Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Функция называется первообразной функцией для функции , заданной на интервале , если в каждой точке этого интервала функция дифференцируема и имеет производную , равную , т.е.
Отсюда следует, что если - первообразная для функции ,то выражение вида , где C - произвольное число, также является первообразной для .
Совокупность всех первообразных функций для данной функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом , где - знак интеграла,- подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.
Если - одна из первообразных для на интервале , то
,
где - произвольная постоянная.
Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции. Отметим основные свойства неопределенного интеграла.
.
Основу вычислительного аппарата интегрального исчисления составляет
таблица неопределенных интегралов от основных элементарных функций, приводимая ниже.
Таблица 5.1
|
№ п/п |
Подынт. функция |
Неопределенный интеграл |
№ п/п |
Подынт. функция |
Неопределенный интеграл |
|
1 |
0 |
8 |
|||
|
2 |
1 |
9 |
|||
|
3 |
10 |
- |
|||
|
4 |
11 |
||||
|
5 |
12 |
||||
|
6 |
13 |
||||
|
7 |
14 |
Пример 5.1. Найти интеграл
Решение. Воспользуемся табличным интегралом от степенной функции (п.3 в таблице 7) для :
Проверим правильность вычисления дифференцированием правой части
.
Получена подынтегральная функция, что говорит о правильном нахождении неопределенного интеграла.
При вычислении неопределенных интегралов приведенную таблицу дополняют специальными приемами и методами интегрирования, два из которых рассмотрены ниже.
Интегрирование заменой переменной (подстановкой)
Замена переменной – один из самых эффективных приемов интегрирования, который основывается на следующем.
Пусть требуется найти В ряде случаев удается выбрать в качестве новой переменной такую дифференцируемую функцию , что имеет место равенство , причем функция легко интегрируется, т.е.
Тогда
Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл и в ряде случаев свести его к табличному интегралу.
Пример 5.2. Найти
Решение. Положим . Тогда . Умножим и разделим исходный интеграл на число 3 и выполним следующие преобразования
Полученный интеграл относится к табличным и, следовательно,
Сделаем проверку дифференцированием :
.
Полученная производная совпадает с подынтегральной функцией исходного
интеграла, что говорит о правильности вычислений.
Пример 5.3. Вычислить
Решение. Чтобы выявить замену, посредством которой может быть вычислен этот интеграл, преобразуем его к виду
Если положить , тогда и в результате получим
Интегрирование по частям
Пусть функции дифференцируемы и существует первообразная для функции Тогда существует первообразная и для функции причем справедлива формула
,
называемая формулой интегрирования по частям.
Пример 5.4. Найти
Решение. Положим Тогда
Произвольную постоянную в этих случаях исключают и записывают
Теперь, применяя формулу интегрирования по частям, получим
Иногда формулу интегрирования по частям приходится применять неоднократно.
Пример 5.5. Вычислить
Решение. Полагая , имеем, .
Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
Степень переменной в подынтегральном выражении уменьшилась на единицу. Повторим приём интегрирования по частям. Положим
Отсюда
Тогда +
Вопросы для самоконтроля
Найти неопределенные интегралы, результаты проверить дифференцированием:
Таблица 5.2
|
Номер варианта |
А) |
Б) |
|
1 |
||
|
2 |
||
|
3 |
||
|
4 |
||
|
5 |
||
|
6 |
||
|
7 |
||
|
8 |
||
|
9 |
||
|
10 |
Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками . В каждом из отрезков разбиения выберем произвольную точку и положим , где . Тогда сумма вида
называется интегральной суммой для функции на отрезке .
Пусть существует и конечен предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины максимального элементарного отрезка независимо от способа разбиения отрезка на части и выбора на них точек . Тогда функция называется интегрируемой на , а число - определенным интегралом от на и обозначается
.
Основные свойства определенного интеграла:
1. Постоянная величина может быть вынесена за знак интеграла
.
2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций
.
3. При перестановке пределов интеграл меняет знак на обратный
.
4. Интеграл с равными пределами равен нулю
.
5. Если функция интегрируема в наибольшем из отрезков , то справедливо равенство:
.
6. Теорема о среднем для непрерывной функции на отрезке
, где .
7. Формула Ньютона-Лейбница (основная формула интегрального исчисления)
,
где - некоторая первообразная функции на отрезке .
Определенный интеграл используют для вычисления площадей плоских фигур. Пусть на плоскости задана фигура, определяемая кривыми
и прямыми линиями (рис.6.1).
Если на отрезке , то площадь фигуры, заключенная между кривыми и на этом отрезке определяется формулой
.
Понятие определенного интеграла используется также в экономике. Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства во времени. Тогда объем продукции , произведенной за промежуток времени , вычисляется с помощью определенного интеграла:
.
Пример 6.1. Вычислить определенный интеграл .
Решение. Подынтегральная функция является степенной и для неё известна первообразная . Отсюда по формуле Ньютона-Лейбница
=.
Пример 6.2. Вычислить определенный интеграл .
Решение. Сделаем замену переменной . Найдем пределы интегрирования для переменной : если , то , если , то . Далее , , , . Искомый интеграл преобразуется к виду:
==.
Пример 6.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: , .
Решение. Искомая фигура представлена на рис.6.2:
Найдем пределы интегрирования путем решения системы уравнений:
Приравнивая правые части уравнений, получим . Отсюда имеем . Тогда искомая площадь вычисляется по формуле
.
Пример 6.4. Изменение производительности производства с течением времени от начала внедрения нового технологического процесса задается функцией , где - время в месяцах. Найти объем продукции, произведенной за третий месяц.
Решение. Объем продукции находим по формуле
Вопросы для самоконтроля
Найти площади фигур, ограниченные линиями:
Таблица 6.1
|
Номер варианта |
Уравнения линий |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.
В случае, когда искомая функция зависит от одной переменной, дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В общем виде оно записывается:
. (1)
Порядок старшей производной искомой функции, входящей в запись уравнения (1), называется порядком дифференциального уравнения.
Решением уравнения называется такая функция , которая при подстановке ее в уравнение (1) обращает его в тождество. Задача нахождения решения ДУ называется задачей интегрирования данного ДУ, а график решения ДУ называется интегральной кривой.
Общим решением ДУ вида (1) - го порядка называется функция
,
где - произвольные постоянные.
Частным решением ДУ называется решение, получаемое из общего решения при конкретных числовых значениях постоянных .
Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, записывается в виде
. (2)
Его общим решением является функция одной произвольной постоянной
. (3)
Для получения однозначного решения требуется задать начальное условие, которое геометрически представляет собой задание точки плоскости, через которую проходит данная интегральная кривая. Например, оно может быть записано в виде
=const.
С использованием данного условия общее решение (3) запишется
,
что позволяет определить из полученного соотношения конкретное значение постоянной и тем самым получить некоторое частное решение уравнения (2).
ДУ 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде
. (4)
Для нахождения общего решения такого уравнения его преобразовывают к виду, в котором дифференциал и функция окажутся в одной части уравнения, а и - в другой:
. (5)
Затем интегрируются обе части полученного равенства (с одной общей постоянной)
.
Пример 7.1. Найти общее решение следующего ДУ: .
Решение. Сначала преобразуем уравнение к виду (4)
,
а затем к виду (5):
.
Найдем интеграл от левой части. Для этого представим подынтегральную функцию в виде следующей суммы
.
Приравнивая числители, получаем
.
Найдем из последнего равенства и , последовательно положив в нем =0 и =-1:
При =0 имеем =1, а при = -1 получаем =-1.
Отсюда
.
Интеграл от правой части является табличным и равен .
Произвольную постоянную удобнее представить в виде .
Тогда
.
Отсюда
или .
Разрешая относительно , окончательно получаем общее решение уравнения
.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если оно имеет вид
. (6)
Если 0, то уравнение (6) называют однородным, в противном случае – неоднородным.
Один из вариантов решения уравнения (6) сводится к представлению решения в виде произведения двух функций
, (7)
одна из которых является произвольной, а другая определяется из уравнения (6).
Так как
, (8)
то, подставляя (7) и (8) в уравнение (6), получим:
. (9)
Полагая функцию произвольной, найдем ее из условия равенства нулю выражения в круглых скобках уравнения (9), т.е. как частное решение уравнения:
,
которое является уравнением с разделяющимся переменным.
Тогда при найденной функции ) можно определить функцию из оставшейся упрощенной (из-за равенства нулю выражение в круглой скобке) части уравнения (9):
.
Это уравнение, в свою очередь, также является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Найденные функции и определяют общее решение исходного дифференциального уравнения.
Пример 7.2. Найти общее и частное решение уравнения с начальным условием .
Решение. Разделим левую и правую часть на переменную :
.
Получили линейное неоднородное уравнение.
Пусть , тогда и исходное уравнение примет вид:
или . (10)
Потребуем:
, т.е. .
Отсюда, разделяя переменные
и проинтегрировав
,
получим общее решение
и частное (например, положив = 0)
или .
При и уравнение (10) примет вид:
или .
Отсюда .
Интегрируя это уравнение, получим:
Окончательно получаем общее решение исходного уравнения:
.
Воспользуемся начальным условием для нахождения требуемого частного решения:
.
Отсюда и искомое частное решение имеет вид .
Пример 7.3. Найти функцию спроса от цены на товар , если коэффициент эластичности , а .
Решение. По определению коэффициента эластичности
.
Имеем дифференциальное уравнение с разделяющими переменными
.
Интегрируя обе части уравнения, получаем общее решение . Учитывая начальное условие , записываем , откуда . Окончательно записываем решение задачи
.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определения дифференциального уравнения и его решения.
2. Что называют общим и частным решением дифференциального уравнения?
3. Какое ДУ называют уравнением с разделяющимися переменными?
4. Какое ДУ 1-го порядка называют линейным?
5. Опишите общую схему метода решения линейного ДУ 1-го порядка.
Найти общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка, используя заданные начальные условия.
Таблица 7.1.
|
Номер варианта |
Дифференциальное уравнение |
Начальные условия |
|
1 |
||
|
2 |
||
|
3 |
||
|
4 |
||
|
5 |
||
|
6 |
||
|
7 |
||
|
8 |
||
|
9 |
||
|
10 |
Правила выполнения и оформления контрольной работы
1. Выбор вариантов осуществляется в соответствии с последней цифрой учебного шифра студента (например, если последняя цифра «3», то выполняется вариант номер 3, если - «0», то - вариант номер 10).
2. Контрольная работа пишется чернилами любого цвета (кроме красного) в тетради, для замечаний рецензента оставляются поля. На обложке тетради указывают фамилию, имя, отчество студента, номер студенческой группы, учебный шифр (серия и номер зачетной книжки), название кафедры, наименование дисциплины и номер контрольной работы, а также домашний адрес.
3. Решение задач следует располагать в порядке следования номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач. Условия задач выписывать обязательно. Если несколько задач имеют общую формулировку, то при переписывании общие условия заменяют конкретными данными.
4. Решения задач требуется оформлять аккуратно, подробно объясняя все действия и используемые формулы. В конце работы приводится список использованной литературы, указывается дата выполнения работы и ставится подпись исполнителя.
Литература
Оглавление
Введение 2
1. Предел функции 2
2. Производная функции 7
3. Применение дифференциала в приближенных вычислениях 12
4. Исследование функций и построение их графиков 13
5. Неопределенный интеграл 21
6. Определенный интеграл 25
7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка 28
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рис. 6.1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рис.6.2