Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
28
Логические операции [править]
Конъюнкцией двух предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат , который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Множеством истинности Т предиката А(х) В(х), х Х является пересечение множеств истинности предикатов А(х) – Т1 и В(х) – Т2, т.е. Т= Т1 ∩Т2. Например: А(х): «х – четное число», В(х): « х кратно 3». А(х) В(х) – «х – четное число и х кратно 3». Т.е. предикат «х делится на 6».
Дизъюнкцией двух предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат , который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях х Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Областью истинности предиката А(х) В(х) является объединение областей истинности предикатов А(х) В(х).
Отрицанием предиката А(х) называется новый предикат , который принимает значение «истина» при всех значениях х Т, при которых предикат А(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь», если А(х) принимает значение «истина». Множеством истинности предиката , х Х является дополнение Т' к множеству Т в множестве Х.
29.Импликацией предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат А(х) В(х), который является ложным при тех и только тех значениях х Т, при которых А(х) принимает значение «истина», а В(х) – значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Читают: «Если А(х), то В(х)». Например. А(х): «Натуральное число х делится на 3». В(х): «Натуральное число х делится на 4», можно составить предикат: «Если натуральное число х делится на 3, то оно делится и на 4». Множеством истинности предиката А(х) В(х) является объединение множества Т2 – истинности предиката В(х) и дополнения к множеству Т1 истинности предиката А(х).
Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который обращается в “истину” при всех тех и только тех , при которых P(x) и Q(x) обращаются оба в истинные или оба в ложные высказывания.
Для его множества истинности имеем:
27. . Равносильные формулы логики предикатов.
Определение 1. Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными на области М, если они принимают одинаковые логические значения при всех значениях входящих в них переменных, отнесенных к области М.
Определение 2. Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными, если они равносильны на всякой области.
Ясно, что все равносильности алгебры высказываний будут верны, если в них вместо переменных высказываний подставить формулы логики предикатов. Но, кроме того, имеют место равносильности самой логики предикатов. Рассмотрим основные из этих равносильностей.
Пусть А(х) и В(х) – переменные предикаты, а С – переменное высказывание (или формула, не содержащая х). Тогда имеют место равносильности:
1.
2.
3.
4.
5.
Равносильность 1 означает тот простой факт, что, если не для всех х истинно А(х), то существует х, при котором будет истиной .
Равносильность 2 означает тот простой факт, что, если не существует х, при котором истинно А(х), то для всех х будет истиной .
Равносильности 3 и 4 получаются из равносильностей 1 и 2, соответственно, если от обеих их частей взять отрицания и воспользоваться законом двойного отрицания.
Определение 7. Пусть – предикат, определенный на множестве . Под выражением понимают высказывание, истинное, когда истинно для каждого элемента из множества , и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от . Соответствующее ему словесное выражение звучит так: “Для всякого истинно ”.
Символ называют квантором всеобщности (общности). Переменную в предикате называют свободной (ей можно придавать различные значения из , в высказывании же называют связанной квантором всеобщности.
Определение 9. Пусть -предикат определенный на множестве . Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент , для которого истинно, и ложным – в противном случае. Это высказывание уже не зависит от . Соответствующее ему словесное выражение звучит так: “Существует , при котором истинно.” Символ называют квантором существования. В высказывании переменная связана этим квантором (на нее навешен квантор).
Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве задан двухместный предикат . Применение кванторной операции к предикату по переменной ставит в соответствие двухместному предикату одноместный предикат (или одноместный предикат ), зависящий от переменной и не зависящий от переменной . К ним можно применить кванторные операции по переменной , которые приведут уже к высказываниям следующих видов:
Рассмотрим предикат , определенный на множестве , содержащем конечное число элементов. Если предикат является тождественно-истинным, то истинными будут высказывания . При этом истинными будут высказывания и конъюнкция .
Если же хотя бы для одного элемента окажется ложным, то ложными будут высказывание и конъюнкция . Следовательно, справедлива равносильность
.
31
32.
33 Правильные и неправильные рассуждения. Понятие о логической ошибке
В логике рассуждения разделяются на:
♦правильные;
♦неправильные.
Правильное рассуждение — это рассуждение, в котором придерживаются всех правил и законов логики. Неправильное рассуждение — это рассуждение, в котором допускаются логических ошибок в результате нарушения правил или законов логики.
34
Числовые выражения
Запись, которая состоит из чисел, знаков и скобок, а также имеет смысл, называется числовым выражением.
Например, следующие записи:
(100-32)/17,
2*4+7,
13,
4*0.7 -3/5,
1/3 +5/7
будут являться числовыми выражениями. Следует понимать, что одно число тоже будет являться числовым выражением. В нашем примере, это число 13.
А, например, следующие записи
100 - *9,
/32 )343
(*5
:)
не будут являться числовыми выражениями, так как они лишены смысла и являются просто набором чисел и знаков.
Значение числового выражения
Так как в качестве знаков в числовых выражениях входят знаки арифметических действий, то мы можем посчитать значение числового выражения. Для этого необходимо выполнить указанные действия.
Например,
(100-32)/17 = 4, то есть для выражения (100-32)/17 значением этого числового выражения будет являться число 4.
2*4+7=15, число 15 будет являться значением числового выражения 2*4+7.
Часто для краткости записи не пишут полностью значение числового выражения, а пишут просто "значение выражения", опуская при этом слово «числового».
Числовое равенство
Если два числовых выражения записаны через знак равно, то эти выражения образуют числовое равенство. Например, выражение 2*4+7=15 является числовым равенством.
Как уже отмечалось выше, в числовых выражениях могут использоваться скобки. Как уже известно скобки влияют на порядок действий.
Вообще, все действия разделены на несколько ступеней.
Действия первой ступени: сложение и вычитание.
Действия второй ступени: умножение и деление.
Действия третей ступени – возведение в квадрат и возведение в куб.
Правила при вычислении значений числовых выражений
При вычислении значений числовых выражений следуют руководствоваться следующими правилами.
1. Если выражение не имеет скобок, то надо выполнять действия начиная с высших ступеней: третья ступень, вторая ступень и первая ступень. Если имеется несколько действий одной ступени, то их выполняют в порядке в котором они записаны, то есть слева на право.
2. Если в выражении присутствуют скобки, то сначала выполняются действия в скобках, а лишь затем все стальные действия в обычном порядке. При выполнении действий в скобках, если их там несколько, следует пользоваться порядком описанным в пункте 1.
3. Если выражение представляет собой дробь, то сначала вычисляются значении в числителе и знаменателе, а потом числитель делится на знаменатель.
4. Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то выполнять действия следует с внутренних скобок.
Предыдущая тема: Наименьшее общее кратное (НОК): определение, как найти, общая схема
35. Выражения с переменной
Запись из чисел, букв, знаков действий и скобок. Например,
Переменная - это буква, входящая в буквенное выражение. Переменная может принимать любые числовые значения.
Числовое значение выражения с переменной зависит от значения переменной.
Область определения
Множество значений переменных, при которых выражение с переменной имеет смысл, называется областью определения этого выражения.
Например, выражение имеет смысл при любом значении x, кроме 7. Если x=7, получим деление на ноль. Область определения - это множество всех чисел, кроме 7.
Тождества
Два математических выражения называются тождеством, если оно превращается в верное числовое равенство при любых значениях переменных, принадлежащих общей области определения (т.е. при значения переменных, при которых выражения имеют смысл).