Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Сегодня занял я дукат,
Дукату я безумно рад.
Но завтра отдавать мне два -
Какие горькие слова!
Финансовая математика изучает соотношения между размерами платежей, сроками выплат и процентными ставками, возникающими в коммерческих сделках и финансово-банковских операциях.
Простейшей финансовой операцией является предоставление в долг в некоторый начальный момент t = 0 суммы S(0) с условием, что в момент t = T будет возвращена сумма S(T).
Эффективность такой операции определяется показателями .и.
= ,
где называется процентной ставкой;
= ,
где называется дисконтом, учетной ставкой.
Введенные показатели взаимосвязаны. Действительно
1 + = ,
1 - =, и, следовательно,
1+ = , = ;
1 - = , = .
Наиболее важными являются соотношения
S(T) = S(0) (1 +) ,
S(0) = S(T)(1 - ).
Последние выражения используются для определения наращенной суммы (стоимости) S(T) по первоначальному капиталу S(0) и процентной ставке и для определения первоначального капитала S(0) по известным наращенной стоимости S(T) и учетной ставке (дисконту) . Операция приведения наращенной суммы S(T) в момент t = T к моменту t = 0 называется дисконтированием.
Наряду с дисконтом для операции дисконтирования используется дисконт-фактор
= 1 -= = .
Вид графиков зависимостей дисконта и дисконт-фактора от процентной ставки представлены на рис.2.1 и 2.2.
Пример. Фирма взяла кредит 300 млн.руб. в банке сроком на 1год под 12 % годовых. Какая сумма должна быть возвращена через год ?
Здесь = 12 % ,
S(1) = S(0) (1 +) = 300(1 + 0.12) = 336 млн.руб.
= == 10,7%
= 1 - = 0.893 = =.
В условиях финансовых операций как правило оговариваются процентная и учетная ставки за базовый период, равный году. Соответствующие показатели за фактический период T (и) рассчитываются по формулам, зависящим от дополнительных условий сделки. Будем называть процентную и учетную ставки за год годовыми и обозначать их через r и d . Рассмотрим приведение годовых процентных и учетных ставок к периоду T для различных схем, используемых в финансовой практике.
Схема простых процентов предполагает начисление процентов к базовому капиталу S(0). При этом, если T больше года и начисление процентов осуществляется после каждого года, то наращенная стоимость будет равна
S(T) = S(0) + rS(0) + rS(0) +...+ rS(0) =
T раз
= S(0) (1 + rT) = S(0) (1 +) .
(Для простоты первоначально полагаем, что T равно целому числу лет).
Из приведенного соотношения имеем
= и
Обычно схема простых процентов используется в практике банковских расчетов для периодов T < 1 года.
Пример. Пусть выдан кредит 100 млн.руб. с 25.03.97 по 25.06.97 под 60 % годовых. Сумма погашения кредита рассчитывается по формуле
S(0) = S(0)(1 + rT ) ,
что при
= 60%, T = = .
S(T) = 100(1 + 0.6× ) = 115 млн.руб.
Для долгосрочных финансовых операций используется схема сложных процентов . При этом после каждого начисления процентов осуществляется их капитализация , то есть на следующий год проценты начисляются к нара-щенной сумме. Наращенная сумма в течение T лет будет изменяться следующим образом.
S(1) = S(0)(1 + r ) ,
S(2) = S(1)(1 + r) = S(0)(1 + r)2
.
.
S(T) = S(T-1)(1 + r) = S(0)(1 + r)T .
Из этих соотношений следует
1 + = = (1 + r)T и
= (1 + r)T - 1.
Сопоставим зависимости процентных ставок на интервале T для схем простых rTпр и сложных rTсл процентов как функции длины интервала T.
При Т = 0 rTпр = rTсл = 0 .При Т = 1 rTпр = rTсл = r . В Приложении 2.1 доказано, что при Т < 1 rTпр > rTсл , а при Т > 1 rTпр < rTсл . Графики зависимостей rTпр и rTсл от Т для r = 2 представлены на рисунке 1.3. Из этих зависимостей следует, что для кредитора на интервале Т < 1 более предпочтительна схема простых процентов , а на интервале Т > 1 - схема сложных процентов.
Если период T насчитывает нецелое число лет, то часто используется комбинированная схема. Пусть T = [T] + , где [T] - целая часть T, = T - [T] 0. Тогда при годовой ставке процента r процентная ставка за T рассчитывается по формуле
1 + = (1 + r)[T](1 + r ).
Рис.2.3
Пример. Первоначальный капитал 5000 $ вложен на 4 года под 10 % годовых. Найти доход от вложения денег
а)по схеме простых процентов;
б)по схеме сложных процентов.
а) r = 10%,S(4) = S(0)(1 + rT) = 5000(1 + 4×0.1) = 7000$.
б) S(4) = S(0)(1 + r)T = 5000(1 + 0.1)4 = 7320.5 $.
Пример. Пусть в условиях предыдущего примера T = 4.5 года.Тогда
S(T) = S(0)(1 + r)[T](1 + r ),
[T] = 4 , = T - [T] = 4.5 - 4 = 0.5 ,
S(T) = 5000(1 + 0.1)4(1 + 0.1×0.5) = 7686.5 $.
Во многих случаях в практике финансовых расчетов приходится по известным значениям наращенной суммы S(T), капитала S(0) определять период T или годовую процентную ставку r. Для схемы простых процентов соответствующие соотношения имеют вид
, .
Для схемы сложных процентов
, .
Для расчета параметров рассматриваемых финансовых операций удобно использовать табличные процессоры для персональных компьютеров. Табличный процессор Excel содержит специальные табличные функции для расчета параметров S(T), T и r по схеме сложных процентов. Приведем корректную запись этих функций. Для Excel 2000 и ранних версий эти функции имеют вид
S(T)=БЗ(r;T;;S(0)) , T= КПЕР(r;;S(0);S(T)) , r = НОРМА (T;;S(0);S(T))
и могут быть введены с помощью специального инструмента Excel - Мастера функций.
Конечно же для вычисления этих параметров можно запрограммировать клетки электронной таблицы путем использования элементарных арифметических операций по соответствующим формулам (тем более это верно для всех соотношений схемы простых процентов). Однако для схемы сложных процентов рациональнее использовать приведенные табличные функции.
В практике финансовых расчетов используются схемы, при которых проценты на капитал начисляются несколько раз в году. При этом оговариваются годовая процентная ставка r и количество начислений в течение года m . Фактически в этом случае за базовый период принимается 1/m часть года со ставкой сложных процентов r/m .
В результате
.
Пример. Облигация номиналом 100 т.руб. выпущена на 5 лет при номинальной (годовой) ставке процента 10 %. Держатель облигации будет капитализировать проценты. Определить наращенную стоимость при начислении процентов 1 раз в год (m = 1), раз в полугодие (m = 2), раз в квартал (m = 4).
(Облигация - долговое обязательство эмитента, выпустившего ценную бумагу, уплатить владельцу облигации в оговоренный срок номинальную стоимость бумаги и через оговоренные периоды - фиксированный или плавающий процент.)
Приведем расчеты для примера.
m = 1 , S(5) = ,
m = 2 , S(5) = ,
m = 4 , S(5) = .
При количестве начислений m в течение года годовая ставка процента r называется номинальной. Чем больше количество начислений m , тем больше наращенная стоимость S(T).
Годовая ставка , обеспечивающая то же значение наращенной суммы S(T) при одноразовом в течение года начислении процентов, что и m - разовое со ставкой , называется эффективной ставкой.
По определению
= ,
и, следовательно,
= ,
то есть
= - 1 .
Электронные таблицы Excel позволяют рассчитать эффективную процентную ставку по номинальной и решить обратную задачу с помощью табличных функций . Их формат имеет вид
=ЭФФЕКТ(r;m) ,
= НОМИНАЛ(;m) .
Расчет эффективных ставок необходим для сопоставления и выбора наиболее доходного варианта инвестиций. Так, если в условиях рассматриваемой задачи с многократным в течение года начислением процентов оказывается больше процентной ставки в операции с начислением процентов один раз в год, то первая из операций является предпочтительной для инвестора.
Эффективная ставка обладает свойством r . Докажем это свойство. Для этого воспользуемся выражением для бинома Ньютона
(1 + x)m = 1 + mx ++...+ =
= 1 + mx + + .. + xm .
Используя это разложение для эффективной ставки при x = , получим
= 1 + m+ + .. + =
= 1 + r + Q , где Q > 0.
Тогда = (1 + r/m)m - 1 > 1 + r - 1 = r .
Для предыдущего примера рассчитаем эффективные ставки для m = 1;2;4 .
m = 1, = - 1 = r ,
m = 2, = - 1 = (1.05)2 - 1 = 0.1025 > 0.1 = r,
m = 4, = - 1 = (1.025)4 - 1 = 0.1038 > 0.1 = r.
Рассмотрим процедуру дисконтирования, то есть приведения будущей суммы S(T) к моменту t = 0 .
S(0) = S(T)(1 - dT) = S(T)VT ,
VT = 1 - dT = .
Для приведения дисконта dT и дисконт-фактора VT к базовому периоду (году) будем использовать полученные ранее соотношения для процентных ставок.
Пусть годовая учетная ставка (дисконт) равна d , а дисконт-фактор - V . Тогда для схемы простых процентов
rT = r T и VT =.
Для схемы сложных процентов
1 + rT = (1 + r)T и VT = .
При этом дисконтированная сумма равна
.
В таблице Excel этой формуле соответствует функция
ПЗ(r;T;;S(T))
Так как
1 - d = ,
то
VT = (1 - d)T = VT ,
где V = 1 - d .
Пример. В банк предъявлен вексель на сумму 20 млн.руб., который содержит обязательство выплатить владельцу эту сумму 15.06.95. Владелец предъявил вексель досрочно 15.04.95 и банк согласился выплатить сумму (учесть вексель), но с дисконтом исходя из процентной ставки 120 % годовых.
Имеем
S(0) = VT S(T) .
Для схемы простых процентов
VT = = = 0.83 и
S(0) = = 16.6 млн.руб.
Для схемы сложных процентов
VT = VT = = = 0.877 ,
S(0) = VT S (T) = = 17.54 млн.руб.
Рассмотрим VT = (1 - d)T как функцию d и разложим ее в ряд Маклорена.
[Ряд Маклорена для функции имеет вид
Имеем
VT = (1 - d)T =
= 1 - Td + .
При малых Td
VT 1 - Td .
Последнее выражение используется в банковской практике и называется банковским дисконтом (банковским учетом). При значениях Td < 0.1 банковский дисконт с точностью до 1 % дает тот же результат, что и математический дисконт-фактор VT = (1-d)T .
Во многих случаях финансово-банковские операции, коммерческие сделки предусматривают не разовые платежи, как это предполагалось в предыдущем разделе, а многократные, распределенные во времени выплаты и поступления. Примером таких операций может служить получение и погашение долгосрочного кредита. Последовательность распределенных во времени выплат и платежей называется потоком платежей. Поток платежей, все составляющие которого положительны и поступают через одинаковые интервалы времени, называется финансовой рентой или аннуитетом. Финансовая рента называется постоянной, если все платежи имеют одинаковую величину.
Графическое представление финансовой ренты приведено на рис.2.4.
Здесь поток платежей обозначен через C(t). Для постоянной финансовой ренты характерно . Кроме того, для простоты предполагается, что платежи осуществляется ежегодно в течение n лет, то есть в моменты времени t = .
2.2.1.1 Наращенные суммы постоянных финансовых рент.
Рассмотрим наращенную сумму финансовой ренты в момент t = n. При этом следует иметь ввиду, что наращение суммы финансовой ренты осуществляется не только за счет начисления процентов, как это имеет место для разовых платежей, но и за счет добавления периодических платежей. Чтобы определить величину наращенной суммы, будем рассуждать следующим образом. Платеж будет наращиваться (n-1) лет и возрастет до величины . Платеж будет наращиваться в течение (n-2) лет и увеличится до значения . Вообще платеж , вносимый в момент t = k, в момент t = n будет равен . Наращенная сумма всех периодических платежей потока равна
.
Последовательность слагаемых этой суммы, перечисленных от k = n до k =1, имеет вид
C , C(1+r) , C(1+r)2 ,...,C(1+r)(n-1) ,
и представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом С и знаменателем . Для n членов геометрической прогресии a0, a1 , a2 ,...,a(n-1) со знаменателем сумма равна
.
Действительно, для рассматриваемых членов геометрической прогрессии можно полагать, .
Наращенную сумму финансовой ренты к моменту последнего платежа принято обозначать FV (future value) и для ее расчета в электронной таблице эта функция имеет вид
S(n) = БЗ(r;n;C) .
Срок накопления n суммы S(n) при заданных процентной ставке r и платеже C может быть определен следующим образом.
или .
Платеж C при заданных процентной ставке r , сроке n и конечной сумме S(n) рассчитывается в соответствии с выражением . Если же неизвестно значение процентной ставки r , то оно определяется как корень уравнения .
Таблица Excel содержит финансовые функции для расчета всех упомянутых параметров :
n = КПЕР(r;C;;S(n)) ,
C = ППЛАТ(r;n;;S(n)) ,
r = НОРМА(n;C;;S(n)) .
2.2.1.2 Дисконтирование финансовых рент.
Во многих случаях потоки платежей необходимо дисконтировать к некоторому начальному моменту. Результат S(0) приведения потока к моменту
t = 0 называется современной или приведенной величиной (present value) и обозначается PV . Пусть по-прежнему рассматривается поток платежей при t = 1,2,..,k,..,n. Обозначим через дисконт-фактор для платежа, выполненного в момент t = k ,то есть
,
где - дисконтированная величина платежа C(k) . Тогда сумма всех величин дисконтированных платежей C(k) к моменту t = 0 равна
.
Для финансовой ренты с использованием для дисконтирования схемы сложных процентов имеем
, .
Здесь по-прежнему предполагаются ежегодные платежи (поток платежей имеет период 1 год), символом V обозначен годовой дисконт-фактор. В результате можно записать
, .
Последовательность СV, СV2, СV3,...,СVn может быть рассмотрена как геометрическая прогрессия a0, a1 , a2 ,..., an-1 со знаменателем q = V и первым членом a0 = СV . Тогда
= = = или
.
Поскольку , то после подстановки нетрудно получить
В электронной таблице Excel для расчета приведенной величины S(0) предусмотрена табличная функции
S(0) = ПЗ(r;n;C)
Определим предел приведенной величины S(0) при количестве периодов (лет), стремящемся к бесконечности. Так как (1+r) > 1, то
и .
Из полученного соотношения следует, что для любого конечного срока n приведенная величина S(0) (дисконтированный поток платежей) такова , что должно выполняться условие .
Одним из примеров рассматриваемого потока платежей является погашение долгосрочного кредита. Кредит размером S(0) выдается в момент t = 0 и погашается в течение n лет равными взносами С . При заданной процентной ставке r кредит может быть представлен как дисконтированный к моменту t = 0 поток платежей (рис.2.5).
В этих условиях возникает необходимость расчета различных параметров кредита. Размер периодического платежа по погашению кредита С может быть определен из выражения для приведенной величины S(0)
.
Соответствующая функция электронной таблицы Excel имеет вид
С = ППЛАТ(r;n;S(0)) .
Количество платежей n (количество периодов потока платежей) также определяется из выражения для приведенной величины S(0).
Действительно, из этого выражения следует
или .
Поскольку функция ln существует лишь для положительных аргументов, то из последнего выражения вновь следует требование или . В противном случае кредит S(0) никогда не будет погашен периодическими платежами С .
Для расчета количества платежей можно использовать функцию Excel n = КПЕР(r;C;S(0)) .
Если требуется рассчитать процентную ставку r , под которую следует предоставить кредит в размере S(0) с ежегодными выплатами размером С и сроком погашения n лет, то из выражения для S(0) следует
или .
Для расчета корня этого нелинейного уравнения в электронной таблице Excel имеется функция
r = НОРМА(n;C;S(0)) .
Практически важной задачей, возникающей в отношениях заемщика и кредитора, является расчет досрочных выплат заемщика. Сформулируем следующую задачу. Пусть получен кредит размером S(0) с ежегодным возвратом в течение n лет. В этом случае ежегодный платеж заемщика равен . Пусть, кроме того, в момент t = k < n заемщик решил досрочно полностью расплатиться с кредитором. Задача заключается в расчете суммы S0(k) , которую должен вернуть заемщик в момент t = k . Графически данная ситуация может быть иллюстрирована следующим образом (рис.2.6).
Для решения этой задачи будем полагать, что кредитор дал в долг заемщику сумму S(0) в момент t = 0 на лет под r процентов годовых Тогда в момент t = k заемщик выплатит k раз ежегодно платеж С и ему.престоит в течение лет выплатить ежегодные платежи С Дисконтируя эти платежи к моменту , получим
, где
.
В электронной таблице Excel можно воспользоваться функцией
S0(k) =ПЗ(r;n-k;С) .
Пример. Пусть выдан кредит в сумме 100 млн.руб. сроком на 5 лет под 10 процентов годовых. Требуется рассчитать ежегодный возврат кредита и суммы досрочного погашения кредита для каждого из моментов t = k , k = 1,2,3,4,5.
Воспользуемся для расчетов электронной таблицей Excel .. Имеем
C = ППЛАТ(r;n;S(0))= ППЛАТ(10%;5;100) = 26.4 млн.руб.
S0(1) = ПЗ(r;n-k;ППЛАТ(r;n;S(0))) = ПЗ(10%;4;ППЛАТ(10%;5;100)) = 83.6, S0(2) = ПЗ(10%;3;ППЛАТ(10%;4;100)) = 65.6 ,
S0(3) = ПЗ(10%;2;ППЛАТ(10%;5;100)) = 45.8 ,
S0(4) = ПЗ(10%;1;ППЛАТ(10%;5;100)) = 24 ,
S0(5) = ПЗ(10%;0;ППЛАТ(10%;5;100)) = 0 .
Эти результаты можно интерпретировать следующим образом. Если заемщик хочет погасить кредит в конце 1-го года, то он должен выплатить кредитору периодический платеж 26,4 млн.руб и сумму досрочного погашения кредита 83,6 млн.руб. При желании заемщика досрочно рассчитаться в конце 2-го года, схема его платежей следующая: в конце 1-го года - 26,4 млн.руб., в конце 2-го года - 26,4 млн.руб. и плюс 65,6 млн.руб. и т.д.
В общем случае отдельные платежи потока имеют разную величину и поступают в любые (непериодические) моменты времени. Поток платежей с такими свойствами называется нерегулярным потоком.
2.2.2.1. Наращенные суммы нерегулярных потоков платежей.
Рассмотрим нерегулярный поток, предусматривающий платежи C(t) в моменты времени t = t1,t2,...,tn . Графическое представление такого потока платежей приведено на рис.2.7.
Наращенная сумма такого потока платежей, приведенная к моменту
t = T tn , определяется выражением
.
Здесь - процентная ставка на интервале . При неизменности годовой процентной ставки r на всем интервале времени (0,Т) и использовании схемы сложных процентов
и .
2.2.2.2. Дисконтирование нерегулярных потоков платежей.
Для дисконтирования нерегулярного потока C(t) при t = t1,t2,...,tn к моменту времени t = 0 (рис.2.8) для каждого t = tk введем в рассмотрение дисконт-фактор .
В этом случае сумма всех дисконтированных платежей C(t) к моменту
равна
.
При неизменности годовой процентной ставки r (учетной ставки d и дисконт-фактора V) на всем интервале времени (0,tn) и использовании схемы сложных процентов
и .
2.2.2.3 Двусторонние потоки платежей.
Двусторонним называется поток платежей, который предполагает распределенные во времени переходы денежных сумм от одного владельца к другому. С позиций одного из участников такой многоэтапной финансовой операции можно считать, что поступление денежных средств к нему в момент t = tk соответствует положительному платежу (C(tk) > 0), а выплата второму участнику операции соответствует отрицательному платежу (C(tk) < 0) . Графическое представление такого потока платежей приведено на рис.2.9.
Для оценки эффективности в целом финансовой операции, представляемой нерегулярным двусторонним потоком платежей, используются различные показатели. Один из них, называемый чистой приведенной величиной (NPV - net present value), рассчитывается как приведенная (современная) величина потока по формуле
NPV = S(0) = ,
где C(tk) - поступления или выплаты потока, рассматриваемые как платежи потока с соответствующим знаком. Операция считается эффективной для участника, если показатель NPV для него является положительным.
При неизменности годовой процентной ставки r и использовании схемы сложных процентов
NPV = S(0) =
Заметим, что знак показателя NPV не зависит от момента времени, к которому приводится поток платежей. Действительно, пусть момент, к которому дисконтируется поток , изменился на величину t0.
Обозначим
NPV0 = .
Для новой точки отсчета (момента времени t0 , к которому приводится поток) величина NPV равна
NPV = = =
== NPV0 .
Поскольку множитель > 0 для любого t0 , знак инвариантен (не зависит) к сдвигу момента приведения t0 . Таким образом, для оценки эффективности любой многоэтапной финансовой операции достаточно рассчитать NPV для любого момента приведения и определить знак этого показателя.
Пример. Банк предоставляет фирме в течение двух лет кредит ежегодными платежами по 100 млн.руб. под процентную ставку 10 % годовых. Фирма возвращает долги в конце 2, 3 и 4-го годов платежами соответственно 100, 100 и 50 млн.руб. Каково значение показателя NPV для банка ?
Изобразим поток платежей в графической форме (рис.2.10).
Будем считать, что моментом приведения потока (t = 0) является момент выдачи первого кредита банком.
Тогда
NPV =-100-100/(1+0.1) +100/(1+0.1)2 +100/(1+0.1)3+ 50/(1+0.1)4 =1.018 млн.руб.
Поскольку NPV > 0 , финансовая операция выгодна для банка.
В электронной таблице имеется финансовая функция НПЗ , с помощью, которой рассчитывается данный показатель для частного вида нерегулярных потоков платежей, а именно потока с периодическими платежами (положительными и отрицательными) произвольной величины. Дополнительно предполагается, что первый платеж потока имеет место в конце первого периода, а приведение осуществляется к началу первого периода. Процентная ставка на весь срок операции считается неизменной. Формат этой функции имеет вид
НПЗ(rT,<интервал клеток>).
Если требуется момент приведения потока совместить с моментом первого платежа, то полученное с помощью табличной функции значение NPV следует умножить на величину . Здесь Т - период между платежами периодического потока.
Для рассмотренного выше примера поток платежей является нерегулярным, но периодическим с периодом 1 год. Процентная ставка на этом периоде задана и равна rT = r = 0.1 . Если в клетки A1:A5 таблицы Excel поместить значения платежей данного потока, то есть числа -100,-100,100,100,50 соответственно, то в клетке с формулой НПЗ(0.1,A1:A5) будет получено значение 0.925. Для приведения этой величины к моменту выдачи первого кредита (первого платежа потока) следует умножить эту величину на (1+r) = (1+0.1) = 1.1, в результате чего вновь будет получена величина NPV = 1.018.
Отметим, что электронная таблица Excel 7.0 располагает возможностью расчета показателя NPV и для непериодических потоков платежей. Формат этой функции имеет вид
ЧИСТНЗ(r;значения;даты).
Здесь: r - годовая процентная ставка; значения - интервал клеток, в которые помещаются значения последовательных платежей потока; даты - интервал клеток, в которые помещены даты последовательных платежей потока. В отличие от ранее рассмотренных последняя функция осуществляет приведение потока к моменту первого платежа.
С помощью знака показателя NPV можно оценить эффективность одной многоэтапной финансовой операции. Однако с помощью этого показателя невозможно сопоставить эффективности двух различных операций и выбрать более выгодную из них. Для сопоставления эффективностей различных операций, описываемых нерегулярными потоками платежей, используется показатель, называемый внутренней эффективностью операции, эффективной ставкой операции, внутренней нормой доходности операции. Этот показатель обычно обозначается IRR (internal rate of return). Внутренняя эффективность операции равна процентной ставке ref, при которой NPV соответствующего потока равен нулю. Из этого определения следует, что IRR = ref определяется как корень уравнения
NPV = = 0 .
Следует заметить, что значение ref не зависит от того, к какому моменту времени приводится (дисконтируется) поток платежей при расчете NPV. Действительно, ранее было установлено, что при изменении момента приведения потока значение NPV изменяется в соответствии с соотношением . Из этого соотношения следует, что если NPV равно нулю для какого-либо момента приведения потока, то этот показатель равен нулю и для любого другого момента приведения, смещенного относительно исходного момента на произвольную величину t0 .
Решение нелинейного уравнения для определения значения IRR = ref в общем случае сопряжено с некоторыми сложностями. В электронной таблице Excel для выполнения этой операции предусмотрена табличная функция, которая рассчитывает значение IRR для периодического нерегулярного потока. Формат этой функции имеет вид
ВНДОХ(<интервал клеток>, r0). Здесь r0 - начальное приближение для ref, которое по умолчанию принимается равным 0.1. Как и для функции NPV <интервал клеток> здесь означает перечень клеток таблицы, в которые заносятся значения платежей периодического потока со своими знаками.
Кроме того, Excel содержит финансовую функцию, предназначенную для расчета внутренней эффективности операции в более общем случае непериодического потока. Эта функция имеет вид
ЧИСТВНДОХ(значения;даты;r0).
Аргументы этой функции совпадают с соответствующими аргументами функции ЧИСТНЗ .
При сопоставлении двух многоэтапных финансовых операций предпочтение отдается той из них, для которой значение внутренней эффективности операции IRR больше.
Пример. Сопоставим эффективности двух периодических нерегулярных потоков платежей с одинаковым периодом. Первому из потоков соответствуют платежи в конце каждого периода (-100,-100,100,100,50), для второго потока эти платежи равны (-100,-200,120,140,100).
Для расчета IRR каждого потока воспользуемся электронной таблицей Excel. В клетки A1:A5 поместим составляющие первого потока, а в клетки B1:B5 - платежи второго потока. В клетку А6 внесем формулу ВНДОХ(0.1,A1:A5), а в клетку B6 формулу ВНДОХ(0.1,B1:B6). В результате расчета получим, что для первого потока IRR = 0.103, а для второго потока IRR = 0.084. Следовательно, первый поток является предпочтительным для рассматриваемого участника операции.
Пусть теперь следует определить внутреннюю эффективность операции, которой соответствует поток платежей (-100,-200,250,120), последовательные платежи которого осуществляются в моменты времени (01.01.05;01.08.06;01.05.07;01.12.08) . С этой целью введем в клетки A1:A4 таблицы Excel значения платежей потока, а в клетки В1:В4 - значения соответствующих дат. Если в клетку А6 будет введена формула
= ЧИСТВНДОХ(A1:A4;B1:B4;0,1) , то в результате расчетов в этой клетке будет получена величина IRR = 0,124156.
Установим соотношения между зависимостями процентных ставок от периода Т по схемам простых и сложных процентов.
Имеем , . При .
Производные по Т при Т = 0
Докажем, что ln(1 + r) < r для любого r > 0 .
Рассмотрим ряд
er = 1 + r + r2 + ... + rn + ... ,
который сходится при любом значении r [А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович. Краткий курс математического анализа для втузов. М., Наука, 1967,стр.674]. Последнее выражение можно представить
er = 1 + r + Q ,
где (при r > 0)
Q = r2 + ... + rn + ... + ...> 0 .
Из приведенных соотношений следует
er > 1 + r .
Логарифмируя левую и правую часть этого неравенства, получим
r > ln(1 + r),
что и требовалось доказать.
Таким образом
Поскольку при Т = 0 , то это значит, что в окрестности точки Т = 0 при положительных Т .
Функция является монотонно возрастающей.
Действительно, при t > 0
Поскольку = r и не зависит от Т , то из графического представления зависимостей и следует, что наклон касательной к графику функции , будучи при Т0 меньше r , с ростом Т увеличивается неограниченно и монотонно , и при некотором Т станет больше r . При дальнейшем увеличении Т график пересечет график . При Т , превышающем абсциссу точки пересечения > . Из приведенных соображений следует, что точка пересечения графиков и единственная. Так как при Т = 1
то именно Т = 1 является единственной точкой пересечения графиков и . То есть
< при 0<T<1 ,
> при T>1.
Использование функции r = НОРМА (T;;S(0);S(T)) для расчета процентной ставки в рассматриваемой ситуации в некоторых случаях дает результат #ЧИСЛО!, то есть расчет функции не выполняется. Такое положение является следствием того, что в Excel функция НОРМА для однократных инвестиций рассчитывается как частный случай процентной ставки для потока платежей(см. раздел 2.2.1). Последняя задача в общем случае приводит к необходимости определения корня нелинейного уравнения и решается методом последовательных приближений. Если после 20 итераций погрешность определения процентной ставки превышает 0,0000001, то функция НОРМА возвращает значение ошибки #ЧИСЛО! В этом случае по рекомендации фирмы Microsoft следует подобрать начальное приближение для r = r0 и использовать следующий формат функции r = НОРМА (T;;S(0);S(T);;r0). Однако рациональней для однократных инвестиций в рассматриваемой ситуации отказаться от использования табличной функции и воспользоваться явным выражением для расчета процентной ставки .
См. сноску на стр. 51
См. cноску на стр. 51
66