Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
32) Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).
Рассматриваются числовые ряды двух видов
Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.
Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.
Определение
Пусть — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность
каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида
Вообще, для обозначения ряда используется символ
поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.
В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:
Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:
[править]Операции над рядами
Пусть заданы сходящиеся ряды и . Тогда:
Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.
Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1]. Элементы ряда представляют собой комплексные числа (в частности,вещественные).
Определение
Пусть — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .
Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
[править]Сходимость числовых рядов
Свойство 1. Если ряд
(1.1)
сходится и его сумма равна S, то ряд
(1.2)
где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.
Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд
,
а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды
,
причём сумма каждого равна соответственно .
[править]Необходимый признак сходимости ряда
Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:
Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.