Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
34 СПОСОБЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА
Воспроизведение сигнала по выборкам можно производить как на основе ортогональных, так и неортогональных базисных функций, которые определяют тип аппроксимирующего полинома и принцип приближения: интерполяционный, экстраполяционный, комбинированный.
При неортогональных представлениях сигнала наиболее часто используются степенные алгебраические полиномы вида
или
где αj — действительные коэффициенты.
Если координаты сигнала представлены в виде разности выборок, то при его восстановлении, как правило, сначала проводят вычисление последовательности выборок и уже по ним строят аппроксимирующий полином u*(t).
Выбор системы базисных функций в составе аппроксимирующего полинома u*(t) во многом определяется требованием обеспечения простоты технической реализации аппаратных (программных) средств дискретизации и восстановления сигнала.
Если базисные функции выбраны так, что значения аппроксимирующего полинома совпадают со значениями выборок в моменты их отсчета, то такой полином называют интерполирующим.
С точки зрения сокращения числа отсчетов интерполяционные методы восстановления сигнала предпочтительнее, однако, для их реализации необходима задержка сигнала на интервал интерполяции, что в ряде случаев недопустимо. Поэтому в системах управления, работающих в реальном времени, используются экстра-поляционные методы, не требующие задержки сигнала при проведении операций определения значений выборок и восстановления сигнала.
При замене функции u(t) совокупностью отсчетов основная задача заключается в том, чтобы на интервале преобразования взять их не более чем требуется для восстановления исходного сигнала с заданной точностью в соответствии с выбранным критерием качества приближения.
Ограничение на число членов аппроксимирующего полинома (2.4) обычно не позволяет обеспечить заданную точность воспроизведения на всем интервале преобразования Т. Поэтому его разбивают на отрезки τj, называемые участками аппроксимации, и на каждом из них воспроизведение осуществляют аппроксимирующим полиномом (2.4), причем длительность участков аппроксимации может быть различной. В случае использования интерполяционного метода восстановления многочленом ненулевой степени на участке аппроксимации может размещаться несколько отсчетов.
КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ВОССТАНОВЛЕНИЯ
При известной конечной совокупности координат сигнала и выбранном способе воспроизведения должна обеспечиваться заданная точность восстановления сигнала. Требования к точности восстановления диктуются потребителем информации. В зависимости от целевого назначения получаемой информации используются различные критерии точности приближения u*(t) к u(t).
В соответствии с критерием равномерного воспроизведения, называемым также критерием наибольшего отклонения, устанавливается абсолютное значение допустимой погрешности:
где m — максимальная погрешность приближения; Δi — участок аппроксимации; u(t) = u(t) — u*(t) — текущая погрешность приближения.
Если сигнал задан множеством возможных реализаций, то наибольшая допустимая погрешность устанавливается для всей совокупности реализаций u(t) и
u*(t):
Такой критерий применяется, например, в случаях, когда необходимо обеспечить возможность фиксации любых изменений исходного сигнала, включая кратковременные выбросы, в особенности, если они соответствуют аварийному режиму объекта.
Широко используется также критерий среднеквадратического приближения:
где Д — допустимая среднеквадратическая погрешность приближения; σ— среднеквадратическая погрешность приближения.
При множестве возможных реализаций сигнала величина σ усредняется в соответствии с их вероятностями.
В технической реализации неравномерная дискретизация на основе критерия среднеквадратического приближения сложнее, чем на базе критерия равномерного приближения.
Интегральный критерий приближения определяется соотношением
где Д - допустимая средняя погрешность приближения; ε — средняя погрешность приближения.
Применяется также вероятностный критерий, в соответствии с которым задается допустимый уровень рД величины ρ — вероятности того, что текущая погрешность приближения (t) не превысит некоторого определенного значения 0:
Дискретизация по частотному критерию. Правило выбора предельного шага при равномерной дискретизации с использованием модели сигнала с ограниченным спектром в наиболее четкой форме сформулировано и доказано акад. В. А. Котельниковым в виде теоремы, получившей в отечественной литературе его имя* [11].
Сначала, не касаясь вопроса адекватности выбранной модели реальному сигналу, рассмотрим существо и доказательство теоремы
Теорема Котельникова. Теорема устанавливает принципиальную возможность полного восстановления детерминированной функции с ограниченным спектром по ее отсчетам и указывает предельное значение интервала времени между отсчетами, при которой такое восстановление еще возможно. Она формулируется следующим образом: функция u(t), допускающая преобразование Фурье и имеющая непрерывный спектр, ограниченный полосой частот от 0 до Fc = c/(2), полностью определяется дискретным рядом своих мгновенных значений, отсчитанных через интервалы времени
Физическая основа теоремы выявляется при рассмотрении связи между формой функции и шириной ее спектра. Только в случае, когда спектр функции безграничен, ее значения в сколь угодно близкие моменты времени могут изменяться произвольно (корреляционная связь между ними отсутствует). Сокращение высокочастотной части спектра до граничной частоты ω1 равнозначно устранению из временной функции выбросов, которые могли быть сформированы этими высокочастотными составляющими (рис. 2.2, а). При меньших граничных частотах 2 (рис. 2.2, б) и 3 (рис. 2.2, в) имеем более сглаженные функции времени. Поскольку значения этих функций в моменты времени u(t1) и u(t1+t) в пределах некоторого интервала Δt не могут изменяться существенно, можно ограничиться значениями функции, взятыми через интервалы Δt (отсчетами).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функции u(t), описывающей передаваемый сигнал, соответствует спектральная характеристика S(j), причем
где c — наибольшая частота спектра u(t).
Используя обратное преобразование Фурье с учетом соотношения (2.13), запишем
Для моментов времени tn = nΔt = n/c, где n — любое целое число, функция u(t) принимает значения
Функцию S(j) на интервале существования от - c до +c можно разложить в ряд Фурье по частотам, периодически продолжая ее с периодом 2c (рис. 2.3):
где
Сравнивая (2.15) и (2.16), найдем
Выразим теперь S(j) через отсчеты исходной функции:
Поскольку суммирование ведется как по положительным, так и по отрицательным числам n, знак перед n можно изменить на обратный:
Подставив это значение в (2.14), определим значения исходной функции в любой момент времени:
Учитывая сходимость ряда Фурье, изменим порядок суммирования и интегрирования:
В полученном выражении вычислим интеграл:
Подставив результат в формулу (2.18), окончательно получим
Итак, функция u(t) выражена через ее дискретные значения, взятые в моменты времени tn = nt = n/c.
Так как при любых целых k и n справедливы соотношения
то
Благодаря этому свойству значения функции u(k) в моменты времени tn = nt представляют собой нечто иное, как ее отсчеты.
Представление функции u(t) в виде ряда (2.19) (ряда Котельникова) является частным случаем разложения (1.1). Роль коэффициентов Ck выполняют отсчеты u(nt) функции u(t). Базисными являются функции вида
Они называются функциями отсчетов.
Графики этих функций при n = 0 и n = 1 приведены на рис. 2.4. Каждая функция ψn(t) имеет неограниченную протяженность во времени и достигает своего наибольшего значения, равного единице, в момент времени t = n/c; относительно этого момента времени она симметрична. В моменты времени t=r/c, где kn, функция обращается в нуль. Все функции ортогональны между собой на бесконечно большом промежутке времени, что легко проверяется путем вычисления интеграла:
Каждую функцию отсчета можно рассматривать как реакцию (отклик) идеального фильтра нижних частот с граничной частотой Fc на дельта-импульс, приходящий в момент времени tn = nt и имеющий площадь, равную u(nt).
Теорема Котельникова распространяется на непрерывный в среднеквадратическом смысле стационарный случайный процесс с ограниченным энергетическим спектром (Sn() = 0 при |ω|>ωП = 2FП).
Такой процесс представляется суммой квазидетерминированных процессов, где роль ортогональных детерминированных функций выполняют функции отсчета, а случайных коэффициентов — величины выборок:
где
Таким образом, при указанных ограничениях случайный процесс полностью определяется счетным множеством случайных величин — координат процесса.
Пример 2.1. Определить по теореме Котельникова шаг дискретизации Δ< для детерминированной функции
ориентируясь на практическую ширину спектра (1.60) с η = 0,95. По формуле (1 42) находим спектральную характеристику
откуда
Практическую ширину спектра определяем, пользуясь соотношением (1.60).
Поскольку
имеем
По таблице значений тангенсов получаем
Следовательно,