Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Омский государственный технический университет»
З.Н. Соколовский, Е.П. Степанова, М.А. Фёдорова, Е.Г.Холкин
ВЫПОЛНЕНИЕ И КОНТРОЛЬ РЕШЕНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ НА БАЗЕ MS EXCEL
Учебное пособие
Омск – 2013
Рецензенты:
С.А.Макеев, д.т.н., профессор СибАДИ;
А.В.Бородин, д.т.н., профессор ОмГУПС
Соколовский З.Н..
С. 59 Выполнение и контроль решения расчетно-графических работ по сопротивлению материалов на базе MS EXCEL.: учебное пособие /З.Н.Соколовский, Е.П.Степанова, М.А.Федорова, Е.Г.Холкин. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2013. – ** с.
Рассматриваются основные математические модели одномерных задач сопротивления материалов, методика решения на ПЭВМ как на базе аналитических решений, так и непосредственным численным интегрированием систем обыкновенных дифференциальных уравнений при соответствующих граничных условиях. Приводятся необходимые справочные материалы и указания к выполнению на ПЭВМ расчетно-графических работ и домашних заданий.
Для задач, имеющих аналитическое решение, предлагаются электронные шаблоны, последовательно контролирующие правильность выполнения основных этапов вычислений. Приводится также описание шаблонов для интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений основных задач сопротивления материалов, анализа результатов, перехода к проектным расчетам.
Предназначено для студентов, изучающих основной курс «Сопротивление материалов» и выполняющих расчетно-графические работы и домашние задания; может быть полезно магистрантам и аспирантам, специализирующимся в расчетах на прочность и жесткость.
Авторы, 2013
Омский государственный
технический университет, 2013
В сопротивлении материалов рассматриваются приближенные модели механики твердого деформируемого тела, имеющие аналитическое решение и обеспечивающие достаточную для практических расчетов точность вычисления параметров напряженного и деформированного состояний. Эти модели, за редким исключением, представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка. Например, при всех принятых в сопротивлении материалов допущениях и упрощениях, модель прямого стержня представляется нелинейной системой дифференциальных уравнений 12-го порядка, аналитическое решение которой исключено. Поэтому выделяется группа частных случаев, в которых возможно аналитическое решение. Именно эти задачи и являются основным объектом изучения в традиционном курсе сопротивления материалов. Например, для однородных (из одного материала и постоянного по длине сечения) прямых стержней это: растяжение-сжатие (сжатие силой много меньше критической), прямой поперечный изгиб, кручение стержня круглого сечения, изгиб балки на упругом основании.
Аналитические решения реальных задач приводят к громоздким вычислениям, при выполнении которых приходится привлекать вычислительную технику, специальные приемы вычислений, понижающие порядок систем уравнений и т.д. Поэтому в таких задачах наличие аналитического решения не дает преимущества в сравнении с непосредственным численным интегрированием исходной системы дифференциальных уравнений модели. Кроме того, непосредственное интегрирование уравнений модели не требует подразделения на частные случаи. Единственное условие – одномерность задачи.
Содержание учебного пособия и расчетно-графических работ направлено на последовательное освоение методов сопротивления материалов и плавный переход численным методам решения задач.
В пособии приводится примерное содержание заданий, основные теоретические сведения, справочные материалы и указания к выполнению расчетно-графических работ и домашних заданий по статике и динамике стержней и стержневых систем, выполняемых в рамках курса «Сопротивление материалов». Пособие ориентировано на выполнение расчетов на ПЭВМ, что существенно облегчает их выполнение и позволяет расширить объем решаемых задач в сравнение с традиционным курсом, сосредоточив внимание на постановке задач, анализе результатов, изучении алгоритмов проверочных и проектных расчетов. Приводимые описания шаблонов для численного интегрирования математических моделей стержней легко могут быть трансформированы для других одномерных задач сопротивления материалов: изгиб круглых пластин, балок на упругом основании, составных труб и быстровращающихся дисков, вынужденных колебаний конечно массовых систем и др.
В качестве основного программного продукта используется общедоступный продукт - MS EXCEL.
На первом этапе обучения (в первом семестре) для закрепления основных зависимостей теории стержней и освоения навыков применения MS EXCEL в инженерных расчетах предлагаются задачи, имеющие аналитическое решение. Авторами разработаны контрольно-обучающие программы:
Задание выдается преподавателем каждому студенту индивидуально. Выполнение заданий с использованием контрольно-обучающих программ позволяет студенту осуществлять трудоёмкий процесс расчёта в компьютерном классе на практическом занятии или дома. Потом необходимо лишь оформить результаты расчетов.
Контрольно-обучающие программы представлены в EXCEL, требуют от студента знание теоретического материала по курсу «Сопротивление материалов» и минимальных навыков работы на компьютере. Правильность каждого этапа расчета контролируется программой. Студент имеет возможность сразу найти ошибку самостоятельно или с помощью преподавателя.
Задания должны быть выполнены не только правильно, но и аккуратно. При расчёте геометрических характеристик чертеж сечения необходимо выполнить в масштабе с указанием размеров, требуемых для вычислений.
Расчетные схемы стержней и графики внутренних сил и перемещений следует выполнять в масштабе с использованием графических средств EXCEL.
Пример выполнения и оформления здания на первый семестр приведен в учебном пособии. Справочные данные по простым сечениям приведены в приложении.
Рекомендуется оформление отчета на ПЭВМ.
Задание на первый семестр состоит из трёх задач:
ЗАДАЧА 1.1 Вычисление положения главных центральных осей и моментов инерции сечения.
Дано: составное поперечное сечение (симметричное и несимметричное).
ЗАДАЧА 1.2 Растяжение-сжатие.
Дано: схема нагружения, способ закрепления, значение нагрузок и координаты их приложения.
ЗАДАЧА 1.3 Поперечный изгиб.
Дано: схема нагружения, способ закрепления, значение нагрузки координаты их приложения.
На втором этапе обучения (во втором семестре) в MS Excel проводится непосредственное численное интегрирование системы дифференциальных уравнений плоского изгиба и растяжения и кручения прямых стержней при соответствующих граничных условиях. Студентам предоставляется шаблон программы численного интегрирования системы при произвольных граничных условиях и вычисления эквивалентных напряжений σэкв в любых точках сечения и 200 точках вдоль оси стержня.
Для освоения шаблона студентам предлагается построить графики внутренних сил и перемещений в задачах 1.2, 1.3 и 1.4 и сравнить результаты с аналитическими расчетами в первой части. Затем шаблон используется для выполнения расчетов задач второго семестра. При этом студенты самостоятельно вносят в него изменения и дополнения, необходимые для реализации соответствующих алгоритмов.
Задание на второй семестр базируется на данных из первого семестра и состоит из следующих задач:
ЗАДАЧА 2.1 Растяжение, косой изгиб и кручение.
2.1.1. Построить графики внутренних сил и перемещений при растяжении-сжатии и косом изгибе несимметричного сечения непосредственным интегрированием дифференциальных уравнений, определить запас прочности и положение опасного сечения и опасной точки этого сечения. Сравнить с результатами 1-го семестра (эпюры должны отличаться незначительно, запас прочности быть меньше меньшего значения, определенного отдельно для растяжения и изгиба).
2.1.2. Изменить способ закрепления в задаче по указанию преподавателя и сделать вывод об его влиянии на прочность и жесткость.
2.1.3. Из расчета на прочность в задаче 2.1.1 определить диаметр d круглого сечения. Сравнить площади сечений в задачах 2.1.1 и 2.1.3.
2.1.4. В задаче 2.1.2 приложить два одинаковых по модулю и противоположных по знаку крутящих момента Lк в точках, указанных преподавателем, принять диаметр равным d/2 и найти допустимое значение Lк из расчета на прочность.
Последующие задачи строятся на основе задачи изгиба
симметричного сечения за первый семестр.
ЗАДАЧА 2.2 Неразрезная балка, рама, продольно-поперечный изгиб.
согласовывается с преподавателем. Оценить изменение максимальных напряжений и перемещений.
2.2.2. По указанию преподавателя оставить одну сосредоточенную силу или момент и определить с помощью интеграла Мора (способом Верещагина):
- в статически определимой задаче прогиб или угол поворота нагруженного сечения,
- в статически неопределимой задаче - реакции опор.
согласовывается с преподавателем. Оценить изменение максимальных напряжений и перемещений.
2.2.3.Определить коэффициент приведения длины μ по Эйлеру (направление и место приложения силы согласовывается с преподавателем).
ЗАДАЧА 2.3 Динамика прямых стержней.
определить допустимую высоту падения на балку груза массой две массы стержня. Податливость в точке падения определить численно. Место падения груза согласовывается с преподавателем.
собственных поперечных колебаний.
ЗАДАЧА 2.4 Плоский изгиб и растяжение кривых стержней.
модели кругового стержня. В задаче 2.1.1 при изгибе и растяжении стержень изогнуть в арку (направление и угол изгиба согласовывается с преподавателем). Оценить изменение максимальных напряжений и перемещений.
Специальное задание.
Выдается студентам, успешно выполнившим обязательное задание за две недели до окончания семестра, и дает право на экзамен-автомат с отличной оценкой. Включает в себя одномерные задачи сопротивления материалов, для которых неизвестно или трудоемко аналитическое решение.
Требования к оформлению аналогичны. Примеры оформления отчета приведены в 6-ой главе пособия.
Полная модель стержня в сопротивлении материалов содержит 12 параметров, зависящих от координаты сечения ( z - для прямого, α – для стержня с круговой осью, и т.п.). Это шесть внутренних сил и моментов, три перемещения точки оси и три угла поворота сечения относительно главных центральных осей сечения до деформирования. Очевидно, что аналитическое решение этой задачи невозможно.
Ниже без вывода применительно к стержням и стержневым системам рассматриваются основные модели сопротивления материалов, частные случаи моделей, допускающие аналитическое решение, и простейший прием численного интегрирования дифференциальных уравнений моделей (метод Эйлера).
2.1 Плоский изгиб и растяжение прямого стержня
Рассматривается изгиб в одной из главных плоскостей, например в плоскости zоy. Параметры задачи – внутренние силы в проекции на ось в недеформированном сечении N(z), Q(z), Mx(z), перемещения точек оси вдоль исходных осей V(z), W(z) и поворот сечения относительно оси x - φ(z). Расчетная схема представлена на рис.2.1. Задача решается в главных центральных осях.
Рис. 2.1. Положение элемента прямого стержня до и после нагружения
Внешние погонные нагрузки qy(z) и qя(z) заданы в проекциях на исходные оси. Продольная и поперечная силы в сечении после деформирования обозначены Qz(z) и Qy(z), длина отрезка оси – dz1. Очевидно
, .
Применена гипотеза плоских сечений. При этом нормальные напряжения в сечении определяются по формуле
,
где А –площадь сечения, Jx –главный момент инерции (в плоскости изгиба).
При малых углах поворота в сопротивлении материалов применяется более простая зависимость
.
Максимальные нормальные напряжения в сечении имеют место в точке, наиболее отдаленной от нулевой линии, уравнение которой
Параметры задачи определяются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений
,
,
,
,
,
. .
при соответствующих граничных условиях. Система шестого порядка, не линейна, содержит трансцендентные выражения и не имеет решений в элементарных функциях.
Шесть граничных условий для конкретной задачи всегда формулируются, так как при любом закреплении концов стержня, на каждом конце известны по три условия:
- жесткое закрепление v = 0, w = 0, = 0;
- шарнирно-неподвижное закрепление Mx = 0, v = 0, w = 0;
- шарнирно-подвижное закрепление Mx = 0, v = 0, N = 0;
- свободный конец Mx = 0, Qy = 0, N = 0 и т.д.
Система дифференциальных уравнений (2.1) записана в каноническом виде, пригодном для численного интегрирования, и не требующем предварительного преобразования.
При малых углах поворота сечений в сопротивлении материалов принимают .Для жестких материалов величины и много меньше единицы. C учетом сказанного, система дифференциальных уравнений (2.1) упрощается и принимает вид:
(2.2)
Система не линейна, может содержать переменные коэффициенты (при переменном сечении A = A(z) и Jx = Jx(z)) и кусочно-непрерывные функции в правой части (qy = ). Именно в этой постановке решается задача в сопротивлении материалов в тех частных случаях, когда возможно аналитическое решение, т.е. когда модель представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами не выше 4-го порядка..
При изгибе в другой главной плоскости XOZ модель идентична с точностью до знака.
При растяжении-сжатии и изгибе в двух главных плоскостях применяется принцип суперпозиции, изгибы считаются независимыми друг от друга, а нормальные напряжения в сечении вычисляются как
.
Максимальные нормальные напряжения в сечении имеют место в точке, наиболее отдаленной от нулевой линии, уравнение которой
.
Рассмотрим некоторые частные случаи, допускающие аналитическое решение.
При отсутствии изгиба система (2.2) принимает вид
. (2.2.1)
Ограничимся случаем нагружения только постоянными погонными нагрузками с началом в точках , заканчивающихся в точках и сосредоточенными силами , приложенными в точках . Сосредоточенную силу рассматриваем как погонную нагрузку на отрезке dz - . Последовательно интегрируя уравнения системы, получаем
, (2.2.2)
(2.2.3)
Значения продольной силы и перемещения в начале координат (на левом конце стержня) находим из граничных условий (условий закрепления концов). Например, на свободном конце , на закрепленном конце .
Осевые нагрузки и отсутствуют, один из концов свободен в осевом направлении и N=0. Система (2.2) принимает вид
. (2.2.4)
Ограничимся случаем нагружения только постоянными погонными нагрузками с началом в точках , заканчивающихся в точках , и сосредоточенными силами , приложенными в точках , и сосредоточенными моментами , приложенными в точках .
Последовательно интегрируя уравнения системы, получаем
, (2.2.5)
, (2.2.6)
(2.2.7)
(2.2.8)
Значения поперечной силы , изгибающего момента , угла полворота перемещения в начале координат (на левом конце стержня) находим из граничных условий (условий закрепления концов). Например, на свободном конце и , на защемленном конце и , на шарнирном конце и .
Случай поперечного изгиба и сжатия постоянной по величине известной продольной силой . Система (2.2.2) принимает вид
. (2.2.9)
Особый интерес представляет решение однородного уравнения
, (2.2.10)
где , постоянные находятся из граничных условий, учитывая что .
Условие ненулевого решения однородного уравнения (2.2.10) позволяет определить критическую сжимающую силу
.
Здесь -коэффициент приведения длины стержня , зависящий от способа закрепления концов стержня ( при шарнирном закреплении концов, при жестком закреплении концов, при шарнирном закреплении одного и свободном втором конце, при шарнирном закреплении одного конца и жестком второго.
Аналитическое определение Ркр при сжатии части стержня приводит к увеличению порядка системы и необходимости решения трансцендентного алгебраического уравнения, часто не разрешимого в квадратурах. Численное определение в этом случае – одна из задач второго семестра.
Модель идентична растяжению с точностью до обозначений:
. (2.2.11)
Соответственно в решении (2.2.2), (2.2.3) следует заменить погонную нагрузку погонным крутящим моментом , сосредоточенную силу – сосредоточенным крутящим моментом , перемещение – углом поворота , модуль нормальной упругости - модулем сдвига , площадь сечения – полярным моментом инерции .
Значения крутящего момента и угла поворота в начале координат (на левом конце стержня) находим из граничных условий (условий закрепления концов). Например, на свободном конце , на закрепленном конце .
Иногда приято обозначать .
Расчетная схема представлена на рис. 2.2. Математическая модель стержня с круговой осью радиуса R в малых перемещениях–система обыкновенных дифференциальных уравнений 6-го порядка:
Рис.2.2. . Положение элемента стержня с круговой осью радиуса R до и после нагружения
(2.3)
и соответствующие граничные условия. Модель идентична модели прямого стержня за исключением вида дифференциальных уравнений и
координаты сечения (α вместо z). Нормальные напряжения вычисляются по той же схеме.
2.3.1 Статически определимые стержни с круговой осью. Аналитическое решение.
Если жесткий (углом поворота сечения при определении внутренних сил можно пренебречь) стержень имеет три силовых граничных условия, то он статически определим. Первые три уравнения системы (2.3) замкнуты и могут быть решены независимо от остальных:
. (2.3.1)
Система (2.3.1) сводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению 3-го порядка
.(2.3.2)
и имеет аналитическое решение.
Силовые граничные условия по Q и N реализуются зависимостями
.
Решение достаточно громоздко. Обычно внутренние силы в сечении вычисляют как сумму сил слева с обратным знаком, предварительно вычислив реакции опор из условий равновесия стержня.
После получения решения уравнения (2.3.2) можно вычислить перемещения, так как последние три уравнения системы (2.3) дают линейное дифференциальное уравнение (аналогичное (2.3.2))
,
а кинематические граничные условия по и реализуются зависимостями
.
2.4. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
математических моделей по методу Эйлера
Дифференциальные уравнения в составе моделей имеют вид
,
где -известная функция от z – нагрузочная функция),
n - порядок системы уравнений,
- искомый параметр.
Разобьем длину стержня на к частей, например к=200, т.е. шаг по достаточно мал. Из определения производной
.
Но , следовательно
. (2.3.3)
По формулам (2.3.3) можно с малым шагом вычислить параметры задачи от начального до конечного (в конце стержня) значения. Неизвестные начальные параметры находим из условия равенства значений конечных параметров известным значениям – по граничным условиям в конце стержня. Соответствующая процедура есть во всех математических пакетах. В MICROSOFT EXCEL она называется ПОИСК РЕШЕНИЯ,
Например, при растяжении стержня, защемленного левым концом, и свободного на правом, система (2.3.3) в соответствии с (2.2.1) имеет вид
.
При этом допустимо решение для неоднородного стержня (), , а сначала принимаем произвольно, а затем ищем из условия .
Аналогично для любых других моделей – любых уравнений любого порядка. Более подробно – в шаблонах второго семестра.
2.5.Вычисление перемещений в заданной точке с помощью интеграла Мора и по способу Верещагина
Мором предложен способ вычисления перемещений в заданной точке стержня и выбранном направлении, применимый для консервативных систем. Способ удобен для расчета перемещений в статически определимых задачах (СОЗ), когда уравнения и эпюры внутренних сил (ВС) строятся достаточно просто, и сводится к интегрированию уравнений ВС. Верещагин предложил заменить интегрирование алгебраическими операциями с площадями эпюр ВС и координатами их центра тяжести. Точность расчетов соответствует точности при применении принципа суперпозиции и могут выполняться вручную, что было особенно актуально до развития и широкого применения ПЭВМ.
Метод Мора применим и для статически неопределимых задач (СНЗ), если отбросить «лишние» связи, заменив их неизвестными силами Xi - реакциями опор, которые определяются из условия отсутствия соответствующих перемещений. Метод получил название метод сил, а система линейных уравнений для определения Xi – канонической системой уравнений метода сил. Коэффициенты этой системы определяются методом Мора-Верещагина.
Таким образом, метод Мора-Верещагина позволяет заменить задачу интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений совокупностью простых операций, которые можно выполнять вручную.
2.5.2 Эпюры ВС в статически определимых задачах
Актуально построение эпюр ВС для изгибающего момента М, крутящего момента Мк и продольной силы N. Перемещения от поперечных сил малы и ими обычно пренебрегают.Используя принцип суперпозиции всегда можно представить эпюры ВС от внешней нагрузки как совокупность ВС от отдельных нагрузок. Построение эпюр от отдельных нагрузок просто. Кроме того, обычно эпюры ВС для отдельных внешних нагрузок приводятся в справочниках конструктора.
Рассмотрим несколько типичных примеров.
а. Растяжение-сжатие
б. Кручение
в.Изгиб
2.5.3 Интеграл Мора и его вычисление по способу Верещагина
В общем случае интеграл Мора
,
где - искомое перемещение в заданных точке и направлении,
- внутренние силы от внешних нагрузок,
- внутренние силы от единичной силы, приложенной в заданной точке и заданном направлении.
В основе способа Верещагина лежит линейность обобщенной
внутренней силы от единичной нагрузки, т.е. всегда , что после подстановки в интеграл Мора дает
,
где обозначено:
- площадь эпюры ВС от внешних сил,
- значение внутренней силы от единичной при z в центре тяжести площадь эпюры ВС от внешних силЮ
Ж – соответствующая жесткость.
Итак, для вычисления перемещения в заданной точке стержня и в заданном направлении для стержня постоянного сечения (Ж=const), необходимо:
и координату центра тяжести ,
Примеры вычисления перемещений по способу Верещагина:
2.5.4 Метод сил
Для СНЗ выбираем СОЗ основную систему, отбрасывая «лишних» связей, и переходим к эквивалентной системе, заменяя отброшенные связи неизвестными реакциями , где . Из условия равенства нулю перемещений в направлении отброшенных связей составляем систему канонических уравнений метода сил - линейную систему уравнений в виде
,
коэффициенты которой легко находятся интегралом Мора (т.е. и методом
Верещагина)
.
Решив эту задачу, получаем СОЗ, перемещения и ВС в которой ищем как показано выше. С точки зрения математика, мы, приняв некоторые допущения, заменяем интегрирование большой нелинейной системы дифференциальных уравнений (что возможно только численно и то не всегда), последовательным выполнением большого числа простых вычислительных операций. Самая сложная операция – решение системы линейных алгебраических уравнений.
8. Пример метода сил
Программу работы с электронными таблицами MICROSOFT EXCEL для WINDOWS удобно использовать при выполнении разнообразных вычислений и создании на их основе документов. Дополнительным преимуществом является их тесная интеграция с текстовым редактором WORD. При запуске EXCEL открывается новая рабочая книга, в которую вводится информация. Для того чтобы сохранить рабочую книгу, необходимо использовать команду верхнего меню Файл + Сохранить как. В диалоговом окне необходимо указать путь и имя файла записываемой книги.
Лист представляет собой таблицу, столбцы которой озаглавлены буквами латинского алфавита, а строки – цифрами. Ячейка рабочего листа образуется пересечением строки и столбца, ее адрес определяется буквой столбца и номером строки. Например: ячейка А1. Активная ячейка обозначается жирной прямоугольной рамкой, которая называется табличным курсором. Изменить активную ячейку можно щелчком мыши по клетке. Адрес активной ячейки отображается в левой части специальной строки, расположенной ниже панели инструментов, которая является строкой формул. В правой части строки формул отображается содержание активной ячейки. Для того чтобы выделить группу ячеек, необходимо, удерживая левую клавишу мыши, протянуть указатель с первой ячейки до последней.
Для ввода информации щелчком левой клавиши мыши нужно выбрать ячейку. Включится режим редактирования, и в ячейке появится текстовый курсор. Введенные символы будут отображаться в активной клетке и на строке формул. Закончить ввод данных можно кнопкой Enter, расположенной на клавиатуре. Отмена редактирования ячейки осуществляется клавишей Esc.
Рис.3.1 Лист EXCEL
По умолчанию EXCEL определяет тип введенной информации. Если была введена формула, то на экране отображается результат вычислений. Информация также может быть текстовая или просто число. После ввода данных информация автоматически форматируется в зависимости от типа: текстовые данные выравниваются по левой границе ячейки, а числовые – по правой. Если текстовая строка не помещается в клетке, она распространяется на соседние. Если размер числовых данных превышает ширину клетки, то на экране вместо значения появится последовательность знаков #####. Чтобы увидеть значение, необходимо увеличить ширину колонки. Для этого нужно выделить ячейку и вызвать команду меню Формат + Столбец + Ширина или левой клавишей мыши переместить правую границу буквенного обозначения столбца.
Для включения режима редактирования ячейки следует нажать кнопку F2 или сделать двойной щелчок мышью. В ячейке появится текстовый курсор, и строку можно будет редактировать как обычный текст. Копирование информации аналогично операции выполняемой в текстовом редакторе WORD.
В режиме автозаполнения ячеек можно построить любую последовательность значений с постоянным приращением. Для этого необходимо ввести начальное значение последовательности. Чтобы задать приращение, нужно ввести в следующую ячейку ряда соответствующее ей значение. Выделить ячейки, содержащие начальные элементы. Установить указатель мыши в виде крестика в правом нижнем углу выделения и протянуть маркер через заполняемые ячейки. Для заполнения в возрастающем порядке надо переместить маркер вниз или вправо. Противоположенное направление позволяет получить убывающую последовательность.
Вычисление значения ячейки выполняется вводом формулы. Формулы всегда начинаются со знака равенства «=». Формулы позволяют выполнять обычные математические операции над значениями из ячеек рабочей таблицы. Ввод формулы отображается как в ячейке таблицы, так и в строке формул. При нажатии кнопки Enter выполняются расчеты, и в активной ячейке получается результат. В формулах можно использовать следующие операторы:
При вычислении формулы в таблице применяется арифметический порядок выполнения операций. Координаты ячеек в формуле можно вводить, указывая курсором на нужную ячейку.
Существуют три основных типа адресов: относительные, абсолютные и смешанные. Относительные ссылки указывают адрес ячейки относительно той, в которой находится формула и обозначаются, например А1. Абсолютные ссылки указывают точное местоположение ячейки на рабочем листе и обозначаются, например $F$1. Смешанные ссылки сочетают абсолютный и относительный адрес и обозначаются, например С$2. Для получения нужной ссылки нужно поставить курсор на адрес и последовательно нажимать клавишу F4.
Различия между относительными и абсолютными ссылками проявляются при копировании и перемещении формул из одной ячейки в другую. При этих операциях абсолютные ссылки в формулах не изменяются, а относительные ссылки автоматически обновляются в зависимости от нового положения. Формулы редактируются так же, как и содержимое ячеек.
Для заполнения столбца однотипными формулами или данными достаточно выделить заполненную ячейку и дважды щелкнуть мышью в правом нижнем углу.
Одна из самых полезных возможностей EXCEL – это широкий выбор функций, которые позволяют производить различные типы вычислений. Ввести функцию в формулу удобно с помощью Мастера функции, который можно вызвать, выполнив команду Вставка + Функция или нажав кнопку мастера функций fx в меню строки формул.
Рис.3.2
Далее в диалоговом окне нужно выбрать нужную функцию, там же будет подсказка по синтаксису записи функции.
Для создания рисунков воспользуйтесь нижним стандартным меню рисования, аналогично применяемому в WORD.
Для оформления результатов своей работы – а именно, создания графиков функций (эпюр) необходимо воспользоваться подпрограммой Мастер диаграмм. (рис.3.3). Диаграмма – это графическое представление данных таблицы. Мастер диаграмм вызывается с помощью стандартной кнопки верхнего меню или с помощью команды падающего меню Вставка + Диаграмма. Далее в диалоговом окне необходимо ответить на ряд вопросов, касающихся диапазона данных и оформлении диаграммы. Диаграмму в последствии можно редактировать, активизировать её двойным нажатием левой клавишей мыши.
Допускается расположение на диаграмме нескольких графиков одновременно. Изменение изображаемого на диаграмме графика осуществляется щелчком на график и перемещение появившейся в таблице рамки на нужный столбец.
Диаграмма может быть скопирована и перенесена в WORD для оформления отчета.
Рис.3.3 Диалоговое окно Мастера диаграмм.
Весьма нужным свойством EXCEL является возможность автоматического поиска решения при заданных условиях и ограничениях. Для того чтобы использовать этот инструмент необходимо в падающем меню выбрать Сервис Поиск решения после чего появляется диалоговое окно, где задаем направление поиска решения:
Рис.3.4 Диалоговое окно Поиска решения.
Прежде всего машина требует указать целевую ячейку. Целевая ячейка – это ячейка листа EXCEL, значение которой может принимать максимальное, либо минимальное значение, либо ноль. Далее (под строкой «изменяя ячейки») вводится ячейка или диапазон ячеек, значения которых требуется рассчитать. В поле «ограничения» кнопками Добавить и Изменить можно, ссылаться на ячейки, приравнивать их друг к другу, задавать какое-либо значение, ноль и т.д. Ограничения можно удалить, воспользовавшись одноимённой кнопкой.
После заполнении окна Поиска решения выбирается действие Выполнить. EXCEL автоматически произведёт решение при заданных условиях и на экране появится окно об успешном выполнении операции, либо о невозможности поиска решения при заданных условиях. В последнем случае нужно по возможности скорректировать данные или параметры поиска решения и повторить попытку.
Некоторые примеры вычислений приведены ниже при разборе варианта задания.
Более подробно изучить работу в EXCEL можно по соответствующей литературе [….] или с помощью функции help.
При решении задач, возникает необходимость оперировать некоторыми геометрическими (интегральными) характеристиками плоских сечений (ИХС). Эти характеристики имеют применение в основном, в пределах задач изгиба стержней и в силу узкого прикладного значения их рассматривают в курсе сопротивления материалов.
Статическими моментами площади сечения относительно осей Х и Y называются определённые интегралы вида:
, , (4.1)
где A – площадь сечения, dA – её элемент, а x и y – координаты этого элемента.
Координаты центра тяжести сечения xc и yc, составленного из нескольких простых фигур (i-индекс фигуры), определяются соотношениями:
, (4.2)
, (4.3)
где аi – расстояние между вспомогательной осью Х и центральной осью i-той фигуры Хi,
bi – расстояние между вспомогательной осью Y и центральной осью i-той фигуры Yi,
Ai – площадь i-той фигуры.
Статические моменты относительно центральных осей равны нулю.
Определённые интегралы вида
(4.4)
называются осевыми моментами инерции;
(4.5)
– центробежным моментом инерции сечения относительно осей Х и Y.
Моменты инерции для центральных осей, параллельных вспомогательным:
,
, (4.6)
где – моменты инерции i-той фигуры относительно собственных центральных осей, параллельных вспомогательным.
Главные оси инерции, т.е. две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, повернуты относительно вспомогательных на угол , определяемый из уравнения:
. (4.7)
Главные моменты инерции, т.е. осевые моменты инерции, вычисленные относительно главных осей инерции, определяются следующими выражениями:
JX=Jxс·cos2α + Jyс·sin2α – Jxcyс·sin2α (4.8)
JY=Jyс·cos2α + Jxс·sin2α + Jxcyс·sin2α. (4.9)
Контрольно-обучающая программа для задачи 1.1 позволяет производить расчёт ИХС и одновременно получать заключение о правильности решения на каждом этапе расчёта. При этом программа сравнивает введенные и точные правильные значения. Поэтому лучше вести расчет непосредственно в программе в Excel, а характеристики отдельных фигур сечения брать из приложений данного пособия.
В результате выполнения задания на компьютере студент получает результаты решения части РГР в электронном виде. Эти значения понадобятся студенту для оформления работы дома и для решения оставшейся части РГР.
Для того чтобы воспользоваться программой необходимо:
Программой предусмотрен расчет ИХС как симметричного и так и несимметричного сечений.
Программа позволяет выполнять и тестировать расчеты сложного сечения, состоящего из не более чем:
- двух прямоугольников,
- двух прямоугольных треугольников,
- одного равностороннего треугольника,
- двух окружностей,
- двух равнобоких уголков разной ориентации с поворотом, кратным ,
- двух неравнобоких уголков разной ориентации с поворотом, кратным ,
- двутавра с поворотом, кратным ,
- двух швеллеров разной ориентации с поворотом, кратным .
Фрагмент листа, где задаются параметры исходных фигур, представлен на рис.4.1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
█ Прямогольник |
└ Уголок равнобокий |
┘ Уголок равнобокий |
┘ Уголок неравнобокий |
┬ Двутавр ┴ |
C Швелер |
|
|
Есть(1),нет(0) фигуры |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
Угол от исх. полож.(доли π/2) |
- |
0 |
0 |
0 |
1,570796 |
1,57 |
|
Высота hi или диаметр(D) |
5 |
- |
- |
- |
- |
- |
|
Ширина bi |
20 |
- |
- |
- |
- |
- |
|
Номер профиля |
- |
8 |
7 |
10/6,3 |
14 |
14 |
|
Коорд. y центра тяжести ai |
2,5 |
2,17 |
0 |
0 |
8 |
6,67 |
|
Коорд. x центра тяжести bi |
10 |
16,17 |
0 |
0 |
7 |
15 |
|
Площадь Ai |
100 |
8,63 |
0 |
0 |
17,4 |
15,6 |
|
Центр. момент инерции Jxci |
208 |
52,7 |
0 |
0 |
41,9 |
45,4 |
|
Центр. момент инерции Jyci |
3333 |
52,7 |
0 |
0 |
572 |
491 |
|
Центроб. момент. инер. Jxcyci |
0 |
-30,9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Рис.4.1 Фрагмент листа с заданием исходных фигур
Фигуры, присутствующие в сечении отмечаются цифрой 1 в первой строке, а отсутствующие – цифрой 0, не участвующие в расчете фигуры автоматически зачерняются. Соответствующие столбцы можно скрыть. Все введенные ИХС фигур (последние четыре строки), проверяются программой (см. рис. 4.2) предыдущие строки - преподавателем по заданному эскизу.
|
Коорд. цент. тяж. сечения Xc |
10,04 |
|||||
|
Коорд. цент. тяж. сечения Yc |
6,07 |
|||||
|
Центр. мом. сечения Jxc |
290,68 |
|||||
|
Центр. мом. сечения Jyc |
1109,79 |
|||||
|
Центроб. мом. сечения Jxcyc |
-339,31 |
|||||
|
◄град α0, рад► |
-0,35 |
|||||
|
Глав. цент. мом. сечения JX |
168,38 |
|||||
|
Глав. цент. мом. сечения JY |
1326,26 |
|||||
|
█ Прямогольник |
└ Уголок равнобокий |
┘ Уголок равнобокий |
└ Уголок неравнобокий |
┬ Двутавр ┴ |
||
|
Ai |
Правильно |
Правильно |
Ошибка |
Ошибка |
Правильно |
|
|
Jxci |
Правильно |
Правильно |
Ошибка |
Ошибка |
Правильно |
|
|
Jyci |
Правильно |
Правильно |
Ошибка |
Ошибка |
Правильно |
|
|
Jxcyci |
Правильно |
Правильно |
Ошибка |
Ошибка |
Правильно |
|
|
Yc |
Правильно |
|||||
|
Xc |
Правильно |
|||||
|
Jxc |
Правильно |
|||||
|
Jyc |
Правильно |
|||||
|
Jxcyc |
Правильно |
|||||
|
◄град α0, рад► |
Правильно |
|||||
|
JX |
Правильно |
|||||
|
JY |
Правильно |
Рис.4.2. Фрагмент листа с контролем решения
Расчет каждого из параметров сечения также контролируется программой (см. рис. 4.2).
Все размеры приводятся в сантиметрах.
Примечание: тригонометрические функции EXSEL считает в радианах. Чтобы перевести полученное значение в градусы нужно в ячейке набрать: ‘=ГРАДУСЫ(**)’, где ** – ячейка со значением угла в радианах.
После того, как студент выполнит задание, и результат утвержден преподавателем, результаты расчетов можно использовать для составления отчета и в последующих заданиях.
Примечание: лист «Шаблон» не защищен от сохранения.
Пояснения для пользователя расположены в верхнем левом углу листа (см. рис. 4.3).
|
Пояснения к шаблону |
|
|
Зеленые ячейки заполняются в соответствии с задвнием. Выбор исходных осей произвольный. |
|
|
|
|
|
Неиспользованные столбцы (фигуры) зачерняются автоматичеки и могшут быть скрыты автором |
|
|
|
|
|
После заполнения белых ячеек в соответствующих ячейках нижней таблицы появляется оценка: "Правильно" или "Ошибка" |
|
|
|
|
|
Рекомендация: при наборе формул следует ссылаться на ячеки с исходными данными и ранее вычисленные. |
|
Рис.4.3. Фрагмент листа с пояснениями
Формулы (2.2.2) и (2.2.3) для вычисления продольной силы и перемещения для конкретной задачи удобно представить как накапливающуюся сумму по участкам. Участком называют часть стержня, в пределах которой вид уравнения не меняется. В примере на рис. 4.4 таких участков четыре, и уравнения можно записать как
N(z) = N(о)│I – q(z - a) │II – q(z - b) │III + P│IV. (4.10)
EFW(z)=EFW(o) + N(о)z│I –q(z - a)2/2│II –q(z - b)2/2│III +P(z-c) │IV.
Рис. 4.4 Схема нагружения на растяжение-сжатие.
Алгоритм решения задачи на растяжение-сжатие следующий:
Контрольно-обучающая программа для задачи 1.2 позволяет реализовать алгоритм расчета и одновременно получать заключение о правильности решения на каждом этапе.
Студенту преподавателем выдается эскиз схемы нагружения и закрепления, параметры которых он вносит на лист (см. рис. 4.5.).
|
Исходные данные |
Z/L |
Тип закрепления |
Код защиты листа -1 . Использовать при запуске ПОИСКА РЕШЕНИЯ |
||
|
P1, H |
-70000 |
|
3 |
|
|
|
a1, мм |
300 |
0,3 |
|||
|
P2, H |
0 |
|
|||
|
a2, мм |
0 |
0,0 |
|||
|
q, н/мм |
100 |
|
Варианты закрепления |
||
|
c, мм |
400 |
0,4 |
1 |
Рисунок 1 |
|
|
d, мм |
800 |
0,8 |
2 |
Рисунок 2 |
|
|
l ,мм |
1000 |
|
3 |
Рисунок 3 |
|
|
A,мм2 |
10580 |
|
Цветами |
||
|
Модуль Юнга |
200000 |
обозначены: |
|||
|
шаг δz,мм |
5 |
|
Ячейки необходимо заполнить |
||
|
|
Ячейки, показывающие правильность ответа |
||||
|
|
Указывающие ячейки |
||||
|
|
Разделительные ячейки |
||||
|
|
Ячейки с начальными условиями |
Рис. 4.5. Фрагмент листа с заданием исходных данных
В примере сила Р1 = -70000Н приложена в точке z=300мм, погонная нагрузка qz=100 Н/мм начинается при z=400мм и кончается при z=800мм. Длина стержня l=1000мм, площадь (из задания 1.1) A=10580 mm2, модуль Юнга Е=200000 МПа. Шаг вычислений вычисляется автоматически. Тип закреплении 3 – защемление обоих концов стержня.
Пояснения к пользованию программой имеются в виде текста.
Утомительная процедура построения эпюр (а именно, расчет стержня по участкам и представление данных в графическом виде), в MICROSOFT существенно упрощается. Для этого, необходимо лишь указать диапазон и машина автоматически выдаёт график, который можно разнообразно оформить и сделать необходимые надписи.
Фрагмент листа с контролем этапов решения представлен на рис.4.6.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
►►► |
Участок |
Начало |
Конец |
|
||
|
Заполнение таблицы границ участков |
1 |
0 |
300 |
правильно |
||
|
2 |
300 |
400 |
правильно |
|||
|
3 |
400 |
800 |
правильно |
|||
|
4 |
800 |
1000 |
правильно |
|||
|
|
|
|
5 |
|
|
правильно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заполнение таблицы граничных условий
|
|
|
No |
Wo |
|
|
|
Левый конец |
|
1 |
0 |
правильно |
||
|
|
|
Nk |
Wk |
|
||
|
Правый конец |
|
1 |
0 |
правильно |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения продольных сил по участкам
|
1 участок |
правильно |
||||
|
2 участок |
правильно |
|||||
|
3 участок |
правильно |
|||||
|
4 участок |
правильно |
|||||
|
5 участок |
правильно |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения продольных перемещений по участкам |
1 участок |
правильно |
||||
|
2 участок |
правильно |
|||||
|
3 участок |
правильно |
|||||
|
4 участок |
правильно |
Рис. 4.6. Фрагмент листа с контролем решения
Разбиение стержня на участки заключается в указании координат начала и конца каждого участка в миллиметрах..
Примечание: правильность заполнения контролируется программой, результат индицируется здесь и далее в столбце М.
В столбце А значений z участки автоматически выделяются цветом фона ячеек (в примере А3…А63, А64…А83, А84…A163, A164…А203).
Формулировка граничных условий заключается в заполнении ячеек К34, L34, K36, L36. Неопределенное значение принимаются равными единице.
Уравнения продольных сил и перемещений записываются в ячейки 3…203 столбцов В и С соответственно по правилам EXCEL. При этом константы в формулах следует записывать ссылкой на соответствующие ячейки и последующим нажатием F4, после чего в адресе ячейки появляется знак $. Например, ссылка на N0 →$K$33, на а→$E$6 и т.д. Ссылка на z – ссылка на соответствующую ячейку столбца А. Тогда, «протягивая» формулу вниз, мы автоматически заполняем ячейки параметров N и W. Для упрощения процесса следует сначала заполнить весь столбец формулой первого участка, а затем добавлять следующие члены, начиная с начала каждого последующего участка и протягивать их до конца стержня. Программа контролирует правильность введения формул отдельно по каждому участку.
В примере:
Участок I
= $K$34 записать в ячейку В3 и «протянуть» до В203,
= $L$34 +($K$33 *А3)/($E$10*$E$11) записать в ячейку C3 и «протянуть» до C203;
Участок II
= -$E$2 добавить в формулу ячейки В64 и «протянуть» до В203,
=-$E$2*(А64-$Е$3) добавить в первую скобку ячейки C64 и «протянуть» до C203;
Участок III
= -$E$6*(A84-$E$7) добавить в формулу ячейки В84 и «протянуть» до В203,
= -$E$6*(А84-$Е$7)^2/2 добавить в первую скобку ячейки C84 и «протянуть» до C203.
Участок IV
= +$E$6*(A84-$E$8) добавить в формулу ячейки В164 и «протянуть» до В203,
= +$E$6*(А84-$Е$8)^2/2 добавить в первую скобку ячейки C164 и «протянуть» до C203.
Определение неизвестного значения N0 или W0 из граничных условий проводится с помощью специального алгоритма «Поиск решения». Для этого снимается защита листа (код указан на листе) и вызывается процедуру «Поиск решения» (см. рис. 4.7).
Рис. 4.7. «Поиск решения» для примера
Рис. 4.8. Эпюры N(z) и w(z) для примера
В нашем случае изменяемая ячейка – значение N0, а целевая С303 – значение перемещения на правом конце, в которой должен получиться ноль. После нажатия «Выполнить» программа находит требуемое число и заносит его в К34.
Графики N(z) и W(z) строятся программой автоматически с учетом определенных значений. Графики для примера, «облагороженные» для текста пособия, приведены на рис.4.8.
После того, как студент выполнит задание, и результат утвержден преподавателем, результаты расчетов можно использовать для составления отчета и в последующих заданиях.
Примечание: лист «Шаблон» не защищен от сохранения.
Формулы (2.2.5)…(2.2.8) для вычисления сил и перемещений для конкретной задачи, как и в предыдущем задании, удобно представить как накапливающуюся сумму по участкам.
. В примере на рис. 4.9 таких участков пять, и уравнения можно записать как
Рис. 4.9 Схема нагружения при изгибе
Qy(z) = Qy(0)│I – q (z - с) │II + q (z - d) │III -0│IV - P] │V,
Mx(z) = Mx(z) + Q(0)z│I – [q(z - c)2/2│II + q(z - d)2/2│III -
- P(z-a) │IV -L] │V,
φ(z)·EJx =φ(o)·EJx + Mx(z)z + Q(0)z2/2│I – q(z - c)3/6│II +
+ q(z - d)3/6│III + P(z-a)2/2│IV +L(z-d) │V,
V(z)·EJx =V(o)·EJx – φ(o)·EJx – Mx(z)z2/2 – Q(0)z3/6 │I + q(z - c)4/24│II
– q(z - d)4/24│III + P(z-a)3/6│IV +L(z-b)2/2│V,
Постоянные интегрирования Q(о), Mx(o), φ(o) и V(o) определяются из граничных условий.
Алгоритм решения сходен с решением задачи на растяжение-сжатие: написание уравнений поперечных сил, изгибающих моментов, углов поворота и прогибов, запись граничных условий, отыскание неизвестных, расчёт по участкам (с исследованием на экстремум, если в этом есть необходимость), и, наконец, построение эпюр.
Контрольно-обучающая программа для задачи 1.3 устроена аналогично программе для задачи 1.2. Студенту преподавателем выдается эскиз схемы нагружения и закрепления, параметры которых он вносит на лист. Фрагмент листа Excel представлен на рис.4.10
Рис.4.10. Фрагмент внешнего вида задачи на изгиб.
В примере сила Р1 = 10000Н приложена в точке z=300мм, сила
Р2 = -20000Н и момент L=2000000 Н*мм приложены в точке z=500мм. Длина стержня l=1000мм, момент инерции сечения JX=1058 mm4, модуль Юнга Е=200000 МПа (EJX.=2116000000). Приводится часть решения.
В примере три участка
|
Участок |
Начало |
Конец |
|
1 |
0 |
300 |
|
2 |
300 |
500 |
|
3 |
500 |
1000 |
|
4 |
и следующие граничные условия (схема зхакрепления на рисунке).
|
Qo |
Mo |
φo |
Vo |
|
|
Левый конец |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
Qk |
Mk |
φk |
Vk |
|
|
Правый конец |
1 |
0 |
1 |
0 |
правильность введения формул отдельно по каждому участку.
Уравнения сил, моментов, углов поворота и перемещений по участкам:
Участок I
= $L$37 записать в ячейку В3 и «протянуть» до В203,
= $M$37 + $L$37*A3 записать в ячейку C3 и «протянуть» до C203,
= $N$37+($M$37*A3+$L$37*A3^2/2)/$G$17 записать в ячейку D3 и «протянуть» до D203,
=$O$37-$N$37*A3+($M$37*A3^2/2+$L$37*A3^3/6)/$G$17 записать в ячейку E3 и «протянуть» до E203;
Участок II
= -$G$2 добавить в формулу ячейки C64 и «протянуть» до C203,
=-$G$2*(А63-$G$3) добавить в первую скобку ячейки D64 и «протянуть» до D203,
=-$G$2*(А63-$G$3)^2/2 добавить в первую скобку ячейки E64 и «протянуть» до E203;
и т.д.
Определение неизвестных значений Q0 … V0 из граничных условий проводится с помощью специального алгоритма «Поиск решения». В примере изменяем Q0 – L37 и φ0 N37 с целью равенства нулю MX(z=l) – C203 и v(z=l) – E205.
Графики Q(z), M(z), φ(z), V(z) строятся программой автоматически с учетом значений, определенных «Поиском решения».
После того, как студент выполнит задание, и результат утвержден преподавателем, результаты расчетов можно использовать для составления отчета и в последующих заданиях.
Примечание: лист «Шаблон» не защищен от сохранения.
Запас прочности определяется по формуле:
,
где – допускаемое напряжение, МПа;
– абсолютное значение максимального расчётного напряжения, МПа.
Нормальные напряжения определяется по схеме, изложенной в конце пункта 2.1.:
Для нахождения максимальных значений напряжений в формулу подставляются экстремальные величины нагрузок и координаты опасных точек сечения.
В случае косого изгиба с растяжением-сжатием необходимо проверить несколько предполагаемых опасных сечений.
При расчете на ЭВМ интегрированием дифференциальных уравнений вычисляются значения во всех точках разбиения по длине стержня и в координатах крайних точек сечения; выбирается максимальное по модулю значение.
После завершения численных расчетов, тестирования и приема задания преподавателем необходимо оформить отчет по каждой задаче.. В конце семестра оформляется титульный лист, общий для всех заданий, и проводится защита РГР.
Пример выполнения РГР представлен ниже.
ЗАДАЧА 1.1
Цель – определение положения главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции для симметричного и несимметричного сечений.
В каждой задаче выполняется чертеж сечения в масштабе. Допускается упрощенное изображение стандартных фигур.
На чертеже должны быть указаны все размеры, необходимые для расчета положения центров тяжести составляющих фигур. Нанести координаты центров тяжести фигур, координаты центпра тяжести сечения, исходные оси для расчета (yox), центральные оси сечения и составляющих фигур, параллельные исходным (YcOcXc и yioixi), и главные центральные оси YOX. Для несимметричного сечения указать угол поворота для главных осей α0.
1.1.1 Симметричное сечение
Рис переделать, указав только необходимые размеры и правильно обозначив оси!!!!!
1. Исходные данные задачи
Разбиваем сечение на простые фигуры. Величины, необходимые для расчета:
Фигура №1
Прямоугольник 140х60
А1=84 см2
Jx1=252 см4
Jy1=1372 см4
Фигуры №2,3
Швеллер № 10
А2,3=10,9 см2
Jx2,3=174 см4
Jy2,3=20,4 см4
а1=3 см, b1=7 см а2=11 см, b2=3,16 см
а3=11 см, b3=10,84 см.
2. Определяем положение центра тяжести:
xc==7 см, yc==4,65 см.
, b2=3,16 см, b3=10,84 см.
3.Определяем центральные осевые моменты инерции сечения, используя формулы преобразования при параллельном переносе осей:
Jxc=(Jx1+(a1–yc)2А1)+(Jx2+(a2–yc)2А2)+(Jx3+(a3–yc)2А3)=1708 см4
Jyc=(Jy1+(b1–xc)2А1)+(Jy2+(b2–xc)2А2)+(Jy3+(b3–xc)2А3)=1734 см4
Вследствие симметрии центробежный момент инерции равен нулю. Оси и моменты инерции – главные, т.е. главные моменты инерции
JX= Jxc JY= Jyc.
1.1.2. Несимметричное сечение
Рис переделать, указав только необходимые размеры и правильно обозначив оси!!!!!
1. Исходные данные задачи
Разбиваем сечение на простые фигуры. Величины, необходимые для расчета:
Фигура №1
Двутавр № 14
F1=17,4 см2
Jx1=41,9 см4
Jy1=572см4
Jx1y1=0 см4
Фигура №2
Уголок № 8
F2=8,63 см2
Jx2=52,7 см4
Jy2=52,7 см4
J u min=21.8 см4
а1=8 см, b1=7 см а2=2,17 см, b2=16,17 см
2. Определяем положение центра тяжести:
xc==10,04 см
yc==6,07см.
3.Определяем центральные осевые моменты инерции сечения, используя формулы преобразования при параллельном переносе осей:
Jxc=(Jx1+(a1–yc)2А1)+(Jx2+(a2–yc)2А2)=290,68 см4
Jyc=(Jy1+(b1–xc)2А1)+(Jy2+(b2–xc)2А2)=1109,8 см4
Jxcyc=(Jx1y1+(a1–yc)(b1–xc)А1)+(Jx2y2+(a2–yc)(b2–xc)А2)=-339,3см4.
Величина центробежного момента инерции уголка определяется по формуле для поворота от главной оси (с минимальным моментом инерции ) на угол, указанный в справочных таблицах. Для нашего равнобокого уголка это -450 и
=-30,9 см4
4. Определяем угол поворота до главных осей сечения:
= -0.828 → α=-19,82°
5. Определяем главные центральные моменты инерции, используея формулы преобразования при повороте осей:
JX=Jxс·cos2α + Jyс·sin2α – Jxcyс·sin2α=168,38 см4
JY=Jyс·cos2α + Jxс·sin2α + Jxcyс·sin2α=1232,1 см4
ЗАДАЧА 1.2
Цель – расчет на прочность и определение жесткости стального стержня при растяжении- сжатии.
|
P, кН |
q, Н/м |
a, мм |
c, мм |
d, мм |
l, мм |
[σ] МПа |
E, МПа |
|
|
-70 |
100 |
300 |
400 |
1000 |
1000 |
120 |
200000 |
0,32 |
Площадь сечения берем из задачи 1.1.1
* Расчетную схему выполнить в масштабе по длине стержня.
1. Разбиваем стержень на участки
I – 0 ≤ z< 300, II – 300 ≤z< 400, III – 400 ≤z< 1000.
2. Формулируем граничные условия:
при z=0 N0 (не определено), W0=0;
при z=l N(l) (не определено), W(l)=0.
3.Вычисляем N(z) и w(z).:
Записываем уравнения продольных сил и перемещений по участкам и в обобщенном виде:
по участкам: I N(z) = N0,
W(z) = W0+[ N0·z]/(EF);
II N(z) = N0 – P,
W(z) = W0+[N0·z – P·(z-a)]/(EF);
III N(z) = N0 – P – q·(z-b),
W(z) = W0+[N0·z – P·(z-a) – q·(z-b)2/2]/(EF).
в обобщенном виде:
N(z) = N0 |I – P|II – q·(z-b)|III,
W(z) = W0+[N0·z|I – P·(z-a)|II – q·(z-b)2/2|III]/(EF);
Определяем неизвестное значение N0 из граничного условия на правом конце:
W(l) = W0+[N0·l – P·(l-a) – q·(l-b)2/2]/(EF)=0;
но W0=0, N0=(P·(l-a)+q·(l-b)2/2)/l=-31000 Н.**
Определяем характерные точки графиков N(z) и W(z) и строим их в масштабе под схемой нагружения.1
Участок: I N(0) = N0 =-31000 Н,
N(a) = N0 =-31000 Н.
W(0) = [N0·0]/(EF)=0;
W(a) = [N0·a]/(EF)=-0,465 мм***.
II N(a) = N0 – P =39000 Н,
N(b) = N0 – P =39000 Н.
W(a) = [N0·a – P·(a-a)]/(EF)= -0,465 мм,
W(b) = [N0·b – P·(b-a)]/(EF)=-0,270 мм.
III N(b) = N0 – P – q·(b-b) =39000 Н,
N(l) = N0 – P – q·(l-b) =-21000 Н.
W(a) = [N0·b – P·(b-a) – q·(b-b)2/2]/(EF)= -0,270 мм,
W(l) = [N0·l – P·(l-a) – q·(l-b)2/2]/(EF)=0 мм.
Для параболы определяем третье значение. Выбираем экстремальное значение при z3(N=0), т.е. 0= N0 – P – q·(z3-b), откуда z3=790 мм, W(z3) = [N0· z3 – P·( z3-a) – q·( z3-b)2/2]/(EF)=0,110 мм.
По результатам расчетов строим эпюры N(z) и w(z) в масштабе расчетной схемы
4. Нормальные напряжения определяются по формуле .
Опасное сечение z=300, где N максимально по модулю. Определяем запас прочности по нормальным напряжениям для обоих сечений по формуле:
.
Симметричное сечение:
Несимметричное сечение:
5. Вычисляем главные линейные деформации в опасном поперечном сечении по формулам:
,
,
.
В задаче .
Для сечения меньшей площади (несимметричного) получаем:
, .
6. Определяем изменение размеров сечения:
– ширина сечения 220 мм уменьшается на 220·=0,0059· мм,
– высота сечения 116,5 мм уменьшается на 116,5 ·2,67·10-7 =0,0031мм.
ЗАДАЧА 1.3
Цель – расчет на прочность и определение жесткости стального стержня при прямом поперечном изгибе.
|
P, кН |
q, Н/мм |
L, кН·м |
a, мм |
с, мм |
d, мм |
l, мм |
b, мм |
[σ] МПа |
EJх, Н·мм2 |
|
7 |
-10 |
-4 |
700 |
700 |
1000 |
1000 |
300 |
120 |
2·1011 |
* Момент инерции принять как в задаче 1.1.1.
1. Разбиваем стержень на участки.
I – 0 ≤ z< 300, II – 300 ≤z< 700, III – 700 ≤z< 1000.
2. Формулируем граничные условия.
при z=0 Q0 (не определено), MX0=0;
φ0 (не определено), V0=0;
при z=l MX(l)=0
V(l) =0;
3.Записываем уравнения внутренних сил и перемещений по участкам и в обобщенном виде.
по участкам: I Q(z) = Q0,
MX(z) = MX0+ Q0·z,
φ(z) = φ0+ [MX0·z+ Q0·z2/2]/(EJx),
V(z) =V0- φ0·z – [M0·z2/2+ Q0·z3/6]/(EJx),
II Q(z) = Q0,
MX(z) = MX0+ Q0·z – L,
φ(z) = φ0+ [M0·z+ Q0·z2/2 – L·(z-d)]/(EJx),
V(z) =V0- φ0·z – [M0·z2/2+ Q0·z3/6-L·(z-d)2/2]/(EJx),
III Q(z) = Q0 – P – q·(z-c),
MX(z = MX0+ Q0·z-L – P·(z-a) – q·(z-b)2/2,
φ(z) = φ0+ [MX0·z+ Q0·z2/2 – L·(z-d) – P·(z-a)2/2 – q·(z-b)3/6]/(EJx),
V(z) =V0 – φ0·z – [MX0·z2/2+Q0·z3/6 – L·(z-d)2/2 –P·(z-a)3/6–
-q·(z-b)4/24]/(EJx),
в обобщенном виде:
Q(z) = Q0 |I + 0|II – P – q·(z-c) |III,
MX(z) = MX0+ Q0·z |I – L |II – P·(z-a) – q·(z-b)2/2|III ,
φ(z) = φ0+ [MX0·z+ Q0·z2/2 |I – L·(z-d) |II – P·(z-a)2/2 – q·(z-b)3/6]/(EJx) |III
V(z) =V0 – φ0·z – [MX0·z2/2+Q0·z3/6|I – L·(z-d)2/2|II – P·(z-a)3/6 –
– q·(z-b)4/24]/(EJx) |III;
Определяем неизвестные значения Q0 и φ0 из граничных условий.
MX(l) = MX0 + Q0·l – L – P·(l-a) – q·(l-b)2/2=0;
V(l) =V0 – φ0l – [M0·l2/2+Q0·l3/6 – L(l-d)2/2 – P·(l-a)3/6 – q·(l-c)4/24]/(EJx)=0.
но MX0=V0=0, Q0=(P·(l-a)+q·(l-b)2/2+L)/l=-2350 Н
φ0= – [MX0·l2/2+Q0·l3/6 – L·(l-d)2/2 – P·(l-a)3/6 – q·(l-c)4/24]/(l·EJx)=-2,64·10-3
**При наличии отметки у преподавателя о правильном выполнении теста, расчёт по участкам и экстремальных значений можно не приводить.
По результатам расчетов строим эпюры Q(z), MX(z), φ(z) и v(z) в масштабе расчетной схемы/
4. Определяем распределение нормальных напряжений по сечению и запас прочности от действия поперечных сил и изгибающих моментов.
4.1 Симметричное сечение
Нормальные напряжения вычисляются по формуле
.
Опасное сечение z=300 мм → Mx=3295 кH·мм (см. эпюры), момент инерции Jx = 17080000 мм4 (см. задачу 1, сечение 1). Уравнение нулевой линии Y=0; максимально удалена от нулевой линии точка Y=113,5 мм.
Запас прочности при изгибе
График изменения нормальных напряжений по высоте опасного сечения представлен на рисунке.
4.2 Несимметричное сечение
Главные моменты инерции: JX =1683800 мм4, JY=12321000мм4, (см. задачу 1, сечение 2); изгибающие моменты в главных осях опасного сечения (внешние силы приложены в вертикальной плоскости). Опасное сечение то же, что и п предыдущей задаче z=300 мм, Mx=3295000 Н∙мм. Проектируя момент на главные оси, получаем
3099805 Н·мм,
1117242 Н·мм.
Нормальные напряжения:
.
Уравнение нулевой линии: .
Координаты опасной точки сечения определяем, используя формулы преобразования координат при повороте осей, как
, .
В опасной точке имеем:
xA=(140-100,4) =39,6 мм, yA=(80+73/2-60,7)=55,8 мм, откуда
X=30 мм; Y=97 мм.
Напряжения в опасной точке:
.
Запас прочности при изгибе .
Нулевая линия (пунктир), опасная точка А и график изменения напряжений в опасном сечении представлены на рисунке.
4.2.1 В случае одновременного растяжения и изгиба опасным сечением остается z=300, нормальные напряжения определяются как
.
Уравнение нулевой линии , т.е.
Очевидно, что в нашем примере положение нулевой линии меняется не значительно, положение опасной точки А то же,
.
Запас прочности при изгибе и растяжении
,
т.е. меньше меньшего из расчетов при изгиба и растяжении.
Воспользуемся (2.3.3) применительно к модели (2.2) плоского изгиба и растяжения-сжатия в приращениях;
, (5.1)
, (5.2)
, (5.3)
, (5.4)
, (5.5)
. (5.6)
Аналогично для кручения круглого стержня из (2.2.11)
(5.7)
(5.8)
Для стержня с круговой осью радиуса R применительно к (2.3) получаем
, (5.9)
, (5.10)
, (5.11)
, (5.12)
, (5.13)
. (5.614)
Алгоритм прямого счета следующий.
По формулам (5.1)…(5.8) при некоторых начальных (при z=0) значениях (неизвестные, например, принимаем равными нулю) получаем величины искомых параметров с заданным шагом Δz. Запустив «Поиск решения» и изменив неизвестные начальные значения вычисленными из условий на правом конце, решаем задачу окончательно.
Проверочный расчет при плоском изгибе и растяжении сводится к проверке условия прочности по нормальным напряжениям в опасных точках, т.е. в угловых точках каждого сечения с шагом Δz: вычисления максимального по модулю нормального напряжения в этих точках и сравнения его с допустимым
. (5.15)
При изгибе, растяжении-сжатии и кручении круглого стержня (в общем случае диаметр может быть переменным d(z)) во всех сечениях вычисляем эквивалентные напряжения и сравниваем их с допустимыми
. (5.116)
При проектном расчете вносим дополнения в «Поиск
решения»: объявляем изменяемыми некоторые исходные данные, например, диаметр, и вносим в ограничения условия (5.15) или (5.16).
5.2.1 Косой изгиб и растяжение-сжатие прямого стержня
Этот шаблон также применим для прямого поперечного изгиба и растяжения –сжатия (α0=0), а также отдельно для растяжения- сжатия или изгиба (если соответствующие внешние нагрузки равны нулю).
Ниже приводится краткое описание шаблона.
Рис. 5.1 Фрагмент шаблона с заданием исходных данных
В колонке А задаются длина стержня, модуль упругости материала, положение главных осей и главные моменты инерции.
В колонку B автоматически заносятся текущие значения z с шагом Δz = l/200, начиная с z=0.
В колонки C…G в соответствующие строки вносятся внешние нагрузки.
В колонки H,I вносятся площадь сечения и центральный момент инерции в осях, параллельных исходным. Эти величины могут быть функциями от z.
Рис. 5.2 Фрагмент шаблона с решением основной модели
В колонках J…O начиная с 4-ой строки записаны формулы (5.1)…(5.6), например в N5 : =N4+M4/($A$8*I4)*$A$6. В третью строку записываются граничные условия на левом конце. В примере , приняты равными единице, так как подлежат определению «Поиском решения».
В колонках P,Q вычисляются изгибающие моменты относительно главных осей:
, .
Для удобства формулирования «Поиска решения» рекомендуется выделять эти изменяемые ячейки серым цветом. В последней строке с той же целью рекомендуется выделить коричневым цветом те ячейки, которые входят в известные граничные условия на правом конце. В примере это .
|
-20303,4 |
0,00019 |
-6460,36 |
32538,7 |
0,00233 |
0,01167 |
|
-20803,4 |
4,6E-12 |
-6410,36 |
0,04069 |
0,00233 |
-4,8E-07 |
|
N |
w |
Q |
M |
φ |
v |
При этом «Поиск решения»:
После решения вычисляются нормальные напряжения во всех сечениях и крайних точках сечений по формуле
,
Определяется максимальное по модулю значение и вычисляется запас прочности. Этот алгоритм применим только для стержня постоянного сечения.
В таблицу справа внизу вносятся координаты крайних точек сечения (в примере 4 точки), в ячейку v9- значение допускаемого напряжения. Остальные расчеты выполняются автоматически.
В столбцах R…U цветом выделяются ячейки с максимальным и минимальным нормальным напряжением, т.е определяются опасное сечение и опасная точка. В примере это первая точка при z=300.
|
-46,81 |
-20,68 |
-25,91 |
27,74 |
|
181,25 |
57,08 |
81,93 |
-172,99 |
|
180,64 |
56,93 |
81,68 |
-172,30 |
Рис. 5.3 Фрагмент шаблона для вычисления запаса прочности
5.2.2 Плоский изгиб и растяжение-сжатие и кручения круглого прямого стержня
Шаблон устроен аналогично предыдущему. Отличие состоит в том, что:
Задается диаметр стержня. В шаблоне он постоянный. Преобразование шаблона для круглого стержень ступенчатого сечения и косого изгиба – тема специального задания.
Моменты инерции и площадь сечения вычисляются через диаметр.
Добавлено два столбца для формул кручения (5.7), (5,8) и два столбца для погонных и сосредоточенных нагрузок кручения.
Эквивалентные напряжения вычисляются при Y=d/2 и Y=d/2.
В «Поиске решения» при прямом счете – четыре изменяемых параметра, три ограничения и одна целевая ячейка.
5.2.3 Плоский изгиб и растяжение-сжатие стержня с круговой осью
Отличается от предыдущих применением формул (5.9)…(5.14) вместо (5.3)…(5.8), заменой шага по z шагом по α
если заданы длина и радиус, или если задан центральный угол . При этом графики параметров будут линейными. В качестве спецзадания предлагается построить их по дуге.
Построение графика параметра (например V) осуществляется выделением столбца В, нажатием и удержанием Ctrl, выделением столбца R, вызывается с помощью стандартной кнопки верхнего меню Мастер диаграмм и т.д. по правилам Excel. Пример возможного оформления графика приведен ниже.
Рис.5.4 График V(z), выполненный в Excel.
Для вычисления максимального значения параметра (например, V) в свободной ячейке вводится формула: = МАКС(R3:R203) и в этой ячейке появляется требуемое значение: в примере 0.75 мм.
Все графики и таблицы легко копируются в Word, как это сделано при оформлении настоящей работы.
С помощью шаблона можно провести поверочный расчет стержня, в том числе и переменного сечения. Ниже рассматриваются особенности применения шаблона для более сложных задач второго семестра.
6.1 Проектный расчет при изгибе и кручении
Цель: подобрать диаметр стержня из расчета на прочность.
Исходные данные и схемы нагружения (l=1000 мм, [σ]=120 МПа):
Изгиб:
|
Py |
а |
L |
b |
q |
c |
d |
|
кН |
мм |
кН·м |
мм |
Н/мм |
мм |
мм |
|
7 |
700 |
-4,0 |
300 |
-10 |
700 |
1000 |
Растяжение:
|
Pz |
а |
q |
b |
c |
|
кН |
мм |
Н/мм |
мм |
мм |
|
-70 |
300 |
100 |
400 |
1000 |
Кручение:
|
Lк |
а |
mz |
b |
c |
|
кН |
мм |
Н/мм |
мм |
мм |
|
-70 |
500 |
0 |
400 |
1000 |
, .
Размеры сечения задаются одним параметром, диаметром d.
Вводится ячейка (А18), в которой задается некоторое значение диаметра, например 10 мм.
Параметры сечения вычисляются по формулам:
.
В первой строке таблицы «Нагрузки, характеристики сечения» вводятся формулы расчета:
, ,
и протягиваются на всю таблицу.
Вычисляем , , т.е. соответственно в ячейку А8 вносим формулу , в ячейку А10 – .
Процедура «Поиск решения» дополняется изменяемой ячейкой А18 и ограничением , т.е. ( при в ячейке ).
Задание на «Поиск решения» в см. рис.6.1.
Рис. 6.1 Задание на «Поиск решения»
После выполнения поиска величина d=86,7.
6.2 Расчет многоопорных балок
Цель: определение реакции промежуточной опоры и изменения прогибов и запаса прочности после ее установки в точке z=600 мм. Исходные данные и схемы нагружения (l=1000 мм, [σ]=120 МПа):
|
P |
а |
L |
b |
q |
c |
l |
|
кН |
мм |
кН·м |
мм |
Н/мм |
мм |
мм |
|
7 |
700 |
-4,0 |
300 |
-10 |
700 |
1000 |
,
Особенность задачи в необходимости определения реакции промежуточных опор, т.е. неизвестного значения .
Для этого:
В таблице «Нагрузки, характеристики сечения» в столбце Ру при ( ячейка F123)_ ставим произвольное число
и назначаем эту ячейку изменяемой.
Дополняем «Поиск решения» ограничением (). Задание на «Поиск решения» в примере приобретает вид:
Рис.6.2 Поиск решения для многоопорной балки.
2. Выполняем «Поиск решения».
Эпюры прогибов до и после устан6овки промежуточной опоры представлены на рис. 6.3.
Рис.6.3. Прогибы до и после установки промежуточной опоры
В ячейке получаем искомое значение реакции дополнительной опоры Py = -12670Н, запас прочности увеличился от 5,48 до .
6.3 Расчет рамы
6.3.1 Особенности алгоритма расчета
Берем за основу шаблон расчета прямого (не изогнутого в раму) стержня с соответствующими нагрузками и способом закрепления концов. После изгиба в точке перелома, условия сопряжения стержней (см. рис.6.4):
в варианте а)
, , , , , . (6.1)
в варианте б)
, , , , , . (6.2)
a) b)
Рис.6.4. Два варианта сопряжения стержней в раме.
Вносим соответствующие изменения в строке столбцов J…O и вновь запускаем «Поиск решения». Задача решена.
6.3.2 Пример расчета рамы
Цель – расчет на прочность и определение жесткости рамы, согнутой из стержня (задача 1.3.) под прямым углом в точке, с координатой z=690 мм , приняв сечение из задачи 1.1.1.
Исходные данные задачи до изгиба в раму.
|
P, кН |
q, Н/мм |
L, кН·м |
a, мм |
с, мм |
d, мм |
l, мм |
b, мм |
[σ] МПа |
EJх, Н·мм2 |
|
7 |
-10 |
-4 |
700 |
700 |
1000 |
1000 |
300 |
120 |
2·1011 |
Расчетная схема представлена на рис.6.5.
Рис.6.4. Расчетные схемы рамы и исходного прямого стержня.
1. Поскольку при изгибе в раму неизбежно возникают продольные силы и перемещения, в граничные условия изгиба добавляем.
2. В соответствии с (6.1)
, , , , ,
вносим изменения в шаблон в строке 142 (z=695 мм), следующей после точки изгиба:
J142=-L141, L142=J141, M142=M141, O142=K141, N142=N141, K142=-O141.
3. Выполняем «Поиск решения» и получаем решение для рамы при тех же граничных условиях, что были в исходном стержне. При необходимости меняем и граничные условия.
4. Запас прочности до изгиба составлял 5.48, а после изгиба составил 8.43. Максимальный прогиб составлял 0,073 мм (рис. 6.5), а
Рис. 6.5 График прогиба прямого стержня.
а в раме 0,036 мм.
Рис. 6.5 График прогиба рамы.
Скачок на графике прогиба рамы объясняется переходом в точке изгиба от продольных перемещений к поперечным. График суммарных перемещений , построенные на оси рамы, имеет вид рис.6.6.
Построение таких графиков в MS Excel– одна из тем специального задания. Другая тема – решение задачи при изгибе на произвольный угол.
6.4 Вычисление коэффициента приведения длины в расчете на устойчивость
Цель – определение коэффициента приведения длины в формуле Эйлера
.
.
Исходные данные: схема закрепления стержня и место приложения сжимающей силы представлены на рис.6.7, принять c=0,4l.
1. Для расчета воспользуемся методом неидеальностей, согласно которому любое искажение прямой оси при сжатии критической силой приводит к бесконечным перемещениям. Для этого прикладываем малую погонную нагрузку по всей длине стержня и сжимающую силу в точке z=c.
2. Формулируем граничные условия
,
и, приняв произвольно длину стержня , силу , сечение A=100мм, JX=10000мм4, выполняем «Поиск решения» и вычисляем максимальный прогиб в свободной ячейке, например V30.
3. В свободной ячейке V31 запоминаем результат из ячейки V30 , т.е .
4. В ячейке V32 вычисляем отношение (=V30/V31)
5. Дополняем в «Поиск решения» изменяемую ячейку D143 (значение Р), в которую вносим значение 1, и ограничение K=100, и выполняем «Поиск решения». В ячейке D143 (при z=700мм) получаем значение критической силы Ркр.
Считаем, что стократное увеличение прогиба – практически бесконечное перемещение.
6. Вычисляем
.
Правильность решения оценим сравнением с табличным результатом при приложении силы на левом конце - , т.е. найденное значение меньше табличного, что ожидаемо.
6.5 Вычисление допустимой высоты падения груза на нагруженную балку
Цель –определение допустимой высоты падения груза массой две массы балки из стержня (задача 1.3.) в точке, с координатой z=600 мм, п сечением из задачи 1.1.1.
Исходные данные
|
P, кН |
q, Н/мм |
L, кН·м |
a, мм |
с, мм |
d, мм |
l, мм |
b, мм |
[σ] МПа |
EJх, Н·мм2 |
|
7 |
-10 |
-4 |
700 |
700 |
1000 |
1000 |
300 |
120 |
3,4·1012 |
Расчетная схема представлена на рис.6.8. Удельный вес материала балки .
1. До падения груза стержень имел запас прочности, т.е. нагружение возможно.
2. Поперечную силу от удара вычисляем по формуле
,
где -вес груза груза,
- прогиб балки от статического приложения веса груза.
3. Вычисляем как прогиб ненагруженной балки в точке z=600 от силы Рг. Получаем .
4. К нагруженному стержню в точке z=600 прикладываем поперечную силу , рассчитанную при некотором значении Н, помещенном в ячейку V14, и добавляем в «Поиск решения» изменяемую ячейку V14 и ограничение запаса прочности величиной 1 (ячейка V11).
5. После выполнения «Поиска решения» в ячейке V14 получаем ответ - H=10,47 мм.
6.6 Вычисление частот собственных поперечных колебаний однородных стержней
Решение с учетом переменного сечения, и прикрепленных масс - тема одного из специальных заданий.
6.6.1 Особенности алгоритма расчета
Задача решается упрощенно: без учета сил сопротивления, движение вдоль оси стержня, инерции поворота сечений.
Масса стержня равномерно сосредотачивается в n точках и, при принятых упрощениях, число степеней свободы колебательной системы также n.
Собственные колебания описываются системой n дифференциальных уравнений второго порядка
. (6.3)
где - поперечные перемещения и их вторые производные по времени в i-той точке,
- масса в i-ой точке, значение ,
–плотность материала стержня,
- взаимные податливости, т.е. поперечные перемещения в j-той точке от единичной поперечной силы, приложенной в i-ой точке.
Взаимные податливости при любом закреплении определяются расчетом по шаблону. Например, для системы с 3 степенями свободы приложив единичную силу в 1-ом направлении (к первой массе) и решив задачу о прогибах, находим перемещения во второй и третьей
точках. Повторив расчет еще два раза, находим все 9 податливостей.
Точное решение
при численном, т.е. приближенном определении податливостей не выполняется. Поэтому целесообразно принимать в расчет среднее из двух вычисленных значений.
Собственные частоты находим из условия ненулевого решения системы 6. что приводит к алгебраическому уравнению порядка n относительно .
. (6.4)
В Excel есть стандартная функция - МОПРЕД, которая вычисляет определитель матрицы, например (6.4). Если при вычислении элементов определителя ссылаться на отдельную ячейку, где задано , то «Поиск решения» найдет некоторое , обращающее (6.4) в ноль.
Последовательно изменяя начальное приближение , можно найти все k его значений круговых частот собственных колебаний.
Частота собственных колебаний в герцах:
.
6.6.2 Пример расчета
Цель – расчет трех низших частот собственных колебаний стержня.
Исходные данные задачи.
|
A мм2 |
ρ, кг/мм3 |
JX, мм4 |
l мм |
Е, Н/мм2 |
|
1058 |
7,6∙10-6 |
1708∙104 |
1000 |
2∙105 |
Расчетная схема с разбиением на три массы представлена на рис.6.9.
кг,
кг.
*Сила увеличена в 1000 раз для повышения точности «Поиска решения».
Получаем:
|
Расчетные податливости [мм/Н] |
|||
|
j=1 |
j=2 |
j=3 |
|
|
i=1 |
3,15E-06 |
4,90E-06 |
2,12E-06 |
|
i=2 |
4,69E-06 |
9,67E-06 |
4,66E-06 |
|
i=3 |
1,97E-06 |
4,46E-06 |
2,87E-06 |
После осреднения податливостей с i=j получаем окончательно
|
Податливости после осреднения [м/Н] |
|||
|
j=1 |
j=2 |
j=3 |
|
|
i=1 |
3,15E-09 |
4,80E-09 |
2,05E-09 |
|
i=2 |
4,80E-09 |
9,67E-09 |
4,56E-09 |
|
i=3 |
2,05E-09 |
4,56E-09 |
2,87E-09 |
3. На одном из листов Excel заводим ячейку с текущим значением , например, Q3. Ссылаясь на эту ячейку, заполняем формулами (6.4) таблицу (матрицу 3 x 3). Например, для n=3 выделяем для этого ячейки L14 … N16 и записываем в них соответствующие выражения.
4. Заводим ячейку, например N21, в которой вычисляем определитель матрицы .
5. Вызываем «Поиск решения», в котором изменяемая ячейка Q3, а целевая – N21, и выполняем его. В ячейке Q3 появляется квадрат одной из собственных круговых частот.
6. Последовательно меняя начальное приближение в ячейке Q3, находим все 3 частоты. Получаем:
|
Собственные круговые частоты ω [1/сек] |
||
|
5030 |
19502 |
31676 |
|
Собственные частоты f [Гц] |
||
|
801 |
3104 |
5041 |
6.7 Расчет на прочность стержней с круговой осью
Математическая модель стержня с круговой осью радиуса R – система дифференциальных уравнений (2.3): и соответствующие граничные условия. Модель совпадает с моделью прямого стержня за исключением вида дифференциальных уравнений и координаты сечения. Нагрузки, внутренние силы и перемещения задаются в проекциях на радиус и касательную к оси до деформирования, Модернизацию шаблона расчета предлагается провести самостоятельно.
Ниже даны некоторые рекомендации к модернизации.
Пример задачи и оформления графиков приведен на рисунке.
6.8 Вычисление перемещений по методу Верещагина
Цель – раскрыть статическую неопределимость методом сил и определить угол поворота сечения z=300 и проверить результаты численным решением. Расчетная схема представлена на рисунке 6.10.
Исходные данные: L=-4 кН∙м, b=300, l=1000 мм, EJX=3,42∙1012/
1.Задача один раз статически неопределима. Эквивалентная схема представлена на рис. 6.10.
2. Эпюры изгибающих моментов от внешнего момента и от X1=1
представлены на рис. 6.11.
3.Вычисляем
,
Н∙мм
Численное решение с помощью шаблона дает Н∙мм. Ошибка численного решения
,
что допустимо.
Вычисляем:
Численное решение с помощью шаблона дает
Ошибка численного решения 3,9%, что допустимо.
Рис. 6.12. Эпюры угла и момента из численного решения.
Примеры заданий для проверки степени усвоения материала и умения пользоватьсмя шаблонами приведены в таблице.
|
№ |
Схема |
Условие задачи |
|
1 |
Балка длиной 1 м с равномерно расположенными опорами, нагружена погонной нагрузкой 10 Н/мм, как показано на рисунке. Определить реакции опор. |
|
|
2 |
Балка длиной 1 м нагружена погонной нагрузкой 10 Н/мм на длине 0,7м, как показано на рисунке. Определить размер квадратного сечения из расчета на прочность, [σ]=100 МПа. |
|
|
3 |
Балка длиной 1 м нагружена погонной нагрузкой 10 Н/мм, как показано на рисунке. Подобрать швеллер из расчета на прочность, [σ]=100 МПа. |
|
|
4 |
Балка длиной 1 м из двутавра №20 нагружена погонной нагрузкой 30 Н/мм. Определить реакции опор. |
|
|
5 |
Балка длиной 1 м из двутавра №20 нагружена погонной нагрузкой 30 Н/мм. Как изменится максимальный прогиб, если правую опору переместить в центр? |
|
|
6 |
Балка длиной 1 м нагружена силой Р на расстоянии 0,7м от левой опоры как показано на рисунке. Определить коэффициент приведения длины μ в формуле Эйлера. |
|
|
7 |
Балка длиной 1 м из двутавра №20 нагружена погонной нагрузкой 30 Н/мм и на нее в середине падает груз массой М с высоты Н=200 мм. Определить допустимую массу груза, если [σ]=100 МПа. |
|
|
8 |
Балка длиной 1 м нагружена погонной нагрузкой 30 Н/мм и на нее в середине падает груз массой М=10 кг с высоты Н=200 мм. Подобрать двутавровое сечение из расчета на прочность, если [σ]=100 МПа. |
|
|
9 |
Вал длиной 1 м нагружен погонной нагрузкой 30 Н/мм и по середине крутящим моментом Lк=1 кН·м. Определить допустимый диаметр вала из расчета на прочность, если [σ]=100 МПа. |
|
|
10 |
Вал длиной 1 м и диаметром d=50 мм нагружен погонной нагрузкой 30 Н/мм и по середине крутящим моментом. Определить допустимый крутящий момент из расчета на прочность, если [σ]=100 МПа. |
|
|
11 |
Балка длиной 1 м с равномерно расположенными опорами нагружена погонной нагрузкой 10 Н/мм. Определит реакции опор. |
|
|
12 |
Вал длиной 1 м нагружен погонной нагрузкой 10 Н/мм на длине 0,7м. Определить диаметр сечения из расчета на прочность, [σ]=100 МПа. |
|
|
13 |
Балка длиной 1 м нагружена погонной нагрузкой 10 Н/мм. Подобрать швеллер из расчета на прочность, если [σ]=100 МПа. |
|
|
14 |
Балка длиной 1 м из двутавра №20 нагружена погонной нагрузкой 30 Н/мм. Определить максимальный прогиб. |
|
|
15 |
Балка длиной 1 м из двутавра №20 нагружена погонной нагрузкой 30 Н/мм. Как изменятся максимальные напряжения, если правую опору переместить в центр? |
|
|
16 |
Балка длиной 1 м нагружена силой Р на расстоянии 0,5м от левой опоры как показано на рисунке. Определить коэффициент приведения длины μ в формуле Эйлера. |
|
|
17 |
Балка длиной 1 м из двутавра №20 нагружена погонной нагрузкой 30 Н/мм и на нее падает груз массой М с высоты Н=200 мм. Определить допустимую массу груза, если [σ]=100 МПа. |
|
|
18 |
Балка длиной 1 м нагружена погонной нагрузкой 30 Н/мм и на нее падает груз массой М=10 кг с высоты Н=200 мм. Подобрать двутавровое сечение из расчета на прочность, если [σ]=100 МПа. |
|
|
19 |
Вал длиной 0,5 м нагружен по середине крутящим моментом Lк=1 кН·м. Определить допустимый диаметр вала из расчета на прочность, если [σ]=100 МПа. |
|
|
20 |
Вал длиной 1 м и диаметром d=50 мм нагружен погонной нагрузкой и по середине крутящим моментом 1 кН·м. Определить допустимую погонную нагрузку из расчета на прочность, если [σ]=100 МПа. |
8.ПРИЛОЖЕНИЯ
8.1 Геометрические характеристики простых фигур
|
орма поперечного сечения |
Осевые моменты инерции J и площади А |
Момент сопротивления W, см |
|
или ;. |
или |
|
|
. |
|
|
|
; |
||
|
в вершине треугольника в точке основания |
||
|
в вершине треугольника в точке основания |
8.2.Сортамент стандартных профилей
Сталь прокатная. Швеллеры. ГОСТ 8240-56
|
№ профиля |
Вес 1п.м. |
Размеры |
Площадь сечения |
Справочные величины для осей |
||||||||||||
|
h |
b |
d |
t |
r |
r1 |
x - x |
y - y |
z0 |
||||||||
|
J x |
W x |
i x |
S*x |
J y |
W y |
i y |
||||||||||
|
кг |
мм |
см2 |
см4 |
см3 |
см |
см3 |
см4 |
см3 |
см |
см |
||||||
|
5 6,5 8 10 12 14 14а 16 16а 18 18а 20 20а 22 22а 24 24а 27 30 33 36 40 |
4,84 5,90 7,05 8,59 10,4 12,3 13,3 14,2 15,3 16,3 17,4 18,4 19,8 21,0 22,6 24,0 25,8 27,7 31,8 36,5 41,9 48,3 |
50 65 80 100 120 140 140 160 160 180 180 200 200 220 220 240 240 270 300 330 360 400 |
32 36 40 46 52 58 62 64 68 70 74 76 80 82 87 90 95 95 100 105 110 115 |
4,4 4,4 4,5 4,5 4,8 4,9 4,9 5,0 5,0 5,1 5,1 5,2 5,2 5,4 5,4 5,6 5,6 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 |
7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,1 8,7 8,4 9,0 8,7 9,3 9,0 9,7 9,5 10,2 10,0 10,7 10,5 11,0 11,7 12,6 13,5 |
6,0 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,0 8,5 8,5 9,0 9,0 9,5 9,5 10,0 10,0 10,5 10,5 11 12 13 14 15 |
2,5 2,5 2,5 3,0 3,0 3,0 3,0 3,5 3,5 3,5 3,5 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,5 5,0 5,0 6,0 6,0 |
6,16 7,51 8,98 10,9 13,3 15,6 17,0 18,1 19,5 20,7 22,2 23,4 25,2 26,7 28,8 30,6 32,9 35,2 40,5 46,5 53,4 61,5 |
22,8 48,6 89,4 174 304 491 545 747 823 1090 1190 1520 1670 2110 2330 2900 3180 4160 5810 7980 10820 15220 |
9,1 15,0 22,4 34,8 50,6 70,2 77,8 93,4 103 121 132 152 167 192 212 242 265 308 387 484 601 761 |
1,92 2,54 3,16 3,99 4,78 5,60 5,66 6,42 6,49 7,24 7,32 8,07 8,15 8,89 8,99 9,73 9,84 10,9 12,0 13,1 14,2 15,7 |
5,59 9,00 13,3 20,4 29,6 40,8 45,1 54,1 59,4 69,8 76,1 87,8 95,9 110 121 139 151 178 224 281 350 444 |
5,61 8,70 12,8 20,4 31,2 45,4 57,5 63,3 78,8 86,0 105 113 139 151 187 208 254 262 327 410 513 642 |
2,75 3,68 4,75 6,46 8,52 11,0 13,3 13,8 16,4 17,0 20,0 20,5 24,2 25,1 30,0 31,6 37,2 37,3 43,6 51,8 61,7 73,4 |
0,954 1,08 1,19 1,37 1,53 1,70 1,84 1,87 2,01 2,04 2,18 2,20 2,35 2,37 2,55 2,60 2,78 2,73 2,84 2,97 3,10 3,23 |
1,16 1,24 1,31 1,44 1,54 1,67 1,87 1,80 2,00 1,94 2,13 2,07 2,28 2,21 2,46 2,42 2,67 2,47 2,52 2,59 2,68 2,75 |
Сталь прокатная. Балки двутавровые. ГОСТ 8239-56
|
№ профиля |
Вес 1п.м. |
Размеры |
Площадь сечения |
Справочные величины для осей |
|||||||||||
|
h |
b |
d |
t |
R |
r |
x - x |
y - y |
||||||||
|
J x |
W x |
i x |
S*x |
J y |
W y |
i y |
|||||||||
|
кг |
мм |
см2 |
см4 |
см3 |
см |
см3 |
см4 |
см3 |
см |
||||||
|
10 12 14 16 18 18а 20 20а 22 22а 24 24а 27 27а 30 30а 33 36 40 45 50 55 60 65 70 70а 70б |
9.46 11.5 13.7 15.9 18.4 19.9 21.0 22.7 24.0 25.8 27.3 29.4 31.5 33.9 36.5 39.2 42.2 48.6 56.1 65.2 76.8 89.8 104 120 138 158 184 |
100 120 140 160 180 180 200 200 220 220 240 240 270 270 300 300 330 360 400 450 500 550 600 650 700 700 700 |
55 64 73 81 90 100 100 110 110 120 115 125 125 135 135 145 140 145 155 160 170 180 190 200 210 210 210 |
4.5 4.8 4.9 5.0 5.1 5.1 5.2 5.2 5.4 5.4 5.6 5.6 6.0 6.0 6.5 6.5 7.0 7.5 8.0 8.6 9.5 10.3 11.1 12.0 13.0 15.0 17.5 |
7.2 7.3 7.5 7.8 8.1 8.3 8.4 8.6 8.7 8.9 9.5 9.8 9.8 10.2 10.2 10.7 11.2 12.3 13.0 14.2 15.2 16.5 17.8 19.2 20.8 24.0 28.2 |
7 7.5 8 8.5 9 9 9.5 9.5 10 10 10.5 10.5 11 11 12 12 13 14 15 16 17 18 20 22 24 24 24 |
2.5 3 3 3.5 3.5 3.5 4 4 4 4 4 4 4.5 4.5 5 5 5 6 6 7 7 7 8 9 10 10 10 |
12.0 14.7 17.4 20.2 23.4 25.4 26.8 28.9 30.6 32.8 34.8 37.5 40.2 43.2 46.5 49.9 53.8 61.9 71.4 83.0 97.8 114 132 153 176 202 234 |
198 350 572 873 1290 1430 1840 2030 2550 2790 3460 3800 5010 5500 7080 7780 9840 13380 18930 27450 39290 55150 75450 101400 134600 152700 175370 |
39.7 58.4 81.7 109 143 159 184 203 232 254 289 317 371 407 472 518 597 743 947 1220 1570 2000 2510 3120 3840 4360 5010 |
4.06 4.88 5.73 6.57 7.42 7.51 8.28 8.37 9.13 9.22 9.97 10.1 11.2 11.3 12.3 12.5 13.5 14.7 16.3 18.2 20.0 22.0 23.9 25.8 27.7 27.5 27.4 |
23.0 33.7 46.8 62.3 81.4 89.8 104 114 131 143 163 178 210 229 268 292 339 423 540 699 905 1150 1450 1800 2230 2550 2940 |
17.9 27.9 41.9 58.6 82.6 114 115 155 157 206 198 260 260 337 337 436 419 516 666 807 1040 1350 1720 2170 2730 3240 3910 |
6.49 8.72 11.5 14.5 18.4 22.8 23.1 28.2 28.6 34.3 34.5 41.6 41.5 50.0 49.9 60.1 59.9 71.1 85.9 101 122 150 181 217 260 309 373 |
1.22 1.38 1.55 1.70 1.88 2.12 2.07 2.32 2.27 2.50 2.37 2.63 2.54 2.80 2.69 2.95 2.79 2.89 3.05 3.12 3.26 3.44 3.60 3.77 3.94 4.01 4.09 |
Сталь прокатная угловая неравнобокая.
Выписка из ГОСТ 8510-57
|
№ профиля |
B |
b |
d |
R |
r |
Площадь сечения |
Вес 1П/м |
Справочные величины для осей |
||||||||||
|
x – x |
y – y |
x1 – x1 |
y0 – y0 |
u – u |
y0, |
х0, |
tgα |
|||||||||||
|
Jx |
ix |
Jy |
iy |
Jx1 |
Jy1 |
Ju мин |
iu мин |
|||||||||||
|
мм |
см2 |
кГ |
см4 |
см |
см4 |
см |
см4 |
см4 |
см4 |
см |
см |
|||||||
|
5/3,2 |
50 |
32 |
3 |
5,5 |
1,8 |
2,42 |
1,90 |
6,17 |
1,60 |
1,99 |
0,91 |
12,4 |
3,26 |
1,18 |
0,70 |
1.60 |
0.72 |
0.403 |
|
7.5/5 |
75 |
50 |
5 |
8 |
2.7 |
6.11 |
4.79 |
34.8 |
2.39 |
12.5 |
1.43 |
69.7 |
20.8 |
7.24 |
1.09 |
2.39 |
1.17 |
0.436 |
|
8/5 |
80 |
50 |
5 |
8 |
2.7 |
6.36 |
4.99 |
41.6 |
2.56 |
12.7 |
1.41 |
84.6 |
20.8 |
7.58 |
1.09 |
2.6 |
1.13 |
0.387 |
|
9/5.6 |
90 |
56 |
5.5 |
9 |
3 |
7.86 |
6.17 |
65.3 |
2.88 |
19.7 |
1.58 |
132 |
32.2 |
11.8 |
1.22 |
2.92 |
1.26 |
0.384 |
|
10/6.3 |
100 |
63 |
6 |
10 |
3.3 |
9.59 |
7.53 |
98.3 |
3.2 |
30.6 |
1.79 |
198 |
49.9 |
18.2 |
1.38 |
3.23 |
1.42 |
0.393 |
|
11/7 |
110 |
70 |
6.5 |
10 |
3.3 |
11.4 |
8.98 |
142 |
3.53 |
45.6 |
2 |
286 |
74.3 |
26.9 |
1.53 |
3.55 |
1.58 |
0.402 |
|
12.5/8 |
125 |
80 |
7 |
11 |
3.7 |
14.1 |
11 |
227 |
4.01 |
73.7 |
2.29 |
452 |
119 |
43.4 |
1.76 |
4.01 |
1.76 |
0.407 |
|
14/9 |
140 |
90 |
8 |
12 |
4 |
18 |
14.1 |
364 |
4.49 |
120 |
2.58 |
727 |
194 |
70.3 |
1.98 |
4.49 |
1.98 |
0.411 |
|
16/10 |
160 |
100 |
9 |
13 |
4.3 |
22.9 |
18 |
606 |
5.15 |
186 |
2.85 |
1221 |
300 |
110 |
2.2 |
5.19 |
2.23 |
0.391 |
|
18/11 |
180 |
110 |
10 |
14 |
4.7 |
28.3 |
22.2 |
952 |
5.8 |
276 |
3.12 |
1933 |
444 |
165 |
2.42 |
5.88 |
2.42 |
0.375 |
|
20/12.5 |
200 |
125 |
11 |
14 |
4.7 |
34.9 |
27.4 |
1449 |
6.45 |
446 |
3.58 |
2920 |
718 |
264 |
2.75 |
6.50 |
2.75 |
0.392 |
Сталь прокатная угловая равнобокая.
Выписка из ГОСТ 8509-57
|
№ профиля |
b |
d |
R |
r |
Площадь сечения |
Вес 1П/м |
Справочные величины для осей |
z0 |
||||||
|
x – x |
x0 – x0 |
y0 – y0 |
x1 – x1 |
|||||||||||
|
Jx |
ix |
Jx0 макс |
ix0 макс |
Jy0 мин |
iy0 мин |
Jx1 |
||||||||
|
мм |
см2 |
кГ |
см4 |
см |
см4 |
см |
см4 |
см |
см4 |
см |
||||
|
3,2 |
32 |
3 |
4,5 |
1,5 |
1,86 |
1,46 |
1,77 |
0,97 |
2,8 |
1,23 |
0,74 |
0,63 |
3,26 |
0,89 |
|
4 |
40 |
3 |
5 |
1,7 |
2,35 |
1,85 |
3,55 |
1,23 |
5,63 |
1,55 |
1,47 |
0,79 |
6,35 |
1,09 |
|
5,0 |
50 |
3 |
5,5 |
1,8 |
2,96 |
2,32 |
7,11 |
1,55 |
11,3 |
1,95 |
2,95 |
1,00 |
12,4 |
1,33 |
|
6,3 |
63 |
4 |
7 |
2,3 |
4,96 |
3,90 |
18,9 |
1,95 |
29,9 |
2,45 |
7,81 |
1,25 |
33,1 |
1,69 |
|
7 |
70 |
4,5 |
8 |
2,7 |
6,2 |
4,87 |
29,0 |
2,16 |
46,0 |
2,72 |
12,0 |
1,39 |
51,0 |
1,88 |
|
7,5 |
75 |
5 |
9 |
3 |
7,39 |
5,8 |
39,5 |
2,31 |
62,6 |
2,91 |
16,4 |
1,49 |
69,6 |
2,02 |
|
8 |
80 |
5,5 |
9 |
3 |
8,63 |
6,78 |
52,7 |
2,47 |
83,6 |
3,11 |
21,8 |
1,59 |
93,2 |
2,17 |
|
9 |
90 |
6 |
10 |
3,3 |
10,6 |
8,33 |
82,1 |
2,78 |
130 |
3,50 |
34,0 |
1,79 |
145 |
2,43 |
|
10 |
100 |
6.5 |
12 |
4 |
12.8 |
10.1 |
122 |
3.09 |
193 |
3.88 |
50.7 |
1.99 |
214 |
2.68 |
|
12.5 |
125 |
8 |
14 |
4.6 |
19.7 |
15.5 |
294 |
3.87 |
467 |
4.87 |
122 |
2.49 |
516 |
3.36 |
|
14 |
140 |
9 |
14 |
4.6 |
24.7 |
19.4 |
466 |
4.34 |
739 |
5.47 |
192 |
2.79 |
818 |
3.78 |
|
16 |
160 |
10 |
16 |
5.3 |
31.4 |
24.7 |
774 |
4.96 |
1229 |
6.25 |
319 |
3.19 |
1356 |
4.30 |
|
18 |
180 |
11 |
16 |
5.3 |
38.8 |
30.5 |
1216 |
5.60 |
1933 |
7.06 |
500 |
3.59 |
2128 |
4.85 |
|
20 |
200 |
12 |
18 |
6 |
47.1 |
37.0 |
1823 |
6.22 |
2896 |
7.84 |
749 |
3.99 |
3182 |
5.37 |
2.1 Плоский изгиб и растяжение прямого стержня ………… 8
2.1.1 Растяжение-сжатие прямого стержня …………………… 10
2.1.2 Прямой поперечный изгиб ……………………………….. 11
2.1.3 Продольно-поперечный изгиб …………………………… 12
2.2 Кручение круглого стержня …………………………….. 13
2.3 Плоский изгиб и растяжение стержня с круговой осью…13
2.3.1 Статически определимые стержни с круговой осью.
Аналитическое решение……………………………………...14
2.4. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
математических моделей по методу Эйлера……………..15
2.5.Вычисление перемещений в заданной точке с помощью
интеграла Мора и по способу Верещагина………………16
Верещагина …………………………………………………..18
5.2.1 Косой изгиб и растяжение-сжатие прямого стержня….49
5.2.2 Плоский изгиб и растяжение-сжатие и кручения
круглого прямого стержня………………………………...50
5.2.3 Плоский изгиб и растяжение-сжатие стержня
с круговой осью……………………………………………..52
6.1 Проектный расчет при изгибе и кручении ……………….54
6.2 Расчет многоопорных балок ………………………………..55
6.3 Расчет рамы …………………………………………………..57
6.3.1 Особенности алгоритма расчета………………………….57
6.3.2 Пример расчета рамы ……………………………………..57
6.4 Вычисление коэффициента приведения длины
в расчете на устойчивость ………………………………….59
6.5 Вычисление допустимой высоты падения груза
на нагруженную балку ……………………………………....61
6.6 Вычисление частот собственных поперечных
колебаний однородных стержней ………………………….62
6.6.1 Особенности алгоритма расчета ………………………....62
6.6.2 Пример расчета ……………………………………………62
6.7 Расчет на прочность стержней с круговой осью ………...64
8.ПРИЛОЖЕНИЯ…………………………………………………..73
8.1 Геометрические характеристики простых фигур……….74
8.2 Сортамент стандартных профилей………………………..74
8.3 Контрольно-обучающие шаблоны первого семестра…..на диске
8.3.1 Определение положения главных центральных осей
составного сечения и главных моментов инерции
8.3.2 Построение эпюр внутренних сил и перемещений при
растяжении-сжатии прямого стержня
8.3.3 Построение эпюр внутренних сил и перемещений при
изгибе прямого стержня
8.4 Шаблоны второго семестра………………………………..на диске
8.4.1 Косой изгиб и растяжение-сжатие прямого стержня
8.4.2 Изгиб, кручение и растяжение-сжатие круглого прямого
стержня
8.4.3 Расчет частот собственных изгибных колебаний прямог
Стержня
8.5 Другие примеры шаблонов ……………………………..на диске
8.5.1 Рама с произвольным углом поворота стержней
8.5.2 Стержень с круговой осью
8.5.3 Задачи динамики
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1*При наличии отметки у преподавателя о правильном выполнении расчета, представленный ниже расчёт по участкам и расчёт экстремума можно опустить.
h/3
h
x
b
y
b
x
a
y
b/3
b
h/3
y
x
h
y1
y
x
d
d1
y
x
d
y
x
d
активная ячейка с адресом А1
строка формул
мастер диаграмм
меню рисования
Х
b=400
c=l=1000
а=300
z
q
P
L
а=b=700
c=l=1000
d
l
b
Z3
EMBED Excel.Chart.8 \s
b=400
c=l=1000
а=300
l
q
P
L
qy
d=300
P
Ma/l
(2.1)
V+dV
W+dW
V
Mz
Lк
q
EMBED Excel.Chart.8 \s
b
EMBED Excel.Chart.8 \s
EMBED Excel.Chart.8 \s
l
c
d
Y1
Z
Y
P
c
d
a
z
L
Р
b
d
a
c 1q11 q1 1 q1 11
q 1q11 q1 1 q1 11
Y
Z
z
q
qz
Мx
N+dN
w+dw
А
А1
В
В1
Z
Z1
dz1
z
dz
w
v
v+dv
N
Q
Q+dQ
Y
Мx+dMx
qy
Рис. 6.11. Эпюры
0,7L
0,3L
1
X1
6.10. Эквивалентная схема
L
1000
z
6.10. Расчетная схема
300
l-а/3
2l/3
2а/3
Система канонических уравнений метода сил
l
а
Мx2
Мx1
М
Эквивалентная система
Основная система
СНЗ, n=2
а
l
M
X1
M
X2
Мxвн
а/3
l/3
Mx1
δ
ql2/8
q
Мxвн
l/2
5*l/8
δ
-1
Pa
1
Mx1
δ
Mxвн
a
l
a/3
1
Pa
l-a/3
l
Mx1
Mxвн
a
l
a/3
1
M(l-a)/l
M
Эпюра М
a
P(l-a)a/l
ql2/8
q
Эпюра М
P
Эпюра М
a
М
Эпюра М
a
Pа22
P
Эпюра М
М
qa2/2
Эпюра М
a
a
q
Мк
Мк
Эпюра Мк
Мк
Эпюра Мк
Мк
qa
Эпюра N
a
P
b
c
d
l
q
P
a
с
d
Py
a
c
700
1000
300
z
q
P
l
l
W
dα
R
φ
A
A1
B
B1
N
Q
M
qr
qt
700
1000
300
z
P
P
q
600
L
q
P
a
700
1000
300
z
P
h
b
L
T
P
qr
qt
qy
Pz
Рис.6.7. Расчетная схема
c
l
Рис 6.6. Форма рамы после деформирования
Wi =-Vi+1
Vi=Wi+1
Vi=-Wi+1
Wi =Vi+1
Ni+1
Ni
Ni
Qi
M xi
M xi
Qi+1
M xi+1
Qi
Ni+1
Qi+1
M xi+1
690
N+dN
M+dM
dS
Qy
Qz
dα
R
Н
М
0,7м
Н
М
0,3м
Р
Н
М
Н
М
Р
Рис. 6.8. Расчетная схема
H
600
m3
m2
m1
Рис. 6.9. Расчетная схема
835
1000
170
500
L
1000
z
MX,1
MX,вн
P
Эпюра N
q
qa
q
Эпюра N
a
300