У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

У цих випадках обчислення визначеного інтеграла за формулою Ньютона Лейбніца неможливе

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 29.4.2025

Наближене обчислення визначених інтегралів

Для деяких неперервних підінтегральних функцій ї(х) не завжди можна знайти первісну, виражену через елементарні функції. У цих випадках обчислення визначеного інтеграла за формулою Ньютона — Лейбніца неможливе. В усіх цих випадках застосовують різноманітні методи наближеного інтегрування, які дають змогу використовувати сучасну обчислювальну техніку. Формули, що їх зараз подамо, базуються на тлумаченні визначеного інтеграла як площі криволінійної трапеції та наближеним його представленням інтегральною сумою:

Ідея такого методу геометричне базується на тому, що графік f(x) заміняється близькою до цього графіка лінією. В одному випадку (при виводі формули прямокутників) графік f(x)  заміняється ступінчастою ламаною (рис. 63). В іншому випадку (при виводі формули трапецій) графік f(x) заміняється ламаною, вписаною в цей графік (рис. 64). При виводі формули Сімпсона ланки згадуваної ламаної заміняються дугами парабол другого степеня. Нижче використовується позначення yk=f(xk) .

1. Складемо інтегральну суму, яка відповідає подрібненню [а, Ь] на п рівних частин і вибору точок k = хk:

Звідси визначений інтеграл можна обчислювати за формулою

яку називають формулою прямокутників. Чим більше буде n, тим  меншим буде крок  

і права частина записаного наближення буде давати більш точне значення інтеграла.

2. Розіб'ємо проміжок [а, Ь] так, як і в попередньому випадку, і впишемо в криву АВ ламану (рис. 64). Внаслідок такої побудови дістанемо п трапецій, сума площ яких наближено дає значення інтеграла

останній вираз називають формулою трапецій.

3. Якщо відрізок інтегрування [а, Ь] поділити на парну кількість рівних частин (тобто 2n) і позначити yk=f(xk), де  — точки поділу, k = 0, 1, 2, ... , 2n, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

яку називають формулою Сімпсона.

Ця формула дає більш точне значення визначеного інтеграла тому, що для її доведення використовують метод парабол, за яким на кожному відрізку [xk-1, xk] три значення функції До:) входять до інтегральної суми.

На прикладі формули трапеції розглянемо питання про оцінку похибки від її застосування, оскільки без цього формула буде мати лише якісний характер.

Позначимо через а„ вираз, який стоїть у правій частині формули

трапеції. Тоді

— абсолютна похибка від застосування формули трапеції. Позначимо через М максимальне значення модуля другої похідної f n(x) над інтегральної функції у = f(х)  на

У більш детальних курсах вищої математики доведено, що

Приклад 1. Обчислити інтеграл

точне значення якого дорівнює одиниці.

Згідно з формулами:

1) прямокутників при п = 3 дістанемо

2) трапецій при п = 3 одержимо

3) парабол при п = 2 маємо

Зауважимо, що всі три формули тим точніші, чим більше п, і їх абсолютна похибка при  прямує до нуля відповідно до означення поняття визначеного інтеграла.




1. Сравнение как метод анализа. Виды и уровни сравнительных исследований
2. Тема- Экономическое обоснование затрат предприятия по разработке и внедрению программного продукта
3. Нетрадиційні джерела енергії
4. Часть первая Было утро и новое солнце золотом разлилось по испещренной рябью поверхности моря
5. Зонально-ландшафтный принцип - важнейшее направление геоэкологического обустройства
6. Игра ~ это огромное светлое окно через которое в духовный мир ребенка вливается живительный поток представ
7. тематичних наук Днiпропетровськ ~2008 Дисертацією є рукопис Робота виконана на кафедрі захист
8. Wht is the British Commonwelth of Ntions Wht policy does it encourge The Commonwelth of Ntions normlly referred to s the Commonwelth nd formerly known s the British Commonwelth is n i
9. Каналы восприятия информации человеком.html
10. . Понимание того что ты делаешь.