на чнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. В ре зультате энергия электрического поля бу дет уменьшаться, а энергия магнитного
поля катушки (она равна 1/2LQ2 ) —воз растать.
Так как R0, то, согласно закону сохранения энергии, полная энергия
так как она на нагревание не расходуется. Поэтому в момент t=1/4 Т, когда конден сатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а следователь но, и ток) достигает наибольшего значения
(рис. 202, б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катуш ки, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конден сатора. Конденсатор начнет перезаря жаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в кон це концов обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет макси мума (рис. 202, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 202, г) и система к моменту времени t=T придет в первоначальное состояние (рис. 202, а). После этого начнется повто рение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колеба ния, т. е. периодически изменялись (коле бались) бы заряд Q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания, при чем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.
Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника (рис.202 внизу), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. В данном случае энергия электрического поля конденсатора (Q2/(2C)) аналогична потенциальной энергии упругой деформа-
225
ции (kx2/2), энергия магнитного поля ка тушки (LQ2/2) — кинетической энергии (mx2/2), сила тока в контуре — скорости движения маятника. Индуктивность L играет роль массы т, а сопротивление контура — роль силы трения, действующей на маятник.
Согласно закону Ома, для контура, содержащего катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью С и резистор сопро тивлением R,
ir+uc=ξs,
где IR — напряжение на резисторе, UC=Q/C— напряжение на конденсаторе, ξs=-LdI/dt — э.д.с. самоиндукции, воз никающая в катушке при протекании в ней переменного тока (ξs, —единственная э.д.с. в контуре).. Следовательно,
Разделив (143.1) на L и подставив I=Q и dI/dt=Q, получим дифференциаль ное уравнение колебаний заряда Q в кон туре:
В данном колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, поэтому рас сматриваемые колебания представляют собой свободные колебания (см. §140). Если сопротивление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из (143.2) получим дифференциальное урав нение свободных гармонических колеба ний заряда в контуре:
Из выражений (142.1) и (140.1) вы текает, что заряд Q совершает гармониче ские колебания по закону
Q = Qmcos(0t+), (143.3)
где Qm — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой 0, называемой собственной частотой конту ра, т. е.
0=1/LC, (143.4)
и периодом
T=2LC. (143.5)
Формула (143.5) впервые была получена У. Томсоном и называется формулой Томсона.
Сила тока в колебательном контуре (см. (140.4))
где Im=0Qm — амплитуда силы ток Напряжение на конденсаторе
где Um=Qm/C—амплитуда напряже ния.
Из выражений (143.3) и (143.6) вы текает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда Q на /2, т. е., когда ток достигает максимального значе ния, заряд (а также и напряжение (см. (143.7)) обращается в нуль, и наобо рот.
§ 144. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения
Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания не обходимо сложить. Сложим гармониче ские колебания одного направления и оди наковой частоты
воспользовавшись методом вращающего ся вектора амплитуды (см. § 140). Постро им векторные диаграммы этих колебаний (рис.203). Так как векторы a1 и А2 вра щаются с одинаковой угловой скоростью 0, то разность фаз (2-1) между ними остается постоянной.
Очевидно, что уравнение результирую-
226
щего колебания будет
х=х1+х2=Аcos(0t+). (144.1)
В выражении (144.1) амплитуда А и начальная фаза соответственно за даются соотношениями
Таким образом, тело, участвуя в двух гар монических колебаниях одного направле ния и одинаковой частоты, совершает так же гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (2-1) складываемых ко лебаний.
Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз (2-1):
1) 2-1=±2m (m = 0, 1, 2,...), тог да A=A1+A2, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме ампли туд складываемых колебаний;
2) 2-1= ±(2m+1) (m=0, 1, 2,...), тогда A = │A1-A2│, т.е. амплиту да результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых коле баний.
Для практики особый интерес пред ставляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового на правления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически из меняющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возника ющие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называ ются биениями.
Пусть амплитуды складываемых коле баний равны А, а частоты равны и +, причем <<. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колеба ний были равны нулю:
Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе /2<<, найдем
Получившееся выражение есть произведе ние двух колебаний. Так как <<, то сомножитель, стоящий в скобках, почти не изменяется, когда сомножитель cost со вершит несколько полных колебаний. По этому результирующее колебание х мож но рассматривать как гармоническое
227
с частотой , амплитуда Аб, которого изме няется по следующему периодическому за кону:
Частота изменения Aб, в два раза боль ше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых ко лебаний: б=. Период биений
Tб=2/.
Характер зависимости (144.3) показан на рис. 204, где сплошные жирные линии да ют график результирующего колебания (144.3), а огибающие их — график мед ленно меняющейся по уравнению (144.4) амплитуды.
Определение частоты тона (звука оп ределенной высоты (см. §158)) биений между эталонным и измеряемым колеба ниями — наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений ис пользуется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.
Любые сложные периодические коле бания s=f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершаю щихся гармонических колебаний с различ ными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте 0:
Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятием гар монического анализа сложного периодиче ского колебания, или разложения Фурье.
Члены ряда Фурье, определяющие гармо нические колебания с частотами 0, 20, 30,..., называются первой (или основной),
второй, третьей и т. д. гармониками слож ного периодического колебания.
§ 145. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим результат сложения двух гар монических колебаний одинаковой часто ты , происходящих во взаимно перпенди кулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета вы берем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю:
Разность фаз обоих колебаний равна , А и В — амплитуды складываемых коле баний.
Уравнение траектории результирую щего колебания находится исключением из выражений (145.1) параметра t. За писывая складываемые колебания в виде
и заменяя во втором уравнении cost на х/А и sint на (1-(х/A)2), получим по сле несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произ вольно:
Так как траектория результирующего ко лебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически по ляризованными.
Ориентация осей эллипса и его разме ры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз . Рассмотрим некоторые частные случаи, представляю щие физический интерес:
1) =m(m=0, ±1, ±2,...). В дан ном случае эллипс вырождается в отрезок
228
прямой
у=±(В/А)х, (145.3) где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 205, a), a знак минус — нечетным значениям т (рис. 205, б). Результирующее колеба ние является гармоническим колебанием
с частотой и амплитудой (A2+В2), совершающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол =
В данном случае
имеем дело с линейно поляризованными колебаниями.
В данном случае уравнение примет вид
229
Это уравнение эллипса, оси которого со впадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис.206). Кроме того, если А=В, то эллипс (145.4) вырождается в окруж ность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.
Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующе го колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, со вершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лисса жу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указа ны вверху).
Отношение частот складываемых коле баний равно отношению числа пересече ний фигур Лиссажу с прямыми, парал лельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко исполь зуемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых ко лебаний, а также формы колебаний.
§ 146. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение. Автоколебания
Рассмотрим свободные затухающие коле бания — колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебатель ной системой с течением времени умень шается. Простейшим механизмом умень шения энергии колебаний является ее пре вращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах,
а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электриче ских колебательных системах.
Закон затухающих колебаний опреде ляется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные систе мы — идеализированные реальные систе мы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе про цесса не изменяются. Линейными система ми являются, например, пружинный маят ник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колеба тельный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различ ные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что по зволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моде лирование, в том числе и на ЭВМ.
Дифференциальное уравнение свобод ных затухающих колебаний линейной системы задается в виде
где s — колеблющаяся величина, описы вающая тот или иной физический про цесс, =const — коэффициент затухания, 0 — циклическая частота свободных не затухающих колебаний той же колебатель ной системы, т. е. при =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.
Решение уравнения (146.1) рассмот рим в виде
s=e-u (146.2)
где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и подстановки их в (146.1) получим
Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой вели чиной. Рассмотрим случай, когда этот ко эффициент положителен:
2=20-2 (146.4)
230
(если (2-2)>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим урав нение типа (142.1)
решением которого является функция и=А0cos(t+)
(см. (140.1)).
Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий (2<<20)
s=A0е-tсоs(t+), (146.5) где А=А0е-t (146.6)
— амплитуда затухающих колебаний, а
a0 — начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис.208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штри ховыми линиями. Промежуток времени =1/, в течение которого амплитуда за тухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.
Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колеба ния не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие перио да или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться по нятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимума ми (или минимумами) колеблющейся фи зической величины (рис. 208). Тогда пери од затухающих колебаний с учетом формулы
(146.4) равен
Если A(t) и A(t+T)— амплитуды двух последовательных колебаний, соответству ющих моментам времени, отличающимся на период, то отношение
называется декрементом затухания, а его
логарифм
— логарифмическим декрементом затуха ния; Ne — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.
Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротно сти Q, которая при малых значениях лога рифмического декремента равна
(так как затухание невелико (2<<20), то Т принято равным Т0).
Из формулы (146.8) следует, что до бротность пропорциональна числу колеба ний Ne, совершаемых системой за время релаксации.
Применим выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линей ных систем, для колебаний различной фи зической природы — механических (в ка честве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический коле бательный контур).
1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника (см. § 142) массой т, совершаю щего малые колебания под действием уп ругой силы F=-kx, сила трения про порциональна скорости, т. е.
231
где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные на правления силы трения и скорости.
При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид
Используя формулу 0=k/m (см. (142.2)) и принимая, что коэффици ент затухания
=r/(2m), (146.10)
получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний, маятника:
Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что маятник колеблется по закону
х=A0е-tcos(t+) с частотой =(20-r2/4m2) (см. (146.4)).
Добротность пружинного маятника,
согласно (146.8) и (146.10), Q=1/rkm.
2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при R0) имеет вид (см. (143.2))
Учитывая выражение (142.2) и принимая коэффициент затухания
=R/(2L), (146.11)
дифференциальное уравнение (143.2) можно записать в идентичном уравнению (146.1) виде
Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания заряда совершаются по закону
Q=Qme-tcos((t+) (146.12)
с частотой, согласно (146.4),
меньшей собственной частоты контура 0 (см. (143.4)). При R=0 формула (146.13) переходит в (143.4).
Логарифмический декремент затуха ния определяется формулой (146.7), а до бротность колебательного контура (см. (146.8))
В заключение отметим, что при увели чении коэффициента затухания период затухающих колебаний растет и при =0 обращается в бесконечность, т. е. движе ние перестает быть периодическим. В дан ном случае колеблющаяся величина асим птотически приближается к нулю, когда t. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.
Огромный интерес для техники пред ставляет возможность поддерживать коле бания незатухающими. Для этого необхо димо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые ав токолебания — незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.
Автоколебания принципиально отлича ются от свободных незатухающих колеба ний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний (см. §147), происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воз действиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными пор циями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).
Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колеба ниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручи-
232
вающейся пружины, либо за счет опуска ющегося груза. Колебания воздуха в ду ховых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколеба ний, поддерживаемых воздушной струей. Автоколебательными системами явля ются также двигатели внутреннего сгора ния, паровые турбины, ламповый генера тор и т. д.
§ 147. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение
Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющегося по гармоническому закону:
X(t)=X0cost.
Если рассматривать механические ко лебания, то роль X(t) играет внешняя вы нуждающая сила
F=F0cost. (147.1)
С учетом силы (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запи шется в виде
Используя (142.2) и (146.10), придем к уравнению
Если рассматривать электрический ко лебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодиче ски изменяющаяся по гармоническому за кону э.д.с. или переменное напряжение
U=Umcost. (147.3)
Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде
Используя (143.4) и (146.11), придем
к уравнению
Колебания, возникающие под действи ем внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменя ющейся э.д.с., называются соответствен но вынужденными механическими и вы нужденными электромагнитными колеба ниями.
Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному диффе ренциальному уравнению
применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной фи зической природы (х0 в случае механиче ских колебаний равно F0/m, в случае элек тромагнитных — Um/L).
Решение уравнения (147.5) равно сум ме общего решения (146.5) однородного уравнения (146.1) и частного решения не однородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину х0еit:
Частное решение этого уравнения будем искать в виде
s=s0it. Подставляя выражение для s и его про изводных в уравнение (147.6), получим
Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что =. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину so и умножим ее числитель и знаменатель на (20--2i):
233
Это комплексное число удобно предста вить в экспоненциальной форме:
Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид
s=Aе(iit-)
Его вещественная часть, являющаяся ре шением уравнения (147.5), равна
s=Acos(t-), (147.10)
где A и задаются соответственно форму лами (147.8) и (147.9).
Таким образом, частное решение не однородного уравнения (147.5) имеет вид
Решение уравнения (147.5) равно сум ме общего решения однородного урав нения
(см. 146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого ра венством (147.8). Графически вынужден ные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой (о и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), так же зависят от .
Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных колеба ний, учитывая, что 20=1/(LC) (см. (143.4)) и =R/(2L) (см. (146.11)):
Продифференцировав Q=Qmcos(t-) по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:
Выражение (147.14) может быть записано в виде
I=Imcos(t-),
где =-/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (147.3)). В соответствии с выражени ем (147.13)
234
Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения (>0), если L>l/(C), и опережает напряже ние (<0), если L<l/(C).
Формулы (147.15) и (147.16) можно также получить с помощью векторной ди аграммы. Это будет сделано в § 149 для переменных токов.
§ 148. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний (механических и электромагнитных).
Резонанс
Рассмотрим зависимость амплитуды А вы нужденных колебаний от частоты со. Меха нические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, на зывая колеблющуюся величину либо сме щением (х) колеблющегося тела из поло жения равновесия, либо зарядом (Q) кон денсатора.
Из формулы (147.8) следует, что ам плитуда А смещения (заряда) имеет мак симум. Чтобы определить резонансную частоту рез — частоту, при которой ам плитуда А смещения (заряда) достигает максимума,— нужно найти максимум фун кции (147.8), или, что то же самое, мини мум подкоренного выражения. Продиффе ренцировав подкоренное выражение по и приравняв нулю, получим условие, опре деляющее рез:
-4(20-2)+82=0. Это равенство выполняется при =0, ±(20-22), у которых только лишь положительное значение имеет физи ческий смысл. Следовательно, резонанс ная частота
рез=(20 -22). (148.1)
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближе нии частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте рез называется резонансом (со ответственно механическим или электриче ским). При 2<<2 значение рез практиче ски совпадает с собственной частотой 0 колебательной системы.
Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим
На рис. 210 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях б. Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем мень ше б, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если 0, то все кривые (см. также (147.8)) приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению x0/20, так называемому статиче скому отклонению. В случае механических колебаний x0/20=F0/(m20), в случае элек тромагнитных — Um/(L20). Если , то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.
Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании (2<<20) резонансная ам плитуда смещения (заряда)
где Q — добротность колебательной систе мы (см. (146.8)), х0/20 — рассмотренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше Aрез. На рис. 211 представлены резонансные кривые для амплитуды скорости (тока). Амплитуда скорости (тока)
235
максимальна при (рез=0 и равна x0/(2), т. е. чем больше коэффициент затухания 8, тем ниже максимум резонансной кривой. Используя формулы (142.2), (146.10) и (143.4), (146.11), получим, что амплиту да скорости при механическом резонансе равна (Аv)max=ха/(2)=F0/r, а амплитуда тока при электрическом резонансе
(АI)max=x0/(2)=Um/R.
Из выражения tg=2/(20-2) (см. (147.9)) следует, что если затухание в системе отсутствует (=0), то только в этом случае колебания и вынуждающая сила (приложенное переменное напряже ние) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях 0.
Зависимость от при разных ко эффициентах б графически представлена на рис. 212, из которого следует, что при
изменении изменяется и сдвиг фаз . Из формулы (147.9) вытекает, что при =0 =0, а при =0 независимо от значения коэффициента затухания =/2, т. е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на π/2. При дальней шем увеличении сдвиг фаз возрастает и при (>>0 , т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Семейство кривых, изображенных на рис. 212, назы вается фазовыми резонансными кривыми. Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы со бственная частота колебаний их не со впадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возник нут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника ис пользуют явление резонанса.
§ 149. Переменный ток
Рассмотренные установившиеся вынуж денные электромагнитные колебания мож но рассматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктив ности и конденсатор, переменного тока. Переменный ток можно считать квазиста ционарным, т. е. для него мгновенные зна чения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изме нения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распро страняются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к переменным токам (эти законы уже использовались при рассмот рении электромагнитных колебаний).
Рассмотрим последовательно процес сы, происходящие в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и кон-
236
денсатор, при приложении к ней перемен ного напряжения
U=Umcost, (149.1)
где Um — амплитуда напряжения.
1. Переменный ток, текущий через ре зистор сопротивлением R (L0, С0) (рис. 213, а). При выполнении условия квазистационарности ток через резистор определяется законом Ома:
I=U/R=(Um/R)cost=Imcost, где амплитуда силы тока lm=Um/R.
Для наглядного изображения соотно шений между переменными токами и на пряжениями воспользуемся методом век торных диаграмм. На рис. 213, б дана век торная диаграмма амплитудных значений тока Im и напряжения Um на резисторе (сдвиг фаз между Im и Um равен нулю).
2. Переменный ток, текущий через ка тушку индуктивностью L (R0, C0) (рис. 214, а). Если в цепи приложено пере менное напряжение (149.1), то в ней по течет переменный ток, в результате чего возникнет э.д.с. самоиндукции
(см. (126.3)) ξs=-LdI/dt. Тогда закон Ома (см. (100.3)) для рассматриваемого
участка цепи имеет вид
Umcost-LdI/dt=0,
откуда
LdI/dt=Umcost.
Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то
UL=LdI/dt (149.3)
есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (149.2) следует, что
dI=(Um/L)cost/dt,
или после интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна нулю (так как отсутствует постоянная составля ющая тока), получим
Величина
RL=L (149.5)
называется реактивным индуктивным со противлением (или индуктивным сопро тивлением). Из выражения (149.4) выте кает, что для постоянного тока (=0) катушка индуктивности не имеет сопротив ления. Подстановка значения Um=LIm в выражение (149.2) с учетом (149.3) приводит к следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности:
UL=LImcost. (149.6)
Сравнение выражений (149.4) и (149.6) приводит к выводу, что падение напряже ния UL опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на /2, что и показано на векторной диаграмме (рис. 214, б).
3. Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С (R0, L0)
237
(рис. 215, а). Если переменное напряже ние (149.1) приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается, и в цепи потечет переменный ток. Так как все внеш нее напряжение приложено к конденсато ру, а сопротивлением подводящих прово дов можно пренебречь, то
Q/C=UC=Umcost. Сила тока
Величина
RC=1/(С)
называется реактивным емкостным сопро тивлением (или емкостным сопротивлени ем). Для постоянного тока (=0) RC=, т. е. постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе
UC=(1/C)Imcost. (149.8)
Сравнение выражений (149.7) и (149.8) приводит к выводу, что падение напряже ния UC отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на /2. Это показано на векторной диаграмме (рис. 215, б).
4. Цепь переменного тока, содержа щая последовательно включенные ре зистор, катушку индуктивности и конден сатор. На рис. 216, а представлена цепь, содержащая резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение (149.1). В цепи возникнет переменный ток, который вы зовет на всех элементах цепи соответству ющие падения напряжения UR, UL и UC. На рис. 216, б представлена векторная ди аграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (UR), катушке (UL) и кон денсаторе (UC). Амплитуда Um приложен ного напряжения должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Как видно из рис. 216, б, угол определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что (см. также формулу (147.16))
Из прямоугольного треугольника получаем, откуда амплитуда силы тока имеет значение
совпадающее с (147.15).
238
Следовательно, если напряжение в це пи изменяется по закону
U=Umcost,
то в цепи течет ток
I = Imcos(t-), (149.11)
где и Im определяются соответственно формулами (149.9) и (149.10). Величина
называется полным сопротивлением цепи, а величина
— реактивным сопротивлением.
Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. В данном случае падения напряжений UR и UL в сумме равны приложенному напряже нию U. Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис. 217, из кото рого следует, что
Выражения (149.9) и (149.10) совпадают с (149.13), если в них 1/(С) = 0, т. е. С=. Следовательно, отсутствие конден сатора в цепи означает С=, а не С=0. Данный вывод можно трактовать сле дующим образом: сближая обкладки конденсатора до их полного соприкоснове ния, придем к цепи, в которой конденсатор отсутствует (расстояние между обкладками стремится к нулю, а емкость — к бес конечности; см. (94.3)).
§ 150. Резонанс напряжений
Если в цепи переменного тока, содержа щей последовательно включенные конден сатор, катушку индуктивности и резистор (см. рис. 216),
L= 1/(С), (150.1)
то угол сдвига фаз между током и на пряжением (149.9) обращается в нуль (=0), т. е. изменения тока и напряжения происходят синфазно. Условию (150.1) удовлетворяет частота
рез=l/LC. (150.2)
В данном случае полное сопротивление цепи Z (149.12) становится минимальным, равным активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи определяется этим сопро тивлением, принимая максимальные (воз можные при данном Um) значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряже нию, приложенному к цепи (UR=U), а па дения напряжений на конденсаторе (UC) и катушке индуктивности (UL) одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом на пряжений (последовательным резонан сом), а частота (150.2) —резонансной частотой. Векторная диаграмма для резо нанса напряжений приведена на рис.218, а зависимость амплитуды силы тока от уже была дана на рис. 211.
В случае резонанса напряжений
(UL)реэ=(UC)рез,
поэтому, подставив в эту формулу значе ния резонансной частоты и амплитуды на пряжений на катушке индуктивности
239
и конденсаторе, получим
где Q — добротность контура, определяе мая выражением (146.14). Так как до бротность обычных колебательных конту ров больше единицы, то напряжение как на катушке индуктивности, так и на кон денсаторе превышает напряжение, прило женное к цепи. Поэтому явление резонан са напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонанса на конденсаторе мож но получить напряжение с амплитудой QUm (Q в данном случае — добротность контура), которая может быть значительно больше Um). Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонансной частоты кон тура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной частоты, т. е. на радиоприемнике настро иться на нужную длину волны. Явление резонанса напряжений необходимо учиты вать при расчете изоляции электрических линий, содержащих конденсаторы и ка тушки индуктивности, так как иначе мо жет наблюдаться их пробой.
§ 151. Резонанс токов
Рассмотрим цепь переменного тока, со держащую параллельно включенные кон денсатор емкостью С и катушку индуктив ностью L (рис.219). Для простоты до пустим, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им можно пре небречь. Если приложенное напряжение
изменяется по закону U=Umcost(см. (149.1)), то, согласно формуле (149.11), в ветви 1С2 течет ток
I1=Im1cos(t-1),
амплитуда которого определяется из вы ражения (149.10) при условии R=0 и L=0:
Начальная фаза 1 этого тока по формуле (149.9) определяется равенством
tg1=-,
1=(2n+1/2), где n=1,2, 3, ... .
(151.1)
Аналогично, сила тока в ветви 1L2
I2=Im2cos(t-2),
амплитуда которого определяется из (149.10) при условии R=0 и С= (ус ловие отсутствия емкости в цепи, см. § 149):
Im2=Um/(L).
Начальная фаза 2 этого тока (см. (149.9))
tg2=+, откуда
2=(2n+1/2), где n= 1,2, 3, ... .
(151.2)
Из сравнения выражений (151.1) и (151.2) вытекает, что разность фаз токов в ветвях 1С2 и 1L2 равна 1-2=, т. е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи
Im=│Im1,-Im2│=Um│C-l/(L)|.
Если =рез=1/LС, то Im1=Im2 и Im=0.
Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катушку индуктивности, при приближе нии частоты приложенного напряжения к резонансной частоте рез называется ре зонансом токов (параллельным резонан-
240
сом). В данном случае для резонансной частоты получили такое же значение, как и при резонансе напряжений (см. § 150).
Амплитуда силы тока Im оказалась равна нулю потому, что активным сопро тивлением контура пренебрегли. Если учесть сопротивление R, то разность фаз 1-2 не будет равна , поэтому при резонансе токов амплитуда силы тока Im будет отлична от нуля, но примет наи меньшее возможное значение. Таким об разом, при резонансе токов во внешней цепи токи I1 и I2 компенсируются и сила тока I в подводящих проводах достигает минимального значения, обусловленного только током через резистор. При резонан се токов силы токов I1 и I2 могут значи тельно превышать силу тока I.
Рассмотренный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной, поэто му это свойство резонанса токов использу ется в резонансных усилителях, позволяю щих выделять одно определенное колеба ние из сигнала сложной формы. Кроме того, резонанс токов используется в ин дукционных печах, где нагревание метал лов производится вихревыми токами (см. § 125). В них емкость конденсатора, включенного параллельно нагревательной катушке, подбирается так, чтобы при частоте генератора получился резонанс токов, в результате чего сила тока через нагревательную катушку будет гораздо больше, чем сила тока в подводящих про водах.
§ 152. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока
Мгновенное значение мощности перемен ного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:
P(t)=U(t)I(t),
где U(t)=Umcost, I(t)= Imcos(t-) (см. выражения (149.1) и (149.11)). Раск рыв cos(t-), получим
Р(t) = ImUmcos(t-)cost= Im(Um(cos2tcos+sintcostsin).
Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее сред нее значение за период колебания. Учиты вая, что <cos2t>=1/2, <sintcost)=0, получим
<Р>=1/2ImUmсоs. (152.1)
Из векторной диаграммы (см. рис. 216) следует, что Umcosfi=RIm. Поэтому
<P>=1/2RI2m.
Такую же мощность развивает постоян ный ток I = Im/2. Величины
I= Im/2, U=Um/2
называются соответственно действующи ми (или эффективными) значениями тока
и напряжения. Все амперметры и вольт метры градуируются по действующим зна чениям тока и напряжения.
Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощно сти (152.1) можно записать в виде
<P>=IUcos, (152.2)
где множитель cos называется коэффи циентом мощности.
Формула (152.2) показывает, что мощ ность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cos=1 и Р=IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R=0), то cos=0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и на пряжение. Если cos имеет значения, су щественно меньшие единицы, то для пере дачи заданной мощности при данном на пряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделе нию джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повы шает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить cos, наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0,85.
241
Контрольные вопросы
• Что такое колебания? свободные колебания? гармонические колебания? периодические про цессы?
• Дайте определения амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты колебания.
• Какова связь амплитуды и фазы смещения, скорости и ускорения при прямолинейных гармони ческих колебаниях?
• В чем заключается идея метода вращающегося вектора амплитуды?
• Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки как функции времени.
• Выведите и прокомментируйте формулы для кинетической, потенциальной и полной энергии при гармонических колебаниях.
• Чему равно отношение полной энергии гармонического колебания к максимальному значению возвращающей силы, вызывающей это колебание?
• Как можно сравнить между собой массы тела, измеряя частоты колебаний при подвешивании этих масс к пружине?
• Что называется гармоническим осциллятором? пружинным маятником? физическим? матема тическим?
• Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, физического и математического маятников.
• Что такое приведенная длина физического маятника?
• Какие процессы происходят при свободных гармонических колебаниях в колебательном кон туре? Чем определяется их период?
• Запишите и проанализируйте дифференциальное уравнение свободных гармонических колеба ний в контуре.
• Что такое биения? Чему равна частота биений? период?
• Какова траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковыми периодами? Когда получается окружность? прямая?
• Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношение частот складываемых колебаний?
• Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Проанализи руйте их для механических и электромагнитных колебаний.
• Как изменяется частота собственных колебаний с увеличением массы колеблющегося тела?
• По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затухающие колебания периодическими?
• Почему частота затухающих колебаний должна быть меньше частоты собственных колебаний системы?
• Что такое коэффициент затухания? декремент затухания? логарифмический декремент за тухания? В чем заключается физический смысл этих величин?
• При каких условиях наблюдается апериодическое движение?
• Что такое автоколебания? В чем их отличие от вынужденных и свободных незатухающих колебаний? Где они применяются?
• Что такое вынужденные колебания? Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и решите его. Проведите их анализ для механических и электромагнитных колеба ний.
• От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний? Запишите выражение для амплитуды и фазы при резонансе.
• Нарисуйте, проанализируйте резонансные кривые для амплитуды смещения (заряда) и скоро сти (тока). В чем их отличие?
• Почему добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы?
• Чему равен сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой при резонансе?
• Что называется резонансом? Какова его роль?
• От чего зависит индуктивное сопротивление? емкостное сопротивление? Что называется ре активным сопротивлением?
• Как сдвинуты по фазе колебания переменного напряжения и переменного тока текущего через конденсатор? катушку индуктивности? резистор? Ответ обосновать также с помощью вектор ных диаграмм.
242
• Нарисуйте и объясните векторную диаграмму для цепи переменного тока с последовательно включенными резистором, катушкой индуктивности и конденсатором.
• Назовите характерные признаки резонанса напряжений; резонанса токов. Приведите графики резонанса токов и напряжений.
• Как вычислить мощность, выделяемую в цепи переменного тока? Что называется коэффици ентом мощности?
Задачи
18.1. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой v = 2 Гц, в момент времени t=0 проходит положение, определяемое координатой x0=6 см, со скоростью v0=14 см/с. Определить амплитуду колебаний. [6.1 см]
18.2. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 30 мкДж, а максимальная сила, действующая на точку, равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этой точки, если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза /3. [х= 0,04cos(t+/3)]
18.3. При подвешивании грузов массами m1 =500 г и m2=400 г к свободным пружинам последние удлинились одинаково (l=15 см). Пренебрегая массой пружин, определить: 1) периоды колебаний грузов; 2) который из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энер гией и во сколько раз. [1) 0,78 с; 2) 1,25]
18.4. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 25 см. Опреде лить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колеба ний была максимальной. [7,2 см]
18.5. Два математических маятника, длины которых отличаются на l=16 см, совершают за одно и то же время: один n1=10 колебаний, другой n2=6 колебаний. Определить длины маятни ков l1 и l2. [l1=9 см, l2=25 см]
18.6 Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков, равным 50, индуктивностью 5 мкГн и конденсатор емкостью 2нФ. Максимальное напряжение на обкладках кон денсатора составляет 150 В. Определить максимальный магнитный поток, пронизывающий катушку. [0,3 мкВб]
18.7. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода 8 с и одинаковой амплитудой 2 см составляет /4. Написать уравнение движения, получаю щегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна
нулю. [х=0,037 cos(t/4+/8)]
18.8. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x=cost и y=cost/2.
Определить уравнение траектории точки и вычертить ее с нанесением масштаба. [2y2-x=1]
18.9. За время, за которое система совершает 100 полных колебаний, амплитуда уменьшается в три раза. Определить добротность системы. [286]
18.10. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 25 мГн, конденсатор емкостью 10 мкФ и резистор сопротивлением 1 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества Qm=l мКл. Определить: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на обкладках кон денсатора от времени. [1) 3,14 мс; 2) 0,05; 3) U= 100е-20tcos636t]
18.11. Последовательно соединенные резистор с сопротивлением 110 Ом и конденсатор подключены к внешнему переменному напряжению с амплитудным значением 110 В. Оказалось, что амплитудное значение установившегося тока в цепи 0,5 А. Определить разность фаз между током и внешним напряжением. [60°]
243
18.12. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка длиной 50 см и площадью по перечного сечения 10 см2, содержащая 3000 витков. Определить активное сопротивление катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током составляет 60°. [4,1 Ом]
18.13. Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное значение напряжения равно 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость которой 1 нФ. Определить амплитудное значение напряжения на конденсаторе, если активное сопротивление цепи 5 Ом. [119 кВ]
18.14. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 5 мГц и конденсатор емкостью 2 мкФ. Для поддержания в колебательном контур незатухающих гармонических колебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе 1 В необходимо подводить среднюю мощность 0,1 мВт. Считая затухание колебаний в контуре достаточно малым, определить добротность данного контура. [100]
* Ж. Лиссажу (1822—1880) — француз ский физик.
* Ж. Фурье (1768—1830) —французский ученый.