тематики и эконометрики МАТЕМАТИКА ПРАКТИКУМ по выполнению контрольных работ для студе

Работа добавлена на сайт samzan.net:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

Кафедра «Прикладной математики и эконометрики»

МАТЕМАТИКА

ПРАКТИКУМ по выполнению

контрольных работ для студентов всех специальностей

Санкт-Петербург

2008

Утверждено Методическим Советом СПбГУСЭ

Математика. Практикум. – СПб.: Изд-во СПбГУСЭ, 2008. – 31 с.

Практикум содержит задачи для контрольных работ по всем курсам математических дисциплин, предусмотренным учебными планами специальностей, и краткий перечень вопросов для подготовки к экзаменам.

Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов данного сборника, выбранных в соответствии с рабочей программой.

Перечень разделов сборника, необходимых для выполнения контрольных работ по каждой специальности, сообщается студентам этой специальности в начале семестра.

Составители:  канд. физ.-мат. наук, проф.      С.И.Никитин;

канд. физ.-мат. наук, доц.         Н.Ю.Кропачева;

старший   преподаватель          О.Х.Бритаева;

старший   преподаватель          М.Г.Хабурзания.

© Санкт-Петербургский государственный университет
сервиса и экономики

2008 г.

СОДЕРЖАНИЕ

[1] Требования к оформлению контрольных работ [2] Формирование исходных данных к задачам [3] 1. Линейная алгебра [4] 2. Аналитическая геометрия [5] 3. Дифференциальное исчисление [6] 4. Интегральное исчисление [7] 5. Функции нескольких переменных [8] 6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы [9] 7. Элементы теории поля [10] 8. Дифференциальные уравнения [11] 9. Ряды [12] 10. Функции комплексного переменного [13] 11. Операционное исчисление [14] 12. теория вероятностей [15] 13. Элементы математической статистики [16] 14. Линейное программирование [17] 15. Математические методы в экономике [18] 16. Дискретная математика [19] Краткое содержание (программа) курса [19.0.1] 3. Дифференциальное исчисление. [20] Список учебной литературы

Требования к оформлению контрольных работ

1. Контрольные работы следует выполнять в ученических тетрадях в клетку. На обложке необходимо указать: название Университета; название и номер контрольной работы; название (номер) специальности; фамилию, имя, отчество и личный шифр студента.

2. На каждой странице надо оставить поля для оценки решения задач и методических указаний проверяющего работу.

3. Условия задач переписывать полностью необязательно, достаточно указать номер задачи по данному сборнику. В условия задач надо сначала подставить конкретные числовые значения параметров т и п, и только после этого приступать к их решению.

4. Задачи в контрольной работе нужно располагать в порядке возрастания номеров.

Формирование исходных данных к задачам

Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов сборника.

Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако числовые данные задач зависят от личного шифра студента, выполняющего работу.

Числовых данных параметров т и п определяются по двум последним цифрам своего шифра (А — предпоследняя цифра, В — последняя цифра). Значение параметра т выбирается из таблицы 1, а значение параметра п - из таблицы 2. Эти два числа т и п и нужно подставить в условия задач контрольной работы.

Таблица 1 (выбор параметра т)

А	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
т	1	2	3	4	5	1	2	3	4	5

Таблица 2 (выбор параметра п )

В	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
п	3	5	4	2	1	5	4	1	3	2

Например, если шифр студента 1604 — 037, то А = 3, В = 7, и из таблиц находим, что т =4, п =1. Полученные т = 4 и п = 1 подставляются в условия всех задач контрольной работы этого студента.

1. Линейная алгебра

1.1. Действия с матрицами.

Выполнить действия:

а) ;  б) .

1.2. Вычисление определителей.

Вычислить определитель  двумя способами:

а) по правилу «треугольников»; б) разложением по строке.

1.3. Обратная матрица.

Найти обратную матрицу к матрице  и проверить выполнение равенства .

1.4. Системы линейных уравнений.

Решить систему уравнений тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью вычисления обратной матрицы, записав систему в матричном виде :

1.5. Собственные числа и собственные векторы.

Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы для матрицы .

2. Аналитическая геометрия

2.1 Прямая на плоскости.

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках , ,  и найти:

1.  координаты точки пересечения медиан;
2.  длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;
3.  площадь треугольника;
4.  систему неравенств, задающих внутренность треугольника АВС.

2.2 Кривые второго порядка на плоскости.

Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки  к расстоянию до прямой  равно . Привести уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

2.3 Прямая и плоскость в пространстве.

Дана треугольная пирамида с вершинами в точках , , , ,. Найти:

a) уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С;

б) величину угла между ребром SC и гранью АВС;

в) площадь грани АВС;

г) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВС, и ее длину;

д)объем пирамиды SАВС.

3. Дифференциальное исчисление

1.   Пределы, непрерывность и разрывы функций.
   1.  Найти пределы функций:

 а) ;

 б) ;

 в) ;

 г) .  

1.  В точках  и  для функции  установить непрерывность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции  в окрестностях этих точек:

     ;

 Производные функций.

1.  Найти производные  функций:

 а) ; б) ;

 в) ;  д) ; е) ;

 ж)

1.  Приложения производной.
   1.  С помощью методов дифференциального исчисления построить графики функций:
      а) ; б)
      1.  Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке
   2.  Приближенное решение алгебраических уравнений.
      1.  Для уравнения  отделить положительный корень и найти его приближенно с точностью :

 а) методом деления отрезка пополам;

 б) методом касательных.

Примечание. Можно считать, что точность  достигнута, если разность между соседними приближениями  и  удовлетворяет неравенству .

4. Интегральное исчисление

1.  Неопределенный интеграл.
   1.  Найти интегралы:

 
а)  б)
в)  г) ;  

д) ;  е) .

1.  Несобственные интегралы.
   1.  Вычислить интеграл или установить его расходимость:

1.  Применения определенных интегралов.
   1.  Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

;

1.  Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

.

1.  Приближенное вычисление определенных интегралов.
   1.  Для вычисления определенного интеграла , разбивая отрезок интегрирования сначала на 10 равных частей, а затем на 20 равных частей, найти приближенное значение  и : а) по формуле трапеций; б) по формуле Симпсона. Оценить точность приближения с помощью разности .

5. Функции нескольких переменных

1.  Частные производные и дифференциал функции.
   1.  Найти частные производные ,  и  функций:
      а);  б)
      1.  Найти дифференциал  функции .
      2.  Показать, что функция  удовлетворяет уравнению .
   2.  Приложения частных производных.
      1.  Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке .
      2.  Для функции  в точке  найти градиент и производную по направлению .

6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы

1.  Двойные интегралы.
   1.  Изменить порядок интегрирования:

.

1.  Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями  и плоскостью, проходящей через точки  и .
   1.  Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

   а) .

1.  Тройные интегралы.
   1.  Найти , если тело V ограниченно плоскостями  и .
      1.  Найти объем тела, ограниченного поверхностями .
   2.  Криволинейные интегралы.
      1.  Вычислить , где , , а контур С образован линиями , : а) непосредственно; б) по формуле Грина.
      2.  Вычислить , где контур С является одним витком винтовой линии:

.

7. Элементы теории поля

1.  Дифференциальные операции.
   1.  В точке  составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой

.

1.  Найти в точке  градиент скалярного поля

.

1.  Найти в точке  дивергенцию векторного поля

.

1.  Найти в точке  ротор векторного поля

.

1.  Интегралы и интегральные теоремы.
   1.  Убедиться, что поле  потенциально, и найти его потенциал.
      1.  Даны поле  и цилиндр D, ограниченный поверхностями z=0, z=m, x2+y2=(n+1)2.  Найти:

а) поток поля  через боковую поверхность цилиндра в направлении внешней нормали;

б)  поток поля  через всю поверхность цилиндра в направлении внешней нормали непосредственно и с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.

1.   Даны поле  и замкнутый виток ,  ( обход контура происходит в направлении, соответствующем возрастанию параметра φ). Найти циркуляцию поля  вдоль контура γ непосредственно и с помощью теоремы Стокса.

8. Дифференциальные уравнения

1.  Уравнения первого порядка.
   1.  Найти общее решение уравнения:

 а) ;  б) ;       в) .

1.  Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным  величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла  миллионов рублей.
   1.  Линейные уравнения высших порядков.
      1.  Решить задачу Коши:

а)

 б) .

1.  Системы линейных уравнений.
   1.  Решить систему линейных уравнений

 с начальными условиями .

9. Ряды

1.  Числовые ряды.
   1.  Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

 а) ;  б) ;

 в) ; г) .

1.  Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды:

 а) ;  б) .

1.  Степенные ряды.
   1.  Найти область сходимости степенного ряда:

 а) ;   б) .

1.  Разложить функцию  в ряд Тейлора в окрестности точки х0:

 а) ; б) .

1.  С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с точностью 0,001 значения:

 а) ;  б) .

1.  Ряды Фурье.
   1.  Разложить функцию  в ряд Фурье в указанном интервале:

 а)

     в интервале ;

 б)  в интервале .

 в)  в интервале .

10. Функции комплексного переменного

1.  Действия с комплексными числами.
   1.  Выполнить действия:

 а) ;  б) .

1.  Решить уравнения:

 а) ; б) .

1.  Аналитические функции.
   1.  Показать, что функция  аналитична.
      1.  Известна вещественная часть u(x,y)=m(x2-y2)+mx-ny аналитической функции f(z), (z=x+iy). Найти функцию  f(z).
   2.  Интегрирование функций комплексного переменного.
      1.  Вычислить , где контур С – незамкнутая ломанная, соединяющая точки ,  и .
      2.  Вычислить с помощью интегральной формулы Коши

.

1.  Ряды Тейлора и Лорана.
   1.  Разложить функцию  в окрестности точки  в  ряд Тейлора и найти радиус сходимости ряда.
      1.  Разложить функцию  в окрестности точки  в ряд Лорана.
      2.  Разложить функцию  в ряд Лорана по степеням  и найти область сходимости ряда.
   2.  Вычеты и их приложения.
      1.  Определить тип особых точек функции  и найти вычеты в конечных особых точках.
      2.  Вычислить с помощью вычетов , где контур C, заданный уравнением , обходится против часовой стрелки.

11. Операционное исчисление

1.  Нахождение изображений и восстановление оригиналов.
   1.  Найти изображения функций:

 а) ; б) .

1.  Восстановить оригиналы по изображениям:

 а) ; б) .

1.  Приложения операционного исчисления.
   1.  Решить операционным методом дифференциальное уравнение:

 а) ;

 б) .

12. теория вероятностей

1.  Случайные события.
   1.  В коробке находятся m+2 синих, n+3 красных и 2n+1 зеленых карандашей. Одновременно вынимают m+3n+2 карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет m+1 синих и n+1 красных.
      1.  В первой урне находятся m+2 шаров белого и n шаров черного цвета, во второй —  m+n белого и m синего, в третьей — n+3 белого и m+1 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.
      2.  Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна . Производится n+4 выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.
      3.  Каждый избиратель независимо от остальных избирателей, отдаёт свой голос за кандидата А с вероятностью 0,1(m+n) и за кандидата В – с вероятностью 1-0,1(m+n). Оценить вероятность того, что в результате голосования на избирательном участке (5000 избирателей) один из кандидатов опередит другого:
         а) ровно на 1900 голосов
         б) не менее, чем на 1900 голосов
   2.  Случайные величины.
      1.  Случайная величина Х равна числу появлений «герба» в серии из n+3 бросаний монеты. Найти закон распределения и функцию распределения F(x) этой случайной величины; вычислить  ее математическое ожидание MX и дисперсию DX; построить график F(x).
      2.  Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

xi	-2	-1	0	m	m+n
pi	0,2	0,1	0,2	p4	p5

Найти вероятности p4, p5, и дисперсию DX, если математическое ожидание MX=-0,5+0,5m+0,1n.

1.  Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

Найти:

а) параметр а; б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания случайной величины X в интервал

        ;

г) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

Построить график функций  и .

1.  Случайные величины  имеют равномерное, пуассоновское и  показательное распределения соответственно. Известно, что математические ожидания Mξi=m+n, а дисперсия Dξ1=n2/3. Найти вероятности:  а) ;    б) ;    в) .

13. Элементы математической статистики 

Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб.:

№ предприятия	Выпуск продукции	Прибыль	№ предприятия	Выпуск продукции	Прибыль
1	60+n	15,7	16	52,0	14,6
2	78,0	18,0	17	62,0	14,8
3	41,0	12,1	18	69,0	16,1
4	54,0	13,8	19	85,0	16,7
5	60+n	15,5	20	70+n	15,8
6	n•m+20	n+m+10	21	71,0	16,4
7	45,0	12,8	22	n•m+30	n+m+10
8	57,0	14,2	23	72,0	16,5
9	67,0	15,9	24	88,0	18,5
10	80+n	17,6	25	70+n	16,4
11	92,0	18,2	26	74,0	16,0
12	48,0	n+m+5	27	96,0	19,1
13	59,0	16,5	28	75,0	16,3
14	68,0	16,2	29	101,0	19,6
15	80+n	16,7	30	70+n	17,2

По исходным данным:

Задание 13.1.

1.  Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте графики ряда распределения.
2.  Рассчитайте числовые характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли: среднюю арифметическую , среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации V. Сделайте выводы.

Задание 13.2.

1.  Определите границы, в которых с вероятностью 0,997 заключена сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности.
2.  Используя 2-критерий Пирсона, при уровне значимости  проверить гипотезу о том, что случайная величина X – сумма прибыли – распределена по нормальному закону.

Задание 13.3.

1.  Определите коэффициенты выборочного уравнения регрессии .
2.  Установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведённой продукции (X) и суммой прибыли на одно предприятие (Y). Постройте диаграмму рассеяния и линию регрессии.
3.  Рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами X и Y, используя шкалу Чеддока.

При расчетах целесообразно использовать стандартные математические пакеты для персональных компьютеров.

14. Линейное программирование

1.  Задача оптимального производства продукции.

Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В, и С. Потребность  на каждую единицу -го вида продукции -го вида сырья, запас  соответствующего вида сырья и прибыль  от реализации единицы -го вида продукции заданы таблицей:

Виды сырья	Виды продукции	Запасы сырья
	I	II
А
В
С
прибыль
план (ед.)

1.  Для производства двух видов продукции I и II с планом  и  единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее  единиц обоих видов продукции.
   1.  В условиях задачи 14.1.1. составить оптимальный план  производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль . Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс – методом)
      1.  Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путем. Определить соответствующую прибыль .
   2.  Транспортная задача.

На трех складах ,  и  хранится ,  и  единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям ,  и , заказы которых составляют ,  и  единиц груза соответственно. Стоимость перевозок  единицы груза с -го склада -му потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клеток транспортной таблицы:

потребности запасы
		4	2
			5	3
		1		6

1.  Сравнивая суммарный запас  и суммарную потребность  в грузе, установить, является ли модель транспортной задачи, заданная этой таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо закрыть, добавив фиктивный склад  с запасом  в случае  или фиктивного потребителя  с потребностью  в случае  и положив соответствующие им тарифы перевозок нулевыми.
   1.  Составить первоначальный план перевозок. (Рекомендуется воспользоваться методом наименьшей стоимости.)
      1.  Проверить, является ли первоначальный план оптимальным в смысле суммарной стоимости перевозок, и если это так, то составить оптимальный план

,

обеспечивающий минимальную стоимость перевозок . Найти эту стоимость. (Рекомендуется воспользоваться методом потенциалов.)

1.  Матричные игры.
   1.  Игра  задана матрицей

Найти вероятности применения стратегий 1-м и 2-м игроком для получения цены игры. (Задачу решить аналитическим методом.)

1.  Игра задана матрицами

для  - четного

и

для  - нечетного.

Применяя графический метод, найти смешанные оптимальные стратегии обоих игроков и определить цену игры.

15. Математические методы в экономике

1.  Сетевое планирование.

Прогресс производства сложной продукции разбивается на отдельные этапы, зашифрованные номерами 1, 2,..., 10. 1 – начальный этап производства продукции, 10 – завершающий. Переход от -го этапа к -му этапу назовем операцией. Возможны выполнения операций  и их продолжительности  задаются таблицей.

N п/п	шифр операции	продолжительность операции	15.1.1. Составьте и упорядочите по слоям сетевой график производства работ. Номера этапов необходимо обвести кружками, а операции  обозначить стрелками, проставляя над ними продолжительность  операции.
1	1→2
2	1→3	4
3	1→4
4	2→3	3
5	2→6	5
6	4→3	2
7	4→6	6
8	3→5	3	15.1.2. Считая, что начало работы происходит во время , определите время  окончания каждого -го этапа и проставьте его над соответствующим кружком.
9	3→7
10	5→9
11	6→7	4
12	6→8	3
13	7→8	7
14	7→9
15	7→10	5
16	8→10	4
17	9→10

1.  Найдите критическое время завершения процесса работ Ткр и выделите стрелки, лежащие на критическом пути.
   1.  Для каждой некритической операции  определите резервы свободного времени  и проставьте их над стрелками рядом с  в скобках.
      1.  Решите задачу табличным методом. Номера этапов, лежащие на критическом пути подчеркните. (В табличном методе кроме резервов свободного времени  необходимо также найти полные резервы времени  для каждого этапа.)
      2.  Задача коммивояжёра. Требуется найти кратчайший из замкнутых маршрутов, проходящих точно по одному разу через каждый из шести городов .Задана матрица расстояний между любыми парами городов, причём расстояние от города  до города может не совпадать с расстоянием от до. Элемент матрицы считается равным расстоянию от до.

	A1	A2	A3	A4	A5	A6
A1	–	c+2	2c	c+3	2c	c+1
A2	c	–	c+5	c–1	c–1	3c
A3	c	c+1	–	c+7	c+2	c+3
A4	c-1	c+2	c	–	c+1	c–1
A5	c+5	c+2	c	c	–	2c
A6	c	c+1	c+2	c+5	c+7	–

где с = m+n

1.  Системы массового обслуживания (СМО).

 В парикмахерский салон приходит в среднем  клиента в час (т.е. интенсивность  поступления заявок в систему равна /час), а среднее время обслуживания одного клиента равно 1/ часов. Содержание одного рабочего места обходится в  тысяч рублей за 1 час, а доход от обслуживания одного клиента составляет  тысяч рублей в час.

1.  Найти относительную пропускную способность СМО  (т.е. вероятность того, что поступившая заявка будет обслужена) и абсолютную пропускную способность СМО  (число заявок, обслуживаемых за 1 час), если салон обслуживает два мастера.
   1.  Найти доход , полученный за 1 час работы двух мастеров.
      1.  Найти аналогичные характеристики СМО ,  и , когда салон обслуживают три мастера, и определить, выгодно ли принять на работу третьего мастера с точки зрения общего дохода, полученного за 1 час работы салона.

1.  Задача межотраслевого баланса.

Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязь определяет матрица А коэффициентов прямых затрат

,

в которой число , стоящее на пересечении -ой строки и -го столбца равно , где  – поток средств производства из -ой отрасли в -ую, а  – валовой объем продукции -ой отрасли (все объемы продукции выражаются в единицах стоимости).

Задан также вектор  объемов конечной продукции.

1.  Составить уравнение межотраслевого баланса.
   1.  Решить систему уравнений межотраслевого баланса, то есть найти объемы валовой продукции каждой отрасли  обеспечивающие потребности всех отраслей и изготовление конечной продукции Y. (Расчеты рекомендуется производить с точностью до двух знаков после запятой)
      1.  Составить таблицу Х потоков средств производства .
      2.  Определить общие доходы каждой отрасли .
      3.  Результаты расчетов оформить в виде таблицы межотраслевого баланса:

потребляющие отрасли отрасли производящие	I	II	III	конечный продукт	валовой продукт
I
II
III
общий доход
валовой продукт

1.  Найти матрицу коэффициентов полных затрат по формуле , где Е – единичная матрица размера .

16. Дискретная математика

1.  Двоичная система счисления.
   1.  Записать число  в двоичной системе счисления.

Например:

   

1.  Определить четырехзначное двоичное число  своего задания. Для этого необходимо взять последние 4 цифры полученного в задаче 16.1.1. двоичного числа. Если в нем меньше четырех цифр, то слева нужно дописать нули.

Так: ,

1.  Логика высказываний.

Пусть  принимает значения 0 либо 1 ( = 1, 2, 3, 4). Положим

По четырехзначному двоичному числу , полученному в задаче 16.1.2, составьте формулу логики высказываний

для своего задания. Так, например, двоичному числу 0110 (где     ) соответствует формула  , а двоичному числу 1010 - формула . Для полученной формулы:

16.2.1.   Найти таблицу истинности.

16.2.2.   Определить, эквивалентны ли она и формула .

16.2.3. Найти совершенную дизъюнктивную нормальную форму и совершенную конъюнктивную нормальную форму:

а) табличным методом,  б) непосредственным преобразованием.

16.2.4 Составить минимальную релейно-контактную схему, приведя формулу к минимальной дизъюнктивной форме.

Краткое содержание (программа) курса

1. Линейная алгебра.

Матрицы, действия над ними. Определители, их свойства и вычисление. Обратная матрица. Системы линейных уравнений, условие их совместности. Формулы Крамера, метод Гаусса и матричный способ решения систем. Линейный оператор. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

2. Аналитическая геометрия.

Простейшие задачи аналитической геометрии (расстояние между точками, деление отрезка в заданном отношении). Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений, угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Геометрический смысл линейных уравнений и неравенств. Кривые второго порядка, их канонические уравнения.

Векторы, линейные операции над ними. Координаты вектора, его длина, направляющие косинусы. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, условия их перпендикулярности, коллинеарности, компланарности.

Плоскость в пространстве, ее уравнения, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве, ее общие и канонические уравнения. Угол между прямой и плоскостью.

3. Дифференциальное исчисление.

Основные понятия теории множеств. Функция, область её определения, способы задания. Сложные, обратные функции. Предел функции. Бесконечно малые функции, их свойства. Бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых, их эквивалентность. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва.

Производная, её смысл. Правила дифференцирования. Дифференцирование сложных, неявных и параметрических функций. Дифференциал функции, его свойства. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Признаки монотонности функции, ее экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты. Построение графиков функций.

4. Интегральное исчисление.

Неопределенный интеграл, его основные свойства. Таблица интегралов. Интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование дробно-рациональных, тригонометрических и иррациональных функций.

Интегральная сумма. Определенный интеграл, его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла.

Использование понятия определенного интеграла в экономике.

5. Функции нескольких переменных.

Определение функций нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частное и полное приращения функции. Частные производные. Полный дифференциал. Производная по направлению, градиент. Наибольшее и наименьшее значения функции в области.

6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы.

Определение двойного интеграла, свойства. Двукратные интегралы, их свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Определение тройного интеграла, его свойства и вычисление. Геометрические приложения двойного и тройного интегралов. Криволинейные интегралы, свойства, вычисление.

7. Элементы теории поля.

Поверхностные интегралы. Поток векторное поля через ориентированную поверхность, его физический смысл. Дивергенция векторного поля, свойства. Теорема Остроградского. Линейный интеграл. Циркуляция векторного поля. Ротор (вихрь) векторного поля, свойства ротора. Теорема Стокса. Потенциальное поле. Потенциал. Соленоидальное поле.

8. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы.

Дифференциальные уравнения первого порядка, их общее, частное, особое решения. Задача Коши, теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения первого порядка. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальные уравнения высших порядков, их общее и частное решения, задача Коши. Понижение порядка в дифференциальных уравнениях. Линейные дифференциальные уравнения  n-го порядка, структура их решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные  дифференциальные уравнения с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов. Системы линейных дифференциальных уравнений, основные понятия. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

9. Ряды.

Числовые ряды, сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (признаки сравнения, Даламбера, Гаусса, радикальный признак Коши, интегральный признак). Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Функциональные ряды, область сходимости, методы её определения.Степенные ряды, действия над ними. Теорема Абеля о сходимости степенных рядов. Формулы для вычисления радиуса сходимости степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций у =sin x,  cos x,  ex,  (1+x)m,  ln (1+x),  arctg x в степенные ряды. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях (приближенное вычисление значений функций, определенных интегралов, приближенное решение дифференциальных уравнений). Тригонометрические ряды Фурье. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье.

10. Функции комплексного переменного.

Комплексные числа, изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Действия над комплексными числами. Понятие функции комплексного переменного. Непрерывность. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Свойства аналитических функций. Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Конформные отображения. Интеграл по комплексному переменному. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки функции, их классификация. Вычеты. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов.

11. Операционное исчисление.

Начальная функция (оригинал) и ее изображение. Теорема о существовании изображения. Теорема единственности оригинала. Свойство линейности изображения. Таблица оригиналов и изображений изображений некоторых функций. Теорема подобия. Теорема смещения. Теорема запаздывания. Теорема свертывания. Дифференцирование оригиналов. Интегрирование оригиналов. Таблица оригиналов и их изображений. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

12. Теория вероятностей.

Случайные события, алгебра событий. Относительная частота, статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности, задача о встрече. Формулы комбинаторики. Теоремы сложения. Независимые события, теоремы умножения. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число событий. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Случайные величины. Функция распределения (интегральный закон распределения). Плотность распределения (дифференциальный закон распределения). Математическое ожидание, его свойства. Дисперсия, ее свойства, среднее квадратическое отклонение. Основные примеры распределений случайных величин (биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, Пуассона, равномерное, показательное, нормальное). Вероятность попадания в заданный  интервал нормально распределенной случайной величины Оценка отклонения теоретического  распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс. Распределения, связанные с нормальным. Многомерные случайные величины. Числовые характеристики системы случайных величин. Коэффициент корреляции. Законы больших чисел. Предельные теоремы.

13. Математическая статистика.

Выборочный метод, статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Оценка параметров, свойства точечных  оценок. Условные варианты, метод произведений. Доверительный интервал. Метод наибольшего правдоподобия. Статистическая проверка статистических гипотез. Критерии согласия. Метод наименьших квадратов. Уравнение прямой линии регрессии. Выборочный коэффициент корреляции.

14. Линейное программирование.

Общая и основная задачи линейного программирования (ЛП). Основные теоремы ЛП. Геометрический метод решения задач ЛП. Симплек-метод: определение первоначального допустимого базисного решения; проверка решения на оптимальность; переход к другому допустимому решению. Двойственные задачи: их свойства; теоремы двойственности; объективно обусловленные оценки и их смысл. Транспортная задача: экономико-математическая модель транспортной задачи; нахождение первоначального базисного распределения поставок (метод «северо-западного» угла, метод наименьших затрат); критерий оптимальности базисного распределения поставок; перераспределение поставок; вырождение транспортной задачи; открытая модель транспортной задачи. Элементы теории игр: основные понятия; антагонистические игры, платежная матрица; решение игр в смешанных стратегиях; геометрические решения игр размера 2xn, mx2; приведение матричной игры к задаче ЛП.

15. Математические методы в экономике.

Элементы теории массового обслуживания: основные понятия, классификация СМО; марковский случайный процесс; уравнения Колмогорова; финальные вероятности; процесс гибели и размножения; СМО с отказами; СМО с ожиданием (очередью). Задача межотраслевого баланса (модель Леонтьева): управления межотраслевого баланса; продуктивные матрицы; ограничения на ресурсы; прибыльные матрицы. Управление запасами: основные понятия;  модель производственных поставок; модель поставок со скидкой. Модели динамического программирования: общая постановка задачи; принцип оптимальности и уравнения Беллмана; задача о распределении средств между предприятиями.

16. Дискретная математика.

Высказывания, логические операции над ними. Равносильность формул логики высказываний. Алгебра Буля. Представление булевой функции формулой логики высказываний. Закон двойственности. Нормальные и совершенные нормальные формы формул. Предикаты, логические операции над ними. Кванторные операции. Формулы логики предикатов, их равносильность, нормальная форма. Комбинаторные схемы. Основные понятия и определения теории графов. Изоморфизм. Матричное задание графов. Операции над графами. Кратчайший путь между вершинами. Алгоритм Дейкстры. Поток в транспортной сети. Теорема Форда-Фалкерсона. Задача о максимальном потоке. Алгоритм Форда-Фалкерсона.

Список учебной литературы

1.  Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.
2.  Алдохин И.П. Теория массового обслуживания в промышленности. – М.: Экономика,1980.
3.  Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика, в трёх томах. – М: Дрофа, 2003.
4.  Вентцель Е.С. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.:Наука,1984.
5.  Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003.
6.  Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2006.
7.  Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Том 1,2. – М.: Высшая школа, 2000.
8.  Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980.
9.  Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.
10.  Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.Н. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981.
11.  Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2007
12.  Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. М.: Юнити, 2007
13.  Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Велощенко А.Б. Математическое программирование. – М.: Высшая школа, 1980.
14.  Ларионов А.И., Юрченко Т.И., Новоселов А.Л. Экономико—математические методы. – М.: Высшая школа, 1991.
15.  Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления Том 1,2.— М.: Наука, 1988.
16.  Письменный Д. Г. Конспект лекций по высшей математике. Части I и II. – М: «Айрис Пресс» 2004 г.
17.  Романовский. П.Н. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. – М.: Наука, 1986.
18.  Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1984.
19.  Сидорович А.В. Математические методы в экономике. – М.: Дело и сервис, 2001
20.  Терехов Л.Л. Экономико—математические методы.—М.: Статистика, 1982.

Никитин Сергей Ильич

Кропачева Наталия Юрьевна

Бритаева Ольга Хаджи-Муратовна

Хабурзания Манана Георгиевна

МАТЕМАТИКА

ПРАКТИКУМ по выполнению контрольных работ для студентов всех специальностей

	Подп. к печати 11.06.2008 г.	Формат 6084  1/16
Усл. печ. л. 0,86	Уч.-изд. л. 2,0	Тираж 1500 экз.
Изд. №  001	Заказ № 029

РИО СПбГУСЭ, лицензия ЛР № 040849

Член Издательско-полиграфической ассоциации университетов России

Государственный регистрационный номер 2047806003595 от 06.02.2004 г.

СПб государственный университет сервиса и экономики

192171, г. Санкт-Петербург, ул. Седова, 55/1

Отпечатано в ЦОП ООО «Альфа»,
196084, г. Санкт-Петербург, ул. Заставская, 33, лит. ТА

1. Бытовые повести XVII в
2. Экология 2 курса 1 Что называется антропогенным давлением на биосферу влияние человека на окружа
3. Начало формы Повторнобеременная 28 лет поступила в родильный дом с жалобами на схваткообразные боли в жи
4. ТЕМА 10. ПРАВОВЫЕ ОСНОВЫ ГОСУДАРСТВЕННОГО СТРАХОВАНИЯ 1
5. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата хімічних наук Київ ~.
6. Технология подготовки экскурсии
7. Цитологические изменения крови при туберкулезе
8. Ипотечное кредитование и перспективы его развития в РФ
9. Шпаргалка по предпринимательскому праву
10. 1- 1 выживание и биологические потребности; 2 безопасность и уверенность в будущем; 3 социальные потребнос
11. Шрека двигаясь в ритм
12. ЛЕКЦИЯ 4 БИОТЕХНОЛОГИЯ СЫРОВАРЕНИЯ Сыр не только вкусный но и чрезвычайно полезный молочнокислый прод
13. Энциклопедия социальной работы
14. Проблемы правового регулирования договора лизинга
15. лекциях автор освещает основные элементы своей концепции и общей периодизации отечественной истории
16. Доброе утро мой дорогой полусонным голосом в своем стиле произнес Рэй как только я нажал на клавишу ответа
17. Жизнь и творчество вождя символизма Строки взятые как эпиграф были написаны Брюсовым в 1902 год
18. Основой исторического знания являются разнообразные источники к которым относятся все остатки прошлой ж
19. Анализ себестоимости
20. тема российского капитализма

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе