Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Цель: Сформировать у студентов представление о причинах возникновения погрешностей при вычислениях по формулам и методах их оценки.
Вопросы:
1.1. Абсолютная и относительная погрешности. Оценки погрешностей.
1.2. Границы числовых величин.
1.3. Запись приближенных значений. Верные знаки.
1.4. Округление. Погрешность округления. Первое правило верных знаков.
1.5. Линейные оценки погрешности суммы, разности, произведения, частного и функции одной переменной.
1.6. Предельная абсолютная погрешность функции нескольких переменных. Линейная оценка абсолютной погрешности функции нескольких переменных.
1.7. Метод границ.
1.8. Правила верных знаков.
1.9. Вычислительный эксперимент и его погрешности
Основная задача численных методов – построение вычислительного алгоритма, позволяющего с требуемой степенью точности получить решение в численном виде.
Этот алгоритм обычно предполагает ориентацию на ЭВМ. Поэтому под вычислительным алгоритмом понимается конечная последовательность арифметических и логических операций над числами, при помощи которых находится решение поставленной математической задачи в числовом виде.
В классической математике, как правило, ищется аналитическое решение задачи, т.е. в виде формул, либо доказывается соответствующая теорема о существовании решения.
При вычислениях по заданным формулам нередко возникают ситуации, когда результат вычислений имеет погрешность, т.е. он не совпадает с точным значением искомой величины.
Пример. Требуется определить площадь прямоугольника, нарисованного на бумаге. S=a*b.
Пример. Требуется вычислить длину окружности с радиусом R=1. l=2πR=2π. Но число π невозможно записать в виде десятичной дроби с конечным числом разрядов. Чтобы выйти из положения приходится его округлять, т.е. заменять другим числом с меньшим числом разрядов. В результате Мы не получим точного значения искомого результата.
Пример. Требуется произвести вычисления по формуле c=a*sinb при известных точных значениях a и b: a=2 и b=1. Для вычисления sin необходимо использовать либо таблицы, либо вычислительную технику.
Рассмотренные примеры показывают, что можно выделить следующие источники ошибок при вычислении по формулам:
Если ошибки вычислителя можно исправить, то ошибки, порождаемые первыми тремя источниками, неустранимы в принципе. Поэтому возникает практическая потребность работать с приближёнными значениями величин, оценивать их точность.
Пусть имеется некоторая числовая величина X. Одно из её значений (которое требуется определить или задать) мы обозначим через Xс и будем называть точным значением числовой величины. Под приближенным значением Xa этой величины X мы будем понимать любое число, которое берется вместо Xс для каких-либо целей.
Абсолютной погрешностью приближения xa называется .
Относительной погрешностью приближения xa называется .
Как правило, абсолютные и относительные погрешности вычислить невозможно, т.к. обычно неизвестно точное значение Xc . В самом деле, если бы Xc было известно и его можно было бы записать в виде десятичной дроби с достаточно малым количеством значащих цифр, то никакой надобности в приближенном значении не было бы. Но некоторая информация о точном значении величины X все же должна быть. (в примере 1 – это может быть информация об условиях измерения и т.п.). Любая информация о точном значении Xc в конечном счете может быть сведена к утверждению вида:
Xc E, (1)
где E – некоторое числовое множество, такое, что ему должно принадлежать точное значение Xc.
Чем больше информации имеется о точном значении Xc тем уже множество E и наоборот. Если E не ограничено, то при любом выборе приближения Xa абсолютная погрешность его может быть сколь угодна велика, и в таком случае использовать Xa нельзя. Поэтому в дальнейшем Мы будем рассматривать только те случаи, когда множество E является ограниченным. Тогда будет ограниченной и функция
, x E. (2).
Эта функция обладает тем свойством, что есть абсолютная погрешность Xa . Любая из верхних границ этой функции называется границей (оценкой) абсолютной погрешности Xa, и обозначается ∆Xa. Другими словами, ∆Xa – это такое положительное число, что
∆Xa (3)
Неравенство (3) равносильно неравенству:
Xa - ∆Xa Xc Xa + ∆Xa (4),
или отношению:
Xc [ Xa - ∆Xa; Xa + ∆Xa] (5).
Требование (5) фактически означает, что множество E должно содержаться в отрезке [ Xa - ∆Xa; Xa + ∆Xa]. Для ограниченного множества E всегда найдется ∆Xa такое, чтобы условие это выполнялось, причем, очевидно, таких ∆Xa можно найти сколь угодно много. Поэтому оценок абсолютной погрешности приближенного значения Xa обычно существует бесчисленное множество. В отличие от абсолютной погрешности Xa, ту или иную оценку абсолютной погрешности в принципе можно найти и именно оценка погрешности используется обычно в качестве меры точности приближения Xa вместо неизвестной абсолютной погрешности. При этом часто слово «оценка» опускается и вместо того, чтобы говорить «найти одну из оценок абсолютной погрешности Xa» говорят «найти погрешность Xa» или «оценить погрешность Xa». Если удается найти несколько оценок абсолютной погрешности Xa, в итоге выбирают наименьшую из них, т.к. именно наименьшая оценка является наиболее точной, наиболее близкой к точному значению абсолютной погрешности.
Пример. Пусть имеется информация о том, что точное значение некоторой числовой величины Xc [a,b]. Тогда E=[a,b]. В качестве приближенного значения этой величины Xa выбрано некоторое число из [a,b]. Требуется найти оценку ∆ Xa абсолютной погрешности приближения Xa.
y
∆Xa
b-Xa B
Xa-a
Xc
a
Xa
b
0
x
Рис.1.
Из рис.1. видно, что в качестве ∆Xa можно выбрать любое число из промежутка [B,+∞), где (6)
Среди полученных оценок абсолютной погрешностью самой точной (самой близкой к точному значению погрешности ) является наименьшая из них, равная B.
Обобщим результат рассмотренного примера и дадим следующее определение:
Наименьшая из оценок абсолютной погрешности Xa при имеющейся информации о множестве E называется предельной абсолютной погрешностью Xa.
Таким образом, предельная погрешность Xa может быть вычислена по формуле:
(7)
и представляет собой лучшую и точную оценку погрешности Xa.
Пример. Требуется подобрать Xa в условии примера 1 так, чтобы предельная абсолютная погрешность Xa была наименьшей.
Если , то предельная абсолютная погрешность Xa . Если же Xa сдвинуть с этой точки вправо или влево (см. (6)), то предельная абсолютная погрешность увеличится. Следовательно, наименьшая предельная абсолютная погрешность получается в том случае, когда Xa совпадает с серединой [a,b], т.е. при . В этом случае предельная абсолютная погрешность Xa, равная половине длины отрезка [a,b], т.е. .
Зная оценку абсолютной погрешности можно определить границу (оценку) относительной погрешности Xa по формуле:
(8)
Из (3) следует (9)
Оценок относительной погрешности также существует бесчисленное множество.
Верхней (нижней) границей значений величины x называется любая из верхних границ множества E.
Иными словами, ели имеются две величины НГх и ВГх такие, что
НГх ≤X≤ ВГх, то они называются верхней и нижней границей значений величины Х. Когда это возможно, в качестве НГх и ВГх выбирают точные грани множества Е:
ВГх =sup E (НГх=inf E) (10)
Из этого определения следует ХсЕ[ НГх, ВГх]. (11)
Например, Е=[a,b] или (a,b], следовательно НГх=а, ВГх=b. Понятие границ и погрешностей тесно связаны взаимно заменяют друг друга.
Пусть известно Ха и ∆Ха. Тогда, Хс[Ха-∆Ха, Ха+∆Ха]
Е=[Ха-∆Ха, Ха+∆Ха] НГх= Ха-∆Ха; ВГх=Ха+∆Ха (12)
И наоборот, пусть известны НГх и ВГх. Тогда Е=[НГх, ВГх]
Ранее мы показали, что если выбрать приближенное значение
, (13)
То предельная абсолютная погрешность будет наименьшей и равна
(14)
Формулы (12)-(14) позволяют перейти от ВГх и НГх к Ха и ∆Ха и наоборот.
Значащими цифрами в десятичной дроби называются все цифры, начиная с первой ненулевой слева.
Пример. 0,01035 знач. цифры 1,0,3,5.
-1,06 1,0,6.
11017500 1,1,0,1,7,5,0,0.
Значащая цифра в десятичной записи приближенного значения Ха называется верно в широком (строгом) смысле слова, если погрешность этого приближенного значения не превышает единицы (половины единицы) разряда, в котором стоит эта цифра.
Пример. Ха=-0,020345 ∆Ха=0,000055
верные цифры в широком смысле 2,0,3
верные цифры в строгом смысле 2,0.
Верные значащие цифры в записи приближения Ха часто совпадают с соответствующими цифрами в записи точного значения Хс, но не всегда
Пример. Хс=2,15379 Хс=1,00000
Ха=2,15352 Ха=0,99999
∆Ха=0,00001
Количество верных знаков после десятичной запитой в записи приближения Ха тесно связано с величиной абсолютной погрешности (или оценки) ∆Ха
Если ∆Ха=10-n, nN, то в записи Ха будут верны в широком смысле слова все значащие цифры после запятой с 1-й по n-ую.
Пример. х=1,23456, ∆Ха=10-2.
Общее количество верных знаков записи Ха связан с величиной относительной погрешности (или оценки) Ха. Если Ха=10-n, nN, то в записи Ха будет ровно n верных значащих цифр в широком смысле слова
Представим Ха в показательной форме: Ха=m*10p, pZ, mR , p – порядок числа, m – мантисса.
Очевидно, что абсолютная погрешность ∆Ха и ∆m связаны соотношением: ∆Ха=∆m*10p Отсюда получаем:
, но 0,1≤m<1 0,1*10-n≤∆m<10-n.
Т.о., в записи мантиссы будет n верных значащих цифр после запятой. Все эти цифры будут верными и в записи Ха, ч.т.д. пример Ха=31,2594, =10-4
Округление. Погрешность округления. Первое правило подсчета верных знаков
При ручных вычислениях и подсчета на ЭВм практически невозможно обойтись без округлений промежуточных или конечных результатов
Применяются различные способы округления:
Определение. Пусть Хс и Ха – точное и приближенное значения числовой величины. Х’ – результат округления Ха. Абсолютной погрешностью округления называется число ∆окр.=
Если рассматривать число Х’ как некоторое другое приближенное значение исходной величины Х, то его абсолютная погрешность ∆Х’=, т.е. оценку погрешности X’ можно выбрать следующим образом: ∆X’=∆Xа+∆окр.
При ручных вычислениях часто возникает вопрос о том, сколько цифр оставить при округлении.
Пример 1 Хс=2,1374, Ха=2,1332, ∆Xа=0,0042
X’ – число, полученное из Ха путем округления.
Рассмотрим 3 случая:
∆Х’=0,0044 погрешность увеличивается незначительно
∆Х’=0,0074 погрешность увеличивается существенно
∆Х’=0,0374 погрешность выросла почти в 10 раз, что недопустимо
Первое правило верных знаков
Если приближение Ха – окончательный результат, то его принято округлять так, чтобы он был записан со всеми верными знаками. Если Ха – промежуточный результат, то его принято округлять так, чтобы он был записан со всеми верными знаками плюс один-два добавочных знака.
Например Ха задано равенством Ха=1,25 следовательно ∆Ха≤0,01
При записи окончательных приближенных результатов Ха с известной оценкой погрешности ∆Ха часто используют следующую форму записи:
X=Ха±∆Ха
При этом, погрешность ∆Ха обычно округляют до 2-х значащих цифр в сторону увеличения, а в записи приближенного значения Ха сохраняют столько же разрядов после запятой, сколько их имеется в записи ∆Ха.
пример Ха=1,23456089 ∆Ха=0,00034295
Можно записать: Х=1,234 или Х=1,23456±0,00035.
Линейные оценки погрешностей.
Для того, чтобы найти оценку погрешности результата вычислений по любой формуле достаточно уметь оценивать погрешность результатов арифметических операций и значений элементарных функций. Рассмотрим, как это можно сделать.
Xc и Yc неизвестны, зато известны Ха, Yа, ∆Ха, ∆Yа
Требуется найти Zа и ∆Zа.
Zа=Ха+Yа
∆(Xа±Ya)=∆Xa+∆Ya (1)
Za=Xa*Ya
Учитывая (1) и используя формулу ∆lnX≈dlnX получим ∆lnZa=∆lnXa=∆lnYa
4. .
(2)
Известно Ха и ∆Xa. Требуется найти Ya и ∆ya. Ya=f(Ха)
Применим для функции f(x) на отрезке с концами в точках Ха и Хс теорему Лагранжа, согласно которой между точками Ха и Хс существует точка С такая, что f(Xc)-f(Xa)=f’(C)(Xc-Xa) Заметим, что Хс и С содержатся в отрезке [Ха-∆ Ха, Ха+∆ Ха]. Если на этом отрезке производная функции f’(Xa)≠0, то можно приближенно считать, что f(C)≈f’(Xa) (3)
Обычно при расчетах используют линейные оценки погрешностей формул (1)-(3), несмотря на то, что последние (2) и (3) являются приближенными. Это происходит потому, что условия их применимости в подавляющем большинстве случаев выполняются.
Линейные оценки погрешностей для функций нескольких переменных.
Пусть задана функция n переменных y=f(x1,x2,…,xn). Точные значения её аргументов обозначим x1c,x2c,…,xnc, а приближенные – x1a,x2a,…xna и их абсолютные погрешности – ∆x1a,∆x2a,…∆xna. Точное значение функции yc=f(x1c,x2c,…,xnc), а приближенное ya=f(x1a,x2a,…xna). Тогда, справедлива формула:
Эту оценку можно использовать в тех случаях, когда ∆xi настолько малы, что частные производные не сильно меняются в ∆, где ∆ – множество точек (x1,x2,…,xn)Rn, удовлетворяющих неравенствам
,
Причем не все из частных производных обращаются в нуль. В большинстве случаев эти условия выполняются.
Пример.
z=-0,892±0,81
Приближенные значения с учетом границ значений числовых величин.
Пусть требуется вычислить значение величины z и оценку её абсолютной погрешности, если z является функцией переменной x. При этом известно, что x[НГх, ВГх].
Таким же образом можно определить границы значений числовой величины в случае, если она является функцией нескольких переменных. Приведем основные формулы вычисления границ, если z является результатом арифметических действий.
z=x+y Функция монотонно возрастающая с ростом x и y
НГz= НГх + НГy
ВГz= ВГх + ВГy
z=x-y Функция возрастает с ростом х и убывает с ростом у
НГz=НГх-ВГy
ВГz=ВГх-НГy
z=x*y При неотрицательных значениях НГх и НГy, функция z будет монотонно возрастать и ее границы будут определятся по формулам:
НГz=НГх*НГy
ВГz=ВГх*ВГy
z=x/y Аналогично:
НГz=НГх/ВГy; ВГz=ВГх/НГy. (НГy≠0)
Если нижняя граница х или у отрицательная, то определение границ величины z является более сложной задачей и требует дополнительных исследований.
Правила подсчета верных знаков.
2. При сложении и вычитании двух приближенных чисел следует округлить число с меньшей абсолютной погрешностью (для десятичных дробей – с большим количеством знаков после запятой) так, чтобы в нем осталось на 1-2 разряда больше, чем в менее точном числе.
При последовательном сложении и вычитании нескольких приближенных чисел рекомендуется производить действия над числами в порядке возрастания их абсолютных величин.
3. При умножении и делении двух приближенных чисел нужно округлить число с большим количеством значащих цифр так, чтобы в нем было лишь на одну значащую цифру больше, чем в другом числе. В результате считать столько десятичных знаков после запятой, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков после запятой.
4. В значениях элементарных функций от приближенных значений аргумента в результате можно считать верными столько значащих цифр, верных значащих цифр имеет значение аргумента. Результат этого правила оказывается более надежен, когда вблизи значения аргумента модуль производной функции <1. (колебания значений функции меньше соответствующих колебаний аргумента) и менее надежен, когда функция изменяется быстро.
Вычислительный эксперимент – это технология исследования, основанная на построении и анализе посредством ЭВМ математических моделей (ММ) изучаемых явлений и объектов. Основными процедурами вычислительного эксперимента являются:
Отметим некоторые особенности перечисленных процедур. Типичные ММ физических процессов представляют собой системы дифференциальных и алгебраических уравнений, как правило, нелинейных. Получить их решения в аналитическом виде удается крайне редко (в лучшем случае удается доказать лишь существование решения). Для получения количественных характеристик процессов возникает необходимость привлечения ЭВМ и, как следствие, - построения дискретной модели процесса. Способ формирования последней определяется выбранным численным методом. В общем случае, дискретная модель – это система алгебраических уравнений, аппроксимирующих исходные дифференциальные уравнения и алгоритм решения этих уравнений. Переход к дискретной модели связан с заменой непрерывных независимых переменных их дискретными аналогами; соответственно, описание исследуемых явлений и процессов может быть получено лишь в форме сеточных функций. Решение уравнений дискретной модели требует разработки соответствующей программы и ее тестирования на близких задачах, решение которых известно. Завершающим этапом вычислительного эксперимента является проведение необходимых расчетов, анализ результатов с точки зрения соответствия их исследуемому процессу и, при необходимости, коррекция модели.
Таким образом, вычислительный эксперимент содержит три основных элемента: модель — дискретная модель — программа. Предметом настоящего пособия является круг вопросов, связанных лишь с этапом построения дискретной модели, т.е. будут рассмотрены методы преобразования задачи, сформулированной в терминах непрерывных переменных, в задачу, решением которой являются сеточные функции. Ясно, что такой переход не может не сопровождаться внесением определенных погрешностей в получаемые решения. Рассмотрим источники этих погрешностей.
Погрешность исходных данных
Уже на этапе формирования непрерывной ММ принимаются определенные допущения, задаются значения параметров процесса, констант модели и т.п. Все это привносит некоторую неустранимую составляющую в погрешность результатов численного эксперимента. Формируя ММ следует дать оценку величины погрешностей исходных данных – это необходимо для адекватной оценки будущих результатов.
Погрешность дискретизации
Построение дискретной модели исследуемого процесса сопряжено с заменой непрерывных математических операторов (, ) их конечно-разностными аппроксимациями. Например, исходная непрерывная ММ вида:
посредством замены производной функции y(x) конечно-разностной аппроксимацией вида
(1.1)
преобразуется в следующую дискретную модель для
, где и i = 0,1,2,.. (1.2)
Если даже считать, что известно абсолютно точно и уравнение (1.2) также можно решить точно, то все равно, в силу приближенности соотношения (1.1), полученное значение . Из (1.2) видно, что , т.е. является функцией параметра h и всегда можно обеспечить выполнение условия
.
Ошибка, возникающая при замене непрерывного оператора его дискретным аналогом, называется ошибкой дискретизации. Она может быть сделана сколь угодно малой посредством выбора достаточно малых значений параметров дискретизации (в данном примере величины h).
Погрешность округления
Еще одним источником погрешности численного результата является собственно вычислительный инструмент, точнее, используемый в нем способ представления вещественных чисел и конечное число ячеек памяти ЭВМ, отводимых для представления каждого числа. Это приводит к тому, что множество вещественных чисел, точно представляемых в ЭВМ, дискретно, и машинное отражение любого вещественного числа всегда содержит определенную погрешность — погрешность округления. В ходе реализации любого алгоритма эти погрешности некоторым образом перерабатываются, чем, в частности, и определяется погрешность результата. Ясно, что эта погрешность зависит как от погрешности представления чисел в ЭВМ (погрешность округления), так и от свойств алгоритма — именно от его чувствительности к ошибкам округления. Алгоритм называется устойчивым, если в ходе его реализации погрешность результата остается ограниченной.
Рассмотрим природу ошибки округления при представлении вещественных чисел в системе с плавающей точкой. Любое вещественное число в системе счисления с плавающей точкой представимо в виде:
, (1.3)
где M - мантисса, основание системы счисления, l -порядок и .
В памяти ЭВМ для представления величин M и l отводится конечное число разрядов. Мантисса записывается в форме числа с фиксированной точкой, а значение порядка является целым числом. Пусть, например, в двоичной системе счисления () для представления мантиссы отведено 3 разряда (t = 3) а для представления порядка – один разряд. В соответствии с этими значениями параметров, множество машинных чисел составят значения, определяемые выражением:
В ЭВМ используется нормализованная система представления вещественных чисел, в которой параметр . Таким образом, получаем следующее множество машинных чисел:
Отметим, что ни одно вещественное число, по модулю больше и меньше , не представимо в рассмотренной машинной системе.
На числовой оси это множество представимо следующим образом:
4/16
-4/16
-1
-28/16
1
28/16
0М
Рис.1.1. Размещение элементов множества машинных чисел
В случае, когда для представления мантиссы отводятся t разрядов, а максимальное по модулю машинное число (машинная бесконечность) определится выражением
,
а минимальное по модулю машинное число (машинный нуль) будет иметь вид
.
Оценим величину погрешности представления вещественного числа в машинной системе счисления. Два ближайших машинных числа могут быть представлены в виде:
Абсолютное «расстояние» между ними равно
и относительное «расстояние» определяется выражением
Отсюда ясно, что погрешность представления любого вещественного числа x, удовлетворяющего неравенству , подчиняется неравенству:
(1.4)
где - машинное представление вещественного числа x. (Часто машинное представление вещественного числа x обозначается функцией ).
Машинный эпсилон (M) – важнейший параметр вычислительной системы. Он характеризует относительную ошибку представления вещественных чисел в ЭВМ. Полученные выражения дают основания утверждать, что любое число в интервале [1-M, 1+M] в машинном представлении будет неотличимо от 1. Отсюда следует простой алгоритм вычисления машинного эпсилона:
Ш1 . М = 1.0;
Ш2 . While 1 + М > 1 do М = М /2;
Ш3 . М = М * 2.
Наличие ошибок округления приводит к тому, что последний разряд представления любого числа в ЭВМ почти всегда будет неточным. Следовательно, при вычитании двух близких величин (отличающихся лишь своими последними разрядами), результат может быть сильно искажен. Например
Если в исходных данных младший разряд каждого операнда неточен (ошибка составляет величину порядка), то результат уже не будет содержать ни одной верной значащей цифры.
В общем случае можно показать [1], что погрешность последовательности операций типа «умножение (деление)» и «сложение (вычитание)», подчиняется неравенствам:
для и
для при
Важной особенностью арифметических операций с неточными данными является зависимость их результата от порядка проведения операций. Действительно:
Очевидно, что выполнение вначале операции привело бы к другому результату. В машинной арифметике порядок выполнения операций часто оказывается решающим фактором. Пусть, например, и . Требуется вычислить произведение следующих пяти машинных чисел: , , , , . Очевидно, что в «обычной» арифметике был бы получен результат . Однако, выполнение операции перемножения уже приведет к переполнению, и вычисления будут прекращены. Начав операцию вычисления произведения с операции получим значение промежуточного произведения меньшее и дальнейшие перемножения дадут результатом . Корректной последовательностью действий в этом случае было бы: .
Вычислительные алгоритмы, даже очень простые, могут оказаться совершенно неработоспособными вследствие влияния ошибок округления. Так, например, вычислим значение . Воспользуемся для этого представлением функции конечным отрезком ряда Тэйлора
и будем считать, что в десятичной арифметике мантисса представима пятью значащими числами. Суммирование в приведенном выше выражении будем вести до тех пор, пока учет очередного слагаемого оставит машинное представление частной суммы без изменения. В рассматриваемой ситуации это потребует просуммировать всего лишь 25 членов ряда. В результате получим значение , в то время, как истинное значение . Видно, что численный результат не содержит ни одной верной значащей цифры!
Причина этой вычислительной катастрофы заключается в том, что приходится суммировать знакопеременную последовательность и промежуточные суммы на несколько порядков превышают значение результата. В таких условиях результат определялся крайними правыми разрядами машинного представления слагаемых и промежуточных сумм, а они, вследствие ошибок округления, являются неточными.
Проведение вычислений по схеме и исключает необходимость суммирования знакопеременной последовательности и дает результат 0.0040865, погрешность которого составляет 0.007 %.
Обусловленность задачи
Заметим, что влияние ошибок округления на результат вычисления зависит не только от свойства устойчивости алгоритма, но определяется и свойствами самой задачи. Если обозначить - вектор исходных данных задачи, а - вектор результата, то соотношение
определяет влияние вариаций исходных данных на результат. Параметр 1 называют числом обусловленности задачи. Очевидно, что чем больше значение , тем хуже обусловлена задача. Классическим примером плохо обусловленной задачи является нахождение корней полинома высокого порядка.
Обычно по отношению к полученному численному решению задачи ставят один из двух вопросов:
Первый вопрос имеет смысл лишь в тестовом эксперименте, поскольку точное решение задачи никогда не известно (если оно известно, то зачем решать задачу?).
Ответ на второй вопрос редко удается получить, не приняв очень сильных упрощающих предположений. Получаемые оценки погрешности позволяют, в лучшем случае, убедиться лишь в том, что полученное решение хорошее. Но если оценка погрешности дает слишком большую величину, то это еще не означает, что решение плохое. Просто оценка погрешности может быть сильно завышенной.
Значительно более содержательной является следующая постановка вопроса: «Каково отличие задачи, для которой полученное решение является точным, от той, которую хотели решить?». Ответ на этот вопрос и составляет содержание обратного анализа ошибок. Рис.1.2 иллюстрирует такую постановку вопроса.
X
Y
Рис. Соответствие исходной и решенной задач
На рисунке обозначены:
X – область возможных значений исходных данных
Y - область возможных значений результата
- вектор точных исходных данных
- точное решение.
- вектор исходных данных задачи с учетом их погрешностей
- полученное решение
- исходные данные задачи, для которой является точным решением
- оценка отличия исходной и решенной задач.
Если выполняется условие
,
т.е. если отличие решенной задачи от исходной мало, то полученное численное решение можно признать приемлемым.
Нахождение вектора исходных данных, являющихся точными для решенной задачи ( по ), обычно довольно сложно, но его определение представляет реальную ценность для суждения о качестве численного решения задачи.
Рассмотрим пример. На практике часто бывает необходимо получить результат вычислений так, чтобы его погрешность не превосходила некоторого допустимого значения. При этом возникает задача определения допустимых (предельных) погрешностей исходных данных задачи, при которых погрешность результата не превысит заданного значения. Эта задача носит название обратной задачи теории погрешностей.
Для функции одной переменной допустимая погрешность аргумента определяется согласно (1.3) выражением:
. (1.8)
Для функции нескольких переменных эта задача решается при введении дополнительного предположения – так называемого принципа равных влияний. При этом полагают, что в формуле (1.4) все слагаемые равны между собой, тогда
, . (1.9)
Пример. Для определения модуля Юнга по прогибу стержня прямоугольного сечения применяется формула , где l – длина стержня, b и d – основание и высота поперечного сечения, S – стрела прогиба, P – нагрузка. Требуется определить с какой точностью следует измерить длину l и стрелу S, чтобы погрешность E не превышала 5% при условии, что P известна с точностью до 0.1%, а величины b и d с точностью до 1%; м, м.
Применяя формулы (1.7) для относительной погрешности произведения и частного получим
.
По условия задачи известно, что , , . Тогда . По принципу равных влияний на долю и приходится по 0.95%. Следовательно, и . Отсюда предельно допустимые абсолютные погрешности м и м.
В заключение отметим, что постановка задачи обратного анализа ошибок предполагает корректность решаемой задачи. Последнее означает, что ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных. Далеко не все задачи обладают таким свойством. Для решения некорректных задач разработаны специальные методы, но их рассмотрение выходит за пределы настоящего курса.