Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
09.11.01г
Т.С.ПИГИЛОВА группа№43-10
Случайный эргодический процесс:
ть
Выводы:
1)Стационарность является необходимым условием эргодичности.
2)Любая реализация эргодического процесса содержит всю информацию о статистическом ансамбле.
3)Для стационарного, но неэргодического процесса характерна внутренняя неоднородность статистического ансамбля.
4)Неэргодический процесс, с точки зрения потребителя , существенно хуже эргодического, так как для определения экспериментальных характеристик приходится работать с очень большим ансамблем реализации.
x(t) y(t) y(t)
xk(t)
t1 t2 tn t
yk(t)
t1’ t2’ tn’ t
Полное вероятностное описание совокупности двух случайных процессов x(t) и y(t) даёт
(n+n’)-мерную плотность вероятности:
xi≤x(ti)<xi+dxi i=1,2…n
Wxy(x1,t1;…;xn,tn;y1,t1’;…;yn,tn’)dx1…dxn dy1…dyn=P (2.7.1)
yk≤y(tk)<yk+dyk k=1,2…n
Совместная (n+n’)-мерная плотность вероятности кроме свойства симметрии обладает всеми свойствами n-мерной плотности вероятности 1-ого процесса.
Можно переставить: xi,ti↔xj,tj
yk,tk’↔ye,te’
Опр. Случайные процессы x(t) и y(t) называются статистически независимыми, если их (n+n’)-мерная плотность вероятности разбивается на произведение:
Wxy(x1,t1;…;xn,tn;y1,t1’;…;yn,tn’)=Wx (x1,t1;…;xn,tn )Wy(y1,t1’;…;yn,tn’) (2.7.2)
(для любых значений n, n’, t).
Опр. Совместной характеристической функцией называется (n+n’)-мерное Фурье-преобразование:
θxy(U1,t1;…;Un,tn;V1,t1’;…;Vn,tn’)=<exp{j[U1x(t1)+…+ Unx(tn)+ V1y(t1’)+…+ +Vny(tn’)]}>x(t1);…;x(tn);y(t1’);…;y(tn’)=<exp{j[ ∑ Uix(ti)+∑ Vky(tk’)]}> (2.7.3)
i=1…n k=1…n
Совместная (или смешанная) моментная функция двух случайных процессов s-p порядка по ∆ представляет собой:
αx,ys,p=(t1,t2,…,ts;t1’,…,tp’)=<x(t1)•x(t2)•…•x(ts)•y(tn’)•…•y(tp’)> (2.7.4)
Если процессы x(t) и y(t) стат. независимые, то совместная моментная функция
разбивается на произведение моментных функций каждого процесса в отдельности:
αx,ys,p=<x(t1)•…•x(ts)><y(t1’)•…•y(tp’)>= αxs(t1,…,ts)•αyp(t1’,…,tp’)
Наиболее важными являются моментные и комулянтные функции первых двух порядков:
x(t) | y(t)
|
αx1=<x(t)>=mx(t) | αy1=<y(t)>=my(t)
αx2=<x(t1)·x(t2)>=Kx[t1,t2] | αy2=<y(t1)·y(t2)>=Ky[t1,t2]
Возникает смешанная моментная функция второго порядка:
αx,y1,1(t1,t2)=<x(t1)·y(t2)>=Kxy[t1,t2]-взаимная совместная (2.7.5)
корреляционная функция.
Bxy [t1,t2]=<x(t1)·y(t2)>-<x(t1)>·<y(t2)>=Kxy[t1,t2]-<x(t1)>·<y(t2)>-- (2.7.5’)
взаимная нормир. корреляционная функция.
Rxy[t1,t2]= (2.7.5”)
Взаимный коэффициент корреляции двух случайных процессов.
Если моменты времени совпадают, то:
Rxy[t1,t2]=
Kxy[t1,t2]=Kyx[t2,t1]
Kxx[t1,t2]=Kx[t2,t1] (2.7.6)
Два случайных процесса называют взаимнонекоррелированными , если их взаимная ковариационная функция равна нулю для любых моментов времени t1 и t2 или их взаимная корреляционная функция распадается на произведение средних.
Bxy [t1,t2]=0
Kxy[t1,t2]=<x(t1)∙y(t2)>= <x(t1)>·<y(t2)> (2.7.7)
Если процессы независимые , то они некоррелированные.
!!!Обратное утверждение не верно!!!
Свойство стационарности и эргодичности легко распространяется на совокупность случайных процессов.
Опр. Совокупность случайных процессов называется строго стационарной , если их совместная плотность вероятности любого порядка (n+n’) инвариантна сдвигу во времени.
Опр. Случайные процессы x(t) и y(t) называются стационарными в широком смысле , если их средние значения постоянны , а все корреляционные (ковариационные) функции зависят только от разности времён.
x(t) | y(t)
<x(t)>=mx(t)=mx=const | <y(t)>=my(t)=my=const
Kx[t1,t2]= Kx[t2-t1]= Kx[τ] | Ky[t1,t2]= Ky[t2-t1]= Ky[τ]
Kxy[t1,t2]= Kxy[t2-t1]= Kxy[τ]
Для автокоррелированной функции стационарного процесса:
Kx[t,t+τ]= <x(t)· x(t+τ)> =<x(t-τ)· x(t)>= Kx[-τ]
t=t+τ’ →→→ τ’=-τ
→автокоррелированная функция является симметричным процессом.
Kxy[t,t+τ]= <x(t)· y(t+τ)> =<x(t-τ)·y(t)> =<y(t)·x(t-τ) >= Kyx[-τ] (2.7.8)
Возникает вопрос: возможно ли , чтобы стационарные случайные процессы x(t) и y(t) образовывали нестационарную совокупность?
Рассмотрим следующий пример:
x(t)=ξ(t)·cosω0t+η(t)·sinω0t
y(t)=ξ(t)·sinω0t+η(t)·cosω0t
ξ(t) , η(t) –стационарные процессы
<ξ(t)>=0
Kξ[t,t+τ]=Kξ[τ]=K[τ]
<η(t)>=0
Kη[t,t+τ]=Kη[τ]=K[τ]
ξ(t),η(t)-некоррелированные , т.е. <ξ(t)·η(t+τ)>=0
Является ли совокупность процессов x(t) и y(t) стационарной в широком смысле?
<x(t)>=0
Kx[t,t+τ]= <x(t)· x(t+τ)> =< ξ(t)· ξ(t+τ)·cosω0t ·cosω0(t+τ)>+
+<η(t)· η(t+τ)·sinω0t·sinω0(t+τ)>+<ξ(t)·η(t+τ)·cosω0t ·sinω0(t+τ)>+
+< ξ(t+τ)·η(t)·sinω0t cosω0(t+τ)>=(детерм. функцию вытаскиваем)=K[τ]·cosω0τ -зависит от τ (Два последних слагаемых =0)
Процесс x(t) -стационарный в широком смысле.
Взаимная корреляционная функция:
Kxy[t,t+τ]= <x(t)·y(t+τ)> =< ξ(t)· ξ(t+τ)>·cosω0t ·sinω0(t+τ)+
+<η(t)· η(t+τ)>·sinω0t·cosω0(t+τ)=K[τ]·sin(2ω0t+ω0τ)-связь нестационарная
ξ(t) η(t)
t t
x(t) x(t)
t t
y(t) y(t)
t t
Kxy[t,t]=K[0]·sin2ω0t