Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Методические рекомендации для выполнения контрольной работы

Работа добавлена на сайт samzan.net:


Федеральное агентство по образованию РФ

ФГОУ СПО Псковский колледж строительства и экономики

Для заочного отделения

Специальность:

270103.51 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений»

Псков 2009

Содержание:

  1.  Рабочая программа
  2.  Методические рекомендации для выполнения контрольной работы.
  3.  Контрольная работа.
  4.  Экзаменационные вопросы.
  5.  Критерии оценки самостоятельной работы студентов.
  6.  Литература.

Федеральное агентство по образованию РФ

ФГОУ СПО Псковский колледж строительства и экономики

Рабочая программа дисциплины

«Элементы высшей математики»

Для заочного отделения.

Специальность:

270103.51 «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов»

Псков

2009

Пояснительная записка.

     Рабочая программа учебной дисциплины “Элементы высшей математики” предназначена для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников заочного отделения по специальности: 270206.51 «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов» среднего профессионального образования.

    Элементы высшей математики необходимы для изучения программирования, математической статистики, математических методов и специальных дисциплин.

   В программе по каждой теме приведены требования к основным знаниям и умениям, которые определяют обязательный минимальный уровень подготовки студентов по основному материалу.

  Студенты должны приобрести ряд общих знаний и навыков, необходимых для успешного усвоения высшей математики,  использования её при изучении специальных дисциплин, в курсовом и дипломном проектировании. Они должны уметь: делать ссылки на ранее изучаемый материал, самостоятельно изучать материал по учебной литературе, пользоваться справочными пособиями, предназначенными для средних специальных учебных заведений.

  Студенты должны усвоить, что математические понятия характеризуют свойства и отношения объектов реального мира, обладают широкой сферой применимости.

   При изучении дисциплины "Элементы высшей математики" рассматриваются следующие разделы математики:

  1.  Элементы линейной алгебры.
  2.  Основы математического анализа:
  •  Теория пределов. Непрерывность;
  •  Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной;
  •  Интегральное исчисление функций одной действительной переменной;
  •  Дифференциальное исчисление функций нескольких действительных переменных;
  •  Интегральное исчисление функций нескольких действительных переменных;
  •  Теория рядов;
  •  Дифференциальные уравнения.
  1.  Элементы аналитической геометрии.
  2.  Основы теории комплексных чисел.

Из которых на самостоятельное изучение выносятся следующие разделы:

  •  Теория рядов.
  •  Элементы аналитической геометрии.
  •  Основы теории комплексных чисел.

  В процессе изучения курса "Элементы высшей математики" проводятся:

  1.  Обязательная контрольная работа, выполнение которой обеспечивает допуск к экзамену. Каждая контрольная работа состоит из восьми разделов. Условия заданий, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако, числовые данные задач зависят от личного шифра студента, выполняющего работу. Шифр соответствует порядковому номеру фамилии студента в журнале группы.
    1.  Экзамен.

При проверке домашних контрольных работ «зачёт» ставится при условии, что работа выполнена полностью и без ошибок, либо при наличии не значительных недочётов. В противном случае работа возвращается на доработку.

Время на проведение перечисленных мероприятий выделяется из общего числа учебных часов.

Тематический план учебной дисциплины.

Наименование разделов и тем.

Максимальная нагрузка студента (ч.)

Количество аудиторных часов

Самостоятельная работа студента

Всего

Практи-ческие занятия (в том числе)

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

9

2

2

7

  1.  Матрицы.
  2.  Действия над матрицами. Определитель матрицы и его свойства. Миноры и алгебраи-ческие дополнения элементов матриц. Теорема Лапласа.
  3.  Ранг матрицы.
  4.  Обратная матрица. 
  5.  Решение простейших матричных уравнений и систем линейных уравнений в матричной форме. Решение систем линейных уравнений методом Кремера. 
  6.  Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

1

1

1

2

3

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

Раздел 2. Основы математического анализа.

50

13

6

37

Теория пределов. Непрерывность.

  1.  Понятие функции. Основные свойства функций.
  2.  Предел переменной величины. Основные свойства. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Замечательные пределы.
  3.  Непрерывность функции. Точки разрыва. Их классификация.

Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной.

  1.  Производная функции. Производ-ные основных элементарных функций. Производная сложной функции.
  2.  Дифференциал функции. Приме-нение дифференциала в приближённых вычислениях.
  3.  Интервалы возрастания и убы-вания функции. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значе-ния функции. Выпуклость и вог-нутость. Точки перегиба.
  4.  Асимптоты графика функции. Полное исследование функции и построение её графика.

Интегральное исчисление функции одной действительной переменной.

  1.  Первообразная функции. Неопре-делённый интеграл и его свойства. Непосредственное интегриро-вание.
  2.  Метод подстановки. Метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных дробей.
  3.  Определённый интеграл и его свойства. Методы интегрирования опреде-лённого интеграла.
  4.  Вычисление площадей криво-линейных трапеций. Вычисление объёмов тел вращения.
  5.  Несобственные интегралы.

Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных.

  1.  Функция многих действительных переменных. Частные производ-ные. Дифференциал функции многих действительных пере-менных. Производные высших порядков функции 2-х пере-менных. Экстремумы функции 2-х действительных переменных.

Интегральное исчисление функции многих действительных переменных.

  1.  Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл и его свойства.

Теория рядов.

  1.  Числовой ряд. Его свойства. Необходимый признак сходи-мости.
  2.  Признак сравнения и признак Даламбера положительных рядов.
  3.  Признак Коши и интегральный признак положительных рядов.
  4.  Знакочередующиеся и знакопе-ременные ряды.
  5.  Функциональные ряды.Степен-ные ряды. Радиус сходимости. Область сходимости.
  6.  Ряды Тейлора и Маклорена.

Дифференциальные уравнения.

  1.  Понятие дифференциального уравнения. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделёнными переменными. Задача Коши. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными. Задача Коши.
  2.  Линейные дифференциальные уравнения 1-ого порядка. Метод Бернулли. Задача Коши. Линейные дифференциальные уравнения вида y’+ay = b и y’= ay. Линейные дифференциальные уравнения с искомой функцией x(y).
  3.  Дифференциальные уравнения 2-ого порядка. Общее решение. Линейные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Задача Коши для диффе-ренциальных уравнений 2-ого порядка. Дифференциальные уравнения n-ого порядка.

1

3

2

3

1

3

2

2

3

2

2

2

4

4

1

1

1

1

1

1

4

4

2

1

1

2

1

1

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

1

1

1

1

2

3

2

Раздел 3.  Элементы аналитической геометрии.

6

-

-

6
  1.  Векторы. Операции над векторами.
  2.  Прямая на плоскости.
  3.  Кривые 2-ого порядка.

2

2

2

2

2

2

Раздел 4. Основы теории комплекс-               

                       ных чисел.

5

1

-

4
  1.  Понятие мнимой единицы. Определение комплексного числа.

       Действия       над     комплексными                          

        числами в алгебраической форме.

  1.  Тригонометрическая форма комп-лексного числа.
  2.  Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
  3.  Показательная форма комп-лексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме.

2

1

1

1

1

1

1

1

1

Всего:

70

16

8

54

Раздел 1. Элементы линейной алгебры.

  1.  Матрицы.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие матрицы;
  •  Виды матриц.

Уметь:

  •  Определять размерность матрицы;
  •  Определять её вид.

Содержание:

  •  Понятие матрицы:
  •  Виды матриц.

1.2. Действия над матрицами. Определитель матрицы и его основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

Студент должен:

Знать:

  •  Какие операции выполняются над матрицами:
  •  Свойства матриц.
  •  Понятие определителя матрицы;
  •  Способы вычисления определителей 2-ого и 3-его порядков;
  •  Свойства определителей.
  •  Понятие минора элемента матрицы;
  •  Понятие алгебраического дополнения элемента матрицы.
  •  Способы вычисления определителей 2-ого и 3-его порядков;
  •  Теорему Лапласа.

Уметь:

  •  Выполнять действия над матрицами (сумма, разность, умножение на число, умножение матриц, возведение в степень);
  •  Применять свойства матриц.
  •  Вычислять определители 2-ого и 3-его порядков;
  •  Применять свойства при вычислении определителей.
  •  Вычислять миноры и алгебраические дополнения элементов матриц.
  •  Вычислять по теореме Лапласа определители 3-его порядка и определители высших порядков.

Содержание:

  •  Действия над матрицами: сумма, разность, умножение на число, умножение матриц, возведение в степень;
  •  Свойства матриц.
  •  Определитель 2-ого и 3-его порядка.
  •  Основные свойства определителей.
  •  Миноры.
  •  Алгебраические дополнения.
  •  Теорема Лапласа;
  •  Вычисление по теореме Лапласа определителей 3-его порядка и определителей высших порядков.

1.3. Ранг матрицы.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие минора k-ого порядка;
  •  Понятие ранга матрицы;
  •  Свойства ранга матрицы;
  •  Теорему о ранге матрицы;
  •  Элементарные преобразования матриц.

Уметь:

  •  Вычислять миноры k-ого порядка;
  •  Определять ранг матрицы.

Содержание:

  •  Миноры k-ого порядка;
  •  Ранг матрицы;
  •  Его свойства;
  •  Теорема о ранге матрицы;
  •  Простейшие преобразования матриц.

1.4. Обратная матрица.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятия вырожденной и невырожденной матриц;
  •  Понятия обратной и обратимой матриц;
  •  Теорема об обратной матрице;
  •  Алгоритм нахождения обратной матрицы.

Уметь:

  •  Определять вырожденная матрица или невырожденная;
  •  Находить обратную матрицу;
  •  Проверять правильность нахождения обратной матрицы.

Содержание:

  •  Вырожденная и невырожденная матрицы;
  •  Обратная и обратимая матрицы;
  •  Теорема об обратной матрице;
  •  Алгоритм нахождения обратной матрицы.

1.5. Решение простейших матричных уравнений и систем линейных уравнений в матричной форме. Решение систем линейных уравнений методом Крамара.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие простейшего матричного уравнения;
  •  Алгоритм его решения;
  •  Переход от системы линейных уравнений к простейшему матричному уравнению;
  •  Теорему Крамара;
  •  Формулы Крамара;
  •  Частные случаи метода Крамара.

Уметь:

  •  Решать простейшие матричные уравнения;
  •  Переходить от системы линейных уравнений к матричному уравнению;
  •  Решать системы линейных уравнений методом Крамара.

Содержание:

  •  Простейшие матричные уравнения;
  •  Алгоритм их решения;
  •  Переход от системы линейных уравнений к простейшему матричному уравнению;
  •  Решение простейших матричных уравнений и систем линейных уравнений в матричной форме;
  •  Теорема Крамара;
  •  Частные случаи метода Крамара;
  •  Решение систем линейных уравнений методом Крамара.

1.6. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Студент должен:

Знать:

  •  Принцип метода Гаусса;
  •  Возможные элементарные преобразования матрицы системы линейных уравнений.

Уметь:

  •  Решать системы линейных уравнений методом Гаусса.

Содержание:

  •  Метод Гаусса;
  •  Простейшие преобразования матрицы системы линейных уравнений;
  •  Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Контрольные вопросы:

Раздел 1. Элементы линейной алгебры.

  1.  Матрицы.
  2.  Действия над матрицами.
  3.  Определитель матрицы и его свойства.
  4.  Миноры и алгебраические дополнения элементов матриц.
  5.  Теорема Лапласа.
  6.  Ранг матрицы.
  7.  Обратная матрица.
  8.  Решение простейших матричных уравнений и систем линейных уравнений в матричной форме.
  9.  Решение систем линейных уравнений методом Кремера.

10. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Раздел 2. Основы математического анализа.

Теория пределов. Непрерывность.

2.1. Понятие функции. Основные свойства функций.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие числовой функции;
  •  Область определения и область значения функции;
  •  Способы задания функции;
  •  Графики функций;
  •  Основные свойства функций;
  •  Понятия обратной и обратимой функций.

Уметь:

  •  Находить область определения и область значения функции;
  •  Строить графики функций;
  •  Определять монотонность и ограниченность функции;
  •  Определять чётность и нечётность функции;
  •  Определять периодичность функции;
  •  Находить функцию обратную данной.

Содержание:

  •  Понятие функции и все понятия, связанные с ней: постоянная, переменная величины, область определения и область значения;
  •  Способы задания функций;
  •  Графики основных функций;
  •  Основные свойства функций: монотонность, ограниченность, периодичность, чётность и нечётность;
  •  Обратная и обратимая функции.

2.2. Предел переменной величины. Его основные свойства. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Замечательные пределы.

Студент должен:

Знать:

  •  Определение предела переменной величины;
  •  Основные свойства предела переменной величины;
  •   Понятие предела функции в точке;
  •  Понятия бесконечно большой и бесконечно малой величин;
  •  Свойства пределов функций в точке;
  •  Способы раскрытия неопределённости (0 / 0);
  •  Понятие предела функции на бесконечности;
  •  Свойства пределов функции на бесконечности;
  •  Способ раскрытия неопределённости ;
  •  1-ый замечательный предел и его вывод;
  •  2-ой замечательный предел;
  •  Методы вычисления пределов, используя 1-ый и 2-ой замечательные пределы.

Уметь:

  •  Находить пределы переменной величины;
  •  Применять свойства при вычислении пределов;
  •  Находить предел функции в точке;
  •  Применять свойства при вычислении предела;
  •  Избавляться от неопределённости (0 / 0);
  •  Находить пределы функций на бесконечности;
  •  При вычислении пределов применять их свойства;
  •  Раскрывать неопределённость.
  •  Вычислять пределы функции, используя 1-ый и 2-ой замечательные пределы.

Содержание:

  •  Предел переменной величины;
  •  Его основные свойства;
  •  Вычисление пределов;
  •  Предел функции в точке;
  •  Бесконечно большая и бесконечно малая величины;
  •  Свойства предела функции в точке;
  •  Неопределённость (0 / 0);
  •  Предел функции на бесконечности;
  •  Его основные свойства;
  •  Неопределённость;
  •  1-ый замечательный предел и его вывод;
  •  2-ой замечательный предел;
  •  Вычисление пределов, сводящихся к 1-ому и 2-ому замечательным пределам.

2.3. Непрерывность функции. Точки разрыва. Их классификация.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятия приращения аргумента и функции;
  •  Понятие непрерывности функции в точке;
  •  Понятие непрерывности функции на отрезке;
  •  Свойства непрерывных функций;
  •  Понятие непрерывности функции на всей области определения;
  •  Понятие точки разрыва функции;
  •  Классификацию точек разрыва.

Уметь:

  •  Устанавливать непрерывность функции в точке, на отрезке, на всей области определения;
  •  Определять точку разрыва;
  •  Определять тип точки разрыва.

Содержание:

  •  Приращение аргумента и функции;
  •  Понятие непрерывности функции в точке;
  •  Понятие непрерывности функции на отрезке;
  •  Понятие непрерывности функции на всей области определения.
  •  Свойства непрерывных функций;
  •  Точка разрыва;
  •  Классификация точек разрыва.

Контрольные вопросы:      

Теория пределов. Непрерывность.

  1.  Понятие функции. Основные свойства функций.
  2.  Предел переменной величины. Основные свойства.
  3.  Предел функции в точке.
  4.  Предел функции на бесконечности.
  5.  Замечательные пределы.
  6.  Непрерывность функции.
  7.  Точки разрыва. Их классификация.

Дифференциальное исчисление функции одной

действительной переменной.

2.4. Производная функции. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции.

Студент должен:

Знать:

  •  Определение производной функции;
  •  Общее правило дифференцирования функции;
  •  Основные правила дифференцирования;
  •  Основные формулы дифференцирования;
  •  Понятие сложной функции;
  •  Правила дифференцирования сложной функции.

Уметь:

  •  Находить производную функции по общему правилу;
  •  Находить производные функций, используя правила и формулы дифференцирования;
  •  Дифференцировать сложные функции.

Содержание:

  •  Определение производной функции;
  •  Общее правило дифференцирования функции;
  •  Основные правила дифференцирования;
  •  Основные формулы дифференцирования;
  •  Понятие сложной функции;
  •  Правила дифференцирования сложной функции.

2.5. Дифференциал. Правила дифференцирования. Применение дифференциала в приближённых вычислениях.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие дифференциала функции;
  •  Геометрический смысл дифференциала;
  •  Формулы нахождения дифференциала функции;
  •  Как используется дифференциал функции в приближённых вычислениях.

Уметь:

  •  Находить дифференциалы функций;
  •  Вычислять приближённое приращение функции;
  •  Вычислять приближённое значение функции.

Содержание:

  •  Понятие дифференциала функции;
  •  Геометрический смысл дифференциала;
  •  Формулы нахождения дифференциала функции;
  •  Нахождение дифференциалов функций;
  •  Формулы для приближённого вычисления приращения функции и значения функции.

2.6. Интервалы монотонности функции. Экстремумы функции.  Наибольшее и наименьшее значения функции.

         Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятия возрастающей и убывающей функций;
  •  Признаки монотонности функции;
  •  Алгоритм нахождения интервалов монотонности;
  •  Понятие экстремума функция;
  •  Признаки экстремума функции;
  •  Алгоритм исследования функции на экстремум;
  •  Понятия наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке ;
  •  Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке ;
  •  Понятии выпуклой и вогнутой функций4
  •  Алгоритм нахождения интервалов выпуклости и вогнутости функции;
  •  Понятие точки перегиба;
  •  Алгоритм нахождения точек перегиба.

Уметь:

  •  Исследовать функцию на монотонность и экстремумы с помощью 1-ой и 2-ой производной;
  •  Находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке ;
  •  Находить интервалы выпуклости и вогнутости функции;
  •  Находить точки перегиба функции.

Содержание:

  •  Возрастающая и убывающая функция;
  •  Признаки монотонности функции;
  •  Алгоритм нахождения интервалов монотонности;
  •  Понятие экстремума функция;
  •  Признаки экстремума функции (необходимый и достаточный);
  •  Алгоритм исследования функции на экстремум;
  •  Исследование функций на монотонность и экстремумы с помощью производной;
  •  Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке ;
  •  Интервалы выпуклости и вогнутости функции;
  •  Точки перегиба функции.

2.7. Асимптоты графика функции. Полное исследование функции.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие асимптоты графика функции;
  •  Виды асимптот;
  •  Формулы асимптот: вертикальной, горизонтальной и наклонной;
  •  Алгоритм полного исследования функции.

Уметь:

  •  Находить асимптоты графика функции: вертикальную, горизонтальную и наклонную;
  •  Исследовать функцию и строить её график по результатам исследования.

Содержание:

  •  Асимптоты графика функции;
  •  Вертикальная асимптота;
  •  Горизонтальная асимптота;
  •  Наклонная асимптота;
  •  Алгоритм полного исследования функции.

Контрольные вопросы:

Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной.

  1.  Производная функции. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции.
  2.  Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближённых вычислениях.
  3.  Интервалы возрастания и убывания функции. Экстремумы функции.
  4.  Наибольшее и наименьшее значения функции.
  5.   Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
  6.  Асимптоты графика функции.
  7.  Полное исследование функции и построение её графика.

Интегральное исчисление функции одной

действительной переменной.

2.8. Первообразная функции. Неопределённый интеграл и его свойства. Непосредственное интегрирование.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие первообразной функции;
  •  Понятие неопределённого интеграла;
  •  Свойства неопределённого интеграла;
  •  Основные формулы интегрирования.

Уметь:

  •  Находить первообразную функции;
  •  Находить неопределённые интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований.

Содержание:

  •  Первообразная функции и её неоднозначность;
  •  Неопределённый интеграл;
  •  Его свойства;
  •  Основные формулы интегрирования;
  •  Нахождение неопределённых интегралов.

2.9. Метод подстановки, метод интегрирования по частям в неопределённом интеграле. Интегрирование рациональных дробей.

Студент должен:

Знать:

  •  Свойства неопределённого интеграла;
  •  Основные формулы интегрирования;
  •  Метод подстановки;
  •  Метод интегрирования по частям;
  •   Понятие простейшей, рациональной дроби;
  •  Четыре случая метода интегрирования рациональных дробей.

Уметь:

  •  Находить неопределённые интегралы, используя метод подстановки.
  •  Находить неопределённые интегралы, используя метод интегрирования по частям.
  •  Находить неопределённые интегралы, используя метод рациональных дробей.

Содержание:

  •  Метод подстановки;
  •   Метод интегрирования по частям;
  •  Метод рациональных дробей (4 случая, исчерпывающие все возможные варианты);
  •  Нахождение неопределённых интегралов, используя метод подстановки, используя метод интегрирования по частям ,интегрирование методом рациональных дробей.

2.10. Определённый интеграл и его свойства. Методы интегрирования определённого интеграла.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие определённого интеграла;
  •  Свойства определённого интеграла;
  •  Основные формулы интегрирования;
  •  Формулу Ньютона-Лейбница;
  •  Метод интегрирования заменой переменной;
  •  Метод интегрирования по частям.

Уметь:

  •  Вычислять определённый интеграл с помощью основных свойств и формул.
  •  Вычислять определённые интегралы методом замены переменной и методом интегрирования по частям.

Содержание:

  •  Определённый интеграл;
  •  Свойства определённого интеграла;
  •  Формула Ньютона-Лейбница;
  •  Вычисление определённых интегралов;
  •  Метод замены в определённом интеграле;
  •  Метод интегрирования по частям в определённом интеграле.

2.11. Вычисление площади криволинейной трапеции. Вычисление объёмов тел вращения.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие криволинейной трапеции;
  •  Геометрический смысл определённого интеграла;
  •  Правила вычисления площадей криволинейных трапеций;
  •  Понятие тела вращения;
  •  Формулы объёмов тел вращения (вокруг оси Ox и оси Oy).

Уметь:

  •  Вычислять площади различных криволинейных трапеций.
  •  Вычислять объёмы тел вращения, образованных вращением криволинейных трапеций вокруг оси Ох и оси Oy.

Содержание:

  •  Криволинейная трапеция;
  •  Геометрический смысл определённого интеграла;
  •  Правила вычисления площадей криволинейных трапеций;
  •  Тело вращения;
  •  Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох площади ограниченной линиями;
  •  Объём тела, образованного вращением вокруг оси Оy площади ограниченной линиями.

2.12. Несобственные интегралы.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие несобственных интегралов;
  •  Способы вычисления несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования;
  •  Способы вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций.

Уметь:

  •  Вычислять несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования;
  •  Вычислять несобственные интегралы от неограниченных функций.

Содержание:

  •  Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования;
  •  Несобственные интегралы от неограниченных функций;
  •  Вычисление несобственных интегралов.

Контрольные вопросы:

Интегральное исчисление функции одной действительной переменной.

  1.  Первообразная функции. Неопределённый интеграл и его свойства.
  2.  Основные формулы интегрирования.
  3.  Метод подстановки. Метод интегрирования по частям.
  4.  Интегрирование рациональных дробей.
  5.  Определённый интеграл и его свойства.
  6.  Методы интегрирования определённого интеграла.
  7.  Вычисление площадей криволинейных трапеций. Вычисление объёмов тел враще-ния.
  8.  Физический смысл определённого интеграла.
  9.  Несобственные интегралы.

Дифференциальное исчисление функции нескольких

действительных переменных.

2.13. Функции многих действительных переменных. Частные производные. Дифференциал функции многих переменных. Производные высших порядков функции 2-х переменных.  

         Экстремумы функции 2-х переменных.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие функции многих действительных переменных;
  •  Способы её задания;
  •  Понятие области её определения;
  •  Её графики;
  •  Понятие предела функции нескольких переменных;
  •  Понятие непрерывности функции нескольких переменных;
  •  Понятие частной производной функции нескольких переменных по одной из переменных;
  •  Понятие частного приращения функции нескольких переменных;
  •  Понятие частного дифференциала функции нескольких переменных;
  •  Понятие полного дифференциала функции нескольких переменных;
  •  Понятие 2-ой частной производной функции 2-х переменных;
  •  Теорему о смешанных производных;
  •  Понятия 3-ей  и выше частных производных функции 2-х переменных;
  •  Понятие полного дифференциала 2-ого порядка функции 2-х переменных;
  •  Понятие точки экстремума функции;
  •  Необходимый признак экстремума функции 2-х переменных;
  •  Достаточный признак экстремума функции 2-х переменных;
  •  Алгоритм отыскания экстремумов функции 2-х переменных.

Уметь:

  •  Находить область определения функции 2-х переменных;
  •  Находить предел функции 2-х переменных;
  •  Определять непрерывность функции 2-х переменных;
  •  Находить частные производные функций 2-х и 3-х переменных;
  •  Находить частные дифференциалы функции нескольких переменных;
  •  Находить полный дифференциал функции нескольких переменных;
  •   Находить частные производные 2-ого, 3-его и выше порядка от функций 2-х переменных;
  •  Находить полный дифференциал 2-ого порядка функции 2-х переменных;
  •  Находить экстремумы функции 2-х переменных.

Содержание:

  •  Функции многих действительных переменных;
  •  Способы  задания функции многих действительных переменных;
  •  Область определения функции многих действительных переменных;
  •  Понятие предела функции нескольких переменных;
  •  Понятие непрерывности функции нескольких переменных.
  •  Частные производные 2-х и 3-х переменных;
  •  Частные приращения функции нескольких переменных;
  •  Частные дифференциалы функции нескольких переменных;
  •  Полный дифференциал функции нескольких переменных;
  •  Частные производные 2-ого, 3-его и выше порядков от функций 2-х переменных;
  •  Полный дифференциал 2-ого порядка функции 2-х переменных;
  •  Экстремумы функции 2-х переменных.

Контрольные вопросы:

Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных.

  1.  Функция многих действительных переменных.
  2.  Частные производные.
  3.  Дифференциал функции многих действительных переменных.
  4.  Производные высших порядков функции 2-х переменных. Экстремумы функции 2-     х действительных переменных.

Интегральное исчисление функции нескольких

действительных переменных.

2.8. Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл и его свойства.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие цилиндрического тела;
  •  Два принципа определения объёма тела;
  •  Понятие частичной области;
  •  Понятие объёма цилиндрического тела;
  •  Понятие двойного интеграла;
  •  Теорему существования двойного интеграла;
  •  Свойства двойного интеграла;
  •  Два случая двойного интеграла: простейший и общий;
  •  Способ изменения порядка интегрирования.

Уметь:

  •  Отличать цилиндрическое тело от других тел;
  •  Выводить формулу объёма цилиндрического тела;
  •  Вычислять двойные интегралы простейшего случая и общего случая;
  •  Пользоваться при вычислении двойного интеграла его свойствами;
  •  Изменять порядок интегрирования.

Содержание:

  •  Цилиндрическое тело;
  •  Два принципа определения объёма тела;
  •  Частные области;
  •  Объём цилиндрического тела;
  •  Двойной интеграл;
  •  Теорема существования двойного интеграла;
  •  Свойства двойного интеграла;
  •  Вычисление двойных интегралов: простейший случай и общий случай;
  •  Изменение порядка интегрирования.

Контрольные вопросы:

Интегральное исчисление функции многих действительных переменных.

  1.  Объём цилиндрического тела.
  2.  Двойной интеграл и его свойства.
  3.  Изменения порядка интегрирования.

Теория рядов.

2.15. Числовой ряд. Его свойства. Необходимый признак сходимости.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие числового ряда;
  •  Понятие суммы N первых членов ряда;
  •  Понятие суммы  ряда;
  •  Понятие остатка ряда;
  •  Основные свойства сходящихся рядов;
  •  Необходимый признак сходимости.

Уметь:

  •  Зная Un определять любой член ряда;
  •  По нескольким первым членам ряда определять общий член ряда;
  •  Пользоваться свойствами рядов;
  •  Проверять выполнимость необходимого признака сходимости.

Содержание:

  •  Числовой ряд;
  •  Частичная сумма;
  •  Сумма ряда;
  •  Остаток ряда;
  •  Основные свойства сходящихся рядов;
  •  Необходимый признак сходимости.

2.16. Признак сравнения и признак Даламбера положительных рядов.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие положительного ряда;
  •  «Эталонные ряды»;
  •  Признак сравнения;
  •  Предельный признак сравнения;
  •  Признак Даламбера.

Уметь:

  •  Определять положительный ряд;
  •  Применять :  Признак сравнения;

                           Предельный признак сравнения;

                           Признак Даламбера.

Содержание:

  •  Понятие положительного ряда;
  •  «Эталонные ряды»;
  •  Признак сравнения;
  •  Предельный признак сравнения;
  •  Признак Даламбера.

2.17. Признак Коши и интегральный признак положительных рядов.

Студент должен:

Знать:

  •  Признак Коши;
  •  Интегральный признак сходимости.

Уметь:

  •  Исследовать на сходимость ряды с помощью интегрального признака сходимости и признака Коши.

Содержание:

  •  Признак Коши;
  •  Интегральный признак сходимости;
  •  Исследование рядов на сходимость.

2.18. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие знакочередующегося ряда;
  •  Признак Лейбница;
  •  Понятие знакопеременного ряда;
  •  Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда;
  •  Понятия абсолютно и условно сходящихся знакопеременных рядов;
  •  Свойства абсолютно сходящихся знакопеременных рядов.

Уметь:

  •  Исследовать сходимость знакочередующихся и знакопеременных рядов с помощью признака Лейбница;
  •  Определять абсолютную или условную сходимости.

Содержание:

  •  Знакочередующийся ряд;
  •  Признак Лейбница;
  •  Знакопеременный ряд;
  •  Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда;
  •  Понятия абсолютно и условно сходящихся знакопеременных рядов;
  •  Свойства абсолютно сходящихся знакопеременных рядов;
  •  Исследование рядов на сходимость.

2.19. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости.        Область сходимости.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие функциональных последовательностей и рядов;
  •  Понятия точки сходимости и области сходимости ряда;
  •  Признак Вейерштрасса;
  •  Понятие степенного ряда;
  •  Три типа степенных рядов;
  •  Понятие и формулы радиуса сходимости ряда;
  •  Понятие области сходимости ряда;
  •  Теорему Абеля;
  •  Общие свойства степенных рядов.

Уметь:

  •  Вычислять радиус сходимости степенного ряда;
  •  Исследовать поведение степенного ряда  на концах интервала сходимости;
  •  Определять область сходимости.

Содержание:

2.20. Ряды Тейлора и Маклорена.

Студент должен:

Знать:

  •  Теорему о единственности разложения функции в ряд;
  •  Ряд Тейлора;
  •  Ряд Макларена.

Уметь:

  •  Раскладывать функции в ряд Тейлора и в ряд Макларена.

Содержание:

  •  Теорема о единственности разложения функции в ряд;
  •  Ряд Тейлора;
  •  Ряд Маклорена;
  •  Разложение функций в ряд.

Контрольные вопросы:

«Теория рядов».

  1.  Числовой ряд. Его свойства. Необходимый признак сходимости.
  2.  Признак сравнения и признак Даламбера положительных рядов.
  3.  Признак Коши и интегральный признак положительных рядов.
  4.  Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
  5.  Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Радиус схо-димости.
  6.  Ряды Тейлора и Маклорена.

Дифференциальные уравнения.

2.21. Понятие дифференциального уравнения. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделёнными переменными. Задача Коши.

Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимися  переменными. Задача Коши.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие диф. уравнения;
  •  Как определить порядок диф. уравнения;
  •  Что значит решить диф. уравнение;
  •  Понятия общего и частного решений диф. уравнения;
  •  Задачу Коши;
  •  Примеры задач, приводящих к диф. Уравнениям;
  •  Понятие диф. уравнения 1-ого порядка с разделёнными переменными;
  •  Принцип решения диф. уравнения 1-ого порядка с разделёнными переменными;
  •  Как решить задачу Коши для диф. уравнения 1-ого порядка с разделёнными переменными;
  •  Понятие диф. уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными;
  •  Алгоритм решения диф. уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными;
  •  Как решить задачу Коши для диф. уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными.

Уметь:

  •  Отличить диф. уравнение;
  •  Определить порядок диф. уравнения;
  •  Решать задачи, сводящиеся к диф. Уравнениям;
  •  Отличить диф. уравнения 1-ого порядка с разделёнными переменными;
  •  Решать диф. уравнения 1-ого порядка с разделёнными переменными;
  •  Решать задачу Коши для диф. уравнения 1-ого порядка с разделёнными переменными;
  •  Отличить диф. уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными;
  •  Решать диф. уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными;
  •  Решать задачу Коши для диф. уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными.

Содержание:

  •  Диф. уравнение;
  •  Порядок диф. уравнение;
  •  Решения диф. уравнения: общее и частное;
  •  Задача Коши;
  •  Диф. уравнения 1-ого порядка с разделёнными переменными;
  •  Принцип решения диф. уравнения 1-ого порядка с разделёнными переменными;
  •  Задача Коши для диф. уравнения 1-ого порядка с разделёнными переменными;
  •  Диф. уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными;
  •  Алгоритм решения диф. уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными;
  •  Задача Коши для диф. уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными.

2.22. Линейные дифференциальные уравнения 1-ого порядка. Метод Бернулли. Задача Коши. Линейные дифференциальные уравнения вида y’+ay=b и y’=ay. Линейные дифференциальные уравнения с искомой функцией x(y).

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие линейного дифференциального уравнения 1-ого порядка;
  •  Способ решения линейного дифференциального уравнения 1-ого порядка (метод Бернулли);
  •  Как решать задачу Коши для линейного дифференциального уравнения 1-ого порядка;
  •  Принцип решения линейных дифференциальных уравнений вида y’+ay=b и y’=ay;
  •  Принцип решения линейных дифференциальных уравнений с искомой функцией x(y).

Уметь:

  •  Отличить линейное дифференциальное уравнение 1-ого порядка;
  •  Решать линейное дифференциальное уравнение 1-ого порядка методом Бернулли;
  •  Решать задачу Коши для линейного дифференциального уравнения 1-ого порядка;
  •  Решать  линейные дифференциальные уравнения вида y’+ay=b и y’=ay;
  •  Решать линейные дифференциальные уравнения с искомой функцией x(y).

Содержание:

  •  Линейное дифференциальное уравнение 1-ого порядка;
  •  Метод Бернулли;
  •  Задача Коши для линейного дифференциального уравнения 1-ого порядка;
  •  Решение линейных дифференциальных уравнений 1-ого порядка;
  •  Линейные дифференциальные уравнения вида y’+ay=b и y’=ay;
  •  Линейные дифференциальные уравнения с искомой функцией x(y).

2.51. Дифференциальные уравнения 2-ого порядка. Общее решение. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Задача Коши для линейных однородных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Студент должен:

Знать:

  •  Понятие дифференциальных уравнений высших порядков;
  •  Понятие дифференциального уравнения 2-ого порядка;
  •  Общее решение простейшего дифференциального уравнения 2-ого порядка;
  •  Как решать задачу Коши для дифференциального уравнения 2-ого порядка;
  •  Понятие линейного однородного дифференциального уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами;
  •  Теоремы о решении линейного однородного дифференциального уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами;
  •  Понятие характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами;
  •  Виды общих решений линейных однородных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения.
  •  Как решается задача Коши для линейных однородных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Уметь:

  •  Отличить дифференциальное уравнение 2-ого порядка ;
  •  Решать простейшее дифференциальное уравнение 2-ого порядка;
  •  Решать задачу Коши для дифференциального уравнения 2-ого порядка;
  •  Отличить линейное однородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка с постоянными коэффициентами;
  •  Составлять характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами;
  •  Находить общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения;
  •  Решать задачу Коши для линейного однородного дифференциального уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Содержание:

  •  Дифференциальные уравнения высших порядков;
  •  Дифференциальные уравнения 2-ого порядка;
  •  Общее решение простейших дифференциальных уравнений второго порядка;
  •  Задача Коши для дифференциальных уравнений 2-ого порядка;
  •  Решение простейших дифференциальных уравнений 2-ого порядка;
  •  Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка с постоянными коэффициентами;
  •  Теоремы о решении линейного однородного дифференциального уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами;
  •  Понятие характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами;
  •  Виды общих решений линейных однородных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения;.
  •  Решение линейных однородных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными;
  •  Задача Коши для линейного однородного дифференциального уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Контрольные вопросы:

«Дифференциальные уравнения».

  1.  Понятие дифференциального уравнения. Задача Коши.
  2.  Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделёнными переменными. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными.
  3.  Линейные дифференциальные уравнения 1-ого порядка. Метод Бернулли. Задача Коши.
  4.  Линейные дифференциальные уравнения вида y’+ay = b и y’= ay. Линейные дифференциальные уравнения с искомой функцией x(y).
  5.  Дифференциальные уравнения 2-ого порядка. Общее решение. Задача Коши для дифференциальных уравнений 2-ого порядка.
  6.  Линейные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Раздел 3. Элементы аналитической геометрии.

3.1. Векторы. Операции над векторами.

Студент должен:

Знать:

  •  понятие вектора;
  •  его характеристики;
  •  коллинеарность и равенство векторов;
  •  действия над векторами (сложение, разность, умножение вектора на число);
  •  понятие линейной комбинации векторов;
  •  понятие базиса;
  •  понятие декартовой системы координат;
  •  координаты вектора на плоскости и в пространстве;
  •  действия над векторами в пространстве;
  •  формулы вычисления модуля вектора на плоскости и в пространстве;
  •  понятие скалярного произведения векторов;
  •  свойства скалярного произведения векторов;
  •  выражение скалярного произведения в координатах;
  •  формулу косинуса угла между векторами;
  •  формулы деления отрезка в данном соотношении.

Уметь:

  •  выполнять действия над векторами (графически и в координатной форме);
  •  разлагать вектор на составляющие;
  •  строить вектора в плоской и пространственной системах координат;
  •  вычислять координаты вектора на плоскости и в пространстве;
  •  выполнять действия над векторами на плоскости и в пространстве;
  •  вычислять модуль вектора на плоскости и в пространстве;
  •  вычислять скалярное произведение векторов на плоскости и пространстве;
  •  вычислять угол между векторами на плоскости и в пространстве;
  •  вычислять координаты точки, которая делит отрезок в данном отношении.

Содержание:

  •  вектор и его характеристики;
  •  коллинеарность векторов;
  •  действия над векторами;
  •  линейная комбинация векторов;
  •  базис;
  •  разложение вектора на составляющие;
  •  декартова система координат;
  •  координаты и модуль вектора на плоскости и в пространстве;
  •  действия над векторами на плоскости и в пространстве;
  •  скалярное произведение векторов и его свойства;
  •  угол между векторами;
  •  деление отрезка в данном отношении.

3.2. Прямая на плоскости.

Студент должен:

Знать:

  •  общие уравнения прямой;
  •  неполные уравнения прямой и их графики;
  •  уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором;
  •  уравнение прямой, заданной двумя точками;
  •  уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором.

Уметь:

  •  составлять уравнения прямых, в зависимости от данных.

Содержание:

  •  общее уравнение прямой;
  •  неполные уравнения прямой;
  •  уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором;
  •  уравнение прямой, заданной двумя точками;
  •  уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором.

3.3. Кривые 2-ого порядка.

Студент должен:

Знать:

  •  понятие уравнения 2-ой степени;
  •  определение окружности и её уравнение;
  •  определение эллипса и его уравнение;
  •  определение гиперболы и её уравнение;
  •  определение параболы и её уравнение;
  •  основные характеристики кривых 2-ого порядка.

Уметь:

  •  составлять уравнения кривых 2-огопорядка;
  •  находить характеристики кривых 2-ого порядка.

Содержание:

  •  окружность и её уравнение;
  •  эллипс и его уравнение;
  •  гипербола и её уравнение;
  •  парабола и её уравнение.

Контрольные вопросы:

«Элементы аналитической геометрии».

  1.  Векторы. Операции над векторами.
  2.  Прямая на плоскости.
  3.  Кривые 2-ого порядка.

Раздел 4. Основы теории комплексных чисел.

4.1. Понятие мнимой единицы. Определение комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Студент должен:

Знать:

  •  понятие мнимой единицы;
  •  степени мнимой единицы;
  •  понятие комплексного числа;
  •  алгебраическую форму комплексного числа;
  •  понятие чисто мнимого комплексного числа;
  •  понятие действительного комплексного числа;
  •  понятия равных и сопряжённых комплексных чисел;
  •  действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Уметь:

  •  возводить в степень мнимую единицу;
  •  выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Содержание:

  •  мнимая единица;
  •  Комплексное число;
  •  Алгебраическая форма комплексного числа;
  •  Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

4.2. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Студент должен:

Знать:

  •  Геометрическую интерпретацию комплексного числа;
  •  Понятие модуля комплексного числа;
  •  Понятие аргумента комплексного числа и способ его определения;
  •  Тригонометрическую форму комплексного числа;
  •  Способ перехода от алгебраической формы к тригонометрической форме комплексного числа, и наоборот.

Уметь:

  •  Изображать комплексное число на плоскости;
  •  Находить модуль комплексного числа;
  •  Находить аргумент комплексного числа;
  •  Переходить от алгебраической формы к тригонометрической форме комплексного числа, и наоборот.

Содержание:

  •  Геометрическая интерпретация комплексного числа;
  •  Модуль комплексного числа;
  •  Аргумент комплексного числа и способ его определения;
  •  Тригонометрическая форма комплексного числа;
  •  Способ перехода от алгебраической формы к тригонометрической форме комплексного числа, и наоборот.

4.3. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Студент должен:

Знать:

  •  Какие и как действия можно выполнять над комплексными числами в тригонометрической форме;

Уметь:

  •  Выполнять умножение, деление, сложение, вычитание, возведение в степень и брать корень n степени комплексного числа.

Содержание:

  •  Действия над комплексными числами в тригонометрической форме: умножение, деление, сложение, вычитание, возведение в степень и брать корень n степени.

4.4. Показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме.

Студент должен:

Знать:

  •  Показательную форму комплексного числа;
  •  Способ перехода от показательной формы комплексного числа к тригонометрической и алгебраической формам, и наоборот.

Уметь:

  •  Переходить от показательной формы комплексного числа к тригонометрической и алгебраической формам, и наоборот.

Содержание:

  •  Показательная форма комплексного числа;
  •  Переход от показательной формы комплексного числа к тригонометрической и алгебраической формам, и наоборот.

Контрольные вопросы:

«Основы теории комплексных чисел».

  1.  Понятие мнимой единицы. Определение комплексного числа.
  2.  Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
  3.  Тригонометрическая форма комплексного числа.
  4.  Показательная форма комплексного числа.
  5.  Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Методические рекомендации для выполнения

самостоятельных и контрольных работ.

Приступая к изучению предмета необходимо ознакомиться с содержанием программы и составить план занятий, т. е. разделить материал на последовательно изучаемые темы. После этого в каждой теме следует выделить основные вопросы, чтобы затем, в процессе изучения материала, найти на них ответы.

Одним из важнейших средств активизации самостоятельной творческой деятельности студентов является умение решать задачи. Для этого необходимо внимательно изучить условие задачи, проанализировать содержание, выяснить закономерности и правила, лежащие в основе её решения.

Конечно, общих рецептов для решения разнообразных задач не существует, однако рекомендуем придерживаться следующих советов:

  1.  Внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выясните, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или с некоторыми её элементами.
  2.  Не следует приступать к решению задачи, не обдумав её условия и не найдя плана решения.
  3.  Попробуйте расчленить данную задачу на серию вспомогательных, последовательное решение которых может составить решение исходной задачи.
  4.  Найдя план решения, выполните его, убедитесь в необходимости и правильности каждого шага, произведите проверку решения.
  5.  Подумайте, нельзя ли было решить задачу иначе; известно, что каждая задача может иметь несколько решений, поэтому следует выделить наиболее рациональное.
  6.  Если решить задачу не удаётся, отыщите в учебной литературе уже решённую задачу, похожую на данную, изучите внимательно это решение и постарайтесь извлечь из него пользу для решения данной задачи.

Необходимо приучить себя к постоянному самоконтролю в процессе своей работы. При решении задачи следует приучиться проверять каждый свой шаг, оценивать его разумность, рациональность, необходимость и полезность.

 При этом могут использоваться различные приемы самоконтроля: проверка результатов решения задачи, проверка по аналогичному заданию, проверка с помощью обратных действий, оценка соответствия результата здравому смыслу.

Решив задачу, проанализируйте решение, отметьте, что нового при этом вы узнали и приобрели. Постарайтесь запомнить и усвоить те приёмы, которые вы использовали. Все это пригодится при решении других задач.

Контрольная работа содержит задания из разных тем. При решении заданий на тему:

- «Действия над матрицами» следует применять определения суммы и разности матриц, умножения матрицы на число, произведения матриц, возведения в степень и транспонирования матриц.

- «Определитель матрицы» следует применять определение определителя матрицы второго порядка, правило треугольников при вычислении определителей третьего порядка, применять определение миноров и алгебраических дополнений элементов матрицы, применять теорему Лапласа при вычислении определителей матриц.

- «Пределы функции в точке и на бесконечности» следует применять определения пределов в точке и на бесконечности, их свойства, понятия бесконечно большой и бесконечно малой величин, уметь раскрывать неопределенности .

- «Замечательные пределы» следует, после элементарных алгебраических преобразований применять формулы первого и второго замечательных пределов.

- «Производная функции» следует применять определение производной функции, правила дифференцирования функции, и основные формулы дифференцирования.

Правила дифференцирования:

Пусть U и V – функции переменной x,

                                 С – постоянная величина.

                                           

                                                     

Формулы дифференцирования:

Элементарны

функции:

Сложные

функции:
  1.  

-
  1.  

-
  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

-  «Неопределённый интеграл» следует применять свойства неопределенного интеграла, основные формулы интегрирования и если после алгебраических преобразований нельзя применить формулы интегрирования, то необходимо воспользоваться методом подстановки, методом интегрирования по частям или методом интегрирования рациональных дробей.

Основные формулы интегрирования

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.     =

  1.   =

  1.   =

  1.  =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

- «Определённый интеграл» необходимо использовать понятие определенного интеграла, формулу Ньютона-Лейбница для его вычисления, свойства определенного интеграла и методы интегрирования.

- «Площадь криволинейной трапеции» следует применять понятие определенного интеграла и его применение при вычислении площади криволинейной трапеции, учитывая случаи расположения фигуры в системе координат.

- «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных» следует применять определение частных производных функции нескольких переменных, следует применять определение производной функции, правила дифференцирования функции, и основные формулы дифференцирования.

Правила дифференцирования:

Пусть U и V – функции переменной x,

                                 С – постоянная величина.

                                           

                                                     

Формулы дифференцирования:

Элементарны

функции:

Сложные

функции:
  1.  

-
  1.  

-
  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

- «Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных» следует применять определение и свойства двойного интеграла функций нескольких переменных, применять свойства неопределенного интеграла, основные формулы интегрирования и если после алгебраических преобразований нельзя применить формулы интегрирования, то необходимо воспользоваться методом подстановки, методом интегрирования по частям или методом интегрирования рациональных дробей.

Основные формулы интегрирования

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.     =

  1.   =

  1.   =

  1.  =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

  1.   =

- «Дифференциальные уравнения» следует уметь определять порядок дифференциального уравнения и применять соответствующий метод решения. При этом необходимо применять определение производной функции, правила дифференцирования функции, и основные формулы дифференцирования.

Правила дифференцирования:

Пусть U и V – функции переменной x,

                                 С – постоянная величина.

                                           

                                                     

Формулы дифференцирования:

Элементарны

функции:

Сложные

функции:

-

-

А так же следует применять свойства неопределенного интеграла, основные формулы интегрирования и если после алгебраических преобразований нельзя применить формулы интегрирования, то необходимо воспользоваться методом подстановки, методом интегрирования по частям или методом интегрирования рациональных дробей.

Основные формулы интегрирования

1. =

12. =

2. =

13. =

3. =

14. =

4. =

15. =

5. =

16. =

6. =

17. =

7. =

18. =

8.   =

19. =

9. =

20.=

10. =

21. =

11. =

22. =

- «Теория комплексных чисел» следует применять свойства степени мнимой единицы; понятия равных и сопряжённых комплексных чисел; действия над комплексными числами в алгебраической форме; геометрическую интерпретацию комплексного числа; понятие модуля комплексного числа; понятие аргумента комплексного числа и способ его определения; определение тригонометрической формы комплексного числа; способ перехода от алгебраической формы к тригонометрической форме комплексного числа, и наоборот; действия над комплексными числами в тригонометрической форме; определение показательной формы комплексного числа; способ перехода от показательной формы комплексного числа к тригонометрической и алгебраической формам, и наоборот.

Контрольная работа.

Требования к оформлению контрольной работы.

Контрольную работу следует выполнять в ученических тетрадях (желательно в клеточку). На обложке необходимо указать: название учебного заведения, название специальности, курс, номер группы, фамилию, имя, отчество и личный номер студента (который определяется по номеру в журнале группы).

На каждой странице необходимо оставить поля 4 см для оценки задач и методических указаний проверяющего работу.

Условия задач переписывать необязательно, достаточно указать номер задачи.

1. Линейная алгебра.

  1.  Действия над матрицами.

Выполнить действия:

а).  ;           б).     .

1.2. Вычисление определителей.

       Проверить, что определитель Δ равен нулю:

        а). Методом треугольников;

        б). Разложением по строке.

 

1.3. Обратная матрица.

        Найти обратную матрицу к матрице А и проверить выполнение равенства  

       :

а).  ;                         б).  .

1.4. Системы линейных уравнений.

        а). Записать систему в матричном виде  и решить её с помощью вычисления  

              обратной матрицы:

         б). Решить систему методом Крамера:

2. Теория пределов.

2.1. Пределы при x→n.

          а). ;                  б). .

2.2. Пределы при x→∞.

          а).;      б). .

2.3. Замечательные пределы.

         а). ;        б).  ;        в).  ;           г).  .

3. Приложение производной.

3.1. Найти наибольшее и наименьшее значения  функции  на отрезке .

3.2. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции .

4. Неопределённый интеграл.

4.1. Найти интегралы:

 

5. Определённый интеграл.

5.1. Построить схематически чертёж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

 

6. Функции нескольких переменных.

6.1.  Найти частные производные   функции   

6.2.  Найти дифференциал  dz функции  

6.3.  Показать, что функция  удовлетворяет уравнению   .

6.4.  Изменить порядок интегрирования:    .

7. Дифференциальные уравнения.

  1.  Найти общее решение уравнения    .
    1.  Решить задачу Коши:  

8. Комплексные числа.

  1.  Выполнить действия:

Экзаменационные вопросы.

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

  1.  Матрицы.
  2.  Действия над матрицами.
  3.  Определитель матрицы и его свойства.
  4.  Миноры и алгебраические дополнения элементов матриц.
  5.  Теорема Лапласа.
  6.  Ранг матрицы.
  7.  Обратная матрица.
  8.  Решение простейших матричных уравнений и систем линейных уравнений в матричной форме.
  9.  Решение систем линейных уравнений методом Кремера.
  10.  Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Раздел 2. Основы математического анализа.

Теория пределов. Непрерывность.

  1.  Понятие функции. Основные свойства функций.
  2.  Предел переменной величины. Основные свойства.
  3.  Предел функции в точке.
  4.  Предел функции на бесконечности.
  5.  Замечательные пределы.
  6.  Непрерывность функции.
  7.  Точки разрыва. Их классификация.

Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной.

  1.  Производная функции. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции.
  2.  Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближённых вычислениях.
  3.  Интервалы возрастания и убывания функции. Экстремумы функции.
  4.  Наибольшее и наименьшее значения функции.
  5.   Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
  6.  Асимптоты графика функции.
  7.  Полное исследование функции и построение её графика.

Интегральное исчисление функции одной действительной переменной.

  1.  Первообразная функции. Неопределённый интеграл и его свойства.
  2.  Основные формулы интегрирования.
  3.  Метод подстановки. Метод интегрирования по частям.
  4.  Интегрирование рациональных дробей.
  5.  Определённый интеграл и его свойства.
  6.  Методы интегрирования определённого интеграла.
  7.  Вычисление площадей криволинейных трапеций. Вычисление объёмов тел вращения.
  8.  Физический смысл определённого интеграла.
  9.  Несобственные интегралы.

Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных.

  1.  Функция многих действительных переменных.
  2.  Частные производные.
  3.  Дифференциал функции многих действительных переменных.
  4.  Производные высших порядков функции 2-х переменных. Экстремумы функции 2-х действительных переменны.

Интегральное исчисление функции многих действительных переменных.

  1.  Объём цилиндрического тела.
  2.  Двойной интеграл и его свойства.

Теория рядов.

  1.  Числовой ряд. Его свойства. Необходимый признак сходимости.
  2.  Признак сравнения и признак Даламбера положительных рядов.
  3.  Признак Коши и интегральный признак положительных рядов.
  4.  Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
  5.  Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Радиус схо-димости.
  6.  Ряды Тейлора и Маклорена.

Дифференциальные уравнения.

  1.  Понятие дифференциального уравнения. Задача Коши.
  2.  Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделёнными переменными. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными.
  3.  Линейные дифференциальные уравнения 1-ого порядка. Метод Бернулли. Задача Коши.
  4.  Линейные дифференциальные уравнения вида y’+ay = b и y’= ay. Линейные дифференциальные уравнения с искомой функцией x(y).
  5.  Дифференциальные уравнения 2-ого порядка. Общее решение. Задача Коши для дифференциальных уравнений 2-ого порядка.
  6.  Линейные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Раздел 3.  Элементы аналитической геометрии.

  1.  Векторы. Операции над векторами.
  2.  Прямая на плоскости.
  3.  Кривые 2-ого порядка.

Раздел 4. Основы теории комплексных чисел.

  1.  Понятие мнимой единицы. Определение комплексного числа.
  2.  Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
  3.  Тригонометрическая форма комплексного числа.
  4.  Показательная форма комплексного числа.
  5.  Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Критерий оценки самостоятельной работы студентов.

Учебную деятельность студентов следует оценивать следующим образом:

              «5» – за глубокое и полное овладение содержанием учебного материала, в котором студент легко ориентируется, за умение связывать теорию с практикой, решать практические задачи, высказывать и обосновывать свои суждения. Отличная отметка предполагает грамотное, логичное изложение ответа (как в устной, так и в письменной форме), качественное внешнее оформление и правильные математические подсчёты;

              «4» - Если студент полно освоил учебный материал, владеет понятийным аппаратом, ориентируется в изученном материале, осознанно применяет знания для решения практических задач, грамотно излагает ответ, но содержание и форма работы или ответа имеют некоторые неточности, а также допускаются ошибки при вычислениях;

              «3» – если студент обнаруживает знание и понимание основных положений учебного материала, но излагает его не полно, непоследовательно, допускает неточности в содержании и оформлении работы или ответа;

              «2» – если студент имеет разрозненные, бессистемные знания, не умеет выделять главное и второстепенное, допускает ошибки в определении понятия, искажает их смысл, беспорядочно и неуверенно излагает материал, не может применять знания для решения практических задач. 

Литература:

  1.  В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик “Математика”-М.: Высшая школа, 1991г.

  1.  Н.В. Богомолов “Практические занятия по высшей математике”-М.: Высшая школа, 1973г.

  1.  “Высшая математика для экономистов”/ Н.Ш. Кремер-М. “Банки и биржи” изд. объединение “ЮНИТИ”, 1997г.

  1.  М. Я. Выгодский “Справочник по высшей математике”-Росткнига, 2001г.




1. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВОЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДЕЛОВЫЕ ПЕРЕГОВОРЫ
2. Доклад- Историчность в культуре
3.  Загальна характеристика діяльності підприємства 2
4. Формирование общения у детей дошкольного возраста с проблемами в интеллектуальном развитии
5. Василий Андреевич Жуковский - краткая биография
6. а при наступлении различных неблагоприятных событий в их жизни и деятельности а также для выплат в иных опр.
7.  Она заключается в насыщении жидкости пузырьками газа или воздуха
8. ТЕМА 5 ОБЛІК ТОВАРНОМАТЕРІАЛЬНИХ ЗАПАСІВ План Система обліку товарноматеріальних запасів
9. Реферат Та~ырыбы- Шетел инвестицияларын ~аза~стан экономикасына тарту процесін реттеу
10. Тема Российский парламент история Государственной Думы Курсовая работа студента 3го курсаочноза
11.  Античная философия Как и древнегреческая цивилизация в целом эллинская философия во многих отношения
12. Технология монтажа подвесных толкающих конвейеров
13. Лабораторная работа 1 Теоретические сведения
14. Конспект лекцій до вивчення курсу для студентів напряму підготовки 6
15. ЛЕКЦІЯ 8 СОЦІАЛЬНОПЕДАГОГІЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ В УКРАЇНІ В КІНЦІ ХVIII поч
16. О возможностях сокpащения темпов pасползания гоpодов
17. О структурировании культурного пространства
18. ТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ВАРИАНТ 2
19. вариантах на любой вкус
20. Интернет-трейдинг виртуальный рынок ценных бума

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе