Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ГЛАВА XII УЧЕНИЕ О ВОЛНАХ
§ 73. Волновой процесс. Уравнение волн. Виды волн
Колебательная система может отдавать энергию во внешнюю среду. Эта передача энергии становится возможной благодаря тому, что ча стицы среды сами представляют собой миниатюрные колебательные системы. Молекулы среды связаны друг с другом силами, законы которых в известных границах подобны законам упругих сил; если одна из частиц окажется выведенной из положения равновесия, то силы, действующие на неё со стороны соседних частиц, заставляют её вновь вернуться к устойчивому положению. Вместе с тем, по за кону равенства действия и противодействия, соседние частицы также подвергнутся влиянию смещающих сил и в свою очередь будут вы ведены из устойчивого положения. Таким образом, каждое возму щение, однажды возникнув в определённом участке среды, будет постепенно распространяться, захватывая частицы, всё дальше и дальше отстоящие от места начального возмущения.
Находясь в какой-либо среде, например в воздухе, колебательная система взаимодействует с непосредственно прилегающими к ней частицами. Совершая свои колебания, она создаёт вокруг себя пери одический ряд возмущений, т. е. действует на прилегающие частицы как некоторая периодическая внешняя сила. Понятно, что эта сила заставляет частицы среды совершать колебания с частотой вынуж дающей силы, причём колебательный процесс благодаря взаимодей ствию частиц будет распространяться в среде с некоторой конечной скоростью, о величине которой мы будем говорить ниже.
Очевидно, что частица среды, находящаяся на расстоянии y от места начального возмущения, начнёт колебаться только тогда, когда до неё дойдёт распространяющийся в среде колебательный процесс. Обозначим скорость распространения колебательного процесса через и. Колебательный процесс дойдёт до рассматриваемой нами частицы через промежуток времени
х=asint,
то колебания рассматриваемой нами частицы будут происходить по такому же синусоидальному закону, но с запозданием на отрезок времени ; таким образом, мы можем написать для частицы урав нение
x'=Asin(t-) =Asin(t-y/u) (1)
Это уравнение определяет смещение частицы х' в функции от времени и от расстояния до начальной точки. Если, однако, одно временно рассматривать точки, лежащие на одной прямой, прохо дящей через начальную точку, то, задавая для у различные значения, мы можем выяснить посредством уравнения (1) распределение сме щений вдоль выбранной нами прямой. В этом случае х' мы рассма триваем как функцию от одного только у (при t=const). Рис. 232
Рис. 232. Смещения частиц среды при распространении поперечных колебаний для пяти различных моментов времени.
поясняет, как начинается и происходит передача колебательного дви жения в среде, когда частицы среды колеблются перпендикулярно к направлению передачи движения. Мы видим, что этот процесс пе риодичен не только во времени, но и в пространстве. По сходству явления с одним из его частных случаев (именно с волнами на по верхности воды) этот процесс называют волновым, а распространяю щееся в среде периодическое (или хотя бы мгновенное) возмущение — волной. Уравнение (1) есть уравнение волн, распространяющихся в положительном направлении оси х.
Для того чтобы с большей ясностью показать, что уравнение (1) выражает процесс, периодичный и во времени и в пространстве («волны»), мы можем поступить следующим образом.
Рассматривая сначала течение процесса в некоторой определённой точке среды (у=const), мы можем представить себе начало коор динат именно в этой точке; тогда у=0, и уравнение (1) принимает вид
х'=Asint.
Это уравнение есть уравнение колебаний выбранной нами частицы среды; оно определяет периодичность волнового процесса во времени.
Интересуясь распределением смещений в пространстве в некоторый определённый момент времени (t=const), мы можем выбрать именно этот момент за начальный, т. е. положить t=0; тогда
Введя величину , определяемую равенством
=иТ,(2)
перепишем уравнение в следующем виде:
Последнее уравнение выражает пространственную периодичность процесса. Введённая в него величина А имеет простой физический смысл. Так как Т есть период колебаний, а u — скорость их рас пространения, то произведение uT определяет, очевидно, расстояние, на которое распространяется колебательный процесс за время одного периода. Следовательно, две частицы, отделённые друг от друга ин тервалом =uT, колеблются с одной и той же фазой; каждая из них проходит через нулевое положение одновременно с другой. Ве личину А называют длиной волны.
Важно уяснить себе, что частицы среды не увлекаются движу щейся волной; они совершают лишь колебательные движения около положения равновесия. Щепка, брошенная на поверхность непроточ ной воды, лишь колеблется вверх и вниз, оставаясь в одном и том же месте поверхности. Скорость волны и не есть скорость движения материальных частиц, — это есть скорость распространения импульса, вызывающего смещение частиц.
На первый взгляд может показаться неясным, почему волна рас пространяется только в одном направлении, а не в двух проти воположных направлениях. Чтобы разобраться в причинах односто роннего распространения единичной волны, снова обратимся к рис. 232. На этом рисунке изображены смещения точек некоторого участка среды в различные моменты времени. Если бы мы сместили частицы среды так, как это показано в нижней строчке рис. 232, и если бы при этом в начальный момент все смещённые частицы были в покое, а потом мы предоставили бы им возможность двигаться к положе ниям равновесия, то такая деформация среды стала бы волнообразно распространяться и вправо и влево. В проходящей («бегущей») волне дело обстоит, однако, иначе: здесь все смещённые частицы, кроме тех, которые находятся в крайнем отклонении, в любой рас сматриваемый момент времени имеют некоторую скорость движе ния к положениям равновесия или от положений равновесия. Частица а, находящаяся перед волной, была в покое и смещением находящихся перед нею частиц будет увлечена кверху. В середине волны частица b, двигаясь сверху вниз, подошла в рассматриваемый момент времени к положению равновесия и будет двигаться по инерции вниз (воздей ствие на частицу b смежных частиц взаимно компенсируется, так, как передние тянут её вверх, а задние — с той же силой вниз). Что же касается частицы с, находящейся в конце волны, то её скорость направлена противоположно воздействию смежных частиц. Дей ствительно, частица с была отклонена вниз и перед рассматриваемым моментом двигалась вверх, преодолевая воздействие смежных частиц, которые стремились оттянуть её вниз. Вследствие этого частица с подойдёт в рассматриваемый момент к положению равновесия, утра тив скорость движения, и в дальнейшем будет оставаться в покое, если вслед за первой волной не идут другие волны.
Вид волн, распространяющихся в среде, существенно зависит от упругих свойств среды. Чтобы уяснить себе характер этой зависи мости, разделим мысленно среду на ряд тонких, соприкасающихся друг с другом слоев, перпендикулярных к направлению распростра нения волны.
Газы, а также практически и жидкости не оказывают упругого сопротивления сдвигу слоев. Напротив, при попытке сблизить два соседних слоя или удалить их друг от друга возникают возвращаю щие силы, препятствующие деформации сжатия или растяжения. Колебания частиц происходят в направлении возвращающих сил, по этому в среде, где отсутствует упругость сдвига, возможны лишь такие волны, в которых колебания частиц совпадают с направлением распространения волнового процесса; иначе говоря, в газах и в жидкостях упругая волна может распространяться лишь в направлении колебательного движения частиц. Такие волны называют продольными, так как движения материальных частиц происходят здесь вдоль волны.
Рис. 233. Виды волн.
Продольные волны представляют собой чередующийся ряд сгуще ний и разрежений, причём длина волны по смыслу этого понятия есть расстояние между двумя соседними сгущениями или разреже ниями (рис. 233, а). Типичным примером продольных волн являются звуковые волны в жидкостях и газах. Продольные волны могут, конечно, распространяться и в твёрдых телах.
В твёрдом теле деформация сдвига вызывает волну, распростра няющуюся в направлении, перпендикулярном к направлению смещения частиц. Волна, в которой колебательное движение совершается пер пендикулярно к направлению распространения колебаний, называется поперечной (рис. 233, б).
Как мы видели выше, в жидких и газообразных средах поперечные волны возникнуть не могут; в твёрдых же телах они распространяются наряду с волнами продольными. В чисто по перечной волне сгущения и разрежения среды уже не имеют места.
Продольные волны суть волны объёмной деформации; поперечные же волны являются волнами деформаций сдвига.
Укажем здесь на два технически интересных примера поперечных волн: это волны, бегущие вдоль натянутой струны, и крутильные волны, вызывае мые попеременным закручиванием и рас кручиванием конца длинного стержня.
Продольные и поперечные колеба ния частиц волнонесущей среды пред ставляют собой частные случаи волно вого процесса. Существуют и другие волны, в которых колебательные дви жения складываются из одновремен ных продольных и поперечных сме щений.
Например, когда мы ударяем мо лотком по торцовому срезу круглого стержня, то вдоль стержня бежит волна, причём смещения частиц будут чисто продольными только вдоль оси стержня, по мере же приближения к его поверхности частицы стержня будут совершать поперечные колебания возрастающей амплитуды (рис. 233, в). Такие волны можно назвать волнами вздутия; они возникают, например, в жидкостях (и даже в газах), заключённых в трубы с гибкими (податливыми) стенками. Условием возникновения волн вздутия является возможность смещения частиц перпендику лярно к поверхности.
Важным примером волнового движения являются поверхностные волны (рис. 233, г). Всем хорошо знакомы волны на поверхности воды. Нужно, впрочем, отметить, что законы поверхностных волн более сложны, чем законы прочих видов волн. Колебательные траек тории частиц, участвующих в распространении поверхностной волны, не являются прямолинейными; частицы описывают замкнутые круговые или эллиптические орбиты (рис. 234).
Рис. 234. Частицы волнующейся жидкости дви жутся по круговым траекториям.
Простые синусоидальные волны на поверхности могут существовать только при амплитудах, малых сравнительно с длиной волны, — таковы, например, волны морских приливов, длина которых может доходить до сотен километров. Обычные же волны, например корабельные волны или волны от брошенного камня, имеют профиль, резко отли чающийся от синусоиды: плоские длинные впадины и острые короткие верхушки
(рис. 235).
Рис. 235. Профиль волны на поверхности воды.
Поверхностная волна большой амплитуды увлекает с собой ко леблющиеся частицы, которые в этом случае описывают уже не круговые, а более слож ные траектории. Именно поэтому большие волны выбрасывают на берег плавающие на них предметы.
Волны возникают не только на свободной поверхности жидкости, но вообще на поверхности раздела двух жидкостей, например масла и воды или солёной и пресной воды, а также на диффузионной границе двух газов различной плотности.
Рис. 236. Волны на по верхности раздела масла и воды.
На рис. 236 изображены волны на поверхности раздела масла и воды; свободная поверхность масла в этом случае почти спокойна.
Возникновением волн на поверхности раздела пресной и солёной воды объясняется интереснейшее явление—так называемая «мёртвая вода», наблюдаемая недалеко от устьев рек, особенно в скандинавских фиордах. Идущие корабли вдруг тормозятся вследствие того, что корабль, попав на поверхность раздела пресной и солёной воды, разводит на ней невидимую с поверхности моря волну.
Смежные слои атмосферы могут иметь различную плотность благодаря разности температур. На поверхности раздела таких слоев атмосферы нередко возникают волны, которые движутся с очень малой скоростью и становятся заметными вследствие периодической конденсации водяного пара, поднимаемого на гребнях волн в более холодные слои атмосферы, где он образует так называемые «вол нистые» облака.