Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ИЖЕВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»
ФАКУЛЬТЕТ НЕПРЕРЫВНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МЕТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
для студентов факультета
непрерывного профессионального образования
(экономические специальности)
Ижевск 2006
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию кафедрой высшей математики (протокол №2 от 5 сентября 2003 г.).
Рецензенты:
канд. ф.-м. наук, доцент Хохряков Н.В.
канд. ф.-м. наук, доцент Юберев Н.Н.
Составитель:
зав. кафедрой высшей математики ИжГСХА, доцент Карпова В.С.
Компьютерный набор и технический редактор Тылюдина Е.В.
Оглавление:
|
1. Варианты заданий……………………………………………………………… |
…3 |
|
2. Контрольная работа №4 (задания)…………………………………………..... |
…4 |
|
примеры решения задач……………………………………………. |
…8 |
|
формулы…………………………………………………………….. |
..14 |
|
вопросы и задачи для зачета……………………………………..... |
..18 |
|
2. Контрольная работа №5 (задания)…………………………………………..... |
..21 |
|
примеры решения задач……………………………………………. |
..28 |
|
формулы…………………………………………………………….. |
..38 |
|
вопросы и задачи для зачета………………………………………. |
..42 |
Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом, если предпоследняя цифра его учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 1. Если предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль (2, 4, 6, 8, 0), то номера задач даны в таблице 2.
Таблица 1
|
Номер варианта |
Номера задач для контрольных работ |
|
|
Работа №4 |
Работа №5 |
|
|
1 |
251, 271, 281, 291, 301 |
1, 11 |
|
2 |
252, 272, 282, 292, 302 |
2, 18 |
|
3 |
253, 273, 283, 293, 303 |
3, 19 |
|
4 |
254, 274, 284, 294, 304 |
4, 12 |
|
5 |
255, 275, 285, 295, 305 |
5, 20 |
|
6 |
256, 276, 286, 296, 306 |
6, 21 |
|
7 |
257, 277, 287, 297, 307 |
7, 22 |
|
8 |
258, 278, 288, 298, 308 |
8, 23 |
|
9 |
259, 279, 289, 299, 309 |
9, 24 |
|
0 |
260, 280, 290, 300, 310 |
10, 25 |
Таблица 2
|
Номер варианта |
Номера задач для контрольных работ |
|
|
Работа №4 |
Работа №5 |
|
|
1 |
261, 272, 283, 294, 305 |
1, 11 |
|
2 |
262, 273, 284, 295, 306 |
2, 18 |
|
3 |
263, 274, 285, 296, 307 |
3, 19 |
|
4 |
264, 275, 286, 297, 308 |
4, 12 |
|
5 |
265, 276, 287, 298, 309 |
5, 20 |
|
6 |
266, 277, 288, 299, 310 |
6, 21 |
|
7 |
267, 278, 289, 300, 301 |
7, 22 |
|
8 |
268, 279, 290, 291, 302 |
8, 23 |
|
9 |
269, 280, 281, 292, 303 |
9, 24 |
|
0 |
270, 281, 282, 293, 304 |
10, 25 |
251. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в мягком переплете. Библиотекарь взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в мягком переплете.
252. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает ответы на предложенные ему экзаменатором три вопроса.
253. Для некоторой местности в июле шесть пасмурных дней. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.
254. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 человек. Найти вероятность того, что два случайно выбранных рабочих не выполняют норму.
255. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,6, вторым – 0,7, третьим – 0,8. Найти вероятность того, что при одном выстреле попадут в цель: а) все три стрелка; б) попадет хотя бы один из них.
256. В ящике лежат 20 электрических лампочек, из которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что взятые одна за другой две лампочки окажутся стандартными.
257. Одновременно бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что на каждой кости появится нечетное количество очков.
258. Из заготовленной для посева пшеницы зерно первого сорта составляет 40%, второго сорта – 50%, третьего сорта – 10%. Вероятность того, что взойдет зерно первого сорта равна 0,8, второго – 0,5, третьего – 0,3. Найти вероятность того, что взойдет наугад взятое зерно.
259. В магазин поступили телевизоры из трех заводов. Вероятность того, что телевизор изготовлен на первом заводе, равна 0,3, на втором – 0,2, на третьем – 0,5. Вероятность того, что телевизор окажется бракованным, для первого завода равна 0,2, для второго – 0,1, для третьего – 0,3. Найти вероятность того, что наугад взятый телевизор окажется небракованным.
260. В мастерской на трех станках изготавливаются однотипные детали. Вероятность безотказной работы первого станка равна 0,8, второго – 0,7, третьего – 0,9. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем – 0,1. Найти вероятность того, что наугад выбранная деталь окажется стандартной.
261. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Производится 4 выстрела. Найти вероятность того, что цель будет поражена: а) три раза; б) не более двух раз.
262. Вероятность всхожести пшеницы равна 0,8. Какова вероятность того, что из 5 семян взойдет не менее 3?
263. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Написать закон распределения вероятностей попаданий в цель при 5 выстрелах и построить многоугольник распределения вероятностей.
264. Всхожесть семян пшеницы составляет 90%. Определить наиболее вероятное число всходов из 200 посеянных семян.
265. Семена пшеницы содержат 0,2% сорняков. Найти вероятность того, что в 1000 семян будет 6 семян сорняков.
В задачах 266–270 дана вероятность р того, что семя злака прорастет. Найти вероятность того, что из п посеянных семян прорастет ровно семян.
266.
267.
268.
269.
270.
В задачах 271–280 дана вероятность р появления события А в каждом из п независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее раз и не более раз.
271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
279.
280.
В задачах 281–290 задан закон распределения дискретной случайной величины Х ( в первой строке указаны возможные значения величины Х, во второй строке даны вероятности р этих значений). Найти: 1) математическое ожидание ; 2) дисперсию ; 3) среднее квадратическое отклонение .
В задачах 291–300 случайная величина Х задана интегральной функцией распределения . Найти: 1) дифференциальную функцию распределения ; 2) математическое ожидание ; 3) дисперсию .
291.
292.
293.
294.
295.
296.
297.
298.
299.
300.
301. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и 200,5 мм. Найти процент стандартных деталей.
302. Средний диаметр стволов деревьев на некотором участке равен 25 см, среднее квадратическое отклонение равно 5 см. Считая диаметр ствола случайной величиной, распределенной нормально, найти процент деревьев, имеющих диаметр свыше 20 см.
303. Процент всхожести семян равен 90%. Оценить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет от 850 до 950 семян включительно.
304. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равно 0,5. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 1.
305. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 150 мм и средним квадратическим отклонением 0,5 мм. Какую точность размера детали можно гарантировать с вероятностью 0,95.
306. Средний вес зерна равен 0,2 г, среднее квадратическое отклонение равно 0,05 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого зерна окажется в пределах от 0,16 г до 0,22 г.
307. Норма высева семян на 1 га равна 200 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10 кг. Определить количество семян, обеспечивающих посев на площади 100 га с гарантией 0,95.
308. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и 200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?
309. Масса яблока, средняя величина которой равна 150 г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130 г до 180 г.
310. Устройство состоит из 20 однотипных независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента за 10 часов равна 0,9. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за 10 часов окажется меньше двух.
Примеры решения задач
Задача 1. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?
Решение. Пусть событие А – из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В – из 4 семян взойдут 3 семени; событие С – из 4 семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей
.
Вероятности и определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Пусть проводится серия п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна р, а вероятность ненаступления этого события равна . Тогда вероятность того, что событие А в п испытаниях появится ровно раз, вычисляется по формуле Бернулли
,
где – число сочетаний из п элементов по . Тогда
Искомая вероятность
.
Задача 2. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350 семян.
Решение. Вычислить искомую вероятность по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:
,
где и .
Из условия задачи . Тогда
.
Из таблицы 1 приложений находим . Искомая вероятность равна
.
Задача 3. Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет обнаружено 6 семян сорняков?
Решение. Применение локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения . Поэтому при малых значениях р для вычисления применяют асимптотическую формулу Пуассона
, где .
Эта формула используется при , причем чем меньше р и больше п, тем результат точнее.
По условию задачи ; . Тогда
и
.
Задача 4. Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.
Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из п испытаний постоянна и равна р, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее раз и не более раз определяется по интегральной теореме Лапласа следующей формулой:
, где
, .
Функция называется функцией Лапласа. В приложениях (табл. 2) даны значения этой функции для . При функция . При отрицательных значениях х в силу нечетности функции Лапласа . Используя функцию Лапласа, имеем:
.
По условию задачи . По приведенным выше формулам находим и :
.
Тогда
Задача 5. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей
.
Тогда .
2) Дисперсия дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.
.
Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения Х от . Из последней формулы имеем
Дисперсию можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания , то есть
.
Для вычисления составим следующий закон распределения величины :
Тогда
3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, равное квадратному корню из дисперсии , то есть
.
Из этой формулы имеем:
Задача 6. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения
Найти: 1) дифференциальную функцию распределения ; 2) математическое ожидание ; 3) дисперсию .
Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется производная от интегральной функции распределения , то есть
.
Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:
2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией , то ее математическое ожидание определяется формулой
Так как функция при и при равна нулю, то из последней формулы имеем
.
3) Дисперсию определим по формуле
Тогда
Задача 7. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем на 1,5 мм.
Решение. 1) Пусть Х – длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией , то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку , определяется по формуле
.
Вероятность выполнения строгих неравенств определяется той же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то
, (1)
где – функция Лапласа, .
В задаче . Тогда
2) По условию задачи , где . Подставив в (1) , имеем
то есть
. (2)
Из формулы (2) имеем:
.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ
СОБЫТИЯ А, В, С…
|
Сумма событий (хотя бы или А, или В) |
А + В |
А В
|
|
Произведение событий (и А, и В одновременно) |
А × В |
А В |
|
Виды событий |
Обозначение или определение |
|
|
Невозможное |
V – заведомо не произойдет |
|
|
Достоверное (истинное) |
U – обязательно произойдет |
|
|
Случайное |
в результате испытания может либо произойти, либо не произойти |
|
|
Несовместные А и В |
если появление А исключает появление В, т. е. А × В= V |
|
|
Совместные А и В |
если появление А не исключает появление В, т. е. А × В¹ V |
|
|
Равновозможные А и В |
если ни одно из них не является более возможным, чем другое |
|
|
Противоположные А и |
если |
|
|
Полная группа А1, А2,…Аk |
если |
|
|
Независимые А и В |
если А не зависит от В и наоборот |
СОЕДИНЕНИЯ
|
РАЗМЕЩЕНИЯ – группы элементов, отличающиеся друг от друга и элементами, и порядком |
|
|
ПЕРЕСТАНОВКИ – группы элементов, отличающиеся друг от друга только порядком элементов. |
|
|
СОЧЕТАНИЯ – группы элементов, отличающиеся друг от друга только самими элементами |
|
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА события А п – общее число испытаний m – число появлений события А |
ВЕРОЯТНОСТЬ события А
п – общее число всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу m – число исходов, благоприятствующих событию А |
||
|
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ БЕРНУЛЛИ при |
|||
|
СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ |
|||
|
СЛОЖЕНИЕ: Если А и В - несовместны, то Если А и В - совместны, то |
ПРОИЗВЕДЕНИЕ: Если А и В - независимы, то
Если А и В - зависимы, то Условной вероятностью РА называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже произошло. |
||
|
Следствия: 1. Если А и - противоположные события, то или. 2. Вероятность появления хотя бы одного события из А1, А2,…Аk : |
|||
|
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ: А происходит с одной из гипотез Нi. Если Н1+Н2+…+Нп=U; Hi×Hj=V; i¹j, то |
|||
|
ФОРМУЛА БЕЙЕСА позволяет найти изменение вероятности гипотез, если событие А произошло. , где Р(А) – полная вероятность. |
ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ
|
Производится п испытаний (независимых), вероятность каждого , а . Находим вероятность того, что событие А появилось ровно т раз. |
|
|
ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ ( п – мало) |
ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА (п – велико) , где |
|
ФОРМУЛА ПУАССОНА (р – мало, п – велико ) , |
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА ; |
|
Вероятность появления хотя бы одного события в п испытаниях: . |
|
|
Примечание: - четная функция, т.е. . Ее значения находят из таблицы, . |
- нечетная функция, т.е. . Функцию Ф(х) часто называют функцией Лапласа. Ее значения находят из таблицы, причем при х>5 . |
|
у
х -s 0 s а=0 s=1 |
у 0,5 у=Ф(х)
0 х -0,5 |
|
Отклонение W(A) от постоянной вероятности в независимых испытаниях |
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
|
Случайная величины – это величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение . Х – случайная величина, х – ее возможное значение. |
||
|
ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА – это случайная величина, у которой множество возможных значений конечно или счетно (т.е. их можно перенумеровать в каком-то порядке). |
НЕПРЕРВЫНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА – это случайная величина, у которой множество возможных значений сплошь занимает какой-то участок числовой оси, границы которого могут быть как зафиксированными, так и неопределенными. |
|
|
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ – это всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующим им вероятностям (для дискретной случайной величины) или плотностями вероятностей (для непрерывной случайной величины). |
||
|
Х х1 х2 … хп … хп –возможные значения р р1 р2 … рп … случайной величины р1+р2+ …+рп+…=1 рп - вероятности или р2 р р1 … х х1 х2 хп Многоугольник распределения |
, где f(x) – плотность распределения вероятностей Х. f(x) Ее свойства: 1. График плотности 2 . распределения 3. |
|
|
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ – это вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем заданное х, т.е. |
||
|
Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. |
Свойства: 1. F(x) – неубывающая функция 2. F(-¥)=0 3. F(+¥)=1 4. 0£ F(x) £1 5. 6. |
Функция распределения любой непрерывной случайной величины есть непрерывная функция в любой точке и дифференцируема всюду. Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, т.е. . Связь между плотностью и функцией распределения непрерывной случайной величины . |
|
F(x) 1 р1+р2 р1
х1 0 х2 х3 …хп х |
F(x) 1
|
|
|
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН |
||
|
Дискретная случайная величина |
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСПЕРСИЯ СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ |
Непрерывная случайная величина × |
|
Свойства: М(С)=С D(С)=0 М(СХ)=С×М(Х) D(CX)=C2×D(X) М(Х±Y)=М(Х)±М(Y) D(Х±Y)=D(Х)+D(Y) М(Х×Y)=М(Х)×М(Y) |
||
|
ВИДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН |
||
|
Дискретная случайная величина БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ М(Х)=пр; D(Х)=прq; q=1-p Х 0 1 … k … n-1 n р qn nqn-1p … … nqpn-1 pn РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА М(Х)=l; D(Х)=l; l=пр£10; р-мало; п-велико Х 0 1 … k … n р е-l … … ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ М(Х)=; D(Х)= ; q=1-p Х 1 2 3 … k … р р qp q2p … qk-1p ... |
Непрерывная случайная величина НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ , где а=М(Х); s=s(Х). График плотности распределения – кривая Гаусса или нормальная кривая. А f(x) В1 В2 0 х
-точка максимума ; - точки перегиба. Вероятность попадания в заданный интервал , где Ф(х) – функция Лапласа. Вероятность заданного отклонения . Правило трех сигм . |
|
|
Непрерывная случайная величина РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ; ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ; Для нормального распределения , где - функция Лапласа. Интеграл Пуассона или |
||
|
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ–ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА Если Х1, Х2, …, Хп – попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены, то , где e>0 сколь угодно малое число. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА |
Вопросы и задачи для зачета
по контрольной работе №4
Случайные события
Случайные величины и их числовые характеристики
Случайные события
Задача 1. Два стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,8, а вероятность попадания в цель второго стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что цель будет поражена или первым, или вторым стрелком.
Задача 2. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент даст правильный ответ на первый вопрос равна 0,9, вероятность правильного ответа на второй вопрос равна 0, и, наконец, вероятность правильного ответа на третий вопрос равна 0,7. Найти вероятность того, что студент ответит на все три вопроса правильно.
Задача 3. Вероятность установления в данной местности устойчивого снежного покрова с октября равна 0,1. Определить вероятность того, что в ближайшие два года в этой местности устойчивый снежный покров с октября не установится ни разу.
Задача 4. Рабочий обслуживает три станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка 0,9, для второго станка – 0,8 и для третьего станка – 0,7. Найти вероятность того, что за этот час лишь один станок откажет в работе и потребует вмешательства рабочего.
Задача 5. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) четыре; б) не менее четырех.
Задача 6. Вероятность появления события А в каждом из 625 испытаний равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в этих испытаниях появится ровно 415 раз.
Задача 7. Среди семян ржи. 0,04% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Задача 8. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что число попаданий при 600 выстрелах будет заключено в пределах от 330 до 375.
Задача 9. Вероятность появления некоторого события А в каждом из 9000 испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события А отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
Случайная величина и ее числовые характеристики
Задача 1. Дискретная величина Х задана следующим законом распределения:
Требуется вычислить: а) математическое ожидание ; б) дисперсию ; в) среднее квадратическое отклонение .
Задача 2. Случайная величина Х задана функцией распределения . Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
а)
б)
в)
Задача 3. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание ; дисперсия . Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале (4; 7).
Задача 4. Диаметр деталей, изготовленных заводом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина диаметра см, среднее квадратическое отклонение . В каких границах можно практически гарантировать длину диаметра этой детали, если за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973?
Задача 5. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) см, среднее квадратическое отклонение см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.
по математической статистике
В ряде задач будет предложено использовать данные таблицы 1, в которой приведены результаты выборочного социологического обследования 100 городских семей на предмет изучения уровня жизни населения. Известно, что всего в данном городе проживает около 500 тыс. семей. Выборка 100 семей произведена по принципу случайного отбора.
Таблица 1
Данные обследования 100 городских семей
|
№ п.п. |
Количество членов в семье |
Жилищные условия |
Совокупный доход семьи в месяц, руб. |
Наличие загородного земельного участка |
Личный автомобиль |
Гараж |
|||||
|
всего |
в т. ч. |
отдельная квартира |
общая площадь, кв. м. |
жилая площадь, кв. м. |
количество жилых комнат |
||||||
|
муж. пола |
жен. пола |
||||||||||
|
А |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 |
2 5 3 4 1 3 6 2 4 3 4 1 3 5 2 3 4 4 3 3 2 5 3 4 1 3 3 4 4 3 2 5 3 1 4 3 4 2 6 4 6 3 1 6 4 4 3 2 4 3 3 4 2 3 4 4 7 1 3 2 3 8 2 4 3 4 1 6 3 2 4 5 4 3 3 1 4 3 5 2 3 5 4 4 3 2 5 3 1 4 3 4 2 6 3 1 4 3 5 2 |
1 2 1 1 1 2 3 1 2 1 1 – – 3 1 2 3 2 – 1 – 4 1 2 – 1 2 1 2 1 – 1 2 1 3 1 3 1 4 1 3 – – 2 3 3 2 – 1 2 1 1 1 2 2 2 1 – 2 1 1 5 2 1 2 3 – – 3 – 2 3 3 – 1 – 2 2 2 – – 4 3 2 1 – 2 1 1 3 1 2 1 3 2 – 3 1 2 – |
1 3 2 3 – 1 3 1 2 2 3 1 3 2 1 1 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2 1 3 2 2 2 4 1 – 1 2 1 1 2 2 3 3 1 4 1 1 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 6 1 1 1 2 3 – 3 1 1 1 6 – 2 2 2 1 3 3 1 2 1 3 2 3 1 1 2 2 2 3 2 – 1 2 2 1 3 1 1 1 2 3 2 |
да да да нет да нет да нет да да да нет да да да нет да да нет да да нет да да нет да да да да да нет да да да да да да да да да нет нет да да нет да да да да да нет да да да да да да нет да да да да да да да да нет да нет да да да да нет да да да да да да да да нет да да нет да да да да нет да да да да да да да да нет |
50 63 48 22 29 21 58 21 39 34 65 18 81 65 37 40 29 55 25 65 31 39 38 45 19 35 58 39 69 104 31 65 52 54 54 74 31 67 51 39 45 17 35 88 35 91 96 34 55 58 42 70 80 47 69 57 64 30 64 31 42 71 40 70 61 118 17 62 26 32 37 69 41 50 104 28 77 41 61 47 57 101 80 40 34 43 39 79 48 78 33 63 31 62 37 31 66 31 53 36 |
28 36 26 14 14 15 35 13 22 20 43 12 45 37 20 22 16 36 17 38 16 28 19 29 10 24 32 19 42 55 19 43 29 32 32 47 17 43 28 26 31 12 19 51 23 50 62 18 30 33 29 45 51 31 39 41 48 20 36 19 29 34 29 49 41 75 11 43 14 15 16 49 20 35 61 14 49 28 34 30 33 62 52 26 18 29 20 45 28 48 22 38 17 41 27 17 36 17 28 25 |
2 3 2 1 1 1 3 1 2 1 3 1 2 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 2 4 1 3 2 2 2 1 1 3 2 3 5 1 2 2 2 3 4 2 2 3 3 1 3 1 2 2 2 3 2 5 1 3 1 1 1 4 1 2 4 1 4 2 2 2 2 3 3 2 1 2 1 3 2 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 |
450 410 145 287 82 140 487 197 185 262 281 116 294 415 415 659 214 655 214 452 118 243 396 500 192 216 957 312 1080 855 212 881 404 95 277 605 522 612 625 140 992 361 75 190 390 472 375 183 810 315 125 218 713 611 290 493 515 253 670 244 317 458 319 714 125 382 164 290 288 106 602 215 145 871 220 132 810 212 360 131 802 691 184 162 211 304 262 355 187 516 160 410 215 818 195 88 425 415 620 78 |
да нет нет нет да нет да да нет нет нет нет да да да да нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет нет да нет нет да нет нет да нет нет нет нет нет да нет нет да нет нет нет нет да да нет да нет нет нет да да да нет нет да да нет нет да нет нет да нет нет да нет да нет нет нет да нет нет нет да да нет нет да да нет да нет да нет нет да да нет нет да нет нет да |
да нет да нет нет нет нет да нет нет нет нет нет да нет да нет да нет да нет нет нет да нет нет да нет нет нет нет да нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет да да нет нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет да нет да нет нет нет нет нет да нет нет нет нет да нет нет нет нет нет да нет да нет да нет да нет нет да нет да нет |
да нет нет нет нет нет нет нет нет нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет нет да нет нет да нет нет нет нет да нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет да да нет нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет нет нет нет нет нет да нет нет да нет да нет |
Задача 1
По данным таблицы 1 постройте ряд распределения семей по числу членов. Наряду с локальными частотами подсчитайте накопленные частоты. Постройте полигон распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 2
По данным таблицы 1 рассчитайте по каждой семье показатель обеспеченности общей площадью жилища в расчете на одного человека. Постройте интервальный ряд распределения обследованного населения по обеспеченности общей площадью, образовав при этом 7–8 равных интервалов. Для каждого интервала подсчитайте локальные частоты и накопленные частоты. Постройте гистограмму распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 3
Выполните то же задание, что и в задаче 2, для показателя обеспеченности жилой площадью.
Задача 4
По данным таблицы 1 постройте ряд распределения тех жилищ, которые являются отдельными квартирами, по числу жилых комнат. Наряду с локальными частотами подсчитайте накопленные частоты. Постройте полигон распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 5
По данным таблицы 1 рассчитайте по каждой семье месячный доход в расчете на одного члена семьи. Постройте интервальный ряд распределения обследованного населения по данному показателю, образовав при этом 7–8 равных интервалов. Для каждого интервала подсчитайте локальные частоты и накопленные частоты. Постройте гистограмму распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 6
На 80 сортоиспытательных участках определена следующая урожайность яровой пшеницы (ц/га): 23,9; 22,4; 23,1; 16,3; 21,8; 21,6; 20,5; 20,4; 20,6; 21,3; 25,1; 21,7; 21,3; 20,2; 21,0; 20,7; 18,2; 20,2; 25,1; 19,6; 24,0; 22,5; 23,2; 16,4; 21,9; 21,7; 20,6; 20,5; 20,5; 20,7; 21,2; 25,0; 21,6; 21,2; 20,1; 20,9; 20,6; 18,1; 19,5; 20,1; 25,0; 21,6; 20,5; 20,4; 20,6; 21,3; 25,1; 21,7; 21,3; 20,2; 22,9; 23,4; 22,1; 17,3; 20,8; 22,6; 19,5; 21,4; 19,6; 22,3; 24,1; 22,7; 20,3; 21,2; 20,0; 21,7; 17,2; 21,2; 24,1; 20,6; 23,0; 23,5; 22,2; 17,4; 20,9; 22,7; 19,6; 21,5; 19,5; 21,7;. Постройте интервальный ряд распределения участков по урожайности, образовав при этом 6–7 равных интервалов. Для каждого интервала подсчитайте локальные частоты и накопленные частоты. Постройте гистограмму распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану. Среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 7
В результате взвешивания 90 коров получены следующие данные (ц): 4,5; 4,7; 3,4; 5,4; 4,6; 5,0; 3,8; 4,7; 5,6; 4,0; 5,1; 4,9; 3,3; 3,5; 4,3; 5,5; 4,5; 4,2; 5,1; 4,9; 4,5; 3,2; 4,0; 5,9; 4,7; 5,8; 4,4; 4,6; 4,8; 5,7; 3,3; 4,4; 4,9; 3,3; 5,5; 4,5; 5,1; 3,7; 4,8; 5,3; 4,1; 4,2; 5,2; 4,8; 3,4; 3,4; 5,7; 4,5; 4,5; 4,7; 4,5; 4,6; 3,7; 5,1; 4,6; 4,9; 4,1; 4,7; 5,2; 4,2; 5,0; 4,8; 3,6; 3,8; 4,3; 5,2; 4,6; 4,4; 5,1; 5,0; 4,4; 3,6; 4,0; 5,3; 4,7; 5,5; 4,4; 4,6; 4,8; 5,4; 3,9; 4,4; 4,9; 3,7; 5,2; 4,5; 5,1; 4,0; 4,8; 5,3. Постройте интервальный ряд распределения коров по живой массе, образовав при этом 7–8 равных интервалов. Для каждого интервала подсчитайте локальные частоты и накопленные частоты. Постройте гистограмму распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 8
В случайном порядке отобрано 100 клубней картофеля и определен вес каждого клубня (г): 112, 210, 133, 215, 206, 80, 197, 134, 145, 183, 251, 53, 142, 120, 177, 159, 111, 185, 200, 191, 96, 205, 138, 213, 209, 77, 201, 131, 148, 180, 260, 50, 146, 117, 180, 156, 116, 181, 203, 188, 81, 120, 135, 220, 144, 152, 150, 110, 118, 140, 125, 208, 134, 214, 209, 85, 195, 136, 143, 181, 256, 59, 142, 122, 177, 160, 114, 183, 199, 197, 101, 202, 142, 218, 209, 79, 206, 137, 148, 180, 259, 65, 82, 88, 117, 180, 68, 117, 181, 202, 188, 94, 113, 135, 220, 144, 59, 69, 100, 91. Постройте интервальный ряд распределения клубней по весу, образовав при этом 7–8 равных интервалов. Для каждого интервала подсчитайте локальные и накопленные частоты. Постройте гистограмму распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 9
В случайном порядке было отобрано 60 личных карточек студентов и выписаны их экзаменационные оценки по высшей математике: 4, 4, 2, 3, 5, 3, 5, 4, 3, 3, 4, 2, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 3, 2, 4, 4, 3, 4, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 3, 5, 3, 3, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 3, 3, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 3, 5, 4, 3. Постройте ряд распределения студентов по успеваемости. Наряду с локальными частотами подсчитайте накопленные частоты. Постройте полигон распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, средний балл, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 10
Среднемесячная заработная плата 81 работника совхоза за истекший год составила (руб.): 220, 205, 130, 183, 198, 265, 177, 184, 110, 92, 125, 208, 244, 157, 189, 160, 231, 269, 185, 199, 70, 80, 101, 122, 155, 150, 195, 321, 77, 144, 297, 82, 85, 180, 306, 276, 197, 143, 153, 280, 301, 102, 169, 168, 285, 211, 149, 191, 276, 158, 162, 214, 222, 146, 189, 207, 294, 177, 178, 106, 160, 305, 188, 178, 169, 195, 211, 145, 180, 234, 235, 290, 212, 237, 229, 342, 231, 225, 172, 130, 194. Постройте интервальный ряд распределения работников по размеру заработной платы, образовав при этом 6–7 равных интервалов. Для каждого интервала подсчитайте локальные частоты и накопленные частоты. Постройте гистограмму распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю заработную плату, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 11
Рассматривая данные таблицы 1, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности, определите:
Задача 12
Выполните то же задание, что и в задаче 11, для доли семей, проживающих в отдельных квартирах.
Задача 18
Рассматривая данные таблицы 1, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности и используя результаты решения задачи 2, определите:
Задача 19
Рассматривая данные таблицы 1, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности и используя результаты решения задачи 3, выполните то же задание, что и в задаче 18.
Задача 20
Рассматривая данные таблицы 1, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности и используя результаты решения задачи 5, определите:
Задача 21
Рассматривая данные задачи 6, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности, определите:
Задача 22
Рассматривая данные задачи 7, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности, определите:
Задача 23
Рассматривая данные задачи 8, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности, определите:
Задача 24
Рассматривая данные задачи 9, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности, определите:
Задача 25
Рассматривая данные задачи 10, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности, определите:
Методические советы по выполнению задания
Задачи 1–10 по теме «Статистические ряды распределения и их характеристики».
Ряд распределения – это ряд чисел, в котором значение изучаемого признака (варианты), расположены в определенном порядке: либо в порядке возрастания, либо убывания. Наряду с вариантами ряд распределения включает и частоты – величины, показывающие сколько раз каждая варианта встречается в данной совокупности. Сумма частот равна объему совокупности. Таким образом, ряд распределения состоит из вариант (х) и частот (т).
В зависимости от прерывности или непрерывности варьирующего признака ряды распределения удобно представлять в виде двух разновидностей: дискретного и вариационного (интервального). Дискретный ряд представляет собой ряд прерывных чисел. Например, распределение семей по числу членов (табл. I). При непрерывной вариации распределение признака называется интервальным. Частоты относятся ко всему интервалу. Примером интервального ряда может служить распределение совхозов области по проценту выполнения плана (табл. II).
Табл. I Табл. II
|
Распределение семей по числу членов |
Распределение 365 совхозов по проценту выполнения плана |
|||||
|
Число членов |
Число семей (частоты) |
Накопленные частоты |
Процент выполнения плана |
Число совхозов (частоты) |
Накопленные частоты |
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 |
7 16 34 22 13 10 8 5 |
7 23 57 79 92 102 110 115 |
95–100 100–105 105–110 110–115 115–120 120–125 125–130 130 и выше |
3 17 28 64 127 71 40 15 |
3 20 48 112 239 310 350 365 |
|
|
Итого |
115 |
Итого |
365 |
В зависимости от вида ряда распределения по разному можно изобразить их графически. Если ряд дискретный – строится полигон распределения. Величина признака откладывается на оси абсцисс, частоты – на оси ординат. Вершины ординат соединяются прямыми линиями. Гистограмма распределения отличается о полигона тем, что на оси абсцисс берутся не точки, а отрезки, изображающие интервал, т.е. гистограмма строится на основе вариационного ( интервального) ряда. По накопленным частотам строится кумулятивная кривая (кумулята).
Для определения средней арифметической надо сложить все варианты и полученную сумму разделить на число единиц, входящих в совокупность (объем совокупности). Средняя арифметическая бывает простая и взвешенная. Простая средняя используется тогда, когда каждая варианта встречается лишь один раз. Если каждая варианта встречается несколько раз, то следует подсчитать частоты и умножить (взвесить) каждую варианту на соответствующую частоту.
Простая средняя арифметическая .
Средняя арифметическая взвешенная .
В наших примерах средняя рассчитывается по формуле взвешенной, для табл. I (чел.)
Для табл. II %.
При расчете средней арифметической для интервального ряда нужно сначала определить середины интервалов как полусуммы значений верхней и нижней границ интервала. При наличии интервалов, где «открыты» верхняя или нижняя граница, величину интервала определяют по последующему ил предыдущему интервалу.
Для характеристики рядов распределения кроме средней степенной применяются структурные средние: мода и медиана.
Мода – варианта, которая наиболее часто встречается в данной совокупности, т.е. варианта с наибольшей частотой.
Медиана – варианта, находящаяся в середине ряда распределения.
Мода для дискретного ряда определяется просто и соответствует варианте с наибольшей частотой. По данным табл. I мода равна 3, т.к. эта варианта встречается наибольшее число раз – 34. Значит, более всего в данной совокупности из 115 семей встречаются семьи с числом членов 3 человека. Для интервального ряда (с равными интервалами) мода определяется по следующей формуле:
.
где i – длина интервала; – частота модального, – домодального, – замодального интервалов; – начало модального интервала.
.
Медиану дискретного ряда определяют по накопленным частотам делением объема совокупности пополам: по табл. I – 115:2=57,5. Это соответствует медиане, равной 3.
Для интервального ряда медиану определяют по формуле:
,
где – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; – локальная частота медианного интервала; – начало медианного интервала.
В нашем примере по данным табл. II получим:
.
Размах вариации – разность между наибольшей и наименьшей вариантой: . По данным дискретного ряда размах вариации равен 7=(8–1), по интервальному ряду 40=(135–95).
Среднее квадратическое отклонение – показатель вариации, измеряющий величину, на которую все варианты в среднем отклоняются от средней арифметической. Среднее квадратическое отклонение бывает простое и взвешенное и рассчитывается по формулам:
простое (невзвешенное) взвешенное
Квадрат среднего квадратического отклонения называется дисперсией, или средним квадратом отклонений. По данным табл. I, используя формулу взвешенного среднего квадратического отклонения, рассчитаем его величину:
(чел.)
Наряду с абсолютным показателем колеблемости признака – средним квадратическим отклонением, широко применяется и относительный показатель – коэффициент вариации, который показывает меру колеблемости признака относительно его среднего значения и измеряется в процентах. Расчет коэффициента вариации можно проследить по данным табл. I:
.
Задачи 11–27 относятся к теме «Выборочный метод» («Статистическая оценка характеристик генеральной совокупности»). Условия всех задач позволяют применять формулы для собственно случайной возвратной (повторной) выборки, поскольку относительный объем выборки предполагается небольшим (относительно объема генеральной совокупности). В задачах 11–17, 24 требуется дать точечную и интервальную оценки генеральной доли, а в задачах 18–23, 25–27 – точечные оценки генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения, а также интервальную оценку генеральной средней. Поскольку во всех задачах, кроме задач 26 и 27, абсолютный объем выборки все-таки достаточно большой, то распределение выборочной доли (в задачах 11–17, 24), а также выборочной средней (в задачах 18–23, 25) можно считать нормальным и использовать при решении задач таблицы функции Лапласа. В задачах 26 и 27 абсолютный объем выборки мал. В связи с этим, во-первых, необходимо при точечной оценке генерального среднего квадратического отклонения не забыть устранить смещенность выборочного среднего квадратического отклонения (путем умножения последнего на корректирующий множитель ). Во-вторых, необходимо использовать при интервальной оценке таблицу функции Стьюдента.
Рассмотрим типичные примеры по данной теме.
П р и м е р 1. Для оценки доли поврежденных клубней при механизированной уборке картофеля произведена случайная выборка объемом клубней. Из них поврежденных оказалось 40. Необходимо определить:
1) точечную оценку доли поврежденных клубней в генеральной совокупности;
2) доверительный интервал при доверительной вероятности 0,95;
3) вероятность того, что ошибка выборочной доли не превысит 0,03;
4) необходимый объем выборки, который с вероятностью 0,95 обеспечил бы ошибку выборочной доли не более чем 0,02.
Решение.
1) Рассчитываем выборочную долю: Она и будет точечной оценкой (состоятельной, несмещенной, эффективной) генеральной доли: .
2) Реально выборка в рассматриваемой ситуации производится, конечно, как безвозвратная. Однако поскольку объем выборки (количество отобранных клубней) заведомо мал относительно объема генеральной совокупности, то мы можем пренебречь различием формул для возвратной и безвозвратной выборок и использовать более простые формулы для возвратной выборки. Далее, выборочная доля имеет биномиальный закон распределения, однако при достаточно большом объеме выборки биномиальное распределение хорошо аппроксимируется нормальным. По заданной доверительной вероятности находим по таблице интегральной функции Лапласа соответствующее значение . Применяем формулу предельной ошибки выборочной доли:
.
Таким образом, доверительный интервал для генеральной доли р:
или .
С вероятностью 0,95 в генеральной совокупности после механической уборки будет не мена 14%, но и не более 26% поврежденных клубней.
3) Имеем .
Отсюда .
По таблице интегральной функции Лапласа находим соответствующую доверительную вероятность .
.
Таким образом, сделав случайную выборку в количестве приблизительно полторы тысячи клубней и определив в ней долю поврежденных клубней, можно с практической достоверностью (вероятностью 95%) утверждать, что процент поврежденных клубней после механической уборки будет очень близким к проценту, установленному по выборке (отклонение в ту или другую сторону может составить не более 2%).
П р и м е р 2. Взвешивание 50 случайно отобранных поросят при рождении дало:
выборочная средняя г;
выборочная дисперсия г).
Необходимо определить:
1) точечные оценки средней и дисперсии в генеральной совокупности;
2) интервальную оценку средней при доверительной вероятности 0,95;
3) вероятность, что ошибка выборочной средней не превысит 20 г;
4) необходимый объем выборки, чтобы ошибка выборочной средней с вероятностью 0,99 не превышала 20 г.
Решение. Прежде всего отметим, что рассматриваемая в задаче выборка реально производится, конечно, как безвозвратная. Однако поскольку в качестве генеральной совокупности можно рассматривать всех рождающихся поросят данной породы при нормальных условиях содержания свиноматок, то объем выборки можно считать очень малым по сравнению с объемом генеральной совокупности. Поэтому в данной задаче можно использовать более простые соотношения для возвратной выборки.
1) В качестве точечной оценки генеральной средней необходимо положить выборочную среднюю, которая является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой генеральной средней:
г.
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Несмещенной оценкой является величина . Однако при большом п отношение , как это имеет место и в нашей задаче. Поэтому в качестве точечной оценки генеральной дисперсии в нашей задаче можно принять величину .
2) Если объем выборки достаточно большой (практически начиная с ), то распределение выборочной средней , согласно центральной предельной теореме, независимо от характера генерального распределения приближается к нормальному распределению. Если само генеральное распределение нормально, то выборочная средняя будет иметь нормальное распределение при любом объеме выборки. По любой из этих двух причин распределение выборочной средней в нашей задаче можно считать нормальным. Далее, поскольку мы используем выборочную оценку неизвестной генеральной дисперсии , то статистика подчиняется закону распределения Стьюдента с степенями свободы. Однако при больших значениях параметра v распределение Стьюдента практически совпадает со стандартным нормальным распределением. Таким образом, в нашей задаче мы можем из равенства по таблице значений интегральной функции Лапласа определить . Применяя формулу предельной ошибки выборочной средней, находим
(г).
Таким образом, получаем доверительный интервал
.
3) Имеем .
Отсюда .
По таблице интегральной функции Лапласа находим соответствующую доверительную вероятность .
4) Из находим . Преобразовав соответствующим образом формулу предельной ошибки выборки, получаем
(голов).
П р и м е р 3. Для определения среднего веса бычков красной степной породы в возрасте 12 мес. при соблюдении требуемых условий содержания было взвешено 10 бычков, вес которых оказался равным (кг): 325; 337; 319; 330; 327; 328; 332; 320; 318; 334. Необходимо определить:
1) точечные оценки среднего веса бычков в генеральной совокупности, а также генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения;
2) доверительный интервал для генеральной средней с вероятностью 0,95;
3) вероятность, что ошибка выборочной средней не превысит 3 кг;
4) необходимый объем выборки, чтобы с вероятностью 0,95 гарантировать ошибку выборки не более 3 кг.
Решение. Прежде всего отметим, что в качестве генеральной совокупности в нашей задаче можно рассматривать всех бычков данной породы, которые достигли или будут достигать в будущем указанного возраста (при нормальных условиях содержания). Объем выборки, таким образом, ничтожно мал по сравнению с объемом генеральной совокупности, что позволяет применять формулы для возвратной выборки.
1) В качестве точечной оценки генеральной средней необходимо положить выборочную среднюю, которая является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой генеральной средней:
(кг).
Рассчитаем выборочную дисперсию:
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Несмещенной точечной оценкой является величина:
.
Соответственно, несмещенной точечной оценкой генерального среднего квадратического отклонения будет величина:
(кг).
2) Анализ биологических и производственных условий массового выращивания бычков дает основания полагать, что вес бычков в генеральной совокупности имеет нормальное распределение. Поэтому выборочная средняя, независимо от объема выборки, также будет иметь нормальный закон распределения, а статистика подчиняется закону распределения Стьюдента с степенями свободы. Обращаясь к таблице значений функции Стьюдента по данным и , находим .
Вычисляем предельную ошибку выборки:
(кг).
Доверительный интервал для генеральной средней:
или .
3) Имеем .
Отсюда ..
Обращаясь к таблице функции Стьюдента, по заданным и находим .
4) Преобразовав соответствующим образом формулу предельной ошибки выборки, получаем
. (*)
Однако из условия мы не можем определить , поскольку нам неизвестно . Поэтому воспользуемся схемой последовательной приближений. Определим сначала из таблицы функции Лапласа (по заданной вероятности ). Находим . Затем найдем п1, используя формулу (;):. Теперь обращаемся к таблице функции Стьюдента и по находим значение . Вычисляем . По и находим . Вычисляем . Поскольку , то необходимый объем выборки устанавливается (голов).
Приложения
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Вопросы для зачета
по математической статистике