Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
52
a) б) в)
Рис.1
y
Fупр
φ1
x
N
F1
xc
x'
O’
O
φ1
φ2
A2
A1
B1
B
A2
A1
m2
m1
L
a
O
O’
φ1
φ1
φ2
φ2
t
t
t
t
τ
τ
τ/2
Лабораторная работа № 12
Связанные колебания.
Цель работы: Цель работы состоит в изучении колебаний связанной системы.
Оборудование: Связанный маятник. Электронный секундомер.
Теоретическое введение
Совокупность двух или нескольких маятников, каким-либо образом связанных между собой, представляет связанную систему.
Рассмотрим в качестве примера систему, изображенную на рис.1 Два маятника массами m1 и m2 соответственно, и невесомыми стержнями с длинами L1 и L2 связаны пружиной, жесткостью 2с. Для простоты рассуждений примем m1=m2=m
OB1=L1=L2=O’B=L
O’A2=OA1=a
Проведем оси ОХ, ОУ, как указано на рис.1 в). Ось ОZ направлена перпендикулярно к плоскости рисунка.
На маятник действует сила тяжести груза F1=m1g, сила упругости и силы реакций стержня N.
Пусть в момент времени t=0, маятники отклонились от положения равновесия на углы φ1 и φ2 соответственно. Тогда сила упругости (согласно закону Гука) равна (рис.1б):
Fупр = 2с(х’-хс) = -2са(sin φ1-sin φ2) (1)
(здесь учтено, что жесткость пружин к=2с).
Запишем выражения для моментов сил упругости Мz (Fупр) сил тяжести М (F1), сил реакции стержня Мz (N) относительно оси ОZ:
Мz (Fупр) = Fупраcos φ1 (2)
Мz (F1) = mgLsin φ1 (3)
M (N) = 0 (4)
Момент импульса груза относительно оси ОZ равен:
к2 = mVL = mL²dψ/dt; т.к. V=Lw (5)
w=dψ/dt
В случае, когда амплитуда колебаний мала, можно считать:
sin φ= φ, сos φ=1 (6)
Теорема об изменении импульса для рассмотренной системы будет иметь вид:
dkz/dt=Mz(Fупр)+Мz(F1) (7)
Подставляя в (7) уравнения (1-5) и учитывая (6), получим уравнение движения для первого маятника:
d² φ1/dt²+(g/L+2са²/mL²) φ1-2са² φ2/mL² (8)
Аналогично можно получить и для второго маятника:
d² φ1/dt²+(g/L+2са²/mL²) φ2-2са² φ1/mL²
Система уравнений (8), (9) описывает колебания маятников. Для решения этой системы проделаем следующие преобразования:
Ф1+ω1²Ф1=0 (10)
где Ф1= φ1+ φ2 (11)
ω1²=g/L (12)
Ф2+ ω2²Ф2=0 (13)
где Ф2= φ1- φ2 (14)
w²2=g/L+4са²/mL² (15)
Решения полученных уравнений (10) и (13) будем искать в виде:
Ф1=А1cos (ω1t+ L1) (16)
Ф2=A2cos (ω2t+L2) (17)
где L1 и L2 и амплитуды А1 и А2 определяются из начальных условий.
Из формул (11) и (14) следует:
φ1 = (Ф1+Ф2)/2 (18)
φ2 = (Ф1-Ф2)/2 (19)
Используя начальные условия для t=0:
φ1= (21 а)
φ2= (21 б)
Отсюда видно, что движение каждого груза представляет суперпозицию двух колебаний с частотами w1 и w2, которые называются нормальными частотами.
Проанализируем подробнее некоторые частные случаи. Отклоним первый маятник на угол φ10, а второй задержим на месте, т.е. φ20=20. Тогда, применяя известные тригонометрические функции, получим:
(22 а)
(22 б)
Сила упругости пружины будет действовать на второй маятник, и он постепенно начнет раскачиваться. Энергия, сообщенная первому маятнику, будет передаваться отчасти второму, и амплитуда колебаний первого маятника будет постепенно убывать, в то время, как амплитуда второго маятника возрастать. Такой процесс будет продолжаться до тех пор, пока первый маятник не остановится, а второй, если пренебречь трением, не будет качаться с такой же амплитудой, как и первый в самом начале. Затем маятники меняются ролями: второй раскачивает первый. Маятники будут совершать то нарастающие, то убывающие колебания и через время V будут обмениваться энергией. Механическая энергия будет все время переходить от одного маятника к другому. Такие колебания называются биениями, а время V – периодом биений.
Картина колебаний представлена на рис. 2а.
Как бы мы не возбуждали колебания маятников, период биений будет одним и тем же. В зависимости от способа возбуждений меняется только разница между максимумом и минимумом амплитуды колебаний маятников.
τ τ
a) б)
Рис.2
Из (22 а) и (22 б) находим, что период биений равен:
τ = 2П/( ω2- ω1) (23a)
Следовательно, частота биений равна разности нормальных частот:
ω биений = ω2- ω1
Величина изменений амплитуды при биениях зависит от способа возбуждений колебаний. Очевидно, можно попытаться найти такой способ возбуждения, после которого биения очень слабы и колебания близки к гармоническим (задаются одной частотой).
Действительно, пусть φ10= φ20, т.е. оба маятника отклонены на одинаковый угол в одну сторону. При этом оба маятника будут колебаться синфазно с частотой ω1= ω0, т.е. с частотой, с которой колебались бы оба маятника при отсутствии связи.
Если же φ10= -φ20, т.е. оба маятника отклонены на одинаковый угол в разные стороны, то возникают противофазные колебания с частотой ω2. Из (12) и (15) видно, что частоты ω1 и ω2 зависят от физических параметров маятников: длины, массы, жесткости пружин и места их прикрепления к маятнику, но не зависят от начальных условий, после которых возникают колебания. Поэтому частоты ω1 и ω2 называют еще собственными частотами системы двух маятников.
В общем случае произвольных параметров маятников частоты ω1 и ω2 равны:
ω²1= (25)
ω²2= (26)
где m1, m2 – массы соответственно 1-го и 2-го маятников, L1, L2 – длины маятников.
2с=с1+с2 – эквивалентная жесткость 2-х пружин, соединенных параллельно, а – расстояние от точки подвеса маятников до места крепления пружин.
Возбуждая колебания связанных маятников внешней силой синусоидального характера, действующей на один из них, оба маятника будут совершать колебания с частотой внешней силы. Когда одна из их собственных частот связанных маятников станет равной частоте силы возбуждающего колебания будет т.н. «двугорбый» резонанс, график которого представлен на рис.3.
А(амплитуда)
w1 w2 W
рис.3
Рассмотрим колебания маятников разной длины под действием гармонической силы F частоты p, приложенной к длинному маятнику 1 (рис.5)
A
1 2
F
w1 w2 w
рис.4 рис.5
Зависимость амплитуды колебаний одного из маятников от частоты показано на рис.5. При резонансе, когда Р= ω (или ω) вынужденные колебания в системе похожи на нормальные колебания. При первом резонансе (р= ω1) фазы обоих маятников равны, а угол отклонения длинного маятника больше, чем короткого. Длинный маятник «таскает» за собой короткий маятник, собственная частота которого выше.
При втором резонансе (р= ω2) короткий маятник «толкает» длинный, который колеблется с более высокой частотой, чем его собственная частота. В этом случае сила пружины и смещение длинного маятника будут в противофазе.
1. Измерение частоты синфазных колебаний:
а) Проверить выравнивание прибора; установить стержни маятников параллельно друг другу.
б) Установить обоймы, крепящие пружины на верхней части стержней маятников, а грузы на нижней части стержней для обоих маятников на одинаковом расстоянии (одинаковые грузы и пружины); отсоединить пружины от обоймы, соединяющей маятники со стержнем возбуждающего колебания.
в) Нажать кнопку «сеть».
г) Отклонить маятники в одинаковую сторону на угол 6 и пустить их; нажать переключатель «сброс».
д) После подсчитывания прибором около 10 периодов колебаний маятника нажать кнопку «стоп»
По измеренным данным можно вычислить частоту синфазных колебаний сопряженных маятников.
ω1=2пf=2пN/t
где N - количество периодов, t - продолжительность измерений.
Сравнить с теоретической частотой ω1t (вычисленной по формуле (12)). Повторить измерения 2-3 раза.
Измерение частоты противофазных колебаний
1) Выполнить пункты 1-3 первого измерения.
2) Отклонить маятники в разные стороны на угол 5-6 ' и пустить их: нажать переключатель «сброс».
3) После подсчитывания прибором около 10 периодов колебаний маятника нажать кнопку «стоп». По формуле (27) вычислить частоту противофазных колебаний и сравнить с w, ,вычисленной по формуле (15). Повторить измерения 2-3 раза.
4) Установить обойму, крепящую пружины на различные расстояния (выполнить измерения для а=4,6,8,10 см) от оси крепления маятников. Произвести измерения частоты противофазных колебаний. Измерения с различными а провести 3-4 раза. Результаты занести в табл.1.
5) Сменить грузы и пружины (установить грузы другой массы и пружины другой жесткости) и проделать измерения согласно пунктам 1-4.
ТАБЛИЦА 1
|
№ |
а(м) |
w2t |
w2 |
погрешность в измерении |
|w2-w2t| |
В набор не входят пружины жесткостью c’’=5 Н/м, c’=7 Н/м.
3. Биения
1) Установить обоймы, крепящие пружины на расстоянии а =5 см от оси.
2) Отсоединить пружины от обоймы, соединяющий маятники со стержнем возбуждающего колебания.
3) Нажать «сеть».
4) Отклонить первый ближний маятник на угол-6", придерживая в начальном положении другой. Одновременно отпустить.
5) В момент максимального отклонения ближнего маятника, т.е. 6 нажать переключатель «сброс».
6) Амплитуда отклонений первого маятника будет медленно уменьшаться и возврастать. После отсчета 6-8 биений, т.е. 6-8 положений, когда амплитуда первого маятника принимает максимальное значение, нажать «стоп» (в момент максимального отклонения) .
7) По формуле (27) вычислить частоту «биений» ω, При вычислении ω учесть, что N - это число «биений», сравнить с теоретическим значением ω . Повторить 3-4 раза.
8) Передвинуть обойму на расстояние а=10 см и провести измерения согласно пунктам 4-7.
9) Сменить грузы и пружины и проделать измерения согласно пунктам 1-8. Результаты занести в табл.2.
ТАБЛИЦА 2
|
№ |
масса грузов(кг) |
Жесткость пружин Н/м |
w |
wbt |
|w-wbt| |
|
|
с1 |
c2 |
|||||
4. Наблюдения
1) Заложить пружины в обойму, сопрягающую маятники со стержнем, возбуждающим колебания.
2) Ближний маятник сделать короче другого на 10-15 см.
3) Установить обойму, связывающую маятники на расстоянии не далее 20 см от оси.
4) Включить питание двигателя.
5) Регулируя обороты двигателя наблюдать амплитуду колебаний маятников. Когда маятники колеблются с амплитудой около 20 происходит явление резонанса. В этот момент нажать «сброс».
6) После подсчитывания прибором около 5-6 колебаний нажать «стоп». По формуле (26) вычислить частоту, при которой произошел резонанс: ω1 (если при резонансе маятники колеблются синфазно), ω2 (при противофазных колебаниях). Сравнить с собственными частотами маятников.
7) Увеличить длину ближнего маятника (так, чтобы он стал короче другого на 5-10 см) и произвести измерения согласно пунктам 4-6. То же самое проделать для одинаковых маятников.
8) Установить обойму, связывающую маятники на другом расстоянии (не далее 20 см от оси) и произвести измерения согласно пунктам 4-7.
Результаты занести в табл.З.
ТАБЛИЦА 3
|
№ |
Длина маятника |
a(m) |
w1 |
w2 |
w1t |
w2t |
|
|
L1 |
L2 |
||||||
1) Что такое собственная частота, от чего она зависит?
2) Синфазные и противофазные колебания связанных маятников?
3) Биения, частота биений.
4) Как в работе определяется частота биений?
5) Вынужденные колебания системы двух связанных маятников, явление «двугорбого резонанса».