ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ Понятие производной
Работа добавлена на сайт samzan.net:
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
www.otlichka.ru
§ 2.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
- Понятие производной. Производная функции .
- Геометрический смысл производной. Уравнения каса тельной и нормали к графику функции.
- Понятие дифференцируемости функции и дифференциа ла. Условие дифференцируемости. Связь дифференциала с про изводной.
- Геометрический смысл дифференциала.
- Непрерывность дифференцируемой функции.
- Дифференцирование постоянной и суммы, произведения и частного.
- Производная сложной функции.
- Инвариантность формы дифференциала.
- Производная обратной функции.
- Производные обратных тригонометрических функций.
- Гиперболические функции, их производные.
- Производные высших порядков. Формула Лейбница.
13) Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность дифференциалов порядка выше первого. - Дифференцирование функций, заданных параметри чески.
$ 2.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1) Исходя из определения производной, доказать, что:
а) производная периодической дифференцируемой функции есть функция периодическая;
б) производной четной дифференцируемой функции есть функция нечетная;
в) производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная.
- Доказать, что если функция дифференцируема в точке х = 0 и , то
- Доказать, что производная не существует, если
- Доказать, что производная от функции
разрывна в точке х = 0.
5) Доказать приближенную формулу
6) Что можно сказать о дифференцируемости суммы в точке , если в этой точке:
а) функция дифференцируема, а функция недифференцируема;
б) обе функции и недифференцируемы.
- Пусть функция дифференцируема в точке и , а функция недифференцируема в этой точке. Доказать, что произведение является недифференцируемым в точке
- Что можно сказать о дифференцируемости произведения в предположениях задачи 6?
Рассмотреть примеры:
9) Найти , если
10) Выразить дифференциал от сложной функции через производные от функции и дифференциа лы от функции .
- Пусть и дважды дифференцируемые взаимно обратные функции. Выразить через и .
§ 2.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1. Исходя из определения производной, найти .
1. . 2. 3.. 4. 5.
6. 7. 8.. 9. 10.
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.
Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 1-12) или уравнение касательной (в вариантах 13-31) к данной кривой в точке с абсциссой .
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .
31. .
Задача 3. Найти дифференциал .
1. 2.
3. 4.
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.
Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.
1.,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 5. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 6. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 7. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 8. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 9. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 10. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 11. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23 .
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 12. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 13. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 14. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
31.
Задача 15. Найти производную .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 17. Найти производную -го порядка.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 18. Найти производную указанного порядка.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .
31. .
Задача 19. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически.
1. .
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 20. Показать, что функция удовлетворяет данному уравнению.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
2. Когнитивные механизмы процесса совершенствования психомоторной деятельности в спорте
3. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Ки
4. і Семафори Системні засоби взаємодії процесів
5. опори ~ стовпи колони які підтримували будівлю і звільняли під ними територію 2
6. Герои ушедшей страны ЧТОБЫ ПОМНИЛИ Как мы относимся к своим героям К тем кто ценой с
7. I Red the text The Perfect Murder
8. El Celler de Cn Roc Этот каталонский ресторан расположенный в испанской Жироне был назван лучшим рестораном мира
9. Маргинальность в искусстве
10. Отчего люди не летают так, как птицы
11. Белки клеточного цикла в отделах мозга сусликов citellus undulatus на разных стадиях гибернационного цикла
12. і. ~ара~анды облысында ту~ан
13. А металл мен металеместер; 115 Металдар мен ~орытпаларды химиятермиялы~ ~~деу дегеніміз не А тетікт
14. Личная жизнь, творчество и гибель Сергея Есенина
15. . Приступ описанный выше носит название- Морганьи Эдемса Стокса; Толочинова Роже; Ашоф Та
16. Натуральные деньги то есть выраженные в драгоценных камнях ракушках мех и т
17. Определение области слышимости уха методом порогов.html
18. козак походить з тюркських мов і означає вільна озброєна людина
19. Психология для жизни КАК ВЫРАСТИТЬ РЕБЕНКА СЧАСТЛИВЫМ Принцип преемственности Жан Ледлофф Ген
20. і Философ ~рі экономист Аристотель айырбас а~шаны~ пайда болуы мен ат~аратын ~ызметін зерттейді