Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Рассмотрим в пространстве две точки А и В. Они определяют отрезок АВ.
Определение 1. Отрезок АВ называется направленным, если его концы А и В упорядочены; если при этом первой является точка А, а второй – точка В, то А – начало отрезка, а В – его конец.
Направленный отрезок обозначается AB (а также или ). На чертеже направленный отрезок снабжен стрелкой на конце(см. рис.1)
Определение 2. Длиной направленного отрезка называется длина отрезка АВ.
Рис.1. Направленный отрезок АВ.
Определение 3. Направленные отрезки и называются сонаправленными (обозначается ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.
Направленные отрезки и называют противоположно направленными (пишут ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в разные стороны.
Направленные отрезки и называются противоположными.
Каждую точку А пространства можно рассматривать как направленный отрезок с совпадающим началом и концом. Этот отрезок обозначается и называется нулевым направленным отрезком. Его длина считается равной нулю, а направление не определено.
Определение 4. Два направленных отрезка и считаются эквивалентными, если они сонаправлены и имеют равные длины. (Обозначают ).
Эквивалентность является отношением эквивалентности в множестве всех направленных отрезков, т.к. из определения эквивалентности следует:
1) отрезок эквивалентен сам себе;
2) если эквивалентен , то эквивалентен ;
3) если эквивалентен и эквивалентен , то эквивалентен .
Так как эквивалентность направленных отрезков является отношением эквивалентности, то множество всех направленных отрезков пространства разбивается на непересекающиеся классы – классы эквивалентности. Классы эквивалентности образуют фактор-множество множества всех направленных отрезков пространства.
Определение 5. Множество всех эквивалентных направленных отрезков называется вектором (или свободным вектором).
Замечание. Напомним, что в средней школе вектор характеризует параллельный перенос.
Направление эквивалентных направленных отрезков называется направлением вектора, а их длина – длиной вектора.
Таким образом, любой направленный отрезок однозначно определяет вектор, а вектор – это класс эквивалентных направленных отрезков.
Поэтому часто пишут вектор , .
Определение 6. Вектор a такой, что называется единичным вектором или ортом. Множество нулевых отрезков называется нулевым вектором ; Его длина равна нулю, а направление не определено.
Определение 7. Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными. Обозначают .
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Очевидно, что прямые, на которых лежат представители классов коллинеарных векторов, параллельны.
Определение 8. Три и более векторов называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости.
Для определенности любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают компланарной.
Пусть даны два вектора a и b. Из произвольной точки O пространства отложим и . Тогда есть направленный отрезок и значит, определяет вектор.
Покажем, что введенная операция сложения векторов корректно определена, т.е. вектор не зависит от выбора точки O. Для этого выберем другую точку . Пусть , . Тогда – параллелограмм; аналогично, – параллелограмм – параллелограмм , то есть они определяют один и тот же вектор.
Определение 9. Вектор называется суммой векторов и . Пишут: .
Способ сложения векторов, изложенный выше, называется правилом треугольника. Можно также использовать правило параллелограмма.
Свойства сложения векторов.
1. .
2. .
3. , так как .
4. Для каждого вектора вектор, называемый вектором, противоположным , такой, что . Доказательство свойств может быть проиллюстрировано рис.2
а) б)
Рис.2. Свойства сложения векторов: а) коммутативность, б) ассоциативность
Если , то через обозначим . Тогда .
Определение 10. Произведением вектора на число R, называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
Произведение вектора на число 0 есть нулевой вектор. Пишут .
Свойства умножения вектора на число.
Доказательство 1). Пусть для простоты и будем использовать правило параллелограмма для сложения векторов. Если вместо и взять и , то получим подобный параллелограмм и его диагональ соответственно равна (см. рис.3).
Рис.3. Иллюстрация свойства сложения векторов
Доказательство 2)–4). Очевидно, и при этом получаются коллинеарные вектора.
Теорема 1. Множество векторов пространства образует линейное пространство.
Доказательство. Следует из свойств сложения векторов и умножения на число.∎
Замечание. Можно определить операцию вычитания векторов по формуле (см. рис.4)
Рис. 4. Вычитание векторов
a) Множество коллинеарных векторов образует линейное пространство
б) Множество компланарных векторов образует линейное пространство.
Далее выясним размерности и базисы перечисленных пространств.
Теорема 2. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.
Доказательство. Если один из векторов нулевой, то очевидно. Поэтому далее предполагаем, что оба вектора ненулевые.
Пусть и – коллинеарны. Отложим их от одной точки. Пусть . Тогда если , то , если , то . В обоих случаях и – линейно зависимы.
Пусть и – линейно зависимы, т.е. , где не равно 0. Тогда, если , по определению 10 и коллинеарны.∎
Следствие 1. Линейное пространство коллинеарных векторов одномерно и его базисом может служить любой ненулевой вектор.
Следствие 2. Если и – коллинеарны и , то R: .
Доказательство. R: . Если . Т.о. и .
Теорема 3. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.
Доказательство. Будем предполагать, что никакие два вектора из трех не коллинеарны, так как иначе утверждение очевидно в силу свойства линейно зависимых векторов.
Пусть вектора компланарны. Перенесем их в точку O, проведем через конец вектора c прямые, параллельные векторам и и рассмотрим параллелограмм .(см. рис. 5) Векторы и , и – коллинеарны R: , . Но , , – линейно зависимы.
Рис.5. Иллюстрация доказательства теоремы 4.
Пусть , , – линейно зависимы. Тогда R, одновременно не равные нулю: . Если, например, , то – диагональ параллелограмма со сторонами, параллельными и , , лежат в одной плоскости, то есть они компланарны.∎
Следствие. Линейное пространство компланарных векторов двумерно и его базисом может служить любая пара неколлинеарных векторов.
Теорема 4. Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство. Предположим, что никакие три из векторов не компланарны (иначе они линейно зависимы) очевидно. Остальное следует из (рис.6) по аналогии с доказательством теоремы 4. Через точку D проведем три плоскости, параллельные парам векторов {, }; {, };{ , }.
, . R: , , , – линейно зависимы.∎
Рис.6. Иллюстрация доказательства 5.
Следствие. Линейное пространство всех геометрических векторов трехмерное. Его базисом могут служить любые три некомпланарных вектора.
Пусть в пространстве задана некоторая прямая l и вектор .
Определение 11. Осью l будем называть прямую, на которой задано направление. Направление оси задается вектором (направляющий вектор оси).
Рис.7. Проекция точки А на ось l.
Пусть – точка, не принадлежащая l. Проведем через точку плоскость l. Получим точку , которая называется проекцией (ортогональной проекцией) точки на ось l. Обозначение: (см. рис.7).
Если наряду с точкой взять точку B, то можно построить .
Определение 12. Так построенный вектор называется векторной проекцией вектора на ось l. Обозначают: .
Иногда говорят, что есть компонента вектора на оси l.
Вектора и – коллинеарны R: .
Определение 13. Такое число называется скалярной проекцией (проекцией) вектора на ось l с масштабным вектором . В этом случае рассматривается как единичный вектор. Пишут или .
Таким образом .
Легко видеть, что .
Свойства проекции.
10. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью:
.
Рис.8. - проекция вектора на ось l. а) , б)
Действительно, пусть .
Если (см. рис. 8а), то , поэтому
.
Если (см. рис. 8б), то , и
.
20. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число: .
Действительно, если , то угол между векторами и равен углу между и , то есть и .
Если , то
30. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:
.
Справедливость этого утверждения следует из рис.9. В случае а) , б)
а) б)
Рис.9. Иллюстрация доказательства свойства о проекции суммы векторов.
Следствие. Свойство (3) справедливо для количества векторов.
Определение 14. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Таким образом, если , – вектора, то скалярное произведение обозначается и
.
Свойства скалярного произведения.
1) Коммутативность: .
Действительно, (так как , то есть четная функция, то ) .
2) Скалярное произведение двух векторов равно длине одного вектора умноженной на проекцию другого на направление первого.
Действительно, .
Отсюда видно, что если , то .
Следовательно, проекция вектора на ось равна скалярному произведению этого вектора на направляющий вектор оси.
3) .
Действительно, .
4) .
Действительно, .
5) Для того, что бы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
Пусть .
Пусть , так как , .
6) Пусть , т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора .
Из последнего свойства следует, что – отдельная строка.
7) Пусть в пространстве геометрических векторов задан ортонормированный базис т.е. Тогда
Если вектора заданы своими координатами , то
т.е. в прямоугольной декартовой системе координат скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Из свойства 7) вытекают некоторые метрические формулы:
1)
2) Если , то , , .
Таким образом, прямоугольные координаты вектора есть его ортогональные проекции на оси прямоугольной системы координат.
.
Таким образом, .
Из формулы косинуса угла между векторами легко найти углы , , , которые вектор образует с осями координат. Эти углы называются направляющими углами.
Имеем:
, , .
, , называются направляющими косинусами вектора . Они связаны соотношением
.
Следовательно, вектор есть координаты вектора , то есть вектора и .
.
Определение 15. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левоориентированной или левой.
Рис. 10. Ориентированные тройки векторов
а) Правая тройка б) Левая тройка
Определение 16. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , удовлетворяющий условиям:
Обозначение:
Свойства векторного произведения
Доказательство следует из определения 16.
Доказательство аналогично свойству 5 скалярного произведения.
Доказательство.
Тройка – правая, – левая. Тройка будет правой, если изменить направление , т.е. ∎
Пример. Если – правая тройка, то
Далее базис всегда будем рассматривать правый.
Докажем первое равенство.
.
Отсюда вытекает доказываемое свойство.
Определение 17. Смешанным произведением векторов называется число
Обозначение:
Свойства смешанного произведения
Доказательство.
Действительно, объем параллелепипеда, построенного на векторах равен произведению площади основания на высоту где – угол между и
Поэтому
Знак смешанного произведения совпадает со знаком и поэтому, смешанное произведение положительно, когда направлен с в одну сторону от плоскости векторов т.е. тройка – правая. Аналогично, смешанное произведение левой тройки векторов отрицательно. ∎
Доказательство. Если один из векторов нулевой, то свойство очевидно.
Пусть , , 0.
Пусть , , – компланарны. Тогда .
Пусть либо , либо .
В первом случае это означает, что вектор векторам , , , , – компланарны. Во втором случае – || и – линейно зависимы , , – компланарны.
Доказательство. Тройки , , и , , ориентированы одинаково, значит знак смешанного произведения одинаковый. Модуль так же одинаковый в силу свойства 1.
Обозначение. Смешанное произведение векторов , , обозначается , .
Следует из свойства циклической перестановки ориентированных векторов.
Следует из свойств скалярного произведения.
Теорема 5 (линейность векторного произведения). Для любых векторов и любых чисел и имеет место равенство:
Доказательство. Воспользуемся линейностью смешанного произведения по второму сомножителю:
Выбирая вместо вектора ортонормированного базиса, можно видеть, что координаты векторов и равны, а значит, равны эти вектора. ∎
60. Выражение векторного и смешанного произведения векторов через координаты сомножителей
Пусть в пространстве векторов задан произвольный базис . Пусть заданы своими координатами в этом базисе, т.е.
.
Тогда Так как , то получаем
В частности, если базис – ортонормированный, т.е. то в силу , получаем
Это равенство формально можно переписать в виде
Если ввести в рассмотрение третий вектор и вычислить смешанное произведение векторов, то получаем:
с учетом свойства равенства нулю смешанного произведения компланарных векторов. Отсюда следует, что
или, формально можно записать
Если рассматриваемый базис ортонормированный, то
70. Двойное векторное произведение.
Определение 18. Двойное векторное произведение векторов , , это произведение вида .
Выразим двойное векторное произведение через скалярное.
Пусть и . Тогда, в силу лежит в плоскости векторов и . Умножим это равенство скалярно на . Имеем .
Пусть вектор не перпендикулярен одновременно векторам и (в противном случае в обоих случаях). Тогда , такое что , .
Тогда
.
Для того, чтобы найти , вычислим левую и правую части в некотором базисе. Пусть вектор направлен вдоль вектора , лежит в плоскости векторов и , определяется из условия, что , , образуют правую тройку. Тогда , , .
Имеем
, .
.
.
Отсюда видно, что . Итак, справедлива формула:
.
Пример 1. Доказать тождество Якоби:
.
Имеем
,
,
.
Суммируя эти равенства, получим тождество Якоби.
Пример 2. Вычислить .
Имеем:
()
.
80. Примеры решения задач.
Пример 1. Вычислить синус угла между векторами , .
Имеем: . . .
Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , . Так как модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, то имеем
.
Если параллелограмм расположен в плоскости, то и
.
Пример 3. Вычислим высоту тетраэдра, построенного на векторах , , . Имеем
. Но
.
PAGE 111
A
B
a
a
b
b
a
b
c
a
b
λb
λa
a
b
a
b
a-b
B
a
b
A
C
c
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
L
L
l
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
B
A1
B1
B2
а)
A
B
A1
B1
B2
б)
l
a
b
l
a
b
O
A
a
E
D
d
C
c
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
B
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
b
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3