Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1) Классификация сигналов:
Все сигналы разделяют на две крупных группы: детерминированные и случайные. Классификация сигналов внутри групп приведена на рис.
2) Методы анализа линейных систем:
В настоящее время для анализа систем фильтрации регулярных и случайных воздействий наиболее распространенными являются такие методы:
Математические преобразования сигналов осуществляются для того, чтобы получить какую-то дополнительную информацию, недоступную в исходном сигнале, или выделить из входного сигнала полезную информацию и сделать ее более доступной для дальнейшей обработки, измерений каких-либо параметров, передаче по каналам связи, и пр.
Преобразованный сигнал принято называть трансформантой исходного.
3) Cвойства преобразования Фурье:
1.Изменение знака частоты.
Если изменить знак частоты на противоположный, то получим спектральную плотность, комплексно сопряженную с исходной спектральной плотностью.
2. Значение спектральной плотности в нуле
- прямое преобразование Фурье
Значение спектральной плотности в нуле численно равно площади под кривой, описывающей сигнал. Это свойство удобно использовать для проверки правильности вычисления прямого преобразования Фурье
5. Спектр суммы сигналов.
Спектр суммы сигналов равен сумме спектров каждого сигнала.
6.Изменение направления времени сигнала.
Если изменить направление времени сигнала, то есть заменить на , то спектральная плотность нового сигнала будет комплексно сопряжена спектральной плотности исходного сигнала.
7.Дифференцирование сигналов.
При дифференцировании сигнала по времени его спектральная плотность умножается на . При этом уменьшается амплитуда низкочастотной составляющей и увеличивается амплитуда высокочастотной составляющей.
8.Интегрирование сигнала с нулевой площадью.
При интегрировании сигнала по времени его спектральная плотность делится на . При этом повышается амплитуда низкочастотных составляющих и понижается амплитуда высокочастотных составляющих.
9.Изменение масштаба времени сигналов.
Если , то сигнал сжимается во времени, а его спектральная плотность уменьшается в раз и растягивается в раз по частоте.
Чем короче сообщение, тем шире его спектр и тем шире должна быть полоса пропускания канала обработки информации.
Если 0<a<1, то сигнал растягивается во времени, а его спектральная плотность увеличивается в раз и сжимается в раз по частоте.
10.Перемножение сигналов.
Если сигнал получается в результате перемножения двух сигналов, то его спектр определяется с помощью интеграла свертки спектров сомножителей.
11.Спектр свертки двух сигналов.
Если сигнал получен в результате вычисления интеграла свертки двух сигналов, то его спектр равен произведению этих сигналов.
12. Свойство обратимости частоты и времени.
Если сигнал S(t) четный со спектром U(w), то для расчета спектра сигнала U(t), повторяющего по форме спектр исходного сигнала, достаточно в формуле S(t), описывающей исходный сигнал, заменить на и результат умножить на .
13. Умножение сигнала на гармоническую функцию.
Если сигнал умножается на гармоническую функцию, то его спектр раздваивается и каждая его половина уменьшается в 2 раза и смещается влево и вправо симметричным образом относительно оси ординат на частоту .
15)Случайный процесс типа белого шума.
В пределе при и случайный процесс с равномерным энергетическим спектром характеризуется отсутствием корреляции между сколь угодно близкими его отсчетами. Такой случайный процесс носит название «белого» шума.
Корреляционная функция белого шума удовлетворяет условию:
а его дисперсия (средняя мощность)
Корреляционная функция белого шума математически может быть определена с помощью -функции, обладающей следующими свойствами:
(5)
(6)
Белый шум, определяемый как случайный процесс, отвечающий бесконечно широкому равномерному энергетическому спектру, представляет абстракцию, физически не реализуемую.
Его нельзя задать математически как случайный процесс: нельзя задать одномерный закон распределения, определяющий нормальный белый шум, поскольку дисперсия его бесконечна.
Мы можем лишь характеризовать локальные свойства белого шума в частотном и временном измерениях пространства сигнала: однородность спектральной плотности мощности и некоррелированность сколь угодно близких по времени отсчетов. Однако эта абстракция оправдана тем, что специфические свойства белого шума переносятся и на случайные процессы с ограниченной мощностью (дисперсией), отвечающие ограниченному участку равномерного спектра, выделяемому входным устройством.
16) Узкополосный случайный процесс. Огибающая и полная фаза узкополосного случайного процесса.
Согласно теореме Винера-Хинчина, корреляционная функция и спектральная плотность мощности случайного процесса связаны друг с другом преобразованием Фурье. Узкополосный характер спектра говорит о том, что корреляционная функция имеет вид узкополосного радиосигнала:
где и - медленно (по сравнению с) меняющиеся функции.
Узкополосный спектр и осциллирующий характер корреляционной функции означают, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса представляют собой квазигармонические колебания:
,
у которых как огибающая A(t), так и начальная фаза являются случайными функциями, медленно (по сравнению с) изменяющимися во времени.
Вероятность попадания в бесконечно малую область в окрестностях каждой точки комплексной плоскости при смене системы координат должна, очевидно, остаться неизменной
Чтобы найти одномерные плотности вероятности для огибающей и фазы, нужно проинтегрировать двумерную плотность по «лишним» координатам:
Так как двумерная плотность не зависит от фазы, плотность вероятности амплитуды рассчитывается так:
фаза имеет равномерное распределение на интервале. Физически это означает отсутствие какого-либо преимущественного значения полной фазы у отдельных реализаций узкополосного случайного процесса.
амплитуда и полная фаза узкополосного случайного процесса в один и тот же момент времени являются статистически независимыми
17) Узкополосный случайный процесс при наличии детерминированной составляющей.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда к узкополосному шуму добавлен узкополосный же детерминированный сигнал. Комплексный случайный процесс в данном случае будет иметь следующий вид:
Совместная плотность вероятности вещественной и мнимой частей этого комплексного процесса будет отличаться от (2) наличием смещений для и, равных и, соответственно:
Переход от декартовой системы координат к полярной, аналогичный рассмотренному ранее (3), дает следующее:
Интегрирование этой двумерной плотности по фазе дает одномерную плотность вероятности для амплитуды данного случайного процесса (промежуточные выкладки опущены):
где - амплитудная огибающая детерминированного сигнала в данный момент времени.
Плотность вероятности носит название закона распределения Рэлея-Райса.
.
18) Отклик линейной стационарной системы на случайный входной сигнал
Рассмотрим линейную стационарную систему (фильтр), которая характеризуется своей импульсной характеристикой или, что эквивалентно, своей частотной характеристикой, где и связаны парой преобразований Фурье.
Пусть x(t) означает входной, а y(t) - выходной сигналы системы. Выход системы можно выразить интегралом свертки
спектральная плотность мощности выходного сигнала равна произведению спектральной плотности мощности входного сигнала и квадрата модуля частотной характеристики системы.
При расчете автокорреляционной функции обычно легче определить спектральную плотность мощности и затем вычислить обратное преобразование Фурье. Таким образом, имеем
(6)
Видим, что средняя мощность выходного сигнала
(7)
Так как, то
19) Энергетический спектр случайного процесса на выходе линейной цепи
Спектр на выходе линейной цепи
Энергетический спектр случайного процесса на выходе линейной цепи
20) Основы статистической обработки и фильтрации сигналов. Согласованная фильтрация детерминированного сигнала. Неравество Коши-Буняковского
Выделение сигнала из помех является одной из важнейших задач, которые необходимо решить при разработке практически любой системы передачи информации. Критерий качества такого выделения сильно варьируется в зависимости от назначения системы. Так, при передаче аудио- или видеосигнала важно обеспечить минимально возможное искажение его формы, а в радиолокационной аппаратуре – установить факт наличия отраженного сигнала и определить момент его прихода.
Помимо критериев качества, различными являются также наши знания о структуре полезных сигналов и шумов и, соответственно, используемые для их представления математические модели. Поэтому не существует единственно «оптимального» устройства, во всех случаях обрабатывающего сигнал наилучшим образом.
Понятие оптимальности имеет смысл только в связи с конкретной постановкой задачи, т. е. для конкретной комбинации критерия качества, моделей сигналов и шумов.
классические задачи обработки сигналов:
I. Критерий качества
II. Модели сигналов
III. Модели шумов
Пусть форма обрабатываемого сигнала заранее известна, и нам нужно определить лишь факт присутствия сигнала на фоне шумов (задача обнаружения сигнала).
В этом случае фильтр должен вместо сохранения формы сигнала обеспечить его максимальный (по сравнению с шумом) уровень на выходе.
Критерием качества обработки в данном случае может служить отношение сигнал/шум, определяемое как
, (1)
где – максимальное абсолютное значение сигнала,
Детерминированная составляющая выходного сигнала фильтра в момент может быть рассчитана последующей формуле:
, (3)
где – импульсная характеристика фильтра.
В курсе математики доказывается неравенство Коши- Буняковского, согласно которому
, (4)
причем максимум левой части (равенство) достигается только в том случае, если функции и пропорциональны друг другу:
. (5)
Применив неравенство (4) к правой части формулы (3), имеем
.
Равенство, согласно выражению, будет достигаться, если
, (6)
где – постоянный коэффициент, имеющий размерность (ведь импульсная характеристика имеет размерность частоты, т. е. 1/с). Выполнив замену переменной, формулу (6) можно переписать в виде
21) Комплексный коэффициента передачи согласованного фильтра.
Выражение для комплексного коэффициента передачи согласованного фильтра. Преобразование Фурье импульсной характеристики (7) дает
.
Используем замену переменной. С учетом этого
.
Получившийся интеграл представляет собой спектральную функцию сигнала на частоте. Но согласно свойствам спектра вещественного сигнала, поэтому окончательно для коэффициента передачи согласованного фильтра имеем
. (8)
Полученной формуле можно дать наглядную физическую трактовку. Рассмотрим, какие преобразования производит согласованный фильтр с фазовым спектром сигнала.
Пусть фазовый спектр входного сигнала равен :
.
Согласно (8) фаза коэффициента передачи согласованного фильтра может быть представлена как
.
Таким образом, фазовый спектр выходного сигнала будет иметь вид
,
а это означает, что в момент все спектральные составляющие сигнала складываются на выходе синфазно, образуя пик выходного отклика.
Это называется компенсацией начальных фаз.
Механизм компенсации начальных фаз иллюстрируется на рис. 2.
Рис. 2. Механизм компенсации начальных фаз
при согласованной фильтрации
Модуль коэффициента передачи, как следует из (8), повторяет форму модуля спектральной плотности сигнала:
.
Таким образом, коэффициент передачи велик на тех частотах, где сосредоточена основная часть энергии полезного сигнала, и мал там, где мала спектральная плотность.
Сочетание компенсации начальных фаз с увеличением амплитуды сильных спектральных составляющих сигнала и обеспечивает оптимальность согласованного фильтра для регистрации сигнала на фоне белого шума.
22)Отношение сигнал /шум на входе и выходе согласованного фильтра
Определим отношение сигнал/шум на входе и выходе согласованного фильтра, воспользовавшись определением (1). В качестве модели для мы использовали белый шум, дисперсия которого бесконечно велика, поэтому
и.
Для того чтобы найти выходное отношение сигнал/шум, необходимо предварительно определить вид полезного выходного сигнала. Сигнал на выходе линейной стационарной цепи с импульсной характеристикой определяется как
.
Подставим сюда выражение (7) для импульсной характеристики:
,
где – корреляционная функция сигнала.
Таким образом, выходной сигнал согласованного фильтра представляет собой (с точностью до масштабного множителя А) сдвинутую во времени на корреляционную функцию сигнала. Как известно, максимальное значение корреляционной функции детерминированного сигнала достигается при и равно его энергии:
,
где – энергия сигнала.
Вывод:
Максимальное значение сигнала на выходе согласованного фильтра достигается при и равно.
Теперь необходимо рассчитать уровень шума на выходе. Спектральная плотность мощности шума на выходе линейной цепи может быть получена путем умножения спектральной плотности мощности входного шума на квадрат модуля коэффициента передачи:
,
где – двусторонняя спектральная плотность мощности входного белого шума. Дисперсия определяется через интеграл от выходного спектра шума:
.
Но, согласно равенству Парсеваля
.
Окончательно для среднеквадратичного значения шума получаем
.
Теперь можно получить выходное отношение сигнал/шум:
.
Вывод:
Отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра не зависит от формы обрабатываемого сигнала, а определяется лишь его энергией и спектральной плотностью мощности входного белого шума.
23) Оптимальная фильтрация при небелом шуме. Критерий оптимальности
Простейшее и само собой напрашивающееся решение состоит в том, чтобы предварительно «обелить» шум, с помощью фильтра, коэффициент передачи которого выбран так, чтобы компенсировать неравномерность спектра входного шума (рис. 1).
Найдем, коэффициент передачи которого:
и, следовательно,
, (1)
где – произвольная константа.
Полезный сигнал на выходе этого фильтра будет, очевидно, иметь спектральную плотность, равную
. (2)
Итак, на выходе «обеляющего» фильтра мы имеем белый шум со спектральной плотностью мощности и измененный полезный сигнал.
Так как шум белый, можно использовать фильтр, согласованный с сигналом комплексный коэффициент передачи которого, согласно, равен
,
где – длительность сигнала на выходе первого фильтра;
(– длительность входного сигнала).
Общий коэффициент передачи полученной таким образом системы будет равен
Воспользовавшись (1), окончательно имеем
.
Фильтр, оптимален для обнаружения сигнала в белом шуме, но еще неизвестно, является ли полученная таким образом составная схема в целом оптимальной для решения первоначально поставленной задачи, т.е. для обнаружения сигнала в шуме со спектром. Докажем оптимальность схемы рис. 1 методом «от противного».
Предположим, что существует фильтр с коэффициентом передачи, обеспечивающий при подаче на вход аддитивной смеси сигнала и шума со спектральной плотностью большее выходное отношение сигнал/шум, чем схема, показанная на рис. 1. Представим коэффициент передачи такого фильтра в виде
.
Пусть является коэффициентом передачи «обеляющего» фильтра, т.е. удовлетворяет условию (1). На выходе этого фильтра будет получен сигнал и белый шум со спектральной плотностью, т.е. те же условия, что и на выходе первого фильтра на рис. 1.
Так как отношение сигнал/шум на выходе, согласно сделанному предположению, должно быть больше, чем для рассмотренной схемы (см. рис. 1), то фильтр с комплексным коэффициентом передачи обеспечивает при подаче на вход аддитивной смеси сигнала и белого шума большее отношение сигнал/шум, чем фильтр, согласованный с сигналом, что невозможно. Полученное противоречие доказывает, что схема, показанная на рис. 1, имеющая коэффициент передачи (3), действительно является оптимальной для обнаружения детерминированного сигнала в шуме с известной спектральной плотностью мощности.
Рассчитаем для данного случая выходное отношение сигнал/шум. Так как второй фильтр согласован с сигналом то, в соответствии с, это отношение может быть представлено как
, (4)
где – энергия сигнала, а – спектральная плотность белого шума после «обеляющего» фильтра.
Согласно равенству Парсеваля энергия сигнала может быть рассчитана и в спектральной области:
.
Подставив в выражения для спектра и для коэффициента передачи, имеем
.
Таким образом, в общем случае выходное отношение сигнал/шум определяется «взвешенной» в частотной области энергией обрабатываемого полезного сигнала; весовая функция при этом обратно пропорциональна спектральной плотности мощности шума.
Замечание. Легко видеть, что при формула (5) превращается в полученное ранее для случая белого шума выражение
24) Оптимальная фильтрация случайных сигналов
Фазочастотная характеристика фильтра нулевая, следовательно, нет задержки по времени и сохраняются фазовые соотношения, имевшиеся во входном сигнале.
В области частот, где полезный сигнал намного сильнее шума, имеем коэффициент передачи . Там же, где сигнал слабый, коэффициент передачи . Если на какой-либо частоте спектральные плотности мощности сигнала и шума одинаковы, то коэффициент передачи на этой частоте равен 0,5.
Таким образом, оптимальный фильтр пропускает те частоты, на которых сигнал сильнее шума, и подавляет те, где он слабее.
Отсутствие фазовых сдвигов обеспечивает лучшее сохранение формы полезного сигнала.
.
Определим, чему равна дисперсия ошибки воспроизведения полезного сигнала для оптимального фильтра. Подставив (3) в (2), получим спектральную плотность мощности сигнала ошибки:
.
Дисперсия, равная значению корреляционной функции при, может быть рассчитана с помощью теоремы Винера-Хинчина:
. (4)
Пусть полезный случайный сигнал имеет спектральную плотность мощности вида
,
где и, а шум является белым и имеет спектральную плотность мощности (рис. 1, а).
Найдем характеристики оптимального фильтра и рассчитаем дисперсию ошибки воспроизведения полезного сигнала.