Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
В современной радиотехнике широко используются различные волновые электромагнитные процессы (например, направляемые волны в разнообразных линиях передачи и линейных устройствах, излучение и прием радиоволн антеннами, распространение этих волн в среде между антеннами и др.) Их многообразные свойства и особенности могут быть рассмотрены только при помощи законов электродинамики. Техническая электродинамика как раз и занимается изучением этих законов исследованием на их основе технических устройств, в которых применяются различные способы управления электромагнитными процессами.
В учебном пособии cистематизированно и подробно рассматриваются основные положения электродинамики, на их базисе исследуются разнообразные линейные устройства, широко используемые в электросвязи и радиотехнике, в частности регулярные волноводы и устройства СВЧ, обсуждается практическое применение этих устройств. Особое внимание уделяется четкому и последовательному введению системы понятий электродинамики и физической интерпретации получаемых результатов.
1. Интегральные и дифференциальные уравнения электростатического поля
1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯДОВ. ЗАКОН КУЛОНА
Пусть в некотором объеме V, ограниченном поверхностью S сосредоточен совокупный электрический заряд q, так как диаметр электрона, как элементарного отрицательного заряда, составляет порядка 5,6 10–13 см, то даже в самом малом объёме, который доступен наблюдателю, содержится большое число элементарных зарядов. Можно считать, что в рассматриваемом объёме V элементарные заряды распределены не дискретно, а непрерывно с объёмной плотностью
, Кл/м3. (1)
Если совокупный заряд q распределен по поверхности S, то говорят о поверхностной плотности зарядов
, Кл/м2. (2)
Иногда бывают заданы законы распределения величин и , тогда совокупный заряд q определяется как
, Кл. (3)
, Кл. (4)
В самом простом случае совокупный заряд q характеризуется постоянством во времени, т.е. dq/dt = 0 и неподвижностью в пространстве
v = 0, где v – скорость перемещения совокупного заряда q. Такой заряд создаёт так называемое электростатическое поле.
Закон Кулона
Пусть два неподвижных, постоянных во времени точечных заряда разнесены в пространстве (в вакууме) на расстояние r. Понятие «точечный заряд» условно. Говоря о точечных зарядах, предполагают, что размеры тел, на которых распределены заряды q и qВН, значительно меньше расстояния r. Взаимодействие между зарядами характеризуется законом Ш. Кулона (1785 г.) в вакууме
, H или КлВ/м (5)
где 0 = 1/3610–9, Ф/м – электрическая постоянная.
Единичный вектор ориентирован от источника силового поля , т.е. заряда q к точке наблюдения М, т.е. к заряду qВН. Если заряд q и qВН одного знака, то сила , действующая на заряд qВН, будет совпадать с вектором , т.е. будет наблюдаться отталкивание зарядов. Если заряды разного знака, они будут притягиваться.
1.2. НАПРЯЖЁННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПОТЕНЦИАЛ
Для характеристики силового воздействия поля заряда q вводится понятие напряженности электростатического поля как силы, действующей на единичный положительный заряд qВН
, В/м (6)
или с учётом выражения (5)
, В/м (7)
Учитывая сказанное выше, можно показать, что вектор всегда направлен от положительного заряда к отрицательному заряду или в бесконечность.
(Электрическое поле, созданное зарядом q в окружающем пространстве, имеет силовую и энергетическую характеристики – напряженность поля и потенциал ).
Сначала вспомним некоторые разделы математики, которые потребуются нам в будущем.
Градиент скалярной функции (r) – векторная величина, определяемая как
grad(r) = = ,
где = – оператор (набла) в прямоугольной системе координат.
Другими словами, градиент скалярной функции (r) в любой точке М(r) есть вектор, нормальный к поверхности уровня в данной точке и направлен в сторону наибольшего возрастания функции, численно равный её производной по нормали к поверхности, т.е.
grad(r) = .
2. Дивергенция векторной функции – скалярная величина, определяемая как
div. (8)
Геометрический смысл дивергенции заключается в том, что дивергенция (расходимость) поля есть предел отношения потока векторного поля через замкнутую поверхность, окружающую данную точку М, к объёму V, ограниченному этой поверхностью, когда она стягивается к точке. Если дивергенция отлична от нуля, то физически это значит, что в рассматриваемой точке имеются источники поля () или его стоки (). Если , то в рассматриваемой точке поля отсутствуют источники и стоки поля.
3. Ротор (вихрь) векторной функции есть векторная величина, определяемая как
. (9)
Ротор характеризует степень завихрённости векторного поля в точке М(r).
Вихревые линии любого векторного поля обладают тем свойством, что они нигде не начинаются и нигде не кончаются, так как
.
Чтобы определить свойства электростатического поля, описываемого равенством (7), необходимо определить дифференциальные характеристики поля в точке: , . Если в каждой точке поля:
Если в каждой точке поля:
Для получения и представим выражение (7) в виде
, (10)
где .
После соответствующих вычислений, которые необходимо провести самостоятельно (оставить для этого 0,5...1 страничку), получим, что для электростатического поля одиночного заряда вне его
= 0, = 0. (11)
Что это означает:
1. Из первого равенства следует, что поле потенциальное, вектор является градиентом скалярного поля, называемого потенциалом электростатического поля, т.е.
. (12)
2. В потенциальном поле работа сил поля по перемещению вносимого заряда определяется только разностью потенциалов исходной и конечной точек, и не зависит от формы пути.
3. Поле соленоидальное, т.е. в точках, не принадлежащих области V линии напряженности электростатического поля непрерывны, а это значит, что в этих точках источники поля отсутствуют.
Теперь остановимся более подробно на равенстве (12).
Установлено, что в электростатическом поле имеет место равенство (12). Определим выражение для , так как , то предположим, что и , тогда
, (13)
где .
Поскольку выражение для известно, приравнивая выражения (7) и (13) и найдя первообразную, определим как
, В. (14)
Знак « » в выражении (12) учитывает, что вектор направлен от «+» к «–», а grad направлен в сторону увеличения потенциала. Линии равных потенциалов (эквипотенциали) образуют своеобразные энергетические уровни.
2. ПОЛЕ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
Пусть имеется система, состоящая из N зарядов. Поле в точке М будет определяться как векторная сумма полей каждого из зарядов
, (15)
а потенциал, соответственно,
. (16)
Рассмотрим простейший случай системы зарядов. Электрически нейтральные атом и молекула при появлении электрического поля поляризуется, т.е. происходит смещение отрицательно заряженных частиц (электронов) против внешнего поля, а положительно заряженных ядер – вдоль т.е. электрически нейтральная частица становится диполем.
В сферической системе координат рассмотрим систему, состоящую из двух различных зарядов, отстоящих на расстоянии l друг от друга.
В соответствии с выражением (16), определим потенциал в точке М. Запишем
. (17)
r2= r – l / 2cos, r1= r + l / 2cos (18)
Подставляем в (17), и считая, что (l/2 cos)2<<r2, получим,
. (19)
Произведение q на l определяет модуль электрического момента диполя и является величиной векторной, направленной от «–q» к «+q»:
, (20)
где – единичный вектор. Для того, чтобы записать выражение для вектора в сферической системе координат, вспомним, что
,
и учитывая, что = f(, r) запишем
, В/м. (21)
2.1. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА,
МАТЕРИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Поле объёмных зарядов
Пусть заряды расположены в некотором объёме не дискретно, как было в предыдущем случае, а непрерывно с объёмной плотностью .
В этом случае потенциал в точке М, если использовать выражения (3) и (14), запишется
, (22)
а , = 0, = 0 для точек поля, не принадлежащих области V.
Во всех предыдущих случаях мы рассматривали ситуацию, когда по известному распределению заряда определялось поле – так называемая прямая задача. Иногда необходимо решать обратную задачу - найти закон распределения заряда по заданному полю.
Пусть в объёме V распределен электрический заряд q с объемной плотностью . Известно электростатическое поле, создаваемое этим зарядом. Определить закон распределения заряда в области V. Окружим V замкнутой поверхностью S. Для этого обратимся к закону Гаусса
, (23)
согласно которому поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность S, охватывающую совокупный заряд q, пропорционален величине этого заряда.
С учётом соотношения (3) закон Гаусса можно записать
. (24)
Обратимся к теореме Остроградского-Гаусса, которая непосредственно вытекает из определения дивергенции и согласно которой
(25)
поток вектора напряжённости электростатического поля через замкнутую поверхность, ограничивающую объём V, равен расхождению поля из этого объёма.
Приравнивая левые части равенств (24) и (25)
, (26)
откуда
. (27)
Данное уравнение дает возможность решать обратную задачу. Если известен закон изменения потенциала , уравнение (27) принимает вид:
div(–grad) = /0 – уравнение Пуассона, (28)
иначе записывается
2 = –/0, или .
При нулевой правой части, т.е. для точек вне рассматриваемого объема уравнение приобретает вид уравнения Лапласа. Решение уравнения (28) имеет вид (22).
Электростатическое поле в диэлектрике
(Электрическая индукция). Материальные уравнения
Все предыдущие рассуждения мы проводим для случая, когда заряд находится в вакууме. Рассмотрим реальный случай, когда окружающая среда – диэлектрик.
При внесении в электростатическое поле с вектором напряженности диэлектрика, в последнем наблюдается явление поляризации. Физическая сторона этого явления следующая: диэлектрик содержит в себе «связанные» заряды, т.е. связанные с данным веществом молекулярными силами и неотделимые от него.
При воздействии внешнего поля связанные заряды диэлектрика перемещаются так, что их собственное поле компенсирует действие внешнего поля . Результирующее поле
. (29)
Поскольку поле связанных зарядов вызвано потенциальным полем, то и оно, и результирующее поле, потенциальны, т.е.
= 0; = 0; = 0;
; ,
где – вектор электрической поляризации или поляризованность единицы объема вещества.
Выясним, чему равно расхождение вектора (электрические заряды не только создают электростатическое поле в окружающем их пространстве, но и поляризуют его)
или . (30)
Выражение – вектор электрической индукции или вектор электрического смещения.
Таким образом
. (31)
Для линейных (Линейной называется среда, свойства которой не зависят от величины напряженности поля (воздух, фторопласт). Однородная – параметры среды а, а одинаковы во всех ее точках. Изотропная – физические свойства её одинаковы по всем направлениям в каждой точке) однородных изотропных сред справедливо
kЭ, (32)
где kЭ – диэлектрическая восприимчивость вещества; kЭ 0 – абсолютная восприимчивость.
Подставляя (32) в выражение для , получим
kЭ, (33)
где 1 + kЭ = – относительная диэлектрическая проницаемость среды; 0 = а – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды.
Тогда
, Кл/м2 (34)
Уравнения (33), (34) называются материальными уравнениями. Они описывают макроскопические свойства вещества при воздействии на них электромагнитных полей.
2.2. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Электростатическое поле зарядов, распределённых с объёмной плотностью в объёме V, обладает запасом энергии
, Дж (35)
или
, Дж (36)
Последнее выражение показывает, что энергия электростатического поля распределена в пространстве, окружающем объём V, причем объемная плотность энергии равна
, Дж/м3 (37)
для изотропной среды
, Дж/м3.
3. магнитное поле
3.1. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.
ВЕКТОР ПЛОТНОСТИ ТОКА
Постоянный электрический ток – упорядоченное движение электрически заряженных частиц.
Рассмотрим некоторый проводник и выделим в нём объём V, ограниченный поверхностью S. Если величина заряда внутри этого объема q меняется во времени, то согласно закону сохранения заряда это может происходить за счёт того, что заряженные частицы пересекают поверхность S, т.е. через границу S течёт ток. Сила тока – скорость изменения заряда q в объёме V со временем, взятая с обратным знаком
. (1)
Знак «–» означает, что ток направлен против движения электронов.
Так как сила тока I – скаляр, она не даёт исчерпывающей информации об электрическом токе. Введём понятие вектора плотности электрического тока проводимости j или плотности тока
.
1. Ориентация совпадает с направлением движения положительных зарядов, т.е. совпадает с вектором внешнего поля.
2. Модуль равен силе тока положительных зарядов, пересекающих единичную поверхность, перпендикулярную направлению их движения (рис. 1).
3.2. ЗАКОН ОМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ.
УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Закон Ома в дифференциальной форме (для участка цепи)
Определим связь между вектором плотности и вектором напряженности в точке. Рассмотрим прямолинейный участок внешней электрической цепи в виде однородного проводника постоянного сечения. Модуль равен , откуда
Сопротивление проводника R равно ,где – удельная проводимость, См/м. Тогда
, (3)
но , откуда . Тогда (3) можно записать в виде , или
. (4)
Эти выражения – закон Ома в дифференциальной форме для участка внешней цепи.
Закон Ома для полной цепи. Если рассматривать всю замкнутую цепь, ток направлен от отрицательного электрода к положительному, т.е. против электрического поля, т.е. в пространстве между этими электродами закон Ома (4) не выполняется. Это может иметь место только в том случае, если имеется какая-либо дополнительная сторонняя причина, заставляющая двигаться частицы в сторону, противоположную действию электрического поля. Такой причиной является стороннее электрическое поле , которое обусловлено действием внешних причин, не связанных с электрическими зарядами. Эти причины могут быть механического, химического, теплового или иного происхождения. В этом случае закон Ома запишется
. (5)
Выясним характер стороннего поля , для чего рассмотрим циркуляцию векторов плотности тока проводимости по контуру l, включающему внутренние и внешние цепи. Проинтегрируем (5) по «dl».
. (6)
так как поле постоянного тока потенциально, т.е. , то первый член в правой части этого равенства (6) равен нулю. Учтём, что полное сопротивление контура . Тогда
(7)
Этот результат показывает, что циркуляция вектора напряженности стороннего электрического поля по замкнутому контуру отлична от нуля, из чего следует вывод, что это поле не может быть потенциальным и является вихревым, т.е. .
Уравнение
представляет собой закон Ома для полной цепи (закон Ома в интегральной форме).
Уравнение непрерывности
(Закон сохранения заряда в дифференциальной форме)
Изменение заряда в объёме V, ограниченного поверхностью S, определяется силой тока I
. (8)
Данное выражение устанавливает связь между интегральными характеристиками – силой тока и совокупным электрическим зарядом q в объёме V, ограниченном поверхностью S.
Нельзя ли установить подобную связь в дифференциальной форме, т.е. в точке (иными словами связь между плотностью тока и объемной плотностью заряда )?
Исходя из определения плотности тока проводимости , можно записать
или согласно теореме Гаусса-Остроградского
. (9)
Приравняем правые части (8) и (9)
, тогда (10)
Это дифференциальное уравнение в частных производных называется уравнением непрерывности и может рассматриваться как математическая формулировка закона сохранения заряда для бесконечно малого объема. В общем случае это уравнение показывает, что расхождение вектора плотности тока проводимости отлично от нуля только там, где имеется изменяющийся во времени заряд, который определяется объемной плотностью .
Так для постоянного тока , что говорит о том, что линии постоянного тока замкнуты. Из этого выражения может быть получен 1-й закон Кирхгофа, согласно которому сумма токов в проводниках, сходящихся к разветвлению, равна нулю.
3.3. ЗАКОН АМПЕРА. МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Подобно тому, как вокруг неподвижных зарядов существует электрическое поле, вокруг проводников с током или движущихся зарядов существует магнитное поле.
Свойства магнитного поля рассмотрим для случая постоянного тока.
Пусть в вакууме расположены два элемента тока . Под элементом тока понимают тонкий отрезок проводника с током, длина которого значительно меньше расстояния до точки наблюдения, а направление совпадает с направлением вектора плотности тока. Все обозначения Вам известны, кроме – вектор элемента тока, совпадающий с направлением вектора плотности тока (рис. 2). Согласно закону Ампера первый элемент тока будет действовать на внешний элемент тока с силой
(11)
где – магнитная проницаемость среды (вакуума).
Выражение в квадратных скобках характеризует силовое действие элемента тока на единичный вносимый элемент тока dlвн. и определяет, согласно закону Био-Савара-Лапласа вектор магнитной индукции
. (12)
Для контура постоянного тока длиной L и сечением S вектор магнитной индукции в любой точке пространства определяется
. (13)
Можно показать, что
, (14)
где – векторный потенциал магнитного поля, равный
, (15)
аналогично тому, как было показано для скалярного потенциала электростатического поля, для вектора справедливо
, (16)
т.е. удовлетворяет уравнению Пуассона.
Выясним характер стационарного магнитного поля:
Из векторного анализа известно, что
(17)
магнитное поле постоянного тока соленоидально – т.е. магнитные силовые линии всегда замкнуты, источников магнитного поля, на которые они замыкаются, в пространстве нет. Силовые линии электрического поля начинаются и оканчиваются на электрических зарядах.
Определим значение
Для постоянного тока . Тогда
(18)
магнитное поле постоянного тока вне проводника () потенциально, так как
. (19)
3.4. НАПРЯЖЁННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
При отсутствии магнитного поля стороннего источника в намагниченных средах магнитное поле создаётся только молекулярными токами. При этом молекула в целом остаётся электрически нейтральной. При введении в среду внешнего магнитного поля создается результирующее поле
. (20)
Поскольку вакуумное магнитное поле молекулярных токов вызвано соленоидальным полем, то и оно и результирующее поле соленоидально, т.е.
Кроме того
где – вектор плотности молекулярных токов (или вектор плотности магнитных токов), определяемый как – вектор намагниченности или намагниченность единицы объёма вещества.
Выясним, чему равна циркуляция вектора .
или
(21)
Выражение, стоящее под знаком ротора – вектор напряжённости магнитного поля.
Таким образом,
(22)
Для изотропных сред справедливо,
(23)
где kЭ – магнитная восприимчивость вещества.
Подставляя (23) в выражение для, получаем
, (24)
где – относительная магнитная проницаемость среды; – абсолютная магнитная проницаемость среды. Уравнение (24) также называется материальным по аналогии с электростатическим полем, так как описывает макроскопические свойства вещества в магнитном поле.
Тогда
. (25)
Уравнения (24), (25) также называется материальным по аналогии с электростатическим полем, так как описывает макроскопические свойства вещества в магнитном поле.
3.5. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ РАМКИ С ПОСТОЯННЫМ ТОКОМ
Простейшим источником МП постоянного тока в природе является электрон, вращающийся с постоянной скоростью вокруг ядра. Орбита электрона образует элементарную рамку.
Элементарная рамка – плоский замкнутый контур, выполненный из тонкого проводника длиной, много меньший расстояния до точки наблюдения, с постоянным током (рис. 3).
Поместим рамку в сферическую систему координат подобно тому, как это было сделано при рассмотрении диполя (рис. 4).
Магнитное поле в точке М(r >> 2πa) определится как
. (26)
Данное выражение имеет ту же структуру, что и для электрического диполя, поэтому элементарную рамку еще называют магнитным диполем. По аналогии с диполем здесь вводится понятие магнитного момента
, (27)
где – вектор нормали к плоскости рамки, направление которого определяется как (правило буравчика).
3.6. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Магнитное поле обладает запасом энергии
(28)
распределённым с плотностью
(29)
Для изотропных сред
(30)
4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И ИХ РЕШЕНИЕ
ЭМП – это вид материи, оказывающий силовое воздействие на заряженные частицы, характеризуемый неразрывно связанными друг с другом и меняющимися во времени электрическим и магнитным полями. Используя знания основных уравнений электрического стационарного поля и магнитного поля постоянного тока, получим полную систему уравнений Максвелла (англичанин, 1831 – 1879. В 1857 – труд «О фарадеевских силовых линиях»).
Уравнения Максвелла – основа описания любых электромагнитных полей во всевозможных устройствах, поэтому знание этих уравнений – фундамент для грамотной эксплуатации радиоэлектронных средств.
4.1. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА.
ИХ ФИЗИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ.
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Рассмотренные нами поля: – ЭЛСТ, создаваемое неподвижными и неизменными во времени зарядами (, ); стационарное МП постоянного тока ( ), являются частными случаями электромагнитного поля (ЭМП) (рис. 1).
Ясно, что уравнения для ЭЛСТ поля и уравнения для стационарного МП должны вытекать из некоторых обобщенных уравнений, справедливых для ЭМП в целом. Следовательно, необходимо получить систему уравнений, описывающих ЭМП заряженных частиц, состояние которых характеризуется скоростью их движения v и величиной заряда, являющегося функцией времени, т.е. .
Заметим сразу, что полный вывод уравнений Максвелла мы опускаем. Оставим только отправные точки и конечный результат.
Исходя из уравнения непрерывности , и учитывая, что, например, в диэлектрике помимо тока проводимости присутствует также ток смещения, можно получить первое уравнение Максвелла (I УМ)
,
устанавливающее связь между переменным во времени электрическим полем и возникающим вокруг него магнитным полем.
Физический смысл: МП возникает не только при движении зарядов, когда имеет место ток проводимости, но и при наличии изменяющегося во времени электрического поля.
Второе уравнение Максвелла (II УМ) вытекает из закона ЭМ индукции Фарадея (1831 г.)
согласно которому, если через поверхность, ограниченную проводящим контуром , проходит меняющийся во времени магнитный поток Ф, то в контуре возникает ЭДС индукции. II УМ имеет вид:
.
Физический смысл: В ЭМП электрическое поле является вихревым. Причиной ЭП, помимо электрических зарядов, является изменяющееся во времени МП.
Итак, полная система дифференциальных уравнений, описывающих ЭМП, включает в себя следующие уравнения:
Вспомогательные уравнения:
Интегральная форма уравнений максвелла
Интегральным аналогом первого уравнения Максвелла является так называемый закон полного тока или теорема циркуляции (Циркуляция вектора по замкнутому контуру интегрирования равна полному току, протекающему через площадь, охваченную контуром интегрирования).
.
Физический смысл: Токи смещения наравне с токами проводимости образуют магнитное поле. Закон изменения ЭП во времени определяет закон распределения МП в пространстве.
Интегральным аналогом второго уравнения Максвелла является закон электромагнитной индукции
Физический смысл: Переменное магнитное поле образует вихревое электрическое поле. Закон изменения МП во времени определяет закон распределения ЭП в пространстве.
Интегрируя 3-е уравнение Максвелла по объему и, применяя формулу Остроградского-Гаусса, получим:
Это равенство называется теоремой Гаусса: поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность определяется электрическим зарядом q, содержащимся в объеме V, ограниченном поверхностью S.
Подобным образом получим интегральную запись последнего уравнения Максвелла
,
выражающую непрерывность линий магнитной индукции. Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме имеет вид:
Отметим, что уравнения Максвелла в дифференциальной форме справедливы лишь тогда, когда параметры среды либо не зависят от координат, либо являются непрерывными функциями их. Уравнения Максвелла в интегральной форме применимы во всех случаях, включая и те, когда параметры среды, или хотя бы один из них, изменяются скачками.
2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА, ВОЛНОВЫХ
УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Впервые предположение о том, что ЭМ возмущения носят волновой характер, было высказано Фарадеем в 1832 г. Теоретическим подтверждением предположения Фарадея о существовании ЭМВ послужила система уравнений Максвелла.
В настоящее время известно, что если какое-либо явление описывается волновым уравнением Даламбера
, (1)
то его решение
, (2)
представляет собой пару бегущих волн, распространяющихся соответственно вдоль и против с постоянной скоростью v. Физический смысл имеет только первое слагаемое, то есть
(2а)
Это уравнение описывает функцию, изменение которой происходит не моментально, а через время задержки tз =r/v. Эта функция является запаздывающей. Распространение электромагнитного поля происходит не моментально, а с задержкой. Эти положения теории дальнего действия на основе ограничений Зоммерфельда получили название теоремы запаздывающих электродинамических потенциалов.
Рассмотрим первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме. Применив операцию rot к обеим частям этого уравнения, используя формулы векторного анализа и принимая во внимание 2 и 4 уравнения Максвелла, получим
. (3)
Аналогично можно показать, что (из II УМ)
. (4)
Для пространства, свободного от зарядов и токов ( = 0, j = 0), эти уравнения преобразуются к виду
(5, 6)
т.е. переходят в однородные волновые уравнения.
Уравнения (3)...(6) имеют вид (2) и носят волновой характер. Сравнивая (3...6) с (1), можно записать, что .
С этого момента мы имеем право говорить об ЭМ волнах, которые распространяются в пространстве со скоростью
.
Рассмотрим основную задачу электродинамики.
Пусть в некотором объеме задано распределение токов и зарядов, и необходимо определить ЭМП, создаваемое ими. Для этого необходимо решить систему уравнений Максвелла относительно H и E, или, что то же самое, векторные волновые уравнения (3,4) или (5,6). Каждое из этих уравнений распадается на систему из трех скалярных, поэтому общий объем требуемых рассуждений и выкладок оказывается довольно громоздким. Более просто определить H и E с помощью, так называемых электродинамических потенциалов φ и .
Известно, что для электростатического поля
, (7)
а для магнитного поля постоянного тока
. (8)
Очевидно, для ЭМП эти соотношения видоизменяются. Определим их.
Учитывая (8), второе УМ можно записать
,
или
.
Тогда по аналогии с тем, как мы поступили при рассмотрении свойств электростатического поля, и учитывая, что ЭЛСТ поле - частный случай ЭМП, можно записать
, (9)
Откуда
аналогично .
Из этого равенства следует, что электрическая составляющая ЭМП одновременно связана со скалярным φ и векторным потенциалами. Т.е. зная и , можно определить Е и Н в соответствии с выражениями (8) и (9).
К дальнейшему упрощению приводит введение потенциала Герца на основе уравнений связи .
Вектор Герца Г также удовлетворяет векторному волновому уравнению
.
Если вектор Герца Г найден, то Е и Н определяются
, ,
Потенциалы и А, входящие в решение, удовлетворяют уравнению (2а), поэтому называются запаздывающими потенциалами.
Таким образом, можно решить основную задачу электродинамики, зная скалярный и векторный потенциалы и вводя вспомогательный вектор Герца.
3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
Будем рассматривать гармонические ЭМП, создаваемые гармоническими токами и зарядами. В средствах радиосвязи используются узкополосные радиосигналы, модели которых в радиотехнике принято считать квазигармоническими узкополосными сигналами. Их записывают в гармонической форме.
Для анализа таких колебаний удобно воспользоваться символическим методом. Согласно этому методу, гармоническая функция a=Amcos(t-), где a- мгновенное значение функций; Am – амплитуда; – угловая частота; - начальная фаза, может быть заменена комплексной
где – комплексная амплитуда.
Запишем мгновенное значение для векторов в комплексной форме
Подставим их в уравнения Максвелла
– I УМ в комплексных амплитудах.
Аналогично
– II УМ в комплексных амплитудах.
Однородные волновые уравнения
где – коэффициент распространения (волновое число).
4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
До сих пор мы вели речь о неограниченной среде. Необходимо рассмотреть условия и особенности распространения ЭМВ на границе сред с различными параметрами.
В каждой из сред справедливы уравнения Максвелла. Однако скорости распространения ЭМВ в различных средах различны. Это приводит к появлению некоторых особенностей, которые нам следует установить (рис. 2).
Рис. 2
На рис.2. изображена граница раздела двух сред с различными электрическими параметрами. Для примера показано разложение вектора напряженности электрического поля на тангенциальную (касательную к границе раздела) и нормальную (перпендикулярную к границе раздела) составляющие.
Первая теорема (о тангенциальных составляющих векторов E и D):
На границе раздела двух сред тангенциальные составляющие векторов напряженности электрического поля непрерывны E1=E2 , а тангенциальные составляющие векторов электрической индукции претерпевают скачок, определяемый отношением диэлектрических проницаемостей среды
Вторая теорема ( о нормальных составляющих векторов E и D):
На границе раздела двух сред нормальные составляющие векторов электрического смещения непрерывны Dn1=Dn2 , а нормальные составляющие векторов электрического поля претерпевают скачок, определяемый отношением диэлектрических проницаемостей сред
Третья теорема (о тангенциальных составляющих векторов H и B):
На границе раздела двух сред тангенциальные составляющие векторов напряженности МП непрерывны H1=H2 ,а тангенциальные составляющие векторов магнитной индукции претерпевают скачок, определяемый отношением магнитных проницаемостей сред.
Четвертая теорема (для нормальных составляющих векторов H и B):
Пятая теорема (Г.У. для векторов ЭМП при наличии на поверхности свободных зарядов):
Если по поверхности равномерно распределенные заряды с поверхностной плотностью S, то
Наличие поверхностного тока, вызванного свободными зарядами, величина которого jS , вызывает скачок
.
На поверхности идеального проводника ( = )
Тогда поведение силовых линий у поверхности идеального проводника показано на рис.3.
У поверхности идеального проводника силовые линии напряженности электрического поля нормальны поверхности проводника. Силовые линии напряженности магнитного поля касательны к поверхности идеального проводника.
Рис.3
5. ТЕОРЕМА УМОВА-ПОИНТИНГА. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА ПОДОБИЯ. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Пусть задан источник ЭМ излучения, характеризуемый мощностью P (или сторонней ЭДС Естор). Окружим его поверхностью , ограничивающей объем V. ЭМП источника, как и любой другой вид материи, обладает энергией. Определим, на что она расходуется. С излучением электрического и магнитного полей со временем плотность электрической энергии wэ= 1/2aE2 и
плотность магнитной энергии wм= 1/2aH2 меняется. Выясним, что происходит с общим запасом энергии ЭМП, сосредоточенном в объеме с течением времени:
, (10)
где W- энергия ЭМП; w- объемная плотность энергии ЭМП.
. (11)
Для решения поставленной задачи продифференцируем ( 10) по
времени ;
. (12)
Из 1 уравнения Максвелла , следует
Из 2 уравнения Максвелла , следует
Тогда (12а)
Используя известное тождество , получим
. (12б)
С учетом стороннего источника энергии (12б) примет вид
(12в)
Подставим это выражение под знак интеграла
. (13)
Рассмотрим, что из себя представляет каждый член выражения (13):
1. Для первого из них справедлива теорема Остроградского-Гаусса
. (14)
Правая часть (14) представляет собой энергию, проходящую через поверхность в единицу времени, т.е. излучающую энергию. Векторное произведение определяет количество энергии, протекающей в единицу времени через единичную площадку, нормальную к вектору, а направление характеризует направление переноса ЭМ энергии. Это векторное произведение обозначают и называют вектором Умова-Пойнтинга (вектор плотности потока мощности).
2. Второй интеграл равенства (13) представляет собой мощность потерь на нагревание среды с проводимостью и обозначается Pп.
3. Последнее слагаемое (13) характеризует мощность стороннего
источника P, создающего ЭМП в объеме V.
Таким образом
,
или . Это уравнение называют теоремой Умова-Пойнтинга. Итак, развиваемая источником стороннего ЭМП мощность расходуется
на увеличение запаса энергии ЭМП внутри объема V;
на потери, связанные с нагревом среды;
на излучение, связанное с распространением ЭМ энергии за пределы V, и характеризуемое вектором П. В частности, если мощность, развиваемая источником, компенсирует потери, то запас энергии в объеме остается постоянным, и излучаемая мощность определяется по формуле . Теорема Умова-Пойнтинга также называется уравнением баланса мощностей.
ТЕОРЕМА ПОДОБИЯ
В простейшем виде она формулируется следующим образом. Конкретного типа излучатель, расcчитанный на работу с колебаниями частоты f1 и обладающий определенными параметрами, не изменит их, если при переходе на новую частоту колебаний f2 =nf1 , где n - действительное число, в n раз изменить его геометрические размеры, удельную проводимость материала при сохранении электрической и магнитной проницаемости материала излучателя и среды.
Это означает, что при n>1, размеры излучателя необходимо уменьшить, а удельную проводимость материала, из которого он изготовлен, увеличить в n раз. Действительное число n называют коэффициентом масштабного пересчета.
На основании теоремы подобия производится моделирование антенных устройств. Следует учитывать, что требование изменения удельной проводимости материала часто невозможно реализовать, поэтому необходимо изменение тех параметров, которые не связаны с удельной проводимостью.
Теорема подобия (принцип электродинамического подобия), являющаяся следствием линейности уравнения Максвелла, позволяет широко использовать моделирование реальных систем в лабораторных условиях.
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Граничная задача - некоторая основная задача электродинамики (нахождение поля по заданным источникам), при которой известны граничные условия и то, что поле удовлетворяет уравнениям Максвелла.
Для внутренней и внешней граничных задач можно показать для монохроматического поля, что двух или более различных решений, каждое их которых удовлетворяет уравнениям Максвелла и граничным условиям, быть не может – существует только единственное решение (теорема единственности решений уравнений Максвелла).
Пусть имеем объем V0, ограниченный поверхностью S, состоящей из поверхностей S0, S1, S2 (рис.4). Среда в объеме – линейна, неоднородна и изотропна. В области Vи, находящейся в объеме V0, заданы сторонние токи частотой w, возбуждающие поле. На поверхности S заданы граничные условия, причем на части поверхности (например, на S0) заданы граничные условия для Et, а на оставшейся части поверхности, например для S1 и S2 – только для Нt; pV0.
Доказательство теоремы проведем от противного. Предположим, что существует два решения поставленной задачи: E1, Н1 и E2, Н2. Они удовлетворяют уравнениям Максвелла. При одинаковых сторонних токах и одним и тем же граничным условиям. Тогда разность этих решений Е'=E1 - E2 и Н'=Н1 - Н2 удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла rotH'=iweaE' ; rotE'=-iwmaH' и однородным граничным условиям на поверхности S: H't=0 E't=0.
Для внутренней граничной задачи объем V0 конечен. Если в среде есть потери g0, решение будет единственным. В противном случае решений бесконечно много (соответствует незатухающим колебаниям в объемном резонаторе).
Для внешней задачи объем V0 бесконечен. Эта задача описывает излучение энергии заданным источником. Решение – расходящиеся от источника волны (при выполнении условия А. Зоммерфельда).
Таким образом, уравнения Максвелла полностью описывают ЭМП и позволяют решить задачу по определению составляющих поля. Граничные условия позволяют находить компоненты ЭМП в разных граничащих средах, зная параметры среды. Основные теоремы электродинамики позволяют определить расход энергии на распространение радиоволн и возможность проведения экспериментов с моделями, а не с реальными объектами.
5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
1. ПОНЯТИЕ ВОЛНОВОГО ПРОЦЕССА
Слова "волна" и "волновой процесс", употребляемые в радиотехнике, получили широкое распространение ввиду наглядности их прообраза - всем знакомых волн на поверхности воды. Под распространением волны понимается постепенное вовлечение среды в некоторый физический процесс, приводящее к передаче энергии в пространстве.
Предположим, что в пространстве существует некоторый физический процесс, и для простоты рассмотрим зависимость его только от одной координаты z . Функция, описывающая процесс:
(1)
где v - скорость распространения процесса в среде (построена на рис.1).
Говорят, что функция (1) описывает волну.
В общем случае электромагнитное поле и удовлетворяющее уравнениям Максвелла, называется волной, если и можно представить как функцию времени t и некоторого пространственного аргумента
Если положить
,
то уравнение
определит в пространстве некоторую поверхность, которая применительно к электромагнитному полю может быть названа поверхностью равных фаз. Если эта поверхность представляет собой в пространстве плоскость, то такая электромагнитная волна называется плоской. Если поверхность представляет собой сферу или цилиндр, то волны могут быть названы сферическими или цилиндрическими.
2. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Фазовый фронт ЭМВ различных излучающих устройств (систем) в зависимости от конструкции антенных систем может иметь различные формы. На расстояниях от источника, значительно больших длины волны излучаемых колебаний и линейных размеров источника, считают сферическим, а сам источник - точечным. В этом случае на приемной стороне, в пределах линейных размеров приемных устройств (антенн) фронт волны будет плоским (см. рис.2).Электромагнитная волна с плоским фазовым фронтом называется плоской ЭМВ.
Рассмотрим свойства плоской ЭМВ. Введем прямоугольную систему координат и рассмотрим в ней участок плоской поверхности фазового фронта ЭМВ (рис.3).
Уравнение плоскости имеет вид:
. (1)
Если учесть, что
, (2)
то
. (3)
Известно, что нормаль к фазовому фронту определяет направление распространения ЭМВ, поэтому вектор нормали совпадает с направлением распространения плоской волны. Проекции вектора удовлетворяют условию .
Источником плоской ЭМВ может быть излучатель с параллельными лучами, излучающий гармонические колебания
. (4)
Для точки М неограниченного однородного пространства должно быть справедливо однородное волновое уравнение
, (5)
где .
Уравнение (5) предполагает, что . В нашем случае .
Определим однородное волновое уравнение, которому удовлетворяет
плоская ЭМВ
. (6)
Рассматривая аналогично другие слагаемые равенства (6) и учитывая,
что модуль единичного вектора нормали , получим
. (7)
Уравнение (7) - однородное волновое уравнение, и его решение, с учетом отсутствия отраженных волн, имеет вид
. (8)
Итак, для плоской электромагнитной волны получено решение волнового уравнения, имеющее огромное практическое значение для всех областей радиотехники, занимающихся распространением радиоволн в различных средах.
3. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ВЕКТОРОВ Е И Н
Определим пространственную ориентацию векторов ,, для плоской волны. Для этого установим связь между векторами векторного произведения
. (9)
1. Найдем связь между векторами Е и Н. Обратимся к 2-му уравнению Максвелла для плоской ЭМВ и используем общее выражение решения волнового уравнения для плоской ЭМВ
. (10)
Раскроем левую часть этого равенства, используя справочные формулы для преобразований векторной алгебры
, поэтому первое слагаемое обращается в ноль.
.
Тогда
.
Откуда
(11 )
Это равенство справедливо и для комплексных амплитуд, для мгновенных значений и говорит о взаимной перпендикулярности векторов Е и Н.
Амплитудная связь имеет вид
, ( 12)
где - волновое сопротивление, которое для свободного пространства равно .
Волновое (характеристическое) сопротивление – коэффициент, связывающий амплитуды напряженности электрического и магнитного полей через электрические параметры сред.
2. Определим векторное произведение (9)
Выясним, чему равно скалярное произведение , для чего определим дивергенцию вектора в точке, свободной от источников электромагнитного поля:
Это соотношение будет выполняться, если
, (14)
т.е. эти вектора перпендикулярны. С учетом (14) выражение (13) запишется
, ( 15)
т.е. вектор Умова-Пойнтинга совпадает с направлением вектора распространения ЭМВ n, а вектора Е и Н лежат в фазовой плоскости и взаимно перпендикулярны (рис.4).
Таким образом, вектора Е и Н взаимно перпендикулярны и лежат в фазовой (картинной) плоскости ЭМВ.
Т.к. вектора и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, то говорят, что волна - поперечная.
4. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Наряду с плоской ЭМВ в теории антенн рассматриваются цилиндрические волны, созданные некоторыми типами излучателей (например, бесконечно тонкой нитью, то есть проводом тока) (рис.5) .
В этом случае однородное волновое уравнение
аналогично уравнению (5), но используя оператор «набла квадрат» в цилиндрических координатах.
Раскрывая его, можно получить дифференциальное уравнение 2-го порядка – так называемое цилиндрическое уравнение Бесселя, решение которого при отсутствии отраженной волны записывается в виде
,
где цилиндрическая функция Бесселя 1-го рода n-го порядка.
В некоторых радионавигационных системах используются фазовые методы определения координат объектов. При этом в состав таких систем должны входить антенны, имеющие так называемый фазовый центр. Установлено, что для этого ЭМВ, излучаемая такой антенной, должна быть сферической. Примером такой антенны является симметричный вибратор, или зеркальная сферическая антенна (рис.6) с точечным облучателем.
В этом случае однородное волновое уравнение будет иметь вид:
также аналогичный уравнению (5), но используя, оператор в сферических координатах. Раскрывая его, можно получить дифференциальное уравнение 2-го порядка, так называемое сферическое уравнение Бесселя, решение которого при отсутствии отраженной волны записывается в виде
,
где – сферическая функция Бесселя 1-го рода -го порядка.
Она выражается через так называемую сферическую присоединительную функцию Лежандра.
5. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Электромагнитные волны, как и любой колебательный процесс, характеризуется амплитудой, фазой и частотой. Однако, для полного описания этих трех параметров оказывается недостаточно. Существенным параметром для волнового процесса является поляризация электромагнитных волн.
Под поляризацией понимают закон изменения направления и величины вектора Е за период колебаний.
Рассмотрим виды поляризации, для чего введем понятие плоскости поляризации.
Плоскостью поляризации называется плоскость, проведенная через вектор Е и направление распространения волны (вектор П) (рис. 7).
Если при распространении плоской волны изменение во времени вектора Е по величине и направлению не приводит к изменению ориентации плоскости поляризации в пространстве, то волна называется линейно-поляризованной. При этом поляризация называется вертикальной, если плоскость поляризации перпендикулярна плоскости XOY. Поляризация называется горизонтальной, если плоскость поляризации параллельна плоскости XOY. Другие случаи линейной поляризации описывают наклонную поляризацию. Она характеризуется углом наклона относительно плоскости XOY (рис. 8, а).
В тех случаях, когда пространственное положение плоскости поляризации изменяется, поляризация называется вращающейся.
Если вектор Е остается постоянным по величине, но вращается с угловой скоростью в картинной плоскости (перпендикулярной направлению распространения волны), то поляризация называется круговой. При этом волна считается правого вращения, если, смотря по направлению распространения волны вектор Е поворачивается по часовой стрелке. В другом случае (вращение против часовой стрелки), волна левой поляризации (рис. 8, б).
Если вектор Е за период изменяет свою амплитуду совместно с поворотом плоскости поляризации, волна называется эллиптически поляризованной (рис. 8, в).
На рис. 8 показаны также и годографы вектора Е.
Для создания волн с вращающейся поляризацией часто используют сумму двух ортогональных линейно поляризованных волн с одинаковыми частотами:
,
.
Обозначим =x-y, тогда суммируя эти два колебания, возведя в квадрат левую и правую части, получим
а б в
Рис. 8
Это уравнение кривой второго порядка.
При этом, если сдвиг фаз j=jx-jy=p/2 и амплитуды колебаний равны между собой Emx=Emy=Em, то получим уравнение окружности
,
то есть, для создания волны с круговой поляризацией можно использовать сумму двух линейно поляризованных колебаний равных амплитуд со сдвигом фаз /2.
Если взять два колебания с разными амплитудами и фазовым сдвигом /2, получим уравнение эллипса. Аналогично уравнение эллипса получается, если суммировать два линейно поляризованных колебания с одинаковыми амплитудами и фазовым сдвигом 0<j<p/2.
6. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭМВ
В ИДЕАЛЬНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ
Имея представление о параметрах распространения ЭМВ в неограниченных средах, опишем их применительно к простейшему случаю - идеальному диэлектрику. Однако, вначале введем это понятие и ряд новых определений, касающихся свойств сред и основных параметров ЭМВ в них.
1. КЛАССИФИКАЦИЯ СРЕД ПО ИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ
СВОйСТВАМ, ГРАНИЧНАЯ ЧАСТОТА
По своим электрическим свойствам среды характеризуются первичными электрическими параметрами зависимости от соотношений этих величин среды делят на:
диэлектрики;
полупроводники;
проводники.
Мы выяснили, что характеристикой среды с проводимостью является комплексная абсолютная диэлектрическая проницаемость среды , и для классификации сред надо учитывать соотношение величин и . Так
при – проводник,
при – диэлектрик,
при – полупроводник.
Отношение проводимости среды к величине называется тангенсом угла потерь
.
Поэтому класс среды может быть определен по тангенсу угла потерь:
при >10 – проводник,
при<0.1 – диэлектрик,
при 0,1<<10 – полупроводник.
На большое число материалов, применяющихся при изготовлении радиокомпонентов, величины тангенса угла потери приведены в справочной литературе.
Отсюда видно, что класс среды определяется не только первичными электрическими параметрами, но и частотой ЭМВ. Одна и та же среда при различных частотах может проходить весь диапазон классов.
Иногда вводят понятие граничной частоты, т.е. частоты, при которой токи проводимости и смещения равны:
-при - диэлектрик ;
-при - полупроводник ;
-при - проводник .
Граничная частота позволяет определить класс среды по частоте ЭМВ.
Коэффициент распространения в средах с проводимостью становится комплексной величиной и может быть представлен в алгебраической
и показательной
(1)
формах, причем
, (2)
, (3)
поэтому, представляется необходимым выразить коэффициент фазы и коэффициент затухания через параметры среды a, a, .
Для коэффициентов затухания и фазы имеют место следующие выражения
, (4а)
. (4б)
В идеальном диэлектрике .
Среды с потерями ( 0), в свою очередь, распределяются на диэлектрические, проводящие и среды, занимающие промежуточное положение. В диэлектрических средах и тем более ,
поэтому (4а) можно упростить, пренебрегая величиной . В этом случае коэффициент фазы будет определяться выражением
. (5)
Однако такое же упрощение для неприемлемо, так как обращает его в нуль, т.е. исключается возможность учета потерь на протяженных линиях радиосвязи. Более строгим подходом к реальному учету потерь в распространяющихся волнах будет использование разложения в степенной ряд, в котором достаточно ограничиться первыми двумя членами разложения
(6)
С учётом (6) формула (4б) приобретает вид
. (7)
Величина фазового сдвига соответственно будет определяться выражением
. (8)
В проводящих средах , и "единицами" в формулах (4) можно пренебречь, поэтому формулы (4а) и (4б) приобретают вид:
, (9а)
, (9б)
. (9в)
В средах, занимающих промежуточное положение между проводниками и диэлектриками, коэффициенты фазы и затухания определяются по полным формулам (5).
Таким образом, при рассмотрении распространения электромагнитных волн в конкретной среде необходимо определить класс среды (диэлектрик, проводник или среда, занимающая промежуточное положение) по величине , так как одна и та же среда с потерями может относиться к разным классам для электромагнитных волн разных частот.
В средах с потерями волновое сопротивление становится комплексной величиной
. (10)
и, соответственно, формулы поля плоской электромагнитной волны должны быть записаны с учетом этого.
2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭМВ
В ИДЕАЛЬНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ
Идеальный диэлектрик характеризуется определенными диэлектрической (a) и магнитной ( a) проницаемостями и =0. В этом случае a является величиной вещественной и, следовательно, коэффициент распространения
.
действителен.
Пусть в идеальном диэлектрике распространяется плоская ЭМВ (рис. 1).
Рис. 1
Выражения для составляющих ЭМП имеют вид
.
Или в действительных амплитудах:
Экспоненциальный множитель характеризует фазовый набег, который приобретают составляющие плоской ЭМВ при распространении т.к. фазовые набеги электрической и магнитной составляющих равны, то
1. В идеальном диэлектрике вектора Е и Н синфазны.
2. Скорость распространения фазового фронта постоянна и определяется свойствами среды, т.е. . В вакууме фазовая скорость равна скорости света .
3. ЭМВ в пространстве характеризуется длиной волны. Длина волны - кратчайшее расстояние между двумя точками в пространстве, на котором фаза меняется на 2 . Постоянная распространения характеризует набег фазы на единицу расстояния (рис. 2).
Рис. 2
Длина волны - расстояние, на которое распространяется ЭМВ за период колебаний. Т.к. период колебаний не зависит от свойств среды, а скорость - зависит, фазовый множитель имеет вид , то при , длина волны будет различна для различных сред (с различными первичными электрическими параметрами).
4. Коэффициент распространения для идеального диэлектрика называют волновым числом.
5. Волновое сопротивление в идеальном диэлектрике вещественно .
В идеальном диэлектрике , то есть затухания волны по мере ее распространения вглубь идеального диэлектрика не происходит.
Свойства плоской ЭМВ в идеальном диэлектрике иллюстрируются рис. 3.
Рис. 3
7. ПЛОСКИЕ ЭМВ В СРЕДАХ С ПОТЕРЯМИ
1. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭМВ В СРЕДЕ С ПОТЕРЯМИ
Как ранее было отмечено, коэффициент распространения в средах с проводимостью становится комплексной величиной и может быть представлен в алгебраической
и показательной
(1)
формах, причем
, (2)
, (3)
Среды с потерями (¹0), в свою очередь, распределяются на диэлектрические, проводящие и среды, занимающие промежуточное положение. В диэлектрических средах и тем более ,
поэтому можно пренебречь величиной . В этом случае коэффициент фазы будет определяться выражением
. (4)
Однако такое же упрощение для неприемлемо, так как обращает его в нуль, т.е. исключается возможность учета потерь на протяженных линиях радиосвязи. Из материала прошлой лекции:
. (5)
Величина фазового сдвига соответственно будет определяться выражением
. (6)
В проводящих средах:
, (7)
, (8)
. (9)
В средах, занимающих промежуточное положение между проводниками и диэлектриками, коэффициенты фазы и затухания определяются по полным формулам.
В средах с потерями волновое сопротивление становится комплексной величиной
. (10)
и для диэлектрических сред: ; для проводящих сред: ,
и, соответственно, формулы поля плоской электромагнитной волны учетом выражения для волнового сопротивления могут быть представлены в виде:
в показательной форме комплексного изображения
, (11а)
, (11б)
в тригонометрической форме
, (12а)
, (12б).
Из (11) и (12) следует, что поле плоской волны в среде с потерями обладает следующими свойствами:
1. Векторы Е и Н перпендикулярны друг другу и направлению распространения П волны, т.е. волна является поперечной, но между Е и Н появляется фазовый сдвиг , который тем меньше, чем меньше коэффициент затухания ;
2. Амплитуды векторов Е и Н убывают по экспоненциальному закону с увеличением расстояния ;
3. Поверхности равных амплитуд совпадают с поверхностями равных фаз, поэтому они, как и волны в среде без потерь, являются однородными волнами (рис. 1).
Рис.1
Вектор Пойнтинга и средний за период вектор Пойнтинга будут определяться выражениями
, (13а)
, (13б)
из которых видно, что в среде с потерями вектор Пойнтинга может иметь направление, противоположное направлению распространения волны, в то время как средний за период вектор Пойнтинга всегда совпадает с направлением распространения плоской волны. Ослабление или затухание плотности потока мощности как мгновенного значения П, так и среднего за период П , происходит вдвое быстрее, чем амплитуд составляющих.
Затухание измеряется в децибелах
, (14)
Подставляя, получим
, (15)
где - погонное затухание (затухание на единицу длины в дБ/м).
Из (5) погонное затухание в дБ/м определяется как
. (16)
2. ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ ЭМВ, ЯВЛЕНИЕ ДИСПЕРСИИ И ЕЕ ВИДЫ
Фазовая скорость плоской электромагнитной волны в средах с потерями
(17)
определяется коэффициентом фазы и зависит от частоты электромагнитных колебаний. Зависимость фазовой скорости гармонических волн от их частоты называется дисперсией, поэтому в средах с потерями имеет место дисперсия.
Скорость распространения энергии
. (18)
Таким образом, подтверждается естественный вывод о том, что энергия гармонической волны переносится полем волны и распространяется с фазовой скоростью электромагнитной волны. Этот вывод справедлив для любых однородных изотропных сред.
ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
В средах с потерями или в других условиях, например, в волноводных линиях передачи, фазовая скорость зависит от частоты электромагнитных колебаний, т.е. имеет место дисперсия. Проходя один и тот же путь, гармонические волны, составляющие единый пакет волн реального сигнала, получают различные фазовые сдвиги, что ведет к искажению формы самого сигнала. Очевидно, чем уже спектр сигнала, тем меньше разница между фазовыми скоростями гармонических составляющих сигнала, тем меньше его искажение.
Для характеристики перемещения энергии какого-либо сигнала, относящегося к узкополосным сигналам, вводят понятие групповой скорости сигнала, понимаемая под этим скорость перемещения максимума огибающей этого сигнала.
В общем случае любой реальный сигнал может быть представлен в виде бесконечной суммы гармонических волн, которую на примере напряженности электрического поля электромагнитной волны сигнала можем записать в виде интеграла Фурье
, (19)
где – амплитуда каждой из гармонических волн; - коэффициент фазы каждой из этих волн.
Если спектр сигнала достаточно узкий ( ), т.е. заключен в интервале частот - , где 0 - центральная частота спектра сигнала, - активная ширина спектра сигнала, то вне этого интервала , поэтому (18) представим в виде
, (20)
Коэффициент фазы можно представить рядом Тейлора в окрестности 0
(21)
и для узкополосного сигнала ограничиться лишь первыми двумя членами. Это позволяет перейти к новой переменной для рассмотрения сигнала в пределах спектра и получить
. (22)
Теперь (22) можем представить в виде
, (23)
из которого видно, что аргумент - амплитудного множителя отличается от аргумента, определяющего распространение центральной части спектра. Именно аргумент амплитудного множителя характеризует распространение всех составляющих спектра в целом, т.е. распространение пакета (группы) волн сигнала, его энергии.
При с непрерывно меняющимся временем пакет волн будет перемещаться в пространстве со скоростью
, (24)
называемой групповой скоростью или скоростью распространения энергии сигнала. Индекс =0 в (24) можно опустить ввиду произвольности выбора центральной частоты.
Условием применимости (24) является малая скорость изменения коэффициента фазы вблизи частоты и узость спектра сигнала, так как в разложении (21) отброшены члены порядка выше первого. При невыполнении этих условий влияние дисперсии становится весьма заметным и сигнал в процессе распространения так сильно меняет свою форму, что само понятие групповой скорости теряет смысл.
В средах без потерь , поэтому групповая скорость совпадает с фазовой
. (25)
В средах с потерями фазовая и групповая скорости не совпадают, но связаны между собой (рис.2). Для установки этой связи продифференцируем выражение (17) по частоте
, (26)
из которого получим
. (27)
Рис. 2
Соотношение (27) показывает, что в средах с аномальной дисперсией , к которым относятся однородные изотропные среды с потерями, групповая скорость больше фазовой, в то время как в средах или в условиях с нормальной дисперсией она меньше фазовой скорости электромагнитных колебаний в них.
3. ПОВЕРХНОСТНЫИ ЭФФЕКТ
Явление концентрации электромагнитного поля и вызванного им высокочастотного тока у поверхности проводника получило название поверхностного эффекта.
Полезным проявлением этого эффекта является возможность применения проводников для экранирования различных радиоустройств и защиты человека от электромагнитных излучений. Однако поверхностный эффект приводит к возрастанию активного сопротивления проводника при протекании высокочастотного тока в нем.
При этом речь ведут о глубине проникновения ЭМВ в материал, который определяется как глубина проводника, на которой уровень напряженности поля уменьшается в е раз от исходного, тогда
Рассмотрим явление поверхностного эффекта и учет его на примере шлифа проводника с размерами и , во много раз меньшими длины волны, падающей на поверхность шлифа (рис.3).
Под действием электрического поля волны в проводнике протекает ток проводимости, причем амплитуда его плотности и амплитуда электрического поля волны убывает по экспоненциальному закону с увеличением расстояния вглубь проводника, в котором :
(29)
где Еm - амплитуда поля на поверхности Рис.3 шлифа.
Теоретически поле плоской электромагнитной волны проникает в проводник на бесконечно большое расстояние , поэтому комплексная амплитуда тока проводимости , вызванного электромагнитной волной в проводнике и определяемого как поток плотности тока через поверхность ,
. (30)
Ток (23) можно считать током, вызванным высокочастотным напряжением с известной амплитудой на поверхности .
Поверхностное сопротивление
, (31)
Понятие поверхностного сопротивления определяет волновое сопротивление электромагнитной волны в проводящей среде. Поверхностное сопротивление (31), а значит и сопротивление проводника, является активно-индуктивным, поэтому потери энергии на нагрев проводника определяются его активной частью
. (32)
Очевидно, что сравнивать потери в проводнике при протекании в нем токов высокой частоты и постоянного тока можно только по величинам погонных сопротивлений для высокочастотных токов и постоянного тока.
Погонное сопротивление постоянному току определяется
, (33)
в которой применительно к рис.3. неизвестна только площадь поперечного сечения из-за неопределенности расстояния . Но эта неопределенность легко устраняется, если ограничиться слоем , в котором концентрируется 99% энергии волны в проводнике, поэтому
. (34)
В то же время активное погонное сопротивление проводника при протекании в нем высокочастотных токов
, (35)
поэтому , т.е. погонное сопротивление проводника при высокочастотных токах практически в три раза превосходит погонное сопротивление того же проводника при постоянном токе.
Для уменьшения погонного сопротивления проводников, применяемых для монтажа радиоаппаратуры, используются высоко проводящие металлы, из которых наиболее употребительна медь. Кроме того применяются все меры к увеличению поперечного размера l. Это достигается изготовлением и применением многожильных проводов, нанесением сравнительно широких, но тонких полос проводника на диэлектрическую основу плат.
Вредное воздействие электромагнитного поля оценивается энергией нагрева. Поэтому более вредное воздействие оказывают ЭМП более высоких частот. Для защиты организма от вредного воздействия такого поля применяют специальные экранирующие костюмы из медной проволоки. Необходимо помнить, что энергия ЭМП сильно убывает с расстоянием.
8. ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЭМВ НА ГРАНИЦУ
РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЭМВ НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
В реальных условиях ЭМВ всегда встречают на своем пути препятствия, оказывающие влияние на их распространение. Рассмотрим случай, когда препятствием является среда, ограниченная бесконечно плоской границей. Будем считать, что плоскость раздела есть граница раздела двух однородных изотропных сред с параметрами a1, a1, 1 и a2, a2, . Единичный вектор нормали к плоскости S направлен из второй среды в первую. Положение каждой точки пространства будем определять радиус-вектором , проведенным из точки O, расположенной на плоскости S (рис. 1).
Плоскостью падения называется плоскость, содержащая вектор нормали и вектор падающей волны n1.
Рис. 1
Пусть на границу раздела двух сред падает плоская волна Е1, распространяющаяся в среде I. Для удовлетворения граничных условий в точке М необходимо предположить, что существуют волны:
преломленная Е2 и отраженная Е3. Направление движения волн будем характеризовать углами: падения – , отражения - , преломления – .
Необходимо определить соотношения между:
1. Частотами волн;
2. Направлениями распространения;
3. Амплитудами.
Предположим, что все волны плоские, тогда справедлива запись:
- падающая волна . Учитывая, что уравнение плоскости в этом случае имеет вид , запишем
;
;
.
В этих выражениях под понимается волновой вектор, имеющий длину, равную волновому числу и направление, совпадающее с направлением распространения волны, то есть с вектором .
На границе раздела в точке М должно выполняться граничное условие для тангенциальных компонент напряженности электрического поля (их непрерывность):
,
или в развернутом виде
. ( 1)
Можно показать, что одним из условий выполнения равенства (1) в любой момент времени для любой точки пространства
, (2)
а это возможно при
, (3)
, (4)
так как сумма двух гармонических функций будет гармонической функцией только при равенстве частот.
Итак, соотношения между частотами установлено - они равны.
Установим теперь связь между направлениями распространения, т.е. между углами 1, 2, 3.
Из равенства (4) запишем: .
Т.к. для точки М вектор лежит в плоскости S, то , и следовательно, параллелен вектору нормали .
Тогда справедливо
.
Раскрывая векторное произведение, получим
,
но рассматриваемые векторы находятся в I среде, поэтому
. (5)
Это равенство получило название 1-го закона Снеллиуса - угол падения равен углу отражения, векторы падающей и отраженной волн лежат в плоскости падения.
Рассуждая аналогично для равенства , получим
,
или
. (6)
Это - второй закон Снеллиуса, или закон синусов. Отношение синусов углов падения и преломления есть величина постоянная, равная обратному отношению коэффициентов распространения граничащих сред.
Введем понятие показателя преломления N, как отношения скорости распространения ЭМВ в свободном пространстве к скорости распространения в среде, для которой определяется N.
Для идеальных диэлектриков , кроме того, для большинства диэлектриков можно считать , т.е.
. (7)
Для идеальных диэлектриков можно записать волновое сопротивление
. (7 а)
Учитывая (7) и (7 а), можно показать, что
и
. (8)
Таким образом, с помощью законов Снеллиуса по известному углу падения определяются углы отражения и преломления. Выражение (8) может быть записано и через коэффициенты преломления и через волновые сопротивления сред
2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФРЕНЕЛЯ ДЛЯ ВОЛН РАЗЛИЧНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Перейдем к следующей поставленной нами задаче – определению напряженности полей преломленной и отраженной волн. Используем введенное понятие плоскости падения, как плоскости, в которой лежат вектора n0 и k1 . В общем случае направление вектора падающей волны может быть произвольным, но он всегда может быть разложен на составляющую, лежащую в плоскости падения, и составляющую, перпендикулярную ей (или составляющую, лежащую в плоскости S).
Рассмотрим первый случай:
1. Вектор (см.рис.2) лежит в плоскости падения (считаем волну вертикально поляризованной). Вектор соответственно перпендикулярен и, значит, параллелен S.
Рис.2
Связь будем искать в виде
,
где R|| и T|| - коэффициенты Френеля для вертикально поляризованной отраженной и преломленной волн соответственно. Т.е. в этом случае векторы лежат в плоскости падения, а векторы , перпендикулярны ей и параллельны плоскости раздела сред S , причем
.
Коэффициенты Френеля для вертикально (параллельно) поляризованной волны имеют вид:
. (9)
. (9а)
2. Во втором случае вектор лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости падения (см.рис.3). Амплитудную связь будем искать в том же виде
,
где R и T - коэффициенты Френеля отраженной и преломленной волн соответственно для случая горизонтальной (перпендикулярной ) поляризации вектора Е.
Рис.3
Векторы лежат в плоскости S, причем
.
Вектора лежат в плоскости падения. Коэффициенты Френеля в этом случае имеют вид
, ( 10)
. (10 а)
Иначе коэффициенты Френеля еще называют коэффициентами отражения и преломления (прохождения).
Иногда интересуются не амплитудными соотношениями между отраженными, преломленными и падающими волнами, а энергетическими. Если среднее за период значение мощности падающей волны обозначим Пср1, отраженной - Пср3 и преломленной Пср2 , то в соответствии с законом сохранения энергии запишем
. (11)
Пронормируем это выражение
. ( 12)
Первый член равенства (12) есть коэффициент прохождения T, а второй – коэффициент отражения R. Они определяются из соотношений через коэффициенты Френеля. В общем случае коэффициенты Френеля являются комплексными, поэтому запишем коэффициент отражения через комплексный и комплексно сопряженный коэффициенты Френеля:
или для перпендикулярной поляризации
.
Для идеальных диэлектриков
,
.
3. НОРМАЛЬНОЕ ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЭМВ НА ГРАНИЦУ
РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
В этом случае . Углы отражения и преломления из законов Снеллиуса также равны нулю. Векторы и лежат в плоскости S.
Подставляя в ( 10), (11), получим
.
Учитывая связь между показателями преломления и волновым сопротивлением сред , можно записать
.
При Z2=Z1 отсутствует отражение, то есть имеет место так называемый «режим согласования сред».
1.НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЭМВ НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА
ДВУХ ИДЕАЛЬНЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ
Наклонное падение ПЭМВ на плоскую границу раздела двух сред определяется углом падения 0<1</2. Среда, в которой распространяется падающая волна, по отношению к граничащей с ней может быть оптически менее плотной (N1<N2 ) или более плотной (N1>N2 ). Кроме того, падающая волна может быть поляризована различно.
Все это определяет особенности отражения и преломления ЭМВ при наклонном падении.
Будем полагать, что граничащие среды - идеальные диэлектрики , для которых практически всегда можно считать . Коэффициенты Френеля для вертикально и горизонтально поляризованных волн имеют вид:
Целесообразно рассмотреть два случая: и .
В зависимости от этих соотношений коэффициенты Френеля ведут себя по разному. При этом возникают различные явления, которые изучим далее.
2. ЯВЛЕНИЕ ПОЛНОГО ПРЕЛОМЛЕНИЯ, УГОЛ БРЮСТЕРА
1. Наклонное падение, .
Т.к. , то фазовые скорости волн в среде будут неодинаковы. В результате происходит преломление плоской ЭМВ на границе.
При определенных условиях может наблюдаться явление полного преломления.
При каких условиях?
В случае полного преломления (т.е. нет отражения) и должны быть равны нулю, или
Одновременно эти равенства удовлетворяться не могут. Значит, явление полного преломления может наблюдаться либо при горизонтальной, либо при вертикальной поляризации. Но при условии должно быть (из 2-го закона Снеллиуса), поэтому будет выполняться только первое из двух равенств. Следовательно, явление полного преломления существует лишь при вертикальной поляризации падающей волны.
Угол падения 1=0 , при котором наблюдается это явление, называется углом Брюстера.
Учитывая равенство (А) и закон синусов ,
получим
;
В оптике этот угол называют углом полной поляризации на том основании, что если на границу раздела падает произвольно поляризованная волна под углом , то отраженная волна будет горизонтально поляризованной, т.к. вертикально поляризованная компонента поля падающей волны полностью проходит во вторую среду.
Физическое объяснение представлено на рис.1.
Рис.1
Из выражения (А):
cos2= cos0N2/N1= cos0tg0=sin0.
Согласно формул приведения , это может быть, если .
Тогда, из рисунка видно, что .
Это позволяет дать простое физическое объяснение. Под действием электрического поля преломленной волны молекулы диэлектрика 2-й среды становятся источником вторичных ЭМВ. Т.е. каждая из молекул представляет собой элементарный электрический диполь (вибратор), момент которого направлен вдоль k2, а ось вибратора будет направлена вдоль k3. Однако известно (рассмотрим в теории излучения более подробно), что вдоль своей оси элементарный вибратор (диполь) не излучает.
При горизонтальной поляризации падающей волны, как видно из (Б) при любом .
Вообще говоря, при возникновении преломленной и отраженной волн последние могут приобретать некоторый фазовый сдвиг относительно падающей ЭМВ. Поэтому в общем виде коэффициенты Френеля носят комплексный характер и имеют вид
(- )
Параллельно поляризованная волна при переходе через угол Брюстера меняет фазу на . При этом модуль коэффициента Френеля меняется скачком. Перпендикулярно поляризованная волна во всем диапазоне углов падения фазы не меняет. Модуль коэффициента Френеля для отраженной волны плавно возрастает. Фаза коэффициента Френеля при этом составляет .
Графики зависимостей и от угла падения имеют вид
Рис.2. Модуль и фаза коэффициентов Френеля
Поэтому волна с горизонтальной поляризацией чаще используется в тех случаях, когда возможны отражения от поверхности в широком диапазоне углов падения.
3. ЯВЛЕНИЕ ПОЛНОГО ВНУТРЕННЕГО ОТРАЖЕНИЯ, КРИТИЧЕСКИИ УГОЛ
Рассмотрим второй случай, когда . К рассмотрению этого вопроса подойдем несколько иначе, чем в предыдущем случае (рис. 3).
Рис. 3
Обратимся ко 2-му закону Снеллиуса
Вводим , при котором . Угол преломления будет больше , т.к. , поэтому при некотором угол станет равным , т.е. преломленная волна будет скользить вдоль поверхности раздела . Это - явление поверхностного отражения.
Однако при этом и .
При дальнейшем увеличении угла синус угла преломления должен быть больше единицы, т.е. мы переходим в область комплексных значений коэффициента Френеля. Определим выражения для коэффициентов Френеля
Подставляя это значение в (10), (11) предыдущей лекции, получим выражение для коэффициентов Френеля в комплексной форме.
Чтобы выяснить суть происходящего физического явления, рассмотрим поле во второй среде. Преломленную волну будем характеризовать комплексным волновым вектором (рис. 4)
. (2)
Выясним физический смысл коэффициентов k2’ и k2”.
Учитывая (2), запишем фазовый множитель преломленной волны
,
из которого следует:
– характеризует направление распространения и степень затухания в этом направлении преломленной волны;
- - фазовый вектор, характеризует направление и скорость распространения преломленной волны во второй среде.
Определим эти векторы.
Т.к. вторая среда - идеальный диэлектрик, то или, раскрывая , ;
приравнивая действительные и мнимые части, получим
(2а)
1. Векторы k2’ и k2” ортогональны. Определим векторы .
Известно, что .
Раскроем
, (3)
откуда получаем .
Рис. 4
2. Вектор перпендикулярен плоскости и направлен во вторую среду от граничной поверхности вдоль вектора , а вектор перпендикулярен ему. Во второй среде при волна распространяется вдоль границы раздела двух сред. По мере удаления от границы раздела во вторую среду поле убывает по экспоненциальному закону - концентрируется у поверхности раздела.
Такая волна называется поверхностной.
Определим амплитудные значения векторов .
Из равенства (3) видно, что
,
т.е. .
Т.к. волновое число характеризует еще и скорость распространения поверхностной волны, то определим и ее
.
Значения k2”. определим из первого соотношения (2а):
,
т.е. при коэффициент - мнимая величина, в
этом случае затухания нет, волна распространяется во второй среде.
При коэффициент - действителен и характеризует затухание во второй среде.
Итак, при и во второй среде вдоль границы раздела распространяется ЭМВ, амплитуда которой убывает по мере удаления от поверхности. Степень убывания амплитуды пропорциональна величине и углу падения .
Данное явление применяется в волоконно-оптических кабелях, в которых распространяется поверхностная волна с отражением от внешней границы волокна.
4. ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЭМВ НА ПОВЕРХНОСТЬ ИДЕАЛЬНОГО ПРОВОДНИКА
В качестве первой среды может рассматриваться любой однородный изотропный высококачественный диэлектрик (радиофарфор, слюда, плавленый кварц, воздух и др.), но удобнее считать таким диэлектриком воздух, так как его параметры близки к параметрам вакуума. Это значительно упрощает анализ рассматриваемого процесса и соответствует реальной картине распространения радиоволн. В качестве второй среды может рассматриваться любой однородный изотропный проводник с плоской поверхностью.
Фазовые скорости плоских электромагнитных волн одной частоты в таких разных по электрическим свойствам средах существенно различаются, причем всегда .
Комплексный коэффициент распространения в среде с потерями
и особенно в проводнике говорит о том, что свойства преломленной волны в нем могут и должны описываться также с помощью комплексного волнового вектора с условием
, (4)
позволяющим учесть граничные условия на поверхности проводника. На основании граничного условия для волновых векторов уравнение
в результате разделения действительных и мнимых частей распадается на уравнения
, (а) ; , (б), (5)
Из (5б) следует коллинеарность векторов . Их взаимная противоположность следует из физического смысла, а именно из того, что источником отраженной и преломленной волн является падающая волна, поэтому вектор характеризует ослабление преломленной волны только в направлении, противоположном направлению нормали к S.
Вектор направлен под некоторым углом 2 по отношению к направлению , причем угол2 может быть определен как
, (а); ,(б). (6)
Приближенные равенства (6) позволяют оценить величину угла преломления2. Так, при падении плоской волны под любым углом падения на проводник с параметрами ,
угол преломления , а при падении на проводник с , т.е. угол преломления в рассматриваемом случае очень мал. Практически можно считать, что единичный вектор (рис.4.), определяющий направление преломленной волны в проводнике, противоположен вектору нормали , т.е.
и, соответственно,
Таким образом, при падении плоской волны на плоскую границу раздела "идеальный диэлектрик-проводник" под любым углом практически можно считать, что фронт преломленной волны в проводнике параллелен граничной поверхности , т. е. поверхности проводника (рис.5).
Рис. 5
Это допущение является основой так называемых приближенных граничных условий Леонтовича-Щукина.
5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛЕОНТОВИЧА-ЩУКИНА
Как известно, в идеальном проводнике электромагнитное поле не существует и в него не проникает, что математически описывается выражениями
, (а); , (б); , (в). (7)
Однако, при падении на поверхность идеального проводника плоской электромагнитной волны, за счет перегруппирования свободных зарядов, на ней возникают поверхностные токи и заряды с плотностями, обусловленными результирующим полем, т.е.
, (а); . (б) (8)
Граничное условие с учетом (7а) примет вид
, (9)
из которого следует, что на поверхности идеального проводника тангенциальная составляющая электрического поля отраженной волны противоположно направлена тангенциальной составляющей падающей волны и равна ей по величине. Вертикальные составляющие электрического поля и на поверхности равны по величине и одинаково направлены, т.е. выполняется равенство
. (10)
Равенство (10) объясняется отсутствием потерь при отражении от поверхности идеального проводника, а одинаковая направленность векторов - выполнением закона отражения.
. (11)
На поверхности идеального проводника тангенциальные составляющие магнитного поля одинаково направлены и равны по величине.
В соответствии с (11) равенство (8а) в скалярном выражении примет вид
, (12)
из которого следует, что плотность поверхностного тока на поверхности идеального проводника определяется удвоенной величиной напряженности магнитного поля падающей параллельно поляризованной волны. При произвольной поляризации падающей волны определяется удвоенной величиной тангенциальной составляющей ее магнитного поля.
Таким образом, при падении плоской электромагнитной волны на поверхность идеального проводника величины всех одноименных составляющих отраженной и падающей волн на равны, а тангенциальная составляющая электрического и нормальная составляющая магнитного полей в отраженной волне меняют направление на противоположное соответствующим составляющим падающей волны или, как говорят, меняет фазу на 1800.
При падении плоской электромагнитной волны любой поляризации на поверхность реального проводника часть энергии падающей волны проникает в проводник, поэтому в общем случае в реальном проводнике , , , . Это означает, что составляющие электрического и магнитного полей в первой (диэлектрической) среде и, соответственно, в отраженной волне претерпевают изменение.
Можно считать, что преломленная волна , определяется только тангенциальными составляющими электрического и магнитного полей на поверхности проводника, т.е.
, (а); , (б). (13)
Граничные условия для тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей, в комплексном выражении примут вид
, (а); , (б) (14)
где , , , - тангенциальные составляющие векторов поля на границе раздела .
В свою очередь, напряженность электрического поля волны в проводнике:
, (15)
Равенство (15) не изменится, если обе его части умножить векторно на n
. (16)
Подставляя (14а,б) в (16) получим
. (17)
Приближенное равенство (17) называют приближенным граничным условием Леонтовича-Щукина в векторной форме. Оно устанавливает связь между тангенциальными составляющими векторов напряженности электрического и магнитного полей в первой среде на поверхности проводника через его параметры, входящие в , то есть через параметры проводника.
В скалярном выражении условие (17) приобретает вид
, (18)
. (19)
Таким образом, приближенное граничное условие Леонтовича-Щукина в скалярном (19) выражении показывает, что на поверхности проводника тангенциальная составляющая напряженности электрического поля в первой среде опережает тангенциальную составляющую напряженности магнитного поля в ней на , причем величина тем меньше, чем меньше частота электромагнитных колебаний падающей волны и больше проводимость проводящей среды. Расчеты показывают, что при падении электромагнитной волны на хороший проводник величина настолько мала, что тангенциальные составляющие падающей и отраженной волн на практически равны, а значит можно пользоваться соотношениями для идеального проводника.
Приближенное граничное условие Леонтовича-Щукина играет существенную роль при необходимости учета потерь на нагрев проводящей среды, так как именно величина тангенциальной составляющей поля определяет величину мощности Пср, проходящей по нормали вглубь проводника.
9. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ
1.НАЗНАЧЕНИЕ НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ - ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ
Одной из важнейших задач техники сверхвысоких частот (СВЧ) является передача электромагнитных волн (ЭМВ) на некоторые расстояния. При изучении теории излучения электромагнитных волн было показано, что излучатели (антенны) могут обладать направленностью излучения энергии. Тем не менее направленность излучения антенн оказывается совершенно недостаточной, если необходимо передать энергию с высоким коэффициентом полезного действия от генератора к потребителю, так как значительная часть энергии будет рассеяна в пространстве на других направлениях (рис.1).
Для эффективной передачи энергии с высоким КПД необходимо, чтобы электромагнитная волна, переносящая энергию, не рассеивалась бы в пространстве, а концентрировалась вокруг заданного направления.
Рис.1. Передача радиоволн антенной
Электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль направляющей границы, называются направляемыми, а сама направляющая граница (линия) – линией передачи (ЛП) или фидером. КПД любых линий передачи не может равняться единице, так как в них наблюдается затухание направляемых волн вследствие потерь энергии из-за неидеальности ЛП. Потери энергии характеризуются коэффициентом затухания .
Практически всегда для передачи энергии на небольшие расстояния внутри радиотехнического устройства используются различные виды ЛП. Например, с помощью ЛП осуществляется канализация энергии от передатчика (ПРД) к антенне или от антенны к приемнику (ПРМ).
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ЭМВ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ, КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ
Итак, электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль направляющей границы, называются направляемыми, а сама направляющая граница (линия) – линией передачи (ЛП) или фидером.
В теории линий передачи направляемые ЭМВ классифицируются в зависимости от наличия или отсутствия в них продольных составляющих электрического либо магнитного векторов. При этом под продольным направлением подразумевается направление распространения ЭМВ (продольная ось линии передачи – ось Z). Здесь могут быть четыре случая.
1. Оба вектора, электрический и магнитный, перпендикулярны оси ЛП и, следовательно, не имеют продольных составляющих (рис.2), то есть HZ=0, EZ=0. Вектор Пойнтинга П направлен вдоль оси Z. Такие волны носят название поперечных электромагнитных волн – волн типа Т или ТЕМ (Transverse Electromagnetic).
Рис.2. Т-волна в ЛП Рис.3 Е-волна в ЛП
2. Электрический вектор имеет отличную от нуля продольную составляющую EZ0, в то время как магнитное поле волны поперечно, то есть HZ=0 (рис.3). Вектор Пойнтинга П лежит в плоскости XOZ и направлен под углом относительно оси Z. Такие направляемые волны называются волнами типа E (Electric).
3. Продольную составляющую имеет магнитный вектор (HZ0), а электрическое поле поперечно (EZ=0). Вектор Пойнтинга П лежит в плоскости YOZ и направлен под углом относительно оси Z. Такие направляемые волны называются волнами типа H (рис.4).
4. В ЛП могут существовать волны, одновременно имеющие продольные составляющие электрического и магнитного полей (EZ0, HZ0). Вектор Пойнтинга П не лежит в плоскости YOZ или XOZ. Такие волны получили название смешанных или гибридных (рис.5).
Рис.4. Н-волна в ЛП Рис.5. Гибридная волна в ЛП
На основе классификации ЭМВ в линиях передачи проводится классификация самих ЛП.
Классификация линий передачи
В настоящее время применяется большое количество различных типов ЛП. Общими требованиями к ним являются:
минимальные потери энергии;
простота конструкции;
высокая надежность;
малые габариты и масса;
низкая стоимость.
Классификация ЛП выполняется по различным признакам.
1. Если в направлении передачи энергии (вдоль оси Z) ЛП имеет неизменные параметры внутреннего заполнения и геометрические размеры, линия передачи называется регулярной (продольно однородной). В противном случае ЛП называются нерегулярными (продольно неоднородными). Большинство ЛП являются регулярными.
2. Линии передачи подразделяются на линии открытого и закрытого типов. В открытых ЛП энергия ЭМП, хотя в основном и сосредоточена в непосредственной близости к ее поверхности, распределена во всем пространстве, окружающем линию. В линиях закрытого типа энергия ЭМП заключена в пространстве, ограниченном замкнутой металлической поверхностью, представляющей собой электромагнитный экран.
3. По режиму работы ЛП бывают с бегущей или стоячей волнами. Чтобы получить режим бегущей волны, надо сопротивление нагрузки и волновое (характеристическое) сопротивление линии сделать равными, то есть надо согласовать линию с нагрузкой (RН=ZЛ). На СВЧ режим чисто бегущей волны при коэффициенте бегущей волны (КБВ), равном единице, получить обычно невозможно. Практически очень хорошо, если КБВ=0.8…0.9. Ухудшение работы линии при этом незначительно. Во многих случаях довольствуются величиной КБВ=0.5…0.7.
4. По типу волны в ЛП различают линии с Т-волной, ЛП с Е и Н- волнами и линии с поверхностными (замедленными) волнами.
Конструктивное исполнение ЛП зависит прежде всего от типа ЭМВ в них.
3. Т-ВОЛНА В КОАКСИАЛЬНОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
Коаксиальная ЛП – два соосных проводника с заданными размерами, центрированные диэлектрическими шайбами или сплошным диэлектрическим заполнением. Одножильный или многожильный внутренний проводник окружен слоем высококачественного диэлектрика (полистирол, полиэтилен, фторопласт и т.д.), поверх которого располагается внешний проводник. Внешний проводник может быть выполнен в виде сплошной металлической трубы (рис.7 а). Такая ЛП называется жестким коаксиальным фидером. При этом часто внутренний проводник центрируется диэлектрическими шайбами. В другом конструктивном исполнении внешний проводник выполняется в виде металлической сетки, для предохранения от внешних воздействий покрытой защитной диэлектрической оболочкой. Такой фидер становится гибким и называется коаксиальным кабелем. Внутреннее заполнение в этом случае выполняют сплошным (рис.7 б) из высококачественного диэлектрика.
а б
Рис.7. Коаксиальная ЛП
Свойства и параметры коаксиального фидера определяются его геометрическими размерами D и d (рис. 7, а), электрическими параметрами диэлектрика внутреннего заполнения, внешнего и внутреннего проводников.
Волновое сопротивление коаксиальной ЛП определяется выражением:
, (1)
где D – внутренний диаметр внешнего проводника; d – диаметр центрального проводника; a=0, a=0 – соответственно абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости диэлектрика внутреннего заполнения ЛП.
Коаксиальным фидерам присваивается условное обозначение, состоящее из четырех позиций, поставленных через дефис: букв РК – радиочастотный кабель; величины волнового сопротивления в Омах; среднего диаметра диэлектрического заполнения в миллиметрах; двух цифр, одна из которых обозначает материал диэлектрика внутреннего заполнения (1 – полиэтилен, 2 – фторопласт), другая – порядковый номер разработки конкретной тип конструкции фидера.
Например, коаксиальный 75-омный фидер с фторопластовым заполнением, имеющим средний диаметр диэлектрика 7 мм, обозначается РК-75-7-21.
В коаксиальной ЛП могут существовать ЭМВ различных типов: Т, Е, Н и гибридные. Основной является Т-волна, остальные считают паразитными.
Для того, чтобы в коаксиальной ЛП распространялась только поперечная волна, выбирают геометрические размеры фидера:
.
Для предотвращения излучения геометрические размеры ЛП должны удовлетворять условию:
(D-d)<<
Поэтому для передачи больших мощностей из-за опасности пробоя невозможно использовать коаксиальную ЛП в диапазоне частот короче дециметровых волн (ДМВ).
Структура поперечной волны показана на рис.8.
а б
Рис.8. Структура Т-волны в поперечном (а) и продольном (б) сечениях
коаксиальной ЛП
Как следует из рисунка, электрическая составляющая ЭМП имеет только радиальную, а магнитная – только азимутальную компоненты в цилиндрической системе координат r,,z:
, (2)
, (3)
где А – некоторая произвольная постоянная, характеризующая амплитуду. Коаксиальные ЛП нашли самое широкое применение в технике связи и РТО для передачи СВЧ-энергии, построения элементов СВЧ-тракта в диапазонах длин волн от декаметровых до дециметровых.
4. ПОЛОСКОВЫЕ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
Недостатки коаксиальной ЛП, связанные с высоким уровнем потерь на излучение, а также в диэлектриках внутреннего заполнения с ростом частоты, ограничивают их применение диапазоном дециметровых волн. На дециметровых, сантиметровых и миллиметровых волнах в последнее время значительное применение получили полосковые ЛП. В большинстве случаев их изготавливают путем нанесения металлических слоев на диэлектрик с малыми потерями (рис.9).
Рис.9. Рис.10
Эти линии являются практически единственно пригодными для применения в интегральных микросхемах (пленочных и полупроводниковых). В этом случае ЛП называют микрополосковыми. В несимметричной полосковой ЛП имеются два проводника, один из которых представляет собой металлическую полоску (полосок) постоянных размеров, другой – широкую металлическую пластину (подложку). В симметричной полосковой ЛП имеется три проводника. Полосок в большинстве случаев имеет сложную конфигурацию (топологию) и наносится напылением металла сквозь маски либо выполняется фотохимическим способом.
В полосковых ЛП толщина диэлектрика составляет h=1.5…5 мм. В большинстве случаев в качестве диэлектрика применяют фторопласт с относительной диэлектрической проницаемостью =2…7 и тангенсом угла потерь tg=10-3…10-4. В микрополосковых ЛП используют более высококачественных твердые хрупкие диэлектрики (кварц, ситалл, кремний…), для которых =2…7, tg=10-4. Толщина диэлектрика в микрополосковых ЛП h=0.5…1 мм.
Полосковые ЛП в основном применяют не для передачи СВЧ-энергии, а для создания сложных разветвленных конструкций приемных, реже – передающих СВЧ-трактов. Так как толщина диэлектрика невелика, уровень мощности, передаваемый в полосковой ЛП, не может быть высоким из-за опасности пробоя диэлектрика.
Волновое сопротивление несимметричной ЛП определяется по формуле: .
Полосковые линии передачи занимают промежуточное положение между двухпроводными ЛП и волноводами. Можно считать, что в полосковых ДП распространяется поперечная ЭМВ, хотя наличие твердого диэлектрика несколько искажает структуру поля. Такая ЭМВ называется квазипоперечной. Ее структура в поперечном сечении показана на рис.10.
5. ВОЛНОВОДНЫЕ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
Хотя коаксиальные линии передачи широко применяются на СВЧ, но все же они обладают существенными недостатками, особенно заметными в диапазоне сантиметровых волн.
Эти недостатки можно уменьшить применением волноводов, представляющих собой полые металлические трубы различных поперечных сечений, внутри которых распространяются электромагнитные волны. Потери энергии в волноводе меньше, чем в коаксиальной ЛП, так как в нем нет внутреннего провода и изоляторов. Наибольшее напряжение в волноводе получается между противоположными стенками (при прямоугольном поперечном сечении) или диаметрально противоположными точками (если волновод имеет круглое сечение). Расстояние между этими точками больше, чем расстояние между внутренним и внешним проводниками коаксиальной ЛП, поэтому опасность пробоя значительно меньше (рис. 12).
а б в
Рис. 12. Наибольшие напряжения в коаксиальной ЛП (а), круглом (б) и прямоугольном (в) волноводах
Конструкция волноводов проще, чем коаксиальной ЛП. Исходя из уравнений Максвелла, можно показать, что в полом металлическом волноводе не может существовать Т-волна.
В идеальном случае волновод представляет собой полую трубу из хорошего (идеального) проводника. Будем полагать, что на идеально проводящую плоскость (одна из стенок волновода) под некоторым углом падает плоская монохроматическая волна (рис.13). Предположим, что верхнее полупространство (внутреннее заполнение волновода) – идеальный диэлектрик с параметрами a, a.
Рис. 13. Падение ЭМВ на стенку волновода
Вектор суммарного поля будет обладать составляющими, равными суммам составляющих векторов падающей и отраженной волн. В частности, составляющая напряженности электрического поля вдоль оси z:
. (4)
Наличие второго сомножителя показывает, что результирующее поле представляет собой волну, бегущую вдоль координаты z по направлению вдоль продольной оси волновода. Коэффициент распространения зависит от угла падения . Будем называть эту постоянную распространения продольным волновым числом (продольным коэффициентом распространения) и обозначать через h:
h=k sin. (5)
Третий сомножитель sin(kxcos) показывает, что поле вдоль поперечной координаты x изменяется по синусоидальному закону. Амплитуда поля в пределах волнового фронта z=const не постоянна, а образует стоячие волны. Скорость изменения амплитуды определяется коэффициентом
g=k cos, (6)
который будем называть поперечным волновым числом (поперечным коэффициентом распространения).
Продольное и поперечное волновые числа связаны соотношением:
h2+g2=k2. (7)
Итак, важное свойство направляемых волн заключается в том, что данный волновой процесс является неоднородной волной, распространяющейся вдоль координаты z. При этом амплитуда поля вдоль поперечных координат изменяется по закону стоячей волны.
Если поперечную координату ограничить стенкой волновода, например x=a (рис.3.1.в) то из (3.2) следует, что для ограничения стоячей волны стенками волновода необходимо выполнить условие:
kacos=m,
где m=0,1,2,3… – индекс типа волны, определяющий количество стоячих полуволн, укладывающихся вдоль поперечной координаты x.
Используя выражение k=2/, получим:
сos=m/2a. (8)
Действительно, для любого индекса m при заданном размере a всегда найдется такая длина волны генератора, называемая критической длиной волны данного типа и обозначаемая кр, для которой выполнение условия (5.6) возможно лишь при максимальном значении cos=1, то есть
кр=2a/m. (9)
Если теперь выбрать значение > кр, граничные условия на стенках волновода не могут быть выполнены для данного типа волны ни при каком значении угла падения . Физически это означает невозможность существования колебания данного типа в виде бегущей волны в ЛП.
Таким образом, каждый тип колебаний в волноводе может существовать как бегущая волна в области длин волн
кр.
Волны более длинные, чем кр, по волноводу на данном типе колебаний распространяться не могут. Иначе говоря, возможно распространение только тех волн, частота которых выше некоторого нижнего предела, называемого критической частотой fкр.
На основе полученных выражений можно вывести основные соотношения для параметров распространения ЭМВ в волноводах.
Скорость перемещения поверхности равных фаз вдоль координаты z (фазовая скорость ЭМВ в волноводе) определяется продольным волновым числом h и равна
vфв=/h=/ksin=vф/sin. (10)
. (11)
Фазовая скорость волны в волноводе зависит от частоты ЭМВ, то есть волновод обладает дисперсией. Эта дисперсия является нормальной, так как с ростом частоты ЭМВ (уменьшением длины волны) фазовая скорость в волноводе уменьшается (рис.3.4).
Аналогично находится длина волны в волноводе:
. (12)
Длина волны в волноводе превышает длину волны в свободном пространстве и зависит от типа волны, распространяющейся в волноводе.
Групповая скорость узкополосного радиосигнала в волноводе (скорость перемещения максимума огибающей), характеризующая скорость переноса энергии волны по волноводу, определяется:
. (13)
Важнейший параметр волноводной ЛП – волновое (характеристическое) сопротивление. Оно зависит от типа ЭМВ в волноводе и для волн Н- и Е- типов определяется соответственно:
; (14)
, (15)
где Zс – волновое сопротивление среды, являющейся внутренним заполнением волновода.
Таким образом, в полом металлическом волноводе распространяются волны не любых частот, а только превышающих некоторую критическую. Это – основной недостаток волноводных ЛП.
Наибольшее распространение на практике для передачи электромагнитной энергии в диапазоне сантиметровых и миллиметровых волн получили прямоугольные волноводы (рис.1). При решении уравнений, описывающих ЭМВ в прямоугольном волноводе считаем, что вдоль оси z волновод не ограничен по длине, удельная электрическая проводимость стенок =. Среда, заполняющая волновод - идеальный диэлектрик с параметрами a, a. В поперечном сечении геометрические размеры волновода ограничены: размер широкой стенки волновода обозначим a, узкой – b. Считаем, что внутри волновода отсутствуют источники поля (=0, j=0).
Задача нахождения электромагнитного поля в волноводе сводится к решению уравнений Максвелла в области, свободной от источников:
(1)
при 0xa, 0yb при следующих граничных условиях:
(2)
Поскольку осью распространения является ось z, комплексная амплитуда любой составляющей электромагнитного поля может быть записана в виде:
, (3)
то есть ,. Здесь E0(x,y), H0(x,y) – вещественные функции, описывающие поле в поперечном сечении волновода.
Выполним операцию rot от первого уравнения (1).
.
Получим уравнения связи, образующие систему, в которой поперечные компоненты ЭМП в прямоугольном волноводе выражены через продольные:
(4)
Для нахождения поперечных компонент ЭМП согласно (4) необходимо определить продольные компоненты , удовлетворяющие уравнениям типа Гельмгольца: ,. (5)
Из (5) следует, что продольные составляющие электрического и магнитного полей не связаны между собой. Рассмотрим решения отдельно для магнитных (Н) и электрических (Е) волн.
1. Н-ВОЛНЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Волна типа Н характеризуется тем, что здесь магнитное поле имеет продольную составляющую , в то время как электрическое поле поперечно, то есть . Тогда из уравнений (4) все поперечные компоненты электромагнитного поля могут быть выражены через составляющую :
(6)
Для решения системы (6) необходимо решить волновое уравнение Гельмгольца для продольной компоненты магнитного поля (5).
Это уравнение должно быть дополнено граничными условиями (2), образуя граничную (краевую) задачу. Рассмотрим аналитический метод ее решения. Так как, для записи граничных условий необходимо использовать компоненты следующим образом:
Формулы связи (6) позволяют записать данные условия через продольную компоненту : (7)
Таким образом, исследование распространения волн Н-типа в прямоугольном волноводе сводится к решению краевой задачи (5)…(7). Рассматриваемая задача решается методом разделения переменных (метод Фурье). При этом методе решение краевой задачи ищется в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит лишь от одной из поперечных координат:
Нz(x,y)=X(x)Y(y). (8)
Подставляя (8) в (5), будем иметь:
X''Y+XY''+g2XY=0. (9)
Здесь двумя штрихами обозначена операция взятия второй производной. Деля почленно (9) на правую часть (8), получаем:
X''/X+Y''/Y=-g2. (10)
В левой части равенства (10) стоят две функции, каждая из которых зависит только от координаты x или y. Для того, чтобы оно было тождеством при любых x и y, необходимо, чтобы каждое из слагаемых было также равно постоянной величине:
X''/X=-gx2, (11)
Y''/Y=-gy2, (12)
где gx, gy –неизвестные числа, удовлетворяющие соотношению
gx2+gy2=g2. (13)
В результате применения метода разделения переменных вместо одного дифференциального уравнения в частных производных получаются два уравнения в обыкновенных производных с постоянными коэффициентами, которые могут быть записаны в следующем виде:
X''+ gx2X=0, (14)
Y''+ gy2Y=0. (15)
Общие решения уравнений (14), (15) известны из курса высшей математики и могут быть представлены в форме:
X(x)=Asin(gxx)+Bcos(gxx), (16)
Y(y)=Csin(gyy)+Dcos(gyy), (17)
откуда
. (18)
Граничные условия (7) выполняются в случае равенства нулю производных:
,
.
Условия (7) при x=0, y=0 могут быть выполнены, если A=0, C=0. При x=a, y=b:
Bgxsin(gxa)=0,
Dgysin(gyb)=0.
Из первого условия: sin(gxa)=0; из второго условия: sin(gyb)=0.
Отсюда можно найти постоянные gx и gy:
gx=m/a, gy=n/b. (19)
Здесь m и n – натуральные числа: m=0,1,2,3…N; n=0,1,2,3…N.
Поперечное волновое число g найдем из (13):
. (20)
Так как A=0, C=0, обозначив BD=H0, перепишем (18):
. (21)
Имея решение волнового уравнения (21) для продольной компоненты магнитного поля, из системы уравнений (6) получим все компоненты электрического и магнитного полей для Н-волн в прямоугольном волноводе:
(22)
Анализ системы уравнений, описывающей мгновенные значения составляющих Н-волн в прямоугольном волноводе позволяет сделать следующие выводы:
наличие тригонометрических множителей говорит об образовании стоячих волн в плоскости поперечного сечения волновода. При этом число равно числу полуволн, укладывающихся вдоль широкой стенки волновода (по m - размеру a), n – число полуволн, укладывающихся вдоль узкой стенки волновода (по размеру b);
так как m и n – любые целые положительные числа, то это означает, что в прямоугольном волноводе может существовать бесчисленное множество волн типа Н, определяемых значениями m и n и обозначаемых символом Нmn. Числа m и n характеризуют степень сложности электромагнитного поля: чем больше m и n, тем сложнее поле в волноводе;
из равенств (22) видно, что при одновременном обращении в нуль индексов m и n (m=0, n=0) все поперечные составляющие оказываются равными нулю. Следовательно, волна Н00 не существует. Если один из индексов m или n обращается в нуль, то только часть поперечных составляющих в (22) обращается в нуль. Низшими типами волн являются Н10 и Н01;
множитель e-ihz определяет изменение амплитуды и фазы волны при ее распространении вдоль волновода. Если h – величина мнимая, то функция
e-ihz убывающая, и, следовательно, волна не распространяется (затухает) вдоль оси z. Если h – величина действительная, то модуль функции e-ihz равен единице и, следовательно, волна распространяется вдоль оси z волновода без затухания.
Рассмотренный метод решения краевой задачи относится к аналитическим и является достаточно сложным даже для волновода простейшего поперечного сечения. На практике широко применяют численные методы решения различных краевых задач, например для волноводов сложных (Н, Т – образных поперечных сечений), в основном с применением ЭВМ.
2. Е-ВОЛНЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ
Для электрических волн Е . При этих условиях поперечные составляющие полей (4) будут иметь связь с продольной составляющей :
(23)
Поскольку , можно использовать граничное условие для тангенциальной составляющей напряженности электрического поля:
(24)
Решение уравнений связи аналогично Н-волнам.
Если хотя бы один из индексов m или n равен нулю, все поперечные компоненты напряженности электрического и магнитного полей обращаются в нуль. Иначе говоря, в прямоугольном волноводе не могут существовать волны типа E00, Em0, E0n. Низшим типом Е-волн в прямоугольном волноводе является волна Е11. Ее структуру изобразим на рис.2.
Волны типа Е в прямоугольных волноводах для передачи энергии практически не используются они нашли применение в облучателях антенных систем.
Е-волны высших типов – это все типы волн, кроме Е11.
Рис.2. Волна Е11
3. КРИТИЧЕСКАЯ ЧАСТОТА И КРИТИЧЕСКАЯ ДЛИНА ВОЛНЫ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ
Так как , то, подставив выражения для коэффициента распространения k и поперечного коэффициента распространения g, определяемого (20), получим
.
Выражение для h может быть положительным при w2eama>[(mp/a)2+(np/b)2]. При h=0, w2eama=[(mp/a)2+(np/b)2], отсюда можно определить минимальную частоту ЭМВ, распространяющейся в волноводе, то есть критическую частоту для прямоугольного волновода:
. (25)
Критическая частота для прямоугольного волновода зависит от геометрических размеров волновода (a и b), типа волны (m и n) и параметров внутреннего заполнения волновода (a, a). Условие прохождения волны в волноводе можно записать в виде
f>fкр.
Критическая длина волны определяется как
. (26)
Тогда условием распространения волны в волноводе будет <кр.
Таким образом, в полом металлическом волноводе распространяются волны не любых частот, а только превышающих некоторую критическую. Это – основной недостаток волноводных ЛП.
4. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭМВ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ
Скорость перемещения поверхности равных фаз вдоль координаты z (фазовая скорость ЭМВ в волноводе) определяется продольным волновым числом h.
Знание критической длины волны позволяет для конкретной длины волны генератора определить фазовую скорость на любом типе колебаний:
(27)
Фазовая скорость волны в волноводе зависит от частоты ЭМВ, то есть волновод обладает дисперсией. Эта дисперсия является нормальной, так как с ростом частоты ЭМВ (уменьшением длины волны) фазовая скорость в волноводе уменьшается (рис. 3).
Аналогично находится длина волны в волноводе:
. (28)
Длина волны в волноводе превышает длину волны в свободном пространстве и зависит от типа волны, распространяющейся в волноводе.
Групповая скорость узкополосного радиосигнала в волноводе (скорость перемещения максимума огибающей), характеризующая скорость переноса энергии волны по волноводу, определяется:
. Используя , получим
. (29)
Согласно формуле (29) можно сделать следующие выводы:
групповая скорость волн в волноводе всегда меньше фазовой скорости и меньше скорости света;
фазовая и групповая скорости связаны соотношением vф вvгр в = vф2;
групповая скорость сигналов, средняя частота которых стремится к критической частоте данного типа колебаний, стремится к нулю; при повышении средней частоты групповая скорость увеличивается, причем верхним пределом групповой скорости при l0 является vгр в=с (для вакуумного заполнения волновода).
Важнейший параметр волноводной ЛП – волновое (характеристическое) сопротивление. Оно зависит от типа ЭМВ в волноводе и для волн Н- и Е- типов определяется соответственно:
; (30)
, (31)
где Zс – волновое сопротивление среды, являющейся внутренним заполнением волновода.
Таким образом, параметры распространения волн в волноводе зависят от геометрических размеров волновода, параметров его внутреннего заполнения и типа волны.
5. ВОЛНА Н10 В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ
Основной волной в волноводе является волна, имеющая наименьшую критическую частоту или наибольшую критическую длину волны. При фиксированной частоте электромагнитных колебаний и заданных параметрах внутреннего заполнения волновода основной тип волны требует для передачи волны волновода наименьшего поперечного сечения. Из выражений (25), (26) следует, что основной волной в прямоугольном волноводе является волна Н10.
Критическая длина волны основного типа в прямоугольном волноводе согласно выражению (26) составляет lкр= 2a и не зависит от высоты прямоугольного волновода.
Критическая частота (25) для волны Н10 определяется как
Подставляя в систему (22) индексы m = 1 и n = 0, получим систему уравнений, описывающих составляющие поля волны Н10:
(32)
На основе системы уравнений (32) можно построить мгновенную структуру поля в виде распределения силовых линий по сечениям волновода (рис. 4.)
Графическое изображение структуры всех типов волн строится на основе:
количества стоячих полуволн, укладывающихся вдоль соответствующих координат;
перпендикулярности силовых линий напряженности электрического и магнитного полей;
граничных условий у поверхности идеального проводника для векторов напряженности электрического и магнитного полей;
изменение направлений силовых линий электрического и магнитного полей через половину длины волны.
Рис. 4. Структура поля волны Н10 в прямоугольном волноводе
Анализ системы уравнений (32) и рис.4 позволяет сделать следующие выводы:
вдоль широкой стенки волновода a укладывается одна стоячая полуволна электрического поля с максимумом при x=a/2;
вдоль узкой стенки волновода (по координате y) изменений поля нет. Высота прямоугольного волновода не влияет на структуру поля волны Н10. Она выбирается исходя из требования распространения в волноводе только волны Н10, получения малых потерь в реальном волноводе, а также исключения электрического пробоя между его верхней и нижней стенками;
замкнутые силовые линии магнитного поля лежат в плоскости xoz, так как Hy=0. Между составляющими Hx и Hz имеется сдвиг фаз на p/2. Иными словами, в сечении волновода, где Hx достигает максимума, проекция Hz в этот момент времени равна нулю. Составляющая Hx равна нулю на боковых стенках волновода (x=0 и x=a) и достигает максимума при x=a/2. Составляющая Hz максимальна на боковых стенках волновода и равна нулю в середине волновода.
Изображенная картина поля волны в волноводе перемещается вдоль него с фазовой скоростью в волноводе.
Волна Н10 нашла широкое применение на практике для передачи электромагнитной энергии в сантиметровом диапазоне. В технике РТО это посадочные радиолокаторы РСП, микроволновые системы посадки типа МСП.
Н-ВОЛНЫ ВЫСШИХ ТИПОВ
Все неосновные типы колебаний называются волнами высших типов. В случае передачи электромагнитной энергии в волноводе волной Н10 они являются паразитными и принимаются специальные меры (рассмотрим их ниже) борьбы с ними.
В некоторых случаях высшие типы волн применяют в облучателях различных антенных систем техники связи и РТО для создания заданного распределения поля по раскрыву апертурной антенны. Из Н-волн широкое применение нашли волны Н20, Н01 и Н11. Для получения уравнений, описывающих поле этих типов, необходимо в уравнения (22) подставить соответствующие индексы m и n. На рисунке 5 а, б, в приведены соответственно структуры полей Н20, Н01 и Н11 в поперечном сечении.
а б в
Рис. 5. Высшие типы волн в прямоугольном волноводе
Структура поля волны высшего типа в поперечном сечении волновода получается из основной путем m- и n-кратного повторения последней по соответствующей координате. При каждом очередном повторении направления силовых линий электрического и магнитного полей изменяются на обратные. Эти типы волн широко применяются в антенной технике (распределение поля в облучателях).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Учебное пособие подготовлено по материалам лекционных курсов, в котором подробно рассматриваются основные положения электродинамики. Излагаются вопросы теории электромагнитных полей и волн. Описываются пассивные линейные устройства антенно-фидерных трактов радиотехнических систем и волоконно-оптических линий связи. Приводятся сведения о методах анализа, технических характеристиках и конструктивных особенностях таких устройств как регулярные волноводы и устройства СВЧ.
В пособии систематически и подробно рассматриваются основные положения электродинамики и их применение к исследованию различных электромагнитных явлений, которые играют важную роль в технике. При изложении всего материала особое внимание уделяется четкому и последовательному введению системы понятий электродинамики, физической интерпретации получаемых результатов и выявлению общих закономерностей, присущих различным родственным явлениям.
В заключении рассмотрены перспективы развития СВЧ техники на основе использования современных информационных технологий.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ОГЛАВЛЕНИЕ
|
ВВЕДЕНИЕ |
3 |
|
3 |
|
3 |
|
5 |
|
8 |
|
10 |
|
13 |
|
13 |
|
13 |
|
14 |
|
17 |
|
19 |
|
21 |
|
22 |
|
22 |
|
22 |
|
25 |
|
29 |
|
30 |
|
32 |
|
36 |
|
36 |
|
37 |
|
39 |
|
42 |
|
43 |
|
46 |
|
46 |
|
50 |
|
52 |
|
52 |
|
56 |
|
59 |
|
62 |
|
62 |
|
66 |
|
69 |
|
70 |
|
70 |
|
70 |
|
73 |
|
76 |
|
78 |
|
81 |
|
81 |
|
82 |
|
85 |
|
87 |
|
89 |
|
93 |
|
95 |
|
99 |
|
101 |
|
102 |
|
104 |
|
|
107 |
|
|
107 |
|
|
108 |
|
|
113 |
|
|
114 |
|
|
117 |
|
ЗАКЛЮЧЕНИЕ |
118 |
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
119 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
120 |
PAGE \* MERGEFORMAT 45
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
1
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8