Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Сложная функция. Производная сложной функции.
Сложной функцией обычно называют функцию от функции. Если переменная у является функцией от u: у=f(u),а u, в свою очередь, - функцией от x: u=u(x), то у является сложной функцией от х, то есть y=f(u(x)).
В таком случае говорят, что у является сложной функцией независимого аргумента х, а u называют промежуточным аргументом.
Например, если - сложная функция, которая определена только при тех значениях х, для которых , то есть при (промежуточный аргумент u=x-2).
Производная сложной функции. Если функция u(x) имеет производную в точке х0, а функция f(u) – производную в точке u0= u(x0), то сложная функция
y=f(u(x)) также имеет производную в точке x0, причем
Таким образом: Производная сложной функции y=f(u(x)) равна произведению производной данной функции у=f(u) по промежуточному аргументу u (обозначается ) на производную промежуточного аргумента u=u(x) по независимому аргументу х (обозначается ).
Примеры решения задач.
№1.Наити производную функции:
Решение: Будем рассматривать данную функцию как сложную, где. Тогда, согласно , получим
№2.Найти производную функции .
Решение: Будем рассматривать данную функцию как сложную, составленную из функций . Тогда, согласно , получим
№3. Найдите производную функции:
Решение: Последовательно определим, от какого выражения берется производная:
- сначала берется производная суммы;
- затем для каждого из слагаемых используется правило вычисления производной сложной функции.
Производная обратной функции. Формулы производных обратных тригонометрических функций.
Пусть - непрерывная функция, монотонная на интервале. Тогда, функция имеет обратную функцию, которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале, в который функция f переводит интервал. Пусть - фиксированная точка и -- точка, ей соответствующая. Тогда.
Теорема 4.5. Пусть функция имеет в точке производную. Тогда обратная функция имеет в соответствующей точке производную, которую можно отыскать по формуле
|
Примеры решения задач.
№1.Найти производную функции y=arcsinx.
Решение: Функция y=arcsinx является обратной для функции х=siny, . Значит,
№2.Найти производную функции y=arcsin(sinx).
.
Вторая производная.
Определение.
Пусть функция y=f(x) имеет производную во всех точках некоторого промежутка. Эта производная в свою очередь, является функцией аргумента х.
Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной функции и обозначают (или).
Пример.