Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:
Определителем III-го порядка соответствующим квадратной матрице III-го порядка, называется число
Аналогично можно ввести понятие определителя n-го порядка, соответствующего квадратной матрице n-го порядка.
Вычисление определителей проводится путем последовательного понижения порядка определителя с использованием элементарных преобразований.
О. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент.
О. Алгебраическим дополнением данного элемента называется его минор, умноженный на (-1)k, где k- сумма номеров строки и столбца, содержащих данный элемент.
Обобщая данные определения для определителя n- го порядка, получаем следующее определение.
О. Минором Мij элемента аij определителя называется определитель, который получен из исходного путем вычеркивания строки с номером i и столбца с номером j.
Свойства определителей
1. При транспонировании (замене строк определителя на соответствующие столбцы) определитель не изменится.
2. Разложение определителя по любой строке или любому столбцу: определитель равен сумме произведения элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.
3. При перестановке двух строк или столбцов абсолютная величина определителя не изменится, а знак определителя меняется на обратный.
4. Общий множитель строки или столбца можно вынести за знак определителя.
5. Свойство линейного преобразования в определителе . Определитель не изменится, если к какой- либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец) предварительно умноженную на какое- либо число.
6. Если элементы одной строки равны элементам другой строки определителя, то определитель равен нулю .
Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца
Рассмотрим квадратную матрицу A n-го порядка.
Выберем i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем i-ую строку и j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом Mi j:
.
Алгебраическое дополнение Ai,j элемента ai j определяется формулой
.
Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:
.
Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:
.
Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.
3 Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными
Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
Основные методы решения: подстановка, сложение или вычитание.
Определители третьего порядка. Правило Крамера.
Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:
где a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s – заданные числа; x, y, z – неизвестные. Числа a, b, c, e, f, g, p, q, r – коэффициенты при неизвестных; d, h, s – свободные члены. Решение этой системы может быть найдено теми же двумя основными методами, рассмотренными выше: подстановки и сложения или вычитания. Мы же рассмотрим здесь подробно только метод Крамера.
Во-первых, введём понятие определителя третьего порядка. Выражение
называется определителем третьего порядка.
Запоминать это выражение не нужно, так как его легко получить, если переписать таблицу (2), добавив справа первые два столбца. Тогда оно вычисляется путём перемножения чисел, расположенных на диагоналях, идущих от a, b, c – направо ( со знаком « + » ) и от c, a, b – налево ( со знаком « – » ), и затем суммированием этих произведений:
Используя определитель третьего порядка (2), можно получить решение системы уравнений (1) в виде:
Эти формулы и есть правило Крамера для решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
П р и м е р . Решить методом Крамера систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
Р е ш е н и е . Введём следующие обозначения: D - знаменатель в формулах (4),
Dx, Dy, Dz – числители в выражениях для x, y, z – соответственно.
Тогда используя схему (3), получим:
отсюда по формулам Крамера (4): x = Dx / D = 0 / 32 = 0;
y = Dy / D = 32 / 32 = 1; z = Dz / D = 64 / 32 = 2 .
30 Асимптоты
Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий
|
, |
Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если
Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.
|
Модель 1.10. Асимптоты. |
Для того, чтобы прямая y = kx + b была асимптотой графика функции y = f (x) при x → +∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
|
|
Так, график функции имеет вертикальную асимптоту x = 0, горизонтальную y = 3 (при x → –∞) и наклонную y = 2x + 7 (при x → +∞).
|
|
|
|
График 1.3.8.1. График функции |
Прямая, задаваемая уравнением
в полярных координатах, является асимптотой графика функции r = r (φ) при условии, что
Эта прямая удалена от полюса на расстояние |d|, а перпендикуляр, опущенный на нее из полюса, составляет с полярной осью угол