тематики С

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Костанайский государственный университет им. А.Байтурсынова

Кафедра математики

С.М. Рыщанова

Математика 2

Учебно-методический комплекс

Специальности 050724- Технологические машины и оборудование,

050713-Транспорт и транспортная техника

Костанай, 2006

ББК 22.1.

Р.95

Составитель:

Рыщанова Сания Мухамедияровна старший преподаватель кафедры математики

Рецензенты:

Б. Касымханулы - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Костанайского ГПИ,

М.Г. Тастанов - кандидат физико–математических наук, доцент кафедры математики КГУ им.А.Байтурсынова.

Рыщанова С.М..

Р.95. Математика. Учебно-методический комплекс, Костанай: КГУ им. А.Байтурсынова, 2006.- 95 с.

В учебно-методический комплекс включены рабочая учебная программа (силлабус), тезисы лекций, контрольные вопросы

Предназначен для студентов специальности: 050724- Технологические машины и оборудование и 050713-Транспорт и транспортная техника

ББК 22.1.

Утвержден Методическим советом Института математики и компьютерных технологий, протокол № ___, от _____.______2006 г.

©Костанайский государственный

университет им. А.Байтурсынова

Содержание

SYLLABUS	4
1 Данные о преподавателях	4
2 Данные о дисциплине	4
3 Пререквизиты дисциплины	4
4 Постреквизиты дисциплины	4
5 Краткое описание дисциплины	5
6 Цель и задачи дисциплины	5
7 Технологическая карта	6
8 Содержание дисциплины	7
8.1 Лекционные занятия	7
8.2 Практические занятия	8
9 Самостоятельная работа студентов	9
9.1 График выполнения и сдачи заданий СРС и СРСП по дисциплине	9
10 Вопросы рубежных контролей	10
11 Информация по оценке знаний	11
12 Политика и процедуры изучения курса	12
13 Список рекомендуемой литературы	12
14 Распределение баллов по видам и формам контроля	14
ТЕЗИСЫ ЛЕКЦИЙ	15
Тема 1 Функции нескольких переменных	15
Тема 2 Экстремум функции нескольких переменных Тема 3 Двойной интеграл	19 21
Тема 4 Дифференциальные уравнения первого порядка	25
Тема 5 Дифференциальные уравнения высших порядков	30
Тема 6 Числовые ряды.	34
Тема 7 Степенные ряды.	38
Тема 8 Ряд Фурье	45
Тема 9 Основные понятия и теоремы теории вероятностей	51
Тема 10 Повторные независимые испытания	56
Тема 11 Случайные величины. Основные понятия	59
Тема 12 Числовые характеристики случайных величин	62
Тема 13 Основные законы распределения СВ	66
Тема 14 Закон больших чисел	71
Тема 15 Выборочный метод	74
Тема 16 Статистические оценки	78
Тема 17 Проверка гипотез	82
ТЕСТЫ	86
Экзаменационные вопросы	94

SYLLABUS

Данные о преподавателях

Лектор

Рыщанова Сания Мухамедияровна,

старший преподаватель

Образование:

с 1974-1978 Костанайский пединститут, специальность «Математика»;

с 1998-2000 КГУ им. А. Байтурсынова,

специальность «Бухгалтер-аудитор»

Работа в ВУЗе

с 1984 года

Подразделение:

ИМиКТ, корпус 1а, кафедра математики, каб.226

Данные о дисциплине

Код, название дисциплины: Mat 1201 Математика

Название курса: «Математика 2»

Количество кредитов: 3 кредита – 2 семестр.

Место проведения занятий: занятия проводятся согласно расписанию.

Консультационные часы: согласно расписанию консультаций СРСП.

Выписка из учебного плана:

Код дисциплины	Дисциплина	Курс	Семестр	Кредиты	Лекции	Практ. занятия	СРСП	СРС	Всего	Форма контроля
Mat 1201	Математика	1	2	3	30	15	45	45	135	экзамен

3 Пререквизиты дисциплины

Для успешного освоения дисциплины «Математика 2» необходимо знание школьного курса математики

4 Постреквизиты дисциплины

Математика для инженера – это метод мышления, поэтому студенты должны хорошо овладеть математикой. Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также элементом общей культуры.

Будущие специалисты получают представление о применении математики в различных отраслях техники и естествознания: в гидравлике, в математических задачах энергетики, теории надежности, теории массового обслуживания и во многих других теоретических и прикладных науках. Освоение курса «Математика 2» в дальнейшем способствует успешному освоению таких дисциплин обязательного компонента, как: теоретическая и прикладная механика, надежность и ремонт машин, начертательная геометрия, метрология, математические задачи энергетики, гидравлика

5 Краткое описание

Важное значение в курсе «Математики 2» отводится изучению дифференциального исчисления функции двух переменных – математическому аппарату, широко используемому для нахождения оптимальных значений различных показателей, т.е. решение задач на экстремум. Фундаментальные понятия математического анализа иллюстрируются примерами их применения в задачах инженерного содержания.

Рассматриваются дифференциальные уравнения первого и высших порядков, а также числовые, степенные ряды и ряды Фурье.

Теория вероятностей и математическая статистика имеет широкое применение на практике. Многие случайные величины, такие как ошибки при измерениях, величины износа деталей некоторых механизмов, отклонения точки попадания от некоторого центра при стрельбе, отклонения размеров от номинальных у подчиняются нормальному распределению.

В теории надежности нормальное распределение применяется при оценке надежности элементов, подверженных действию старения и изнашивания, а также разрегулировки, т.е. при оценке постепенных отказов.

6 Цели и задачи курса

Целью преподавания курса математики является выработка у студентов умения проводить математический анализ прикладных задач и овладение основными математическими методами исследования и решения таких задач.

Задачи преподавания математики:

повышение уровня фундаментальной математической подготовки студентов;
привитие студентам навыков использования математического аппарата при решении различных задач,
способствовать развитию логического мышления и творческих способностей студентов
формировать у студентов умение самостоятельно расширять и углублять математические знания
усиление прикладной направленности курса высшей математики

После окончания курса студенты должны

знать курс высшей математики в объеме часов рабочей программы.

уметь:

проводить математический анализ прикладных (инженерных) задач;
использовать математические методы исследования в решения таких задач,
самостоятельно работать с основной и дополнительной литературой по математике

7 Технологическая карта

Неделя	№ п\п	Наименование темы	Распредел. аудитор-ных часов часов	СРС	Виды и баллы контроля	№ и форма СРС	Макс балл
			лек	практика	СРСП		ТК	РК
Раздел 1.Функции нескольких переменных
1	1	Функция нескольких переменных. Основные понятия	2	1	2	2	2		ПО	2
2	2	Экстремум функции нескольких переменных	1	1	2	2	2		МД	2
3	3	Двойной интеграл	2	1	3	3	4		ПО	4
3		ИДЗ						5		5
Раздел 2. Ряды
4	4	Числовые ряды.	2	1	5	5	2		ПО	3
5	5	Степенные ряды	2	1	4	4	2		МД	2
6	6	Ряды Фурье	1		2	2	2			2
Раздел 3. Дифференциальные уравнения
7	7	Дифференциальные уравнения первого порядка	3	2	4	4	3		УО	3
8	8	Дифференциальные уравнения высших порядков	2	1	4	4	2		ПО	2
8		Коллоквиум						5		5
		1 аттестация								30
Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
9	9	Основные понятия теории вероятностей. Основные теоремы	3	2	5	5	6		ПО	6
10	10	Повторные независимые испытания	2	1	4	4	4		УО	4
11		Контрольная работа		1				5		5
11	11	Случайные величины. Основные понятия	1	1	4	4	5		ИДЗ	5
12	12	Числовые характеристики СВ	2	1
13	13	Законы распределения СВ	1
13	13	Закон больших чисел	1
14		ИДЗ						5		5
14	14	Выборочный метод.	2		2	2	3		ПО	3
15	15	Статистические оценки	2	1	3	3			ПО
15	15	Проверка статистических гипотез	1		1	1	2		УО	2
		2 аттестация								30
		Итого за 2 семестр	30	15	45	45	40	20		60

8 Содержание дисциплины

8.1 Лекционные занятия

Неделя	№ п\п	Наименование темы	Количество часов	Литература
Раздел 1.Функции нескольких переменных
1	1	Функция нескольких переменных. Основные понятия	2	11 стр 317-324
2	2	Экстремум функции нескольких переменных	1	14 стр 236, 5 стр.389
3	3	Двойной интеграл	2	11 стр 455-466
Раздел 2. Ряды
4	4	Числовые ряды.	2	5 стр 495, 16 стр.379
5	5	Степенные ряды	2	5 стр.519, 16 стр.391
6	6	Ряды Фурье	1
Раздел 3. Дифференциальные уравнения
7	7	Дифференциальные уравнения первого порядка	3	5 стр.561, 14стр.439
8	8	Дифференциальные уравнения высших порядков	2	5 стр. 580, 14 стр.510
Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
9	9	Основные понятия теории вероятностей. Основные теоремы	3	10 стр7-43, 15 стр16-51
10	10	Повторные независимые испытания	2	10 стр 450-521, 5 стр 67-86
11	11	Случайные величины	1	10 стр.57-153, 15 стр.86-107
12	12	Числовые характеристики СВ	2	10 стр.67-76
13	13	Законы распределения СВ	1	15 стр.60-66
13	13	Закон больших чисел	1	15 стр.90-120
14	14	Выборочный метод.	2	10 стр.185-230.
15	15	Статистические оценки	2	15 стр.286-330
15	15	Проверка статистических гипотез	1	10 стр282-288, 15стр334-371
		Итого за 2 семестр	30

8.2 Практические занятия

Неделя	№ п\п	Наименование темы	Количество часов	Литература
Раздел 1. Функция нескольких переменных
1	1	Функция нескольких переменных. Основные понятия	1	20№3213-3221, 3257-3261
2	2	Экстремум функции нескольких переменных	1	20№811-830
3	3	Двойной интеграл	1	20№2136-2150
Раздел 2. Ряды
4	4	Числовые ряды.	1	20№2546-2549, 2576-2580,2660
5	5	Степенные ряды	1	20№2716-2727
Раздел 3. Дифференциальные уравнения
7	7	Дифференциальные уравнения первого порядка	1	19№115,121,126,133,143,148, 153,182
8	8	Дифференциальные уравнения высших порядков	1	19№167,177,186,188,193,219,257,2
Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
8- 9	9	Основные понятия теории вероятностей. Основные теоремы	2	19№16,18,20,42,56,57,81,83,93,94
10	10	Повторные независимые испытания	1	19№115,121,126,143,148,153,182
12		Контрольная работа	1
13	10	Случайные величины. Основные понятия	1	19№167,177,186,188,193,219,2
13	11	Числовые характеристики СВ	1	19№57,261,269,283,316,329
15	12	Статистические оценки	1	19№442,445,454,461,464,472,475
		Итого за 2 семестр	15

Самостоятельная работа студентов

9.1 График выполнения и сдачи заданий СРС и СРСП по дисциплине

Неделя	№ п\п	Наименование темы	Цель и содержание задания	Литература	СРСП	СРС	№ и форма СРС	Срок сдачи (неделя)
Раздел 1. Функция нескольких переменных
3	1	Понятие функции нескольких пере-менных. Экстремум функции несколь-ких переменных	Уметь нахо-дить частные производные, градиент функции	14стр 236, 5стр389	1	2	ПО	9
Раздел 2. Ряды
5	2	Числовые ряды. Признаки сходимости	Уметь иссле-довать ряды на сходимость	5стр495, 16стр 379	2	3	ПО	10
7	3	Степенные ряды. Разложение функ-ций в степенные ряды	Находить радиус и интервал сходимости	5стр519, 16стр 391	2	2	МД	11
Раздел 3. Дифференциальные уравнения
9	4	Дифференциальные уравнения первого порядка	Знать методы решения диф-ференциальные уравнения первого порядка	5стр561, 14стр 439	2	1	УО	11
10	5	Дифференциальные уравнения высших порядков	Уметь нахо-дить общее и частное реше-ние диффе-ренциальные уравнения	5стр 580, 14стр 510	3	2	ПО	12
Раздел 4. Элементы теории вероятностей и математическая статистика
11	6	Основные понятия теории и теоремы теории вероятностей.	Знать основные понятия ТВ	10стр 743, 15 стр16-51	1	1	ПО	13
13	7	Повторные независимые испытания.	Уметь вычислять вероятность события при повторных независимых испытаниях	10стр 45052, 15стр 67-86	1	1	УО	14
13	8	Случайные величины, числовые характеристики ДСВ и НСВ. Основные законы распределения	Знать основ-ные законы ДСВ и НСВ, уметь вычи-слять число-вые характе-ристики	10стр. 57-153, 15стр 86-107	2	3	ИДЗ-3	15
14	9	Выборочный метод. Точечные и интервальные оценки	Уметь нахо-дить выбороч-ные характе-ристики	10, стр.185, 230. 15стр. 286-330	2	2	ПО	16
15	10	Проверка гипотез. Критерий Пирсона проверки гипотезы о нормальном распределении	Знать этапы проверки гипотез, понятие ошибки первого и второго рода	10стр 282-288, 15стр 334-371	2		УО	17
		Итого за 2 семестр			45	45

Примечание:

ТК-Текущий контроль, К-коллоквиум, УО-устный опрос

ТО-Тестовый опрос, МД-математический диктант,

РК-Рубежный контроль, ПО-письменный опрос, ПЗ-письменное задание

ИДЗ-индивидуальное домашнее задание

10 Вопросы рубежных контролей

Раздел 1. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Предел и непрерывность функции. Частные производные и полный дифференциал. Производная по направлению и градиент функции. Экстремум функции нескольких переменных. Двойной интеграл

Раздел 2. Ряды. Числовые ряды. Необходимый и достаточные признаки сходимости Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости .Разложение функций в степенные ряды. Ряды Фурье

Раздел 3. Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика

Основные понятия теории вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы Бернулли, Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Повторные независимые испытания.. Случайные величины. Выборочные характеристики .Статистические оценки. Проверка гипотез.

11 Информация по оценке знаний

Согласно Положению о блочно-рейтинговой системе контроля и оценки знаний студентов КГУ 003-2005, оценка знаний студентов проводится на основе блочно-рейтинговой системы контроля (БРСК), которая предполагает проведение текущего, рубежного и итогового видов контроля, оцениваемых в рейтинговых баллах. Текущий контроль – систематическая проверка знаний студентов по отдельным вопросам и темам, осуществляется преподавателем в рамках практических занятий и СРСП.

Рубежный контроль предполагает проверку учебных достижений студентов по завершенным темам, разделам программы. Пересдача рубежного контроля не допускается! Сумма баллов за текущий и рубежный контроль составляет семестровый рейтинг студента. Для учета результатов текущего и рубежного контроля проводятся 2 внутрисеместровые аттестации, оцениваемые по 30 баллов каждая. Результаты аттестации заносятся в компьютерную базу данных. Соответствие аттестационных оценок и аттестационных рейтинговых баллов определяется на основе таблицы А.

Максимальный семестровый рейтинг студента по итогам двух внутрисеместровых аттестаций составляет 60 баллов.

На итоговом контроле (экзамене) студент может получить не более 40 баллов. Итоговая оценка по дисциплине выставляется на основе семестрового рейтинга и баллов, полученных студентом на экзамене (итоговый контроль).

Для получения положительной итоговой оценки студент должен быть допущенным к сдаче экзамена по итогам внутрисеместровых аттестаций, получить на экзамене не менее 20 баллов и по сумме не менее 50 баллов.

Пересдача рубежного контроля не допускается!

Таблица А

Кредитная система

Усвоение учебной

дисциплины,

%(бал.)

Рейтинг студента

Оценка по традиционной системе

Цифровая оценка

Буквенная оценка

Максимальный семестровый рейтинг

ИКИсем60 бал.

Максимальный итоговый

рейтинг

ИКИсем40 бал.

4,0

3,67

А-

95-100

90-94

57-60

54-56

38-40

36-37

5 – «отл.»

3,33

3,0

2,67

В+

В-

85-89

80-84

75-79

51-53

48-50

45-47

34-35

32-33

30-31

4 – «хор.»

2,33

2,0

1,67

1,33

1,0

С+

С-

D+

70-74

65-69

60-64

55-59

50-54

42-44

39-41

36-38

33-35

30-32

28-29

26-27

24-25

22-23

20-21

3 – «удовл.»

0-49

0-29

0-19

2 – «неудовл.»

12 Политика и процедуры изучения курса

Для успешного усвоения дисциплины и получения высокой итоговой оценки необходимо:

посещаемость занятий (без пропусков и опозданий), при отсутствии по уважительной причине необходимо своевременно получить индивидуальное задание и отработать пропуск;
соблюдать дисциплину на занятиях (не разговаривать без разрешения преподавателя, не пользоваться сотовым телефоном и др. техникой без необходимости для учебного процесса, запрещено находиться в аудитории в верхней одежде);
активно участвовать в учебном процессе (точно и в срок выполнять задания);
быть подготовленным к контролю полученных знаний, умений и навыков (контроль может проводиться без предварительного предупреждения, полученные оценки включаются в итоговую
оценку);
Все задания по самостоятельной работе должны сдаваться в установленные сроки. Если задания сдаются не вовремя, то оценка по ним будет выставляться с понижающим коэффициентом 0,7.

13 Список рекомендуемой литературы

Основная:

Лунгу К.Н., Норин В.П. Сборник задач по высшей математике, М,2004
Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу. – М.: Издательство физико-математической литературы, 1968. – 272 с.
Виноградова И.А. ОлехникС.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу М.,1988
К.А Хасеинов. Каноны математики, Алматы,2003,686с.
Шнейдер В.Е.Краткий курс высшей математики, М.,1972
Мышкис А.Д. Математика для технических вузов: Специальные курсы: Учебник – 2-е изд.- СП б: Лань, 2002.
Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов.М.“Банки и биржи”, 1997г., изд.объединение “ЮНИТИ”
Куликов Л. Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел, М., Просвещение, 1993
Данко П.Е, Попов А.Г, Кожевникова Т.Н. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1,ч.2, М. Оникс, 2003
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, М, изд. «Высшая школа»,1974
Кудрявцев В.А Краткий курс высшей математики , М., 1985
Гнеденко Б.В.Курс теории вероятностей. М., Наука, 1988
А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1968
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1985. – 432 с
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика-М,2000, изд.объединение “ЮНИТИ-ДАНА”
Щипачев В. С. Основы высшей математики. М, Высшая школа, 1989.
Бугров Я.С. , Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980.
Куликов Л. Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел, М., Просвещение, 1993
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике, М, изд. «Высшая школа»,1974
Демидович Б.П.Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М.1977

Дополнительная

21. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М: Наука, 1965-80.

22. Рябушко А.П. и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Минск, Вышэйшая школа, 1990.

23.А.И. Карасев. Теория вероятностей и математическая статистика. М.,

Статистика, 1970.

24.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1, ч. 2. – М.:

Наука, 1971.

14 Распределение баллов по видам и формам контроля

№ п/п	Виды контроля	Форма контроля	Баллы	Недели	Рейтинг
				1	2	3	4	5	6	7	8	1 аттестация	9	10	11	12	13	14	15	2 аттестация	семестровый	итоговый	общий
1	ТК	ИДЗ	5			*						5						*		5	5		10
2	ТК	Устный опрос	3		*	*	*	*	*	*		18			*	*	*	*	*	18	18		36
3	ТК	Конспекты лекций	2							*		2							*	2	4		4
4	РК	Коллоквиум	5								*	5									5		5
5	РК	Контрольная работа	5												*					5	5		5
6	ИК	Тестовый опрос	40																			40	40
		Всего										30								30	60	40	100
				Блок 1	Блок 2

Примечание 1. Студент, набравший по итогам семестра 30 баллов, допускается к сдаче экзамена. Для получения положительной оценки необходимо на экзамене набрать не менее 20 баллов.

Примечание 2. При наличии пропусков занятий действует система отработок через выполнение и защиту задач по пропущенной теме.

пропущенной теме.

ТЕЗИСЫ ЛЕКЦИЙ

Тема 1. Функция двух переменных

Цель лекции: определение функции двух переменных, объяснить физический смысл частных производных

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

Основные понятия
Частные производные функции двух переменных
Полный дифференциал функции двух переменных
Производная по направлению. Градиент функции

1.Основные понятия

Опр. Функцией z=f(x;y) называется правило, по которому каждому набору значений переменных x и y ставится в соответствие определенное значение переменной z

Опр. Графиком функции z=f(x;y), определенной в области D, называется множество точек (x;y;z) трехмерного пространства таких, что z=f(x;y) для всех (x;y)D

Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x, y).

Если переменной х дадим приращение ∆х, оставляя при этом переменную у неизменной, то разность f(x+∆x,y)- f(x,y) называется частным приращением функции z по переменной х и обозначается через ∆xz.

∆xz = f(x+∆x,y) - f(x,y).

Если переменной у дадим приращение ∆у, оставляя при этом неизменной переменную х, то разность f(x,y+∆y)-f(x,y) называется частным приращением функции z по переменной у и обозначается через ∆yz.

∆yz = f(x,y+∆y) - f(x,y).

Если переменная х получает приращение ∆х, а переменная у получает приращение ∆у, то разность f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y) называется полным приращением функции z обозначается через ∆z = f(x+∆x,y+∆y) - f(x,y) .

Опр. Функция z=f(x,y)называется непрерывной в точке P0(a,b), если она определена в этой точке и если

f(x,y) = f(a,b)

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых нарушены условия непрерывности функции, называются точками разрыва.

2.Частные производные первого порядка

Отношение выражает среднюю скорость изменения функции z на отрезке PP1, то есть при перемещении точки P(x,y) в точку P1(x+Δx,y).

дает истинную скорость изменения функции z по аргументу х.

Отношение выражает среднюю скорость изменения функции z на отрезке PP2, то есть при перемещении точки P(x,y) в точку P2(x,y+Δy)

Опр. Частной производной функции нескольких переменных по одной из переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемого аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

= ; =

Частная производная по х от функции z=f(x,y) обозначается одним из символов , zx, f x (x,y)

Пример. Найти частную производную функции по аргументу х

Решение

Частная производная по у от функции z=f(x,y) обозначается одним из символов , zy, f y (x,y)

Пример. Найти значения частных производных первого порядка функции в точке А (0; 1)

Решение

Производные называются смешанными.

3. Полный дифференциал функции двух переменных

Величина называется полным приращением функции в точке (х,у).

Опр. Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется сумма произведений частных производных на соответствующие приращения переменных.

Полный дифференциал функции z=f(x,y) обозначается через dz и вычисляется по формуле

dz= Δх + Δу

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, то есть dx=Δx и dy=Δy. Поэтому формулу полного дифференциала можно записать так:

dz = dх + dу

Теорема (достаточные условия существования полного дифференциала) Если функция z=f(x,y) имеет в точке P0(x0,y0) непрерывные частные производные, то она имеет в этой точке полный дифференциал.

Опр. Если функция z=f(x,y) имеет полный дифференциал в точке P0(x0, y0), то она называется дифференцируемой в этой точке.

Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал функции любого числа переменных.

Производная по направлению.

Градиент функции

Пусть функция z = f (x, y) непрерывна в некоторой области D.

Пусть точке Р (х, у) из этой области соответствует на поверхности z = f (x, y) точка М (x, y, z), а точке Р1 (х + Δх,, у + Δу) точка М1 (х + Δх,, у + Δу, z + Δz) (см. рис.).

Пусть вектор направление которого мы обозначим через , образует с осью Ох угол α, а с осью Оу угол β.

Приращение Δz = f (P1) – f (P) возникло в результате перемещения точки Р по направлению вектора на величину PP1 = Δl.

Отношение выражает среднюю скорость изменения функции z в направлении на участке Δl, а предел этого отношения при Δl → 0 выражает мгновенную скорость изменения функции z в точке Р в направлении

Опр. Производной функции двух переменных z = f (x, y) в данном направлении называется предел отношения при условии, что Δl → 0, то есть .

Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке Р (х, у),

то (1)

где cosα и cosβ –направляющие косинуса луча l, α и β-углы, которые луч lсоставляет с осями координат.

Понятие производной в данном направлении можно перенести на случай, когда имеется функция трех независимых переменных u = f (x, y, z), заданной в некоторой области V.

В этом случае производная по направлению находится по формуле:

(2)

где, α, β и γ – углы, образуемые вектором с осями координат.

Производная от функции u = f (x, y, z) по направлению характеризует скорость изменения функции по этому направлению.

Опр. Градиентом скалярной функции z = f (x, y) называется вектор плоскости xOy, имеющий проекции на оси Ох и на оси Оу. Градиент обозначается символом grad z.

grad z = i + j. (3)

Градиент функции z=f(x,y) есть вектор с координатами (,)

Градиент скалярного поля показывает направление наибольшего роста функции z = f (x, y).

Модуль градиента равен наибольшему возможному значению производной от функции z в данной точке в любом направлении.

Модуль вектора градиента вычисляется по формуле:

Скорость наибольшего возрастания поля равна модулю градиента

Опр. Градиентом скалярной функции u = f (x, y, z) называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, то есть

grad u = i +  j + k (4)

Вектор grad u в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку, в сторону возрастания функции.

Пример. Найти градиент функции z= в точке M(2;1).

Решение.

Найдем частные производные по х и по у. Подставим в производные координаты точки М.

=2х+2у ; =2х-2у; (2;1)=22+2=6; (2;1)= 22-2=2.

Тогда grad z= 6+2

Вопросы для самопроверки

Что называется функцией двух независимых переменных? Каков ее геометрический смысл?
Что называется областью существования (определения) функции двух переменных?
Что называется пределом функции двух независимых переменных?
Сформулируйте определение непрерывности функции двух переменных в точке и в области.
Что называется частным приращением функции двух переменных? полным приращением функции двух (нескольких) переменных?
Дайте определение частной производной функции двух (нескольких) переменных.
Укажите геометрический смысл частных производных функции двух переменных.
Что называется частным дифференциалом функции двух переменных и каков геометрический смысл?
Что называется полным дифференциалом функции двух (нескольких) переменных?
Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции?
Что называется полной производной и как она находится?
Сформулируйте правило дифференцирования неявной функции одной независимой переменной; двух независимых переменных.
Что называется частной производной второго порядка?
Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных второго порядка.
Как находится градиент функции и производная по направлению?

Литература: [14].стр.236, [4] стр212, [16] стр284

Тема 2. Экстремум функции двух переменных

Цель лекции: объяснить необходимые и достаточные условия экстремума

Вопросы, выносимые на рассмотрение

Необходимое и достаточное условие экстремума
Нахождение экстремума функции двух переменных

Необходимые и достаточные условия экстремума

Опр. Функция имеет максимум в точке , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от нее, выполняется условие

Опр. Функция имеет минимум в точке , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от нее, выполняется условие

Опр. Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют называются критическими (или стационарными) точками функции z=f(x,y).

Точками экстремума непрерывной функции двух переменных могут быть и точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуют острия поверхности - графика функции). Так, например, функция имеет, очевидно, в начале координат минимум, равный нулю, но в этой точке функция недифференцируема; график этой функции есть круглый конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью .

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция z= f(x,y) имеет экстремум в точке М0(х0,у0), то частные производные и обращаются в нуль в этой точке или хотя бы одна из этих производных не существует.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть в критической точке М0(х0,у0), и некоторой ее окрестности функция z= f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.

Вычислим  =АС-В2 , где

где -координаты критической точки.Тогда

а) если >0, то в данной критической точке М (х0; у0) функция имеет экстремум; при А<0 (или C<0), точка максимума, а при А>0 (или C>0), точка минимума;

б) если <0, - то в точке М (х0; у0) нет экстремума

в) =0 требуется дальнейшее исследование

2. Нахождение экстремума функции двух переменных

Исследование на экстремум функции двух переменных производится по следующему правилу.

Найти частные производные первого порядка и
Эти производные приравнять к нулю, решить полученную систему уравнений. Найти критические точки, в которых производные равны нулю или не существуют и которые лежат внутри области определения.
Найти частные производные второго порядка.
Вычислить значения частных производных второго порядка в критических точках.
Составить выражение  =АС-В2
Исследовать критические точки по знаку определителя  .

Пример. .

.
1. .

Получим одну стационарную точку (1;1)

3. .

4. .

5. .

6. Так как и , то в точке (1;1) функция имеет максимум:

Пример. (самостоятельно) Дизельный завод выпускает два вида двигателей: карбюраторные и двигатели с наддувом и продает их по цене 5800 тенге и 3600 тенге соответственно (цены условные). Функция издержек (затрат) имеет вид:

С=7х12+4х1х2+3х22, где х1 и х2 – объем выпуска соответственно первого и второго типа двигателей. Найти значения х1 и х2, при которых прибыль, получаемая заводом будет максимальной.

( Ответ: х1=300, х2=400 двигателей, П=3021000 тенге.)

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции двух переменных

2. Сформулируйте достаточное условие экстремума функции двух переменных

3.Какие точки называются критическими (или стационарными) точками функции z=f(x,y).

Литература: [14].стр.271, [4] стр.230, [16] стр301

Тема 3. Двойной интеграл

Цель лекции: ознакомление с основными свойствами двойного интеграла и его приложениями

Вопросы, выносимые на рассмотрение

Основные понятия и определения
Основные свойства двойного интеграла.
Вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах
Приложения двойного интеграла

1. Основные понятия и определения

Пусть в замкнутой области D плоскости Oxy задана непрерывная функция .

1. Разобьём область D на n «элементарных областей» Di , площади которых обозначим через Si, а диаметры (наибольшее расстояние между двумя точками области) – через di

В каждой области Di выберем произвольную точку Mi(xi;yi), умножим значение f(xi;yi) функции в этой точке на Si
Составим сумму всех таких произведений:

(1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x;y) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (1), при неограниченном увеличении числа малых площадок (когда n стремится к бесконечности таким образом, что

Если существует конечный предел интегральных сумм, который не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D.

(2)

Т.к. предел интегральных сумм не зависит от способа разбиения области, то мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям.

где D – область интегрирования;

x и y – переменные интегрирования;

dxdy- элемент площади в

декартовых координатах и равно

площади прямоугольника со сторонами dx и dy.

В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D;

Теорема (достаточное условие интегрируемости функции)

Если функция непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

2. Основные свойства двойного интеграла

1.Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла

, c – const.

2. Линейность. .

3. Аддитивность. Если область D разбить линией на две области D1 и D2 такие, что D1UD2 = D, а пересечение D1 и D2 состоит лишь из линии, их разделяющей, то

4. Монотонность. Если в области D функции f(x;y) и φ(x;y) удовлетворяют неравенству:

f(x;y) ≥ φ(x;y), то и .

5.Если в области D имеет место неравенство f(x;y) ≥ 0, то и .

6. , так как .

7. Оценка интеграла.

Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то

где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

8. Свойство среднего

Теорема о среднем значении. Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка Р(x0;y0), что .

Величину называют средним значением функции f(x;y) в области D.

Вычисление двойного интеграла в декартовых

и в полярных координатах

(3)

Формула (3) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление двойного интеграла сводят к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Правую часть формулы (3) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x;y) по области D.

При этом называют внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берём внутренний интеграл, считая x постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е. результат первого интегрирования интегрируем по x в пределах от a до b.

Если область D ограничена прямыми y=c и y=d (c<d), кривыми х=1(y) и x= 2(y), причем 1≤2 для всех , т.е. область D – правильная в направлении оси Ox, то, рассекая тело плоскостью y=const, аналогично получим: (4)

Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем y постоянным.

Замечание.

Границы внешнего интеграла в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:

(5)

где D* - область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовых координатах.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу.

Замечания.

Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид ; область есть круг, кольцо или часть таковых.

2. На практике переход к полярным координатам осуществляется путём замены ;

4. Приложения двойного интеграла

1.Геометрический смысл двойного интеграла: величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объёму цилиндрического тела, ограниченного снизу областью D, сверху- поверхностью , а с боков цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Оz.

Объем цилиндрического тела

2. Физический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от функции (x;y) численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию (x;y) считать плотностью этой пластинки в точке (x;y)

Масса плоской пластинки

3. Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле , то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Объём такого цилиндра, как известно, численно равен площади основания или в полярных координатах:

4. Статические моменты фигуры относительно осей и могут быть вычислены по формулам

5. Координаты центра тяжести плоской фигуры по формулам:

6. Моменты инерции плоской фигуры относительно осей и могут быть вычислены по формулам

Момент инерции фигуры относительно начала координат:

Вопросы для самопроверки:

Что называется двойным интегралом ?
Сформулируйте известные вам свойства двойного интеграла.
Каков геометрический и физический смысл двойного интеграла?
Запишите формулу для вычисления площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла.

Литература: [16].стр.307, [11]стр.455

Тема 4. Числовые ряды

Цель лекции: ознакомление с необходимым и достаточными признаками сходимости числового ряда

Вопросы, выносимые на рассмотрение

Основные понятия. Сходимость числового ряда
Необходимый признак сходимости
Основные свойства сходящихся рядов
Достаточные признаки сходимости числового ряда

Основные понятия. Сходимость числового ряда

Опр. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , соединенных знаком сложения: ……=

Числа называется членами ряда, а общим членом ряда.

Общий член ряда является функцией от n. Если известно аналитическое выражение этой функции, то, давая n последовательно значения 1,2,3…, можно найти сколько угодно членов ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член

Опр. .Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается S: S.

Частичная сумма S есть переменная величина, она является функцией натурального числа n.

Опр. Если бесконечная последовательность частичных сумм ряда S,S,S- имеет конечный предел, то есть то ряд называется сходящимся.

Число S называется суммой сходящегося ряда.

Опр. Если частичная сумма не имеет конечного предела при , то ряд называется расходящимся. В этом случае не имеет смысла говорить о его сумме.

Опр. Если ряд сходится и его сумма равна S, то разность S-S называется n- м остатком ряда и обозначается R.

Остаток R- также является числовым рядом.

Необходимый признак сходимости числового ряда

Теорема ( необходимый признак сходимости ).

Если ряд - сходится, то его общий член u стремится к нулю при , то есть .Если же , то ряд расходится.

Доказательство.

Общий член можно представить в виде разности частичных сумм и , то есть .Так как ряд по условию сходится, то , S- сумма ряда. С другой стороны, при частичная сумма будет иметь тот же предел .

Следовательно,

Пример. Проверить, выполняется ли необходимый признакпризнак сходимости для ряда

Решение.

Общий член Так как , то необходимое условие сходимости не выполняется. Следовательно данный ряд расходится.

Пример. Проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости для ряда:

Решение.

Этот ряд называется гармоническим. Этот ряд всегда расходится, хотя для него выполняется необходимое условие сходимости.

3.Основные свойства сходящихся рядов

Свойство 1. Если ряд сходится и имеет сумму S, то его можно почленно умножить на одно и тоже число С (С0) . При этом полученный ряд тоже сходится и имеет сумму СS.

Свойство 2. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать. Если ряд сходится и имеет сумму А, а ряд сходится и имеет сумму В, то ряд сходится и имеет сумму А+В, а ряд сходится и имеет сумму А-В.

Свойство 3. Если ряд сходится, то сходится ряд, полученный из данного путем приписывания или отбрасывания любого конечного числа членов.

4.Достаточные признаки сходимости

Теорема (признак сравнения 1).

Пусть даны два ряда с положительными членами:

(1)

(2),

причем каждый член первого ряда не превосходит соответствующего члена другого заведомо сходящегося ряда, то

если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1)
1. если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2)

Теорема (признак сравнения 2).

Если при существует конечный отличный от нуля предел отношения общих членов рядов (1) и (2), то есть k , то рассматриваемые ряды либо оба сходятся , либо оба расходятся.

Для сравнения используются ряды:

геометрический: .

При ряд сходится; расходится.

обобщенный гармонический ряд: сходится при расходится при .

3) гармонический: ряд расходится.

Теорема (признак сходимости Даламбера)

Если в ряде с положительными членами … …. (1) отношение (n+1)-го члена к n-му при имеет конечный предел q, то есть = q, то ряд (1) сходится при условии, что q< 1, и расходится при условии: q> 1.

Если q=1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. В этом случае должны быть использованы другие признаки сходимости.

Пример. Исследовать на сходимость ряд.

Решение.

=; = . Применяем признак Даламбера:

Так как q<1, то по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

Теорема (Радикальный признак сходимости Коши). Пусть -ряд с положительными членами и существует конечный предел

Если q 1, то данный ряд сходится,

если q >1, то ряд расходится,

если q =1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. В этом случае должны быть использованы другие признаки сходимости

Теорема (Интегральный признак сходимости Коши). Если функция f(x) на промежутке является непрерывной, положительной и монотонно убывающей, то числовой ряд. где сходится, если сходится несобственный интеграл и расходится если этот несобственный интеграл расходится.

Опр. Если среди членов данного ряда имеются как положительные, так и отрицательные, то такой ряд называется знакопеременным

Опр .Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если любые два члена рядом стоящие имеют противоположные знаки. Знакочередующийся ряд можно записать так:

Для знакочередующихся рядов справедлив следующий признак сходимости Лейбница.

Теорема (признак Лейбница).

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и предел общего члена равен нулю при , то ряд сходится и его сумма по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена.

Пример. Доказать сходимость ряда

Данный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают, так как следовательно, по признаку Лейбница этот ряд сходится.

Следствие. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена .

Пример. Дан сходящийся ряд

Сколько членов ряда достаточно учесть, чтобы допущенная ошибка была по абсолютной величине меньше 0,001?

Решение. так как то ограничиваясь суммой первых шести членов, будет допущена ошибка, абсолютная величина которой меньше 0,001

Пусть дан ряд с членами произвольного знака.

(3)

Составим новый ряд из абсолютных величин членов ряда:

(4)

Опр. Ряд (3) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то есть сходится ряд (4)

Опр. Ряд (3) называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то есть ряд (4), расходится.

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется числовым рядом? Общим членом ряда?

2. Что называется n-й частичной суммой ряда? Суммой ряда?

3. Какой ряд называется сходящимся? Расходящимся?

4. В чем состоит необходимый признак сходимости ряда?

5. Какой ряд называется гармоническим? Выполняется ли для него необходимый признак сходимости? Сходится ли гармонический ряд?

6. Сформулируйте достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов с положительными членами.

7. Сформулируйте признак Даламбера о сходимости ряда с положительными членами.

8. В чем состоит интегральный признак Коши о сходимости ряда с положительными членами?

9. Какой ряд называется знакочередующимся? Приведите признак Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда?

10. Сформулируйте правило оценки остатка сходящегося знакочередующегося ряда?

11. Сформулируйте достаточный признак сходимости знакопеременного ряда?

12. Какой ряд называется условно сходящимся? Абсолютно сходящимся?

13. Перечислите основные свойства абсолютно сходящихся рядов.

Литература: [16].стр.379,[11]стр360,[ 4 ]стр451

Тема 5. Степенные ряды

Цель лекции: ознакомление с интервалом и радиусом сходимости степенного ряда, разложением в степенной ряд функции ех , cosx, sinx, ln(1+x) , (1+х)m

Перечень вопросов, выносимых для рассмотрения:

Степенной ряд. Теорема Абеля.
Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Ряды Тейлора и Маклорена
Разложение в степенной ряд функции ех , cosx, sinx, ln(1+x) , (1+х)m

Степенной ряд. Теорема Абеля.

Пусть дана последовательность функций, имеющих общую область определения.

Опр. Функциональным рядом называется составленное из этих функций выражение вида: . (1)

Функциональный ряд при одних значениях аргумента х может оказаться сходящимся числовым рядом, а при других значениях аргумента х- расходящимся числовым рядом. Если функциональный ряд сходится при , то ряд сходится в точке х.

Опр. Областью сходимости ряда (1) называется совокупность всех значений аргумента х при которых этот ряд сходится.

Опр. Степенным рядом называется функциональный ряд, члены которого являются степенными функциями аргумента х, т.е. ряд вида:

(2)

где данное число, известные числовые коэффициенты.

В частности, если х= 0, то получаем степенной ряд:

(3)

Очевидно, степенной ряд (3) всегда сходится при х=0.

Определение области сходимости степенного ряда базируется на следующей теореме Абеля.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при , то он сходится абсолютно при любом значении х, удовлетворяющем неравенству .

Следствие. Если степенной ряд расходится при , то он расходится при любом значении х, удовлетворяющем неравенству .

2.Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Из теоремы Абеля следует, что если х 0 есть точка сходимости степенного ряда, то интервал (-х, х) состоит из точек сходимости данного ряда, при всех значениях х вне этого интервала ряд расходится.

Положим х= R . Тогда интервал называется интервалом сходимости ряда.

Число R называют радиусом сходимости степенного ряда

Если ряд сходится только при х=0, то полагаем R=0. Если же ряд сходится при любом значении х, то полагают R.

Чтобы найти область сходимости степенного ряда, надо сперва определить интервал сходимости и затем выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала, т.е. при х=-R и при х=R.

На практике радиус сходимости степенного ряда отыскивают с помощью признака Даламбера. Применим признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов ряда.

где .

Ряд сходится абсолютно при всех тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству.

или или или

где радиус сходимости . (4)

Замечание. Формула справедлива только в том случае, если степень х при переходе от одного числа к следующему возрастает строго на единицу.
Пример. Найти радиус сходимости ряда 1+

Решение. =

Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем точку

х = а, и в этом интервале имеет непрерывные производные от первой до n-го порядка включительно, то она может быть представлена в виде суммы многочлена n-й степени и остаточного члена Rn(x) по формуле Тейлора:

f(х) = f(а) + (5)

Предполагая, что функция f(x) имеет в окрестности точки х = а производные до (n + 1)-го порядка включительно, можно остаточный член Rn(x) записать в форме Лагранжа так:

где с – некоторое среднее значение между а и х, то есть х < с < а (или а < с < х).

Если в формуле Тейлора положить а = 0, то получим формулу Маклорена:

, (6)

где

а число с принадлежит интервалу (0,х).

Если функция f(x) имеет в некотором интервале, содержащем точку х=а, производные любого порядка и если для некоторого значения х остаточный член Rn(x) в формуле Тейлора стремится к нулю при n, то получим ряд Тейлора:

(7)

В частном случае, при а = 0 получаем ряд:

(8)

Ряд (8) называется рядом Маклорена.

Необходимое условие разложимости функции в ряд Маклорена:

Данная функция f(x) может быть разложена в ряд Маклорена, если она имеет производные любого порядка, то есть бесконечно дифференцируема в точке х = 0.

Необходимое и достаточное условия разложимости функции в ряд Маклорена:

Для разложимости функции f(x) в ряд Маклорена необходимо и достаточно, чтобы остаточный член Rn(x) стремился к нулю при n, то есть

(9)

Если условие (9) не имеет места, то степенной ряд, стоящий в правой части (8), не представляет собой функцию f(x). Если условие (7) выполняется на некотором промежутке, то на этом промежутке составленный ряд Маклорена сходится к функции f(x).

4.Разложение в степенной ряд функции ех , cos x, sin x, ln(1+x) ,(1+х)m

Пример. Разложить в степенной ряд функцию f(x) = ех

Решение. Последовательно дифференцируя функцию f(x), будем иметь:

Вычислим значения самой функции и ее производных при х = 0:

Подставив найденные значения производных в правую часть (8), получим следующий ряд:

(*)

Радиус сходимости этого ряда , то есть ряд сходится при любом значении х.

Если будет выполняться условие, что , то найденный ряд (*) будет представлять собой разложение функции ех.

Так как , то остаточный член в форме Лагранжа запишется так:

Так как ес есть величина ограниченная, а второй сомножитель стремится к нулю при n, то lim Rn (x) = 0. Следовательно, ряд (*) сходится к функции ех при любом х.

Таким образом,

Пример. Разложить в степенной ряд функцию

cosx = 1-+-   

Пример. Разложить в степенной ряд функцию

sinx =   

Пример. Разложить в степенной ряд функцию

= х - ++   

Пример. Разложить в степенной ряд функцию

Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = (1+х)m, где m – любое действительное число.

(10)

Ряд (10) называется биноминальным. Если m есть число целое и положительное, то правая часть (10) обрывается на (m+1)-м члене, так как все последующие члены в этом случае равны нулю.

Вопросы для самоконтроля:

Какой ряд называется функциональным?
Что называется областью сходимости функционального ряда?
Какой ряд называется степенным?
Сформулируйте теорему Абеля о сходимости степенного ряда.
Как найти интервал сходимости (область сходимости) степенного ряда?
Какой степенной ряд называется рядом Тейлора данной функции?
Как определяются коэффициенты ряда Тейлора?
Напишите формулу остаточного члена ряда Тейлора.
Приведите необходимый и достаточный признаки разложения функции в ряд Тейлора.
Какой степенной ряд называется рядом Маклорена ?
Как вычисляются коэффициенты ряда Маклорена данной функции?
Напишите разложения в степенной ряд функции sin x, cos x, e, ln(1+x), arcsin x, arctg x

Литература: [16]стр.391,[11]стр367,[4]стр.477

Тема 6. Ряды Фурье

Цель лекции : ознакомить с разложением в ряд Фурье четных и нечетных периодических функций и функции с произвольным периодом

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2. Теорема Дирихле.
Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2
Разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке [-l; l].
Разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке [0; l]

Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2.

Теорема Дирихле

Опр. Функциональный ряд называется тригонометрическим, если членами ряда являются синусы и косинусы от целых кратных значений аргумента, т.е. ряд вида

+а1cos x + b1sinx+a2cos2x+b2sin2x+…+an cosnx + bnsinnx+… (1)

Постоянные числа а0, а1, a2, .., b1, b2,… называются коэффициентами тригонометрического ряда

Опр. Рядом Фурье для периодической функции f(х) с периодом 2, определенной на отрезке [-,]называется тригонометрический ряд

f(x) +(an cosnx + bnsinx) (2)

коэффициенты которого определяются по следующим формулам Фурье:

Коэффициенты аn и bn , найденные с помощью формул (3) и (4) называются коэффициентами Фурье.

Для определения а0 пользуются формулой, полученной из (3) при n=0

Таким образом, если задана периодическая функция с периодом 2, то пользуясь формулами Фурье, можно для данной функции составить ряд Фурье.

Чтобы составленный ряд Фурье был сходящимся и чтобы его сумма была равна f(x), заданная функция f(x) на отрезке [-,] должна удовлетворять определенным условиям.

Условие разложимости функции в ряд Фурье определяется следующей теоремой:

Теорема Дирихле. Если периодическая функция f(x) с периодом 2 на отрезке [-,] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и если отрезок [-,] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье, составленный для функции f(x), сходится при всех значениях х. При этом сумма полученного ряда равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f(x) слева и справа, то есть, если х1 есть точка разрыва функции f(x), то сумма ряда в этой точке равна

Если выполняются условия теоремы, то знак соответствия можно заменить знаком равенства

f(x) =+(an cosnx + bnsinnx)

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций с периодом 2

1). Если разлагаемая в ряд Фурье функция f(x) является нечетной, то функция f(x)cosnx, стоящая под знаком интеграла в формуле (3) также является нечетной и определенный интеграл с противоположными пределами от нечетной функции равен нулю, поэтому an =0.

Так как разлагаемая в ряд Фурье функция f(x) является нечетной, то функция f(x)sin nx, стоящая под знаком интеграла в формуле (4) есть четная функция

2). Если разлагаемая в ряд Фурье функция f(x) является четной, то функция

f(x) sin nx, стоящая под знаком интеграла в формуле (4) есть нечетная функция и

bn =0. В этом случае f(x)cosnx есть четная функция и для определения коэффициентов используют формулы:

Выводы: В случае, когда f(x) –четная функция, то ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы. Если f(x) –нечетная функция, то ряд Фурье содержит только синусы, т.е. не содержит косинусов и свободного члена.

3. Разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке [-l; l]

Пусть функция f(x) определена на отрезке [-l; l] и на этом отрезке удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, тогда можно рассмотреть новую функцию F(х) с периодом, равным длине этого отрезка, т.е. равным 2l. Так как F(х)- периодическая, то ее можно разложить в ряд Фурье. На заданном отрезке она будет представлять функцию f(x). Т.е, чтобы разложить функцию, заданную на отрезке, симметричном относительно начала координат, нужно разложить соответствующую периодическую функцию с периодом равным длине этого отрезка.

f(x) =+() (9)

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале – периоде :

Решение

Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство

Где определяются по формулам

(*)

Положив в (*) n=0, получим коэффициент :

Используя формулу (*) и заданную функцию, имеем

Интегрируя по частям, получаем

Определим коэффициенты

Интегрируя по частям, получаем

Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в (1), получаем

4. Разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке [0; l]

Если функция задана на отрезке [0; l], то для разложения в ряд Фурье, нужно доопределить ее на отрезке [-l;0], а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной на отрезке [-l; l].

Если график функции продолжить на отрезке [-l;0] симметрично относительно оси ординат, т.е будет выполняться условие f(-x) = f(x), то на отрезке [-l; l] получим четную функцию, которая может быть разложена в ряд Фурье.

-l l х

Если же график функции продолжить на отрезке [-l;0] симметрично относительно начала кординат, т.е будет выполняться условие f(-x) = -f(x), то на отрезке [-l; l] получим нечетную функцию, которая может быть разложена в ряд Фурье.

Вывод: Если функция на отрезке [0; l] удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, то ее можно разложить в ряд Фурье, причем коэффициенты определяются по формулам для коэффициентов четных и нечетных функций.

Вопросы для самопроверки:

Какой ряд называется тригонометрическим рядом Фурье?
Сформулируйте условия разложимости функции в ряд Фурье.
Сформулируйте теорему Дирихле
Напишите формулы коэффициентов Фурье для периодической функции с периодом 2.
Напишите формулы для коэффициентов Фурье для четных и нечетных функций периода 2.
Напишите формулы коэффициентов Фурье для функций с произвольным периодом.
Изложите способ разложения в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде.

Литература: [16], стр.410, [4], стр489

Тема 7. Дифференциальные уравнения первого порядка

Цель лекции: определение дифференциального уравнения первого порядка, знать порядок дифференциальные уравнения, уметь находить общее и частное решение дифференциального уравнения

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

1. Основные определения и понятия

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

3. Однородные дифференциальные уравнения

4. Линейные дифференциальные уравнения.

5. Уравнение Бернулли.

6. Уравнение в полных дифференциалах.

1. Основные определения и понятия

Опр. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у и производные искомой функции до некоторого порядка включительно.

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка:

Опр. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Примеры дифференциальных уравнений:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Уравнения а), г) и е) – первого порядка,

уравнения б) и в) – второго порядка,

уравнение д) – третьего порядка.

Опр. Решением ДУ называется всякая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием.

Пример. Функция у = ех есть решение уравнения (а). Действительно, у′ = (ех)′ = ех. Подставив в левую часть уравнения а), вместо искомой функции и её производной ех, получим тождество ех - ех = 0.

Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

(*)

Если уравнение (*) разрешить относительно производной у′, то получим

, (**)

Опр. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка (*) или (**) называется функция у = у (х, С), которая при любом постоянном значении С удовлетворяет уравнению (*) или (**).

Опр. Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется такое решение, которое получается из общего решения у = у (х, С) при некотором вполне определенном значении постоянной С.

Если решение дифференциального уравнения невозможно выразить через х, т.е. решение задается неявно, то Ф(х,у,С)=0 называется общим интегралом ДУ.

Опр. Отыскание частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям называется задачей Коши.

Геометрически каждому частному решению дифференциального уравнения соответствует плоская линия, его график, которая называется интегральной кривой этого уравнения, а общему интегралу соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Теорема (о существовании единственного решения). Если функция f (x, y) непрерывна в области, содержащей точку Р0 (х0, у0), то дифференциальное уравнение у′= f (x, y) имеет частное решение у = у (х), такое, которое удовлетворяет условию у(х0) = у0. Если, кроме того, непрерывна и частная производная в точке Р0 (х0, у0), то решение единственно.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид:

, (1)

Опр. Если правая часть уравненияможет быть представлена в виде произведения двух сомножителей φ(х)ψ(у), один из которых не содержит переменной у, а другой не содержит переменной х, то полученное уравнение

. (2)

есть уравнение с разделяющимися переменными.

Так как производная , то получаем:

Обе части последнего уравнения умножим на dx и разделим на ψ(у). в результате получим уравнение с разделенными переменными:

. (3)

Интегрируя равенство (3), получим:

(4)

Соотношение (4) есть общий интеграл уравнения (2).

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными может быть представлено также в виде:

(5)

где коэффициенты при дифференциалах dx и dy распадаются на множители, зависящие только от х и только от у.

Чтобы решить уравнение (5), надо обе части равенства разделить на произведение φ1(у) f2(х). в результате будет получено уравнение с разделенными переменными:

(6)

Заметим, что деление (5) на произведение φ1(у) f1(х) может привести к потере частных решений, обращающих в нуль это произведение. Поэтому после решения (6) следует отдельно рассмотреть уравнение.

(7)

и установить те решения, которые не могут быть получены из общего решения. Такие решения называются особыми решениями уравнения (5).

Опр. Решение дифференциального уравнения, которое не может быть получено из общего решения ни при одном численном значении произвольной постоянной С, включая ± ∞, называется его особым решением.

Пример. Решить уравнение х · (1 – у2) dx + у · (1 – х2) dy = 0

Решение.

Приведем уравнение к виду (6). Для этого разделим обе части его на произведение (1 – у2) · (1 – х2).

В результате деления получим уравнение

Интегрируя обе части уравнения, получим:

Потенцируя, получим общий интеграл:

(*)

Теперь выясним вопрос об особых решениях. Для этого следует рассмотреть уравнение (1 – у2) (1 – х2) = 0. Все корни этого уравнения (у = ±1 и х = ±1) могут быть получены из общего интеграла (*), положив С = 0. следовательно, данное уравнение особых решений не имеет.

3. Однородные дифференциальные уравнения

Опр. Функция f (x, y) называется однородной функцией нулевого измерения, если при умножении переменных х и у на произвольный множитель t значение функции не меняется.

Опр. Дифференциальное уравнение у′ = f (x, y) называется однородным, если функция f (x, y) является однородной функцией нулевого измерения. Однородное дифференциальное уравнение можно представить в виде

(8)

Функцию f (x, y) можно представить как функцию только одного отношения переменных

Однородное уравнение (8) можно привести к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой у = xz, где z – новая функция. Дифференцируя равенство у = xz, получим:. Подставив выражение для у и у′ в уравнение (8), получим: или, разделив переменные,

(9)

Уравнение (9) есть уравнение с разделенными переменными x и z.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Правая часть заданного уравнения является однородной функцией нулевого измерения. Следовательно, уравнение является однородным.

Введем подстановку у = xz, где z – некоторая функция переменной х.

Дифференцируя, получим у′ = z +xz′,

Тогда заданное уравнение примет вид.

или ; ; .

Получим уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, получим:

; ; .

Так как , то получаем или - общее решение заданного уравнения.

4. Линейные дифференциальные уравнения

Опр. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным

(первой степени), если оно содержит искомую функцию у и ее производную у′ в первой степени и не содержит произведение уу′.

Общий вид такого уравнения:

(10)

Для решения (10) заменим искомую функцию у произведением двух других функций, то есть введем подстановку

(11)

Дифференцируя (11), получим:

(12)

Подставив (11) и (12) в (10), получим:

или (13)

Так как искомая функция у(х) представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию u(х) так, чтоб выражение в квадратных скобках было равно нулю. Для этого надо найти хотя бы одно частное решение уравнения

(14)

которое является уравнением с разделяющимися переменными. При таком выборе функции u уравнение (13) примет вид:

(15)

Решаем уравнение (14) и находим функцию u(х).

Откуда (16)

При решении (14) находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С = 0.

Подставив (16) в (15), получим: ;

(17)

Подставив (16) и (17) в (11), получим общее решение уравнения (10).

(18)

5. Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение первого порядка

(19)

называется уравнением Бернулли.

При n = 1 уравнение (19) становится уравнением с разделяющимися переменными.

При n = 0 уравнение (19) есть линейное уравнение.

Если n – число, отличное от нуля и единицы, то при помощи подстановки z = у1-n уравнение (19) приводится к линейному уравнению относительно новой функции z.

Уравнение Бернулли можно решить с помощью подстановки

(20)

не сводя его предварительно к линейному.

Пример. Решить уравнение

Решение.

Заданное уравнение является уравнением Бернулли. Положим у = u·υ,

тогда у′ = u′υ + uυ′ и уравнение примет вид:

или

(*)

Выберем функцию u так, чтобы выполнялось равенство

(а)

Тогда уравнение (*), после сокращения на u, примет вид:

(б)

Из уравнения (а) получаем частное решение и подставляем его в уравнение (б).

Имеем уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение:

Интегрируя последнее уравнение, получим , откуда .

Следовательно, - общее решение заданного уравнения.

6. Уравнение в полных дифференциалах

Опр. Если в уравнении первого порядка Рdx + Qdy = 0 коэффициенты P и Q удовлетворяют условию , то его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции и такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Решением уравнения в полных дифференциалах является общий интеграл вида и(х,у) = С

Общим интегралом уравнения в полных дифференциалах является

(21)

где х0, у0 берутся произвольно

Пример. Решить уравнение (2 - 9xy2)xdx + (4y2 –6x3)ydy =0

Решение

Т.к. выполняется необходимое и достаточное условие = -18ух2, то это уравнение в полных дифференциалах.

Для нахождения общего интеграла воспользуемся формулой (21)

и(х,у)=

Общим интегралом уравнения является: х2-3х3у2+у4=С

Вопросы для самопроверки:

Какое уравнение называется дифференциальным?
Что называется порядком дифференциального уравнения?
Что называется решением дифференциального уравнения, общим решением и частным решением?
Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
Укажите геометрический смысл общего (частного) решения дифференциального уравнения первого порядка.
Укажите способы решения дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, линейных, однородных.

Литература: 4 Стр.313-327, 14 Стр.442-460

Тема 8. Дифференциальные уравнения высших порядков

Цель лекции: определение дифференциального уравнения второго порядка, уметь находить общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

Основные понятия и определения.
Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

1. Основные понятия и определения

Опр. Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

(1)

Если (1) разрешено относительно второй производной, то получаем уравнение

(2)

Опр. Общим решением дифференциального уравнения второго порядка (1) или (2) называется функция у = у (х, С1, С2), которая при любых значениях произвольных постоянных С1 и С2 обращает данное уравнение в тождество.

Опр. Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется такое решение, которое получается из общего решения у = у (х, С1, С2) при конкретных значениях произвольных постоянных С1 и С2.

Опр. График всякого решения дифференциального уравнения второго порядка называется интегральной кривой этого уравнения.

Частное решение уравнения второго порядка находится из общего решения при помощи задания начальных условий:

(3)

Начальные условия (3) позволяют найти значения постоянных С1 и С2.

Опр. Задача отыскания частного решения (2), удовлетворяющего заданным начальным условиям (3), называется задачей Коши для дифференциального уравнения второго порядка.

Для дифференциального уравнения второго порядка задача Коши состоит в том, чтобы найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку Мо (хо, уо) в заданном направлении уо.

2. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Рассмотрим три типа дифференциальных уравнений второго порядка, которые легко приводятся к уравнениям первого порядка.

Первый тип:

(4)

Правая часть уравнения не содержит функции у и производной у´. Известно, что . Следовательно, данное уравнение можно записать так:

или .

Интегрируя последнее уравнение, получим:

Интегрируя еще один раз, получим общее решение уравнения (4):

Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: ; .

Решение.

Так как , то данное уравнение можно записать так:

или .

Интегрируя получим:

. (*)

Тогда и – общее решение заданного уравнения. Используем начальные условия. Подставив в общее решение х = 0 и у = 2, получим С2 = 2. Подставив в (*) х = 0 и у΄ = 3, будем иметь 3 = –1+ С1, откуда С1 = 4.

Следовательно у = х3 – sinх +4х+2 – искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Геометрически найденное частное решение выражает собой интегральную кривую, которая проходит через точку Мо (0,2). Кроме того, касательная, проведенная к этой кривой в точке Мо, образует с положительным направлением оси Ох угол, тангенс которого равен 3.

Второй тип: . (5)

Правая часть уравнения не содержит явным образом функции у. Чтобы решить уравнение (5), положим у΄= р, где р – некоторая функция аргумента х. Тогда у˝= р´ и уравнение (5) станет уравнением первого порядка относительно переменных х и р:

Если общее решение последнего уравнения есть р = φ (х, С1), то, повторно интегрируя, получим: – общее решение заданного уравнения (5).

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Правая часть заданного уравнения не содержит явным образом функцию у. Положим у΄= р, тогда у˝= р´. Имеем:

; ; .

Интегрируя последнее уравнение, получим: или . Так как , то .

Интегрируя еще раз, получим общее решение заданного уравнения:

Третий тип: . (6)

Правая часть уравнения не содержит явным образом аргумента х. Чтобы решить уравнение (6), положим у΄= р и будим считать р некоторой функцией от у. Выразим у˝ через производную от р по у. Применяя правило дифференцирования сложной функции, будем иметь:

Итак, . (7)

Подставив в уравнение (6) вместо у˝ произведение , получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменных р и у:

. (8)

Если р = φ(у, С1) есть общее решение (8), то получаем dy = φ(у, С1)dx – уравнение с разделяющимися переменными относительно переменных х и у. Тогда и есть общий интеграл заданного уравнения (6).

3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Опр. Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно содержит искомую функцию у и ее производные у΄ и у˝ в первой степени и не содержит их произведений.

Общий вид такого уравнения: (9)

где р и q- некоторые действительные числа.

Функция f(х) называется правой частью уравнения.

Опр. Дифференциальное уравнение второго порядка называется однородным, если f(х) = 0, т.е.

(10)

Общим решением уравнения (2) будет функция

где у1 и у2 – два линейно независимых частных решения этого уравнения.

Для нахождения частных решений у1 и у2 поступим следующим образом. Предположим, что у = екх, где к – некоторое постоянное число, есть решение уравнения (10).

Выясним, при каких значениях параметра к показательная функция у = екх станет решением уравнения (10).

Для этого находим у΄= кекх и у˝= к2екх и подставляем у, у΄ и у˝ в левую часть уравнения (10).

В результате подстановки получим выражение

к2екх+рк екх + qекх = екх (к2+рк + q). (*)

Чтобы у = екх удовлетворяло уравнению (10), требуется, чтобы выражение (*) было тождественно равно нулю. Так как сомножитель екх не равен нулю ни при никаком значении к, то второй сомножитель должен быть равен нулю. Следовательно, те значения к, которые удовлетворяют уравнению

к2 +рк + q=0 (11)

пригодны для решения частного решения у = екх.

Уравнение (11) называется характеристическим.

Как видно, чтобы получить характеристическое уравнение (11), достаточно заменить в данном уравнении (10) производные соответствующими степенями неизвестной к.

1 случай. Корни характеристического уравнения действительные и различные, т. е. к1 ≠ к2.

Тогда и являются линейно независимыми решениями, т. к.

Следовательно, общее решение уравнения (10) имеет вид

. (12)

2 случай. Корни характеристического уравнения (11) действительные и равные, т.е. к1= к2 = α.

Общее решения уравнения (10) имеет вид:

, (13)

где корни характеристического уравнения к1= к2 = α.

3 случай. Корни характеристического уравнения (11) комплексные, т.е. к1 = α + βi, к2= α – βi.

Общее решение дифференциального уравнения (10) имеет вид

(14)

Опр. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка называется уравнением с правой частью или неоднородным, если оно имеет вид

(15)

где f(х)  0

Если у - общее решение однородного уравнения (10), а У - какое-нибудь частное решение уравнения (15), то общее решение (15) выразится формулой;

унеодн = у +У

Рассмотрим способы отыскания частного решения уравнения (15)

Теорема 1. Если правая часть уравнения (15) есть многочлен степени n и число 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение У следует искать в виде многочлена той же степени..

Если же один из корней характеристического уравнения равен нулю, то частное решение У следует искать в виде произведения многочлена той же степени на х..

Теорема 2. Если правая часть уравнения (15) есть показательная функция, т.е. f(х) = аеmx и число m не является корнем характеристического уравнения, то частное решение У следует искать в виде У = Ае mx.

Если число m совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то существует частное решение вида У = Ахе mx .

Если число m совпадает с каждым из двух равных корней характеристического уравнения, то существует частное решение вида У = Ах2е mx

Теорема 3. Если правая часть уравнения (15) есть функция вида

f(х) = еmx(аcos nx + bsin nx) и числа m+ni, m-ni не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение У= еmx(Аcos nx + Вsin nx).

Если же числа m+ni, m-ni являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение У= хеmx(Аcos nx + Вsin nx).

Теорема 4. Если правая часть уравнения (15) есть функция вида

f(х) = еmx[Р1(х)cos nx + Р2(х)sin nx], где Р1(х) и Р2(х)- некоторые многочлены и числа m+ni, m-ni не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение У= еmx[Q1(х)cos nx + Q2(х)sin nx], где Q1(х) и Q2(х)- некоторые многочлены, степень которых равна большей из степеней многочленов Р1(х) и Р2(х)

Если же числа m+ni, m-ni являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение У= хеmx[Q1(х)cos nx + Q2(х)sin nx],

Пример.

Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условию у=(0), у΄(0)=2.

Решение.

Найдем общее решение уравнения . Характеристическое уравнение , имеет корни .

Следовательно,

Так как один из корней характеристического уравнения равен нулю, то . Тогда .

Подставив эти значения производных в левую часть заданного уравнения, получим:

2А+2Ах+В= 4х+5

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему

откуда А=2 и В=1.

Следовательно, У=х(2х+1)= 2х2 +х

Тогда унеодн = у +У= (*)

Найдем частное решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0, у΄(0)=2.

Найдем производную (**)

Определим значения произвольных постоянных С1 и С2 . Подставим в уравнения (*) и (**) начальные условия

Искомое частное решение имеет вид:

уч.н. = 1- е -х +2х2 +х

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

В чем состоит задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка?
Каков геометрический смысл начальных условий дифференциального уравнения второго порядка?
Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка.
Какие дифференциальные уравнения второго порядка допускают понижения порядка? Изложите способ решения таких уравнений.
Дайте определение линейного дифференциального уравнения второго порядка.
Изложите структуру общего решения линейного однородного (неоднородного) уравнения второго порядка.
Изложите способ нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Напишите формулы общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.

Литература: 4 Стр.332-346, 14 Стр.504-524

Тема 9. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Цель лекции: введение основных понятий теории вероятностей, ознакомление с теоремами сложения и умножения вероятностей, формулой Байеса и полной вероятности

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

Классификация событий. Три определения вероятности
Аксиоматическое построение теории вероятностей.
Формулы комбинаторики и основные теоремы
Формула Байеса и формула полной вероятности

1.Классификация событий. Три определения вероятности

Теория вероятностей- математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений.

Теория вероятностей занимается лишь теми событиями, которые обладают статистической устойчивостью, т.е. устойчивостью частот и которые могут быть осуществлены неограниченное число раз, притом в неизменных условиях.

Опр. Испытание (опыт, эксперимент)- это выполнение определенного комплекса условий.

Примеры:

1).подбрасывание игрального кубика;

2) розыгрыш денежно-вещевой лотереи.

Опр. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении комплекса условий может произойти, а может и не произойти. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А,В,С…

Примеры случайных событий:

появление герба при бросании монеты,
выход бракованного изделия с конвейера завода

Опр. Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно произойдет. Примеры достоверных событий:

1). наугад выбранное натуральное число от 1 до 10 является целым,

2). на верхней грани игральной кости выпало не более 6 очков

Опр. Событие называется невозможным, если в результате испытания оно вообще не может произойти.

Например, если в партии все изделия стандартные, то извлечение нестандартного изделия –событие невозможное.

Опр. Два события назовем несовместными, если их одновременное появление в опыте невозможно, т.е. наступление одного из событий исключает наступление другого. Следовательно, если А и В несовместны, то их произведение - невозможное событие: АВ=.

Опр. Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными.

Пример: хотя бы одна пуля попала в цель и ни одна пуля не попала в цель- противоположные события.

Опр. Событие А называется благоприятствующим событию В, если в результате появления события А происходит и событие В

Опр. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания произойдет хотя бы одно из них. Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события.

Пусть проводится некоторое испытание которое может иметь n и только n различных исходов. Будем считать, что все эти исходы несовместны (не могут произойти одновременно) и равновероятны (ни один из них не является более возможным, чем другие). Каждый такой исход испытания  будем называть элементарным событием, а их совокупность  пространством элементарных событий проводимого испытания.

Каждое случайное событие А, связанное с данным испытанием, является подмножеством множества  , т.е. А   и является конечным множеством. Каждому такому событию А поставим в соответствие число , где m – число элементов множества А. Число Р(А) называют вероятностью события А при данном испытании.

Опр. Вероятность есть численная мера объективной возможности наступления случайного события при некотором испытании.

Дополнение множества А до , т.е.  \ А. называется событием противоположным событию А

Произведение противоположных событий есть событие невозможное. Сумма противоположных событий есть событие достоверное Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.

Три определения вероятности

Классический способ определения вероятности

Вероятность P случайного события А равна отношению m- числа благоприятных событию А исходов, к n- общему числу исходов для данного испытания:

Элементарные события (исходы) равновозможны, единственно возможны и несовместимы. Классическое определение имеет ограниченное применение, т.к. предполагает конечное число возможных исходов испытания.

Статистический способ определения вероятности

Относительной частотой (частостью) события А называется отношение числа испытаний, в которых событие А появилось, к общему числу проведенных испытаний. Статистическая вероятность -это относительная частота появления этого события в n произведенных испытаниях.

; m- число испытаний, в которых событие А появилось,

n- общее число проведенных испытаний.

Статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной и статистическое определение наиболее часто используется в практических целях.

Геометрический способ определения вероятности

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу бросается точка. Вероятность попасть в какую либо часть области G пропорциональна мере этой части и не зависит от ее расположения и формы.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е.

Примерами меры могут служить длина, площадь, объем и т.д.

Свойства вероятностей:

1.Если А- невозможное событие, то Р(А)=0

2.Если А- достоверное событие, то Р(А)=1

3.Вероятность любого события А удовлетворяет неравенству: 0

2. Аксиоматическое построение теории вероятностей

Отправным пунктом аксиоматики Колмогорова является множество , элементы которого называются элементарными событиями. Под операциями над случайными событиями понимаются операции над соответствующими множествами.

Обозначения	Термины теории множеств	Термины теории вероятностей
	Множество, пространство	Пространство элементарных событий, достоверное событие
	Элемент множества	Элементарное событие
А,В	Подмножество А, В	Случайное событие А,В
А + В = А  В	Объединение ( сумма) множеств Аи В	Сумма событий А и В
АВ = А  В	Пересечение множеств А и В	Произведение событий А и В
	Дополнение множества А	Событие противоположное для А
А\ В	Разность множеств А и В	Разность событий А и В
	Пустое множество	Невозможное событие
АВ = А  В = 	Множества А и В не пересекаются	События А и В несовместимы
А = В	Множества А и В равны	События А и В равносильны
А  В	А есть подмножество В	Событие А влечет событие В

3. Формулы комбинаторики и основные теоремы

Комбинаторные задачи- это задачи на подсчет числа различных комбинаций.

Рассмотрим выборки объема m из совокупности n различных элементов

Опр. Размещениями из n элементов по m называются комбинации по m элементов, которые отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения. Их число равно:

(1)

или = n(n-1)(n-2)…(n-m+1) (2)

Опр. Cочетаниями из n элементов по m называются комбинации по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Их число равно: (3)

или (4)

n! =12…n, тогда 0! = 1;

Опр. Перестановками из n элементов называются комбинации, которые отличаются только порядком расположения элементов

Их число равно: (5)

Если в размещениях (сочетаниях) из n элементов по m некоторые из элементов или все могут быть одинаковыми, то такие размещения (сочетания) называют размещениями (сочетаниями) с повторениями из n элементов по m.

Число размещений с повторениями:

. Суммой событий А и В называется объединение множеств АВ

Произведением событий А и В называется пересечение множеств АВ.

Т-1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, т.е.

Р(А+В)= Р(А) + Р(В)

Следствие1.Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна единице.

Следствие2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Т-2. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р(А+В)= Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

Обобщенная теорема сложения:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)

Опр. Условная вероятность события В относительно события А есть отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А, если Р(А) 0, т.е. Р(В/А) = Р(АВ) / Р(А)

Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А1, А2,...Аn независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

Р(А) = 1 - q1 q2..... qn

Если все события имеют одинаковую вероятноcть р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна:

Р(А) = 1 - qn (6)

4. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Т-1. Если событие А может наступить только при условии появления одного из событий ( гипотез) Н1 , Н2 . . . ,Нn , образующих полную группу, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события А.

Р(А) = Р(Н1)  РH1 (А)+ . . .+Р(Нn)  PНn(А) (7)

События Н1, Н2 . . . ,Нn называются гипотезами, т.к. заранее неизвестно, какое из этих событий наступит.

Формула ( 7 ) называется формулой полной вероятности

Если в задаче известно, что событие А уже наступило, то вероятности гипотез Hi меняются в связи с появлением события А. Для переоценки гипотез служит формула Байеса, дающая условную вероятность каждой гипотезы при условии, что событие А уже наступило:

РА(Нi)=(P(Нi )  PHi(A)) / P(A) (8)

Формула Байеса применяется когда нужно произвести количественную переоценку вероятностей гипотез, известных до испытания и нужно найти получаемые после проведения испытания условные вероятности гипотез.

Вопросы для самопроверки:

Что изучает теория вероятностей?
Дайте определение события, исхода, испытания, вероятности
Какое событие называется случайным?
Какие события называются несовместными?
Какое событие называется достоверным?
Дайте определение полной группы событий
Что называется пространством элементарных событий?
Запишите классическую формулу определения вероятности события
Как определяется геометрическая вероятность события?
Запишите формулу относительной частоты события
Как определяется вероятность суммы несовместных событий
Запишите формулу вероятности суммы совместных событий
Дайте определение условной вероятности
Какие события называются независимыми?
Запишите обобщенную формулу сложения для совместных событий
Как находится вероятность появления хотя бы одного события?
Запишите формулу Байеса. Когда применяется формула Байеса?
Запишите формулу полной вероятности
Чему равна сумма вероятностей гипотез?

Литература: 10стр7-43, 15 стр16-51

Тема 10. Повторные независимые испытания

Цель лекции: ознакомление с понятием независимости испытаний и формулами нахождения вероятности появления события m раз в n независимых испытаниях

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

1.Схема и формула Бернулли

2. Наивероятнейшее число появлений события

3.Формула Пуассона

4.Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа

1. Схема и формула Бернулли

Опр. Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А

Рассмотрим схему Бернулли:

Производится n независимых и однородных (одинаковых) испытаний, в результате каждого из которых может произойти событие A с вероятностью  или ему противоположное событиеA с вероятностью q=1-, причем вероятность появления события не зависит от номера испытания и в каждом испытании одна и та же.

Вероятность того, что событие наступит в испытаниях с m номерами, а в остальных не наступит равна .

Число различных способов размещения m появлений события А и n-m непоявлений события среди n испытаний равно числу сочетаний

Теорема. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и равна p (0<p<1), событие наступит ровно m раз, равна

(1)

где q=1-

(1)–формула Бернулли

Вероятность того, что событие наступит:

менее m раз: Рn(0) + Рn(1) +…+ Рn(m-1)
более m раз: Рn(m+1) + Рn(m+2) +…+ Рn(n)
не менее m pаз Рn(m) + Рn(m+1) +…+ Рn(n)

4) не более m раз Рn(0) + Рn(1) +…+ Рn(m)

2. Наивероятнейшее число появлений события

Число m0 , которому соответствует наибольшая вероятность Рn (m0) называется наивероятнейшим числом появлений события или модой.

Наивероятнейшее число появлений события определяется из неравенства:

пр - q  т0 < пр + р (2)

где п- число независимых испытаний,

р- вероятность появления события в каждом испытании,

q- вероятность не появления события.

Очевидно, что т0 как число появлений события А может принимать только целые значения. Следовательно, целое число, заключенное в интервале [пр-q; пр+р] и будет модой .

Причем:

если число пр -q - дробное, то существует одно наивероятнейшее число m0
если число пр -q - целое, то существует два наивероятнейших числа: m0 и m0 +1.
если число пр - целое, то наивероятнейшее число m0 = пр

Пример. Общее количество топливных насосов в партии равно 34. Наивероятнейшее число годных в этой партии равно 24 . Найти процент годных топливных насосов в партии.

Решение

По условию задачи n=34, m0 =20. Для нахождения р применим неравенство (1):

35р-1  20 < 35р, отсюда: 35р  21 и 35р > 20.

Следовательно, вероятность заключена в пределах: 0,57 < p  0,60,

то есть процент годных топливных насосов в партии 57%–60% .

3.Формула Пуассона

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа n испытаний , причем произведение np стремится к постоянному числу , то вероятность того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, равна

(3)

где n -последовательность независимых испытаний, np = ( среднее число появлений события в n испытаниях, [0,3; 10]. Формулу Пуассона используем когда имеем дело с редко происходящими событиями.

Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра- Лапласа

Рассматривается серия n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А. Вероятность появления события А в каждом испытании одинакова и равна р, а непоявления q.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие произойдет, m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n приближенно равна

(4)

где а

Значения j(x) находят по соответствующей таблице с учетом свойств этой функции: j (х) – четная функция, т.е. j (- х) = j (х).

С практической точки зрения больший интерес представляет вероятность того, что в п независимых испытаниях число т появлений события А будет заключено в границах т1  т  т2.

1). Если п  10, то вероятность находится с помощью формулы Бернулли как сумма вероятностей: Рп (т1  т  т2)=Рп (т1)+Рп (т1+1)+ . . . +Рп(т2)

2).Если же число испытаний n велико, то используют следующую формулу:

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 1 и 0. Тогда вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от m1 до m2 раз, приближенно равна

, (5)

где

– интегральная функция Лапласа.

Значения функции Ф (х) находятся по таблице с учетом свойств этой функции:

1). Ф(х) – нечетная, т.е. Ф(-х)= - Ф(х),

2). Функция является монотонно возрастающей. При х>5 Ф(х)=0,5

Пример. Из 100 посеянных семян всходит в среднем 80. Какова вероятность, что от 10 до 20 зерен не дадут всходы из отобранных случайным образом 100 зерен.

Решение

Обозначим событие А – зерно не даст всходы

р=0,2; q=0,8; n=100; m1=10; m2=20. Т.к. п велико, используем интегральную формулу Лапласа

Найдем по таблице Ф(х1)=Ф( - 2,5)= -Ф(2,5) =0,4938 Ф(х2)=Ф( 0 )=0

Наконец Р100 (10  m  20)=Ф(0) – Ф(- 2,5)=0,4938

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

С помощью интегральной теоремы Лапласа можно вычислить вероятность того, что отклонение частости наступления события А в n повторных независимых испытаниях от вероятности наступления этого события в каждом отдельном испытании по абсолютной величине не превзойдет произвольно заданного положительного числа . Эта вероятность равна:

(7)

Пример. При некотором технологическом процессе вероятность получения бракованной детали принимается равной 0,8. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было бы утверждать, что частость появления бракованных деталей отклонится от вероятности по абсолютной величине, не более, чем на 0,01?

Решение

По условию , но где

Т.е. 2Ф(t)=0,9973 . Ф(t)=0,49865 по таблице значений функций Лапласа, находим t=3

. По условию задачи =0,001; р=0,08; q=0,92. Подставив, получаем

, откуда n=662

Вопросы для самопроверки:

Описать схему Бернулли.
Запишите формулу Бернулли. Когда она применяется?
Как определяется наивероятнейшее число событий?
Запишите формулу Пуассона. Когда она применяется?
Какими свойствами обладает простейший пуассоновский поток событий?
Запишите локальную формулу Лапласа
Запишите интегральную формулу Лапласа
При х>5 чему равно значение функции Лапласа?
Функция Лапласа является четной или нечетной ?
Запишите формулу отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Литература: 10стр450-521, 5стр67-86

Тема 11. Случайные величины

Цель лекции: ознакомление с понятием случайной величины, функцией и плотностью распределения

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

Основные понятия
Функция распределения случайной величины.
Плотность распределения вероятности

1.Основные понятия

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате опыта может принять одно из возможного множества своих значений

Случайной величиной (СВ) называется функция от элементарных исходов w

Х = Х (w) , w  , где - множество элементарных исходов

Случайные величины бывают дискретные и непрерывные

Дискретной СВ называется СВ, принимающая отдельные друг от друга значения, которые можно перенумеровать. Число значений конечно или счётно.

Примеры:

количество бракованных изделий в данной партии

2) число произведенных выстрелов до первого попадания (бесконечное, но счетное множество значений)

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Ряд распределения– это таблица, где перечислены возможные значения дискретной случайной величины х1 ,х2 … хn и соответствующие им вероятности р1 ,р2 … рn,

х1	х2	х3	…	хn
р1	р2	р3	…	рn

где р1 +р2 + … + рn=1

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

Непрерывной СВ называется СВ, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.

Опр. СВ называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме быть может отдельных точек ( например точек излома)

Примеры:

1) расход электроэнергии на предприятии за месяц,

2). дальность полета артиллерийского снаряда,

3). процент жирности молока,

2.Функция распределения случайной величины

Функция распределения случайной величины Х – это функция F(x), выражающая вероятность того, что Х примет значение, меньшее х:

F(x) = Р(Х<х)

Функция F(x) есть неубывающая функция на всей числовой оси:

F (-)=0, F (+)=1.

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения

Для дискретных случайных величин F(x) разрывна и возрастает скачками при переходе через точки возможных ее значений х1,х2, х3 … хn, причем величина скачка равна вероятности соответствующего значения. Для непрерывных случайных величин F(x) непрерывна при всех значениях х.

Функция распределения полностью характеризует случайную величину, она является одной из форм закона распределения.

Для дискретных Для непрерывных

F(x) F(x)

1 …………………………. 1 ……………



0 х 0 х

Свойства функции распределения F(x)

0  F(x) 1
Если х2 > x1, то F(x2) F(x1)
Р(а< Х<b) = F(b) - F(a)
Если х  -, то F(x) 0; если х  +, то F(x) 1.

Если все значения случайной величины Х принадлежат отрезку a;b,

то при х < a F(x)=0, при х > b F(x)=1.

3.Плотность распределения НСВ

Плотность распределения (плотность вероятности) непрерывной случайной величины есть функция f(х) = F(x).

Она как и функция распределения, является одной из форм закона распределения.

Плотность распределения иногда называют дифференциальной функцией или дифференциальным законом распределения

Замечание 1: Функция распределения является общей формой закона распределения, присущей ДСВ и НСВ.

Замечание 2: Плотность распределения f(x) является формой закона распределения присущей только НСВ.

График плотности f(x) называется кривой распределения.

f (x)

Свойства плотности распределения f(x)

1) f(x) 0 2) Р(a<X<b) =

3) F(x) = 4) = 1

Если Х принимает все свои значения на отрезке a;b, то = 1

Вопросы для самопроверки:

Что называется случайной величиной?
Какая случайная величина называется дискретной, непрерывной?
Что называется рядом распределения СВ?
Дайте определение функции распределения
Перечислите свойства функции распределения
Сформулируйте определение плотности распределения f(x)
Перечислите свойства плотности распределения

Литература: 10стр.57-153, 15стр86-107

Тема 12. Числовые характеристики дискретных

и непрерывных случайных величин

Цель лекции: ознакомление с числовыми характеристиками случайных величин

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

1.Числовые характеристики дискретных случайных величин

2.Числовые характеристики непрерывных случайных величин

1.Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическим ожиданием ДСВ Х называется ее среднее значение, вычисленное по формуле: n

М(Х) =  xipi

i=1

Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

D(X) = M X – M(X) 2 =  xi – M(X) 2  pi

i=1

Дисперсию можно вычислить по другой формуле:

D(X) = M(X2) - M(X) 2

Средним квадратическим отклонением ДСВ называется квадратный корень из дисперсии:

Свойства М(Х)

М(С) = С
М (kX) = kM(X)
M(X - M(X)) = 0
M(XY) = M(X) M(Y)
M(XC) = M(X) C
M(X1X2…Xk) = M(X1)M(X2)…M(Xk), где Х1,Х2,…Хk – независимые случайные величины
Если х 0, то М(Х) 0

Свойства D(X)

D(C) = 0
D(kX) = k2D(X)

3) D(X+X+X+…+X) = D(X1)+D(X2)+…+D(Xk), где Х1,Х2,Х3…Хk – независимые случайные величины

4) D(X-Y) = D(X)+D(Y)

5) D(X)  0

6) D(X+C) = D(X)

Геометрический и механический смысл М(Х) и D(X)

Геометрически М(Х) означает то значение случайной величины, относительно которого будут уравновешиваться все другие значения СВ. Механический смысл: М(Х) – центр масс, если принять х1 ,х2 … хn – за систему материальных точек, а

р1,р2 … рn – за единичные массы.

Геометрически D(X) означает меру разброса или меру отклонения значений СВ от ее среднего значения. Слово дисперсия означает «рассеяние». Среднее квадратическое отклонение используют в качестве показателя рассеяния.

Механически D(X) задает момент инерции СВ относительно оси, являющейся ее математическим ожиданием.

Моменты ДСВ

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины Хk.

k = М(Xk)

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:

1 = М(X)

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание Х – М(Х) k.

k = MХ – М(Х) k

( - читается «ню»,  - читается “мю”)

Центральный момент второго порядка равен дисперсии:

2 = MХ – М(Х)2 = D(X) = 2 – 1 2

Центральный момент первого порядка равен нулю:

1 = MХ – М(Х) = 0

Замечание : Момент называется центральным, т.к. берется отклонение СВ от ее математического ожидания (центра). Момент называется начальным, т.к берется отклонение СВ от начала координат.

2. Числовые характеристики НСВ

Математическим ожиданием НСВ, возможные значения которой принадлежат отрезку a;b называется определенный интеграл:

M(X) =

Если возможные значения СВ распределены по всей оси Ох, то

М(Х) =

Дисперсией НСВ возможные значения которой принадлежат отрезку a;b называется определенный интеграл:

Если возможные значения СВ распределены по всей оси Ох, то

Дисперсию можно вычислить и по другой формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

Все свойства М(Х) и D(X) указанные для ДСВ сохраняются и для непрерывной случайной величины.

Мода и медиана

Модой М0(Х) случайной величины Х называется её наиболее вероятное значение, которому соответствует максимум дифференциальной функции или максимальная вероятность рi.

Медианой Ме (Х) непрерывной случайной величины Х называют то её возможное значение, которое определяется равенством:

Р(Х< Ме (Х)) = Р(Х> Ме (Х))=0,5

Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината f(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения.

Моменты НСВ

Начальным моментом k-го порядка НСВ возможные значения которой принадлежат отрезку a;b, называется определенный интеграл:

k =

Если возможные значения СВ распределены по всей оси Ох, то

k =

Центральный момент k-порядка НСВ возможные значения которой принадлежат отрезку a;b определяется равенством:

k =

Если возможные значения СВ распределены по всей оси Ох, то

k =

Замечание: Математическое ожидание случайной величины Х есть её первый начальный момент, а дисперсия – второй центральный момент.

М(Х) = 1 D(X) = 2

Третий центральный момент служит для характеристики ассиметрии

(скошенности) распределения.

Четвертый центральный момент служит для характеристики крутости

(островершинности или плосковершинности) распределения

Асимметрия и эксцесс

Асимметрия и эксцесс служат для количественной оценки отклонения теоретического распределения от нормального. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному.

Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле: А =

Если :

А < 0 , то асимметрия левосторонняя,

А > 0, то асимметрия правосторонняя,

А = 0, то распределение строго симметрично

Эксцесс вычисляется по формуле: Е =

Если :

Е < 0 , то распределение нормальное плосковершинное,

Е > 0, то распределение называют нормальным островершинным,

Е = 0, А= 0, то выдвигают гипотезу о нормальности распределения.

Вопросы для самопроверки:

Как найти математическое ожидание ДСВ, НСВ?
Как найти дисперсию ДСВ, НСВ?
Запишите свойства М(Х), D(X)
Геометрический и механический смысл М(Х) и D(X)?
Что называется модой, медианой?

Литература: 10стр.57-153, 15стр86-107

Тема 13. Основные законы распределения случайных величин

Цель лекции: ознакомление с основными законами распределения случайных величин

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

1.Основные законы распределения дискретных случайных величин

2.Основные законы распределения непрерывных случайных величин

1. Основные законы распределения дискретных случайных величин (ДСВ)

Распределение Бернулли

Случайная величина распределена на выборочном пространстве, состоящем всего из двух исходов.

Символ p используется для обозначения вероятности «успеха», и этот единственный параметр полностью определяет распределение.

Обычно вероятность «неудачи» обозначается через q. Тогда q=1-p. За значение бернуллиевской случайной величины принимается число появлений события А в одном испытании в схеме Бернулли. Она принимает значения 0 или 1. Тогда

xi	0	1
рi	q	p

Распределение Бернулли играет важную роль в теории вероятностей и математической статистике, являясь моделью любого случайного эксперимента, исходы которого принадлежат двум взаимно исключающим классам. Математическое ожидание и дисперсия: M(X) = p D(X) = pq

Биномиальное распределение

Пусть проводятся n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность р появления события А в единичном испытании постоянна и не меняется от испытания к испытанию. За значение биномиальной случайной величины принимается число появлений события А в n испытаниях в схеме Бернулли. Ее возможными значениями будут все целые числа от 0 до n, а соответствующие вероятности определяются по формуле Бернулли: Сnmpm qn-m

Параметрами распределения являются n и p.

…

рi

npqn-1

Сn2p2 qn-2

…

Сnmpm qn-m

…

M(X) = np D(X) = npq

Геометрическое распределение

Проводятся независимые испытания с одной и той же вероятностью p (0p1) появления события А и вероятностью не появления q в каждом испытании. Испытания проводятся до первого появления события А. Тогда ДСВ Х (это число проведенных испытаний) имеет геометрический закон распределения.

Последовательные члены распределения вероятностей образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q.

xi	1	2	3	…	m	…
рi	р	qр	q2p	…	qm-1р	…

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение вычисляются по формулам:

M(X)=

Закон распределения Пуассона

Это распределение называют законом распределения редких явлений, т.к. для распределения Пуассона вероятность р появления события в каждом испытании мала. За значение пуассоновской случайной величины принимается число событий m, происходящих за одинаковые промежутки времени. События появляются независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью =np, 0,3; 10.  -это единственный параметр распределения Пуассона.

xi	0	1	…	m	…
рi	e-	e-	…		…

M(X) = D(X) =  (X)=

2. Основные законы распределения НСВ

Нормальное распределение

Широкое распространение нормального распределения объясняется тем, что оно проявляется там, где случайная величина представлена суммой большого числа независимых случайных величин (что чаще всего встречается на практике), влияние каждой из которых на всю сумму не представляется существенным.

Нормальная (гауссовская) случайная величина является предельной для многих случайных величин. В теории надежности нормальное распределение применяется при оценке надежности элементов, подверженных действию старения и изнашивания, а также разрегулировки, т.е. при оценке постепенных отказов.

Нормальным называется распределение плотностей вероятностей непрерывных случайных величин, которое имеет вид:

Функция распределения нормального закона имеет вид:

Кривая нормального распределения f(x) имеет колоколообразную форму и называется нормальной кривой или кривой Гаусса. При изменении параметра  изменяется форма нормальной кривой. Изменение параметра а (математического ожидания) влияет на положение (увеличение или уменьшение а сдвигает график вправо или влево). Нормальная кривая в точках х = a- и х = a+ имеет перегиб. График функции f(x) симметричен относительно прямой х = а.

f(x) F(x)

0 a- a a+ x 0 a x

Для вычисления вероятности попадания случайной величины в интервал (;) можно воспользоваться функцией Лапласа:

P( Х ) = Ф ,

где Ф(х) = -функция Лапласа (функция Лапласа нечетная, ее значения приведены в таблице)

Вероятность того, что непрерывная случайная величина отклонится от своего среднего значения не более чем на заданное положительное число , равна:

Р(Х-а ) = 2Ф

Нормальный закон распределения СВ с параметрами а=0 и 2=1 называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая стандартной или нормированной

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение:

M(X) = a D(X) = 2 (X) = 

Правило трёх сигм (3): Cлучайная величина, распределенная нормально, практически не может отклониться от своего математического ожидания более чем на три средних квадратических отклонения, т.е. все возможные значения непрерывной случайной величины заключены в интервале (а-3; a+3).

P(X-a 3) = 0.9973  1

Равномерное непрерывное распределение

Непрерывная случайная величина распределена равномерно в интервале а;b, если все ее возможные значения сосредоточены на этом интервале и если плотность распределения на этом интервале постоянна и равна 1/(b-a).

f(x) =

Равномерная случайная величина – это идеальная случайная величина (скорость неизменна), встречается довольно редко.

Замечание: Каждая случайная величина имеет единственную функцию распределения, но не наоборот. Разные случайные величины могут иметь одну и ту же функцию распределения.

M(Х) =

Вероятность попадания СВ Х в интервал [; ] : P(  Х  ) =

Графики F(x) и f(x):

f(x) F(x)

0 a b x 0 a b x

Показательное распределение

Показательное распределение играет важную роль в теории надежности систем, т.к. является основной моделью так называемых внезапных (не связанных с процессом старения и износа) отказов.

Непрерывная случайная величина распределена в интервале 0; по показательному закону, если плотность распределения f(х) имеет вид:

где =const

Графики f(x) и F(x):

f (x) F(x)

 - 1 

0 x 0 x

M(X) = (X)= 1\ D(X) = 1\2

Вероятность попадания СВ Х в интервал [; ] : P( X  )= e - – e -

Вопросы для самопроверки:

Перечислите основные законы распределения ДСВ
Какое число принимается за значение бернуллиевской случайной величины ?
Чему равно M(X) и D(X) для биномиального распределения?
Какое распределение называется геометрическим?
Чему равна плотность вероятности для равномерного непрерывного распределения?
Как найти M(X) и D(X) для распределения Пуассона?
Что называется нормальным законом распределения? Как он задается?
Какими параметрами определяется нормальный закон распределения?
Что называется стандартной случайной величиной?
Как найти вероятность попадания СВ в заданный интервал для нормального закона?
Сформулируйте правило трех сигм
Как найти вероятность того, что непрерывная случайная величина отклонится от своего среднего значения не более чем на заданное положительное число ?
Как называется кривая нормального распределения?
Чему равна вероятность попадания СВ Х в интервал [; ] для показательного распределения?
Чему равна плотность вероятности для показательного распределения?

Литература: 10стр.57-153, 15стр86-107

Тема 14. Закон больших чисел

Цель лекции: ознакомление с основными теоремами закона больших чисел

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

1.Неравенста Чебышева

2.Теоремы закона больших чисел

3.Центральная предельная теорема

1.Неравенста Чебышева

Т.В. изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Было замечено, что результаты отдельных наблюдений (экономических, физических, демографических и т.д.) произведенных в одинаковых условиях случайны, т.е. нельзя заранее предвидеть, какое именно значение они примут в итоге. Это зависит от многих причин, учесть которые невозможно. Но, оказывается, совокупные действия многих случайных причин при соблюдении определенных условий приводит к результату, не зависящему от случая, т.е. происходит приближение средних характеристик к некоторым постоянным значениям. Для практики является важным знание этих условий. Эти условия формулируются в ряде теорем, получивших название закона больших чисел (ЗБЧ).

Под ЗБЧ понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью как угодно близкой к единице отклонение средней арифметической достаточно большого числа СВ от постоянного числа- средней арифметической их математических ожиданий- не превзойдетё заданного как угодно малого положительного числа .

Теорема.(первое неравенство Чебышева). Если Х- сл.в. , принимающая неотрицательные значения, то для любого >0 выполняется неравенство: (1)

Теорема.(второе неравенство Чебышева). Для любой сл.в.Х, для которой существует математическое ожидание и дисперсия и для любого положительного числа справедливо неравенство: (2)

Неравенство Чебышева дает оценку вероятности события , не требуя знания закона распределения. Эта оценка всегда имеет место. Второе неравенство Чебышева можно записать в другой форме, пользуясь тем, что события (X-M(X))   и ( X-M(X) ) >  противоположны: (3)

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем

2. Теоремы закона больших чисел

Теорема (ЗБЧ в форме Чебышева)

Пусть Х1, Х 2,…,Хn… последовательность независимых случайных величин, для которых существуют математические ожидания и дисперсии, причем дисперсии всех сл. в. ограничены одним и тем же постоянным числом С. Тогда для любого  >0 при достаточно большом n среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий: (4)

Из (4) вовсе не следует, что это неравенство будет выполняться всегда, но при достаточно больших n выполнение рассматриваемого неравенства является событием практически достоверным, а неравенства противоположного смысла- практически невозможным.

Смысл теоремы Чебышева заключается в том, что при большом числе n случайных величин практически достоверно, что их средняя, которая является величиной случайной, как угодно мало отличается от неслучайной величины , т.е. практически перестает быть случайной величиной.

Следствие. Среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и то же математическое ожидание а, сходится по вероятности к математическому ожиданию а, т.е. если  > любое положительное число, то

(5)

Теорема Чебышева и ее следствие имеют большое практическое значение. Например, страховой компании необходимо установить размер страхового взноса, который должен уплачивать страхователь; при этом страховая компания обязуется выплатить при наступлении страхового случая определенную страховую сумму. Рассматривая частоту/ убытки страхователя при наступлении страхового случая как величину случайную и обладая известной статистикой таких случаев, можно определить среднее число/средние убытки при наступлении страховых случаев, которые на основании теоремы Чебышева с большой степенью уверенности можно считать величиной почти не случайной. Тогда на основании этих данных и предполагаемой страховой суммы определяется размер страхового взноса.

Теорема Бернулли. Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности р этого события в отдельном испытании:

Теорема Бернулли является следствием теоремы Чебышева, т.к. частость события можно представить как среднюю арифметическую n независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения.

Теорема Пуассона. Частость события в n повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями р1,р2, …,рn при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к средней арифметической вероятностей события в отдельных испытаниях, т.е.

ЗБЧ играет важную роль в теоретическом обосновании методов математической статистики.

Например, в некоторой местности температура воздуха Хi (i =1,2,…365) каждый день года-величины случайные, подверженные существенным колебаниям в течение года, причем зависимые, т.к. на погоду каждого дня , заметно влияет погода предыдущих дней. Однако среднегодовая температура почти не меняется для данной местности в течение многих лет, являясь практически неслучайной, предопределенной.

3.Центральная предельная теорема (ЦПТ).

Условие Ляпунова и теорема Ляпунова

ЗБЧ устанавливает факт приближения средней большого числа сл. величин к определенным постоянным. Но при некоторых условиях совокупное действие сл. величин приводит к нормальному закону распределения.

ЦПТ представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Одной из таких теорем является теорема Ляпунова.

Условие Ляпунова. Распределение суммы независимых случайных величин Хi (i =1,2,…,n) приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении n, если выполняются следующие условия:

1).все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии,

2) ни одна из величин по своему значению резко не отличается от всех остальных, т.е. оказывает ничтожное влияние на их сумму.

Уже при числе слагаемых > 10 распределение суммы можно заменить нормальным. Теорема Ляпунова справедлива не только для НСВ, но и для ДСВ. Локальная и интегральная теоремы Лапласа являются частным случаем центральной предельной теоремы.

При решении многих практических задач применяется теорема Ляпунова в следующей формулировке:

Теорема Ляпунова. Если случайная величина Х имеет конечное математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х), то распределение среднего арифметического , вычисленного по наблюдавшимся значениям случайной величины в n независимых испытаниях, проведенных в одинаковых условиях, при n приближается к нормальному с математическим ожиданием М(Х) и дисперсией D(Х)/n, т.е.

Тема 15. Выборочный метод,

Цель лекции: ознакомление с основными задачами и понятиями математической статистики: выборкой, вариационными рядами, эмпирической функцией распределения.

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

Выборка. Способы отбора.
Вариационные ряды и их графическое изображение.
Эмпирическая функция распределения

1. Выборка. Способы отбора.

Предметом математической статистики является изучение случайных величин по результатам наблюдений. Основными задачами мат. статистики является оценка вида неизвестного распределения, оценка параметров известного распределения, оценка интервала, в который может попасть СВ и т.д.

В математической статистике законы распределения случайных величин и их числовые характеристики приходится определять из опыта. Полученные по опытным данным законы распределения называются статистическими (эмпирическими).

Опр. Множество объектов, отобранных для исследования называется выборочной совокупностью (выборкой), а множество объектов, из которого взята выборка называется генеральной совокупностью.

Количество объектов в выборке называется объемом выборки.

Опр. Выборка, правильно представляющая пропорции генеральной совокупности, называется репрезентативной.

Опр. Выборка называется повторной (бесповторной), если отобранный объект после исследования возвращается (не возвращается) в генеральную совокупность.

Существуют различные способы отбора:

1.Простой случайный отбор- объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. При большом числе объектов пользуются таблицами случайных чисел или генератором случайных чисел ( с использ. компьютера).

Например, если для исследования надо отобрать 10% объектов из 300 случайным способом, то выбираются 30 объектов.

2.Механический- генеральная совокупность делится на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, и из каждой группы отбирается один объект.

Например, если для исследования надо отобрать 20% объектов из 1000 механическим способом, то выбирается каждый 5-ый объект.

3.Серийный отбор- генеральная совокупность разбивается на части и выбирается одна или несколько частей, которые подвергаются сплошному обследованию

Например, генеральная совокупность разбита на 10 частей и из них отобрали 3 части для сплошного обследования. Это будет серийный отбор.

4.Типический отбор- объекты выбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической части»

Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, а из продукции каждого станка в отдельности

При механическом, типическом и серийном способах отбора генеральная совокупность разбивается на части.

2. Вариационные ряды и их графическое изображение

Пусть над с.в. Х проведено n наблюдений т.е. из генеральной совокупности произведена выборка объема n. Наблюдавшиеся значения хi признака Х будем называть вариантами, одинаковые из них объединим в группы и оформим результаты в виде таблицы. Статистическое распределение выборки устанавливает соответствие между наблюдаемыми значениями (вариантами) и их частотами или относительными частотами.

Опр. Статистический ряд состоящий из вариант, расположенных в порядке убывания или возрастания называется ранжированным.

Ряды распределения удобно представлять в виде двух разновидностей: дискретного и интервального.

xi	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk
wi	w1	w2	…	wk

Табл.1

Здесь хi – наблюдаемые значения, причем x1<x2<x3<…<xk;

ni - число наблюдаемых значений хi, т.е. частота значения хi в n опытах;

- относительная частота (частость) наблюдаемых значений признака Х,

k-число различных значений xi.

wi =1, ni=n

Опр. Модой называется варианта с наибольшей частотой.

Опр. Медианой называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

Если число вариант нечетно, т.е. n=2k+1, то Ме= хk+1;

При чётном n=2k медиана Ме=

Пример. Дано статистическое распределение выборки

xi	2	6	8	9	12
ni	5	7	10	15	1

Найти моду М0 и медиану Ме.

Решение: М0=9; Ме=8

Пример. Дано статистическое распределение выборки

xi	2	3	5	6	7	9
ni	4	8	7	11	18	14

Найти моду М0 и медиану Ме.

Решение: М0=7; Ме= (5+6):2=5,5

Опр. Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями).

Таблица 1 называется вариационным рядом.

При большом числе опытов (наблюдений) весь интервал значений Х разбивают на несколько интервалов равной длины и подсчитывают число значений xi, попавших в каждый интервал. Получаем интервальный ряд распределения

xi	(a0, a1)	(a1, a2)	…	(ak-1, b)
ni	n1	n2	…	nk
wi	w1	w2	…	wk

Табл.2

Опр. Интервал между наибольшими и наименьшими значениями хi называется зоной рассеивания с.в. Х. или размахом вариации:

R = xmax - xmin

Опр. Выборка называется сгруппированной, если все значения, попавшие в один и тот же i-ый интервал при расчетах принимать равным одному значению, а именно середине интервала.

Графическим изображением содержания таблиц 1 и 2 является полигон частот (черт.1) и гистограмма (черт.2). Полигон распределения строится для дискретного ряда, в случае интервального строится гистограмма.

Опр. Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки (x1; n1), (x2; n2), …, (xk; nk)

Опр. Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями и высотами ,

где - это длина интервала (ai-1;ai),

Черт1. Черт2.

Если строим гистограмму относительных частот, то в этом случае высоты равны отношению ( плотность относительной частоты).

Гистограмма является статистическим аналогом плотности распределения. Площадь гистограммы относительных частот равна единице.

3.Эмпирическая функция распределения

Опр. Эмпирической функцией распределения называют функцию F*(x), определяющего для каждого значения х относительную частоту события X< x

где n(x) –число значений xi, меньших x.

Интегральная функция распределения F(х) определяет вероятность события X<x, а эмпирическая функция F*(x) определяет относительную частоту этого же события. Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки интегральной функции распределения генеральной совокупности.

Свойства эмпирической функции:

1.Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [ 0, 1]

2. F*(x) - неубывающая функция

3.Если х1- наименьшая варианта, хк- наибольшая , то F*(x) = 0 при х  х1,

F*(x) = 1 при х > х1

Для дискретного вариационного ряда эмпирическая функция распределения представляет собой разрывную ступенчатую функцию по аналогии с функцией распределения для ДСВ, только теперь по оси ординат вместо вероятностей располагаются частости (черт.3).

Для интервального ряда имеем значения эмпирической функции распределения на концах интервала, соединив которые, получаем ломаную (черт 4).

F*(x) F*(x)

1 1

0 x1 x2 xk x 0 a=a0 a1 a2 ak=b

черт. 3 черт. 4

Пример. Дано статистическое распределение выборки

xi	1	3	5	9
ni	4	6	8	12

Найти значение эмпирической функции распределения F*(x) при х=5

Решение: Найдем объем выборки n= 4+6+8+12=30.

Число вариант, при которых наблюдалось значение признака меньшее 5, равно 4+6=10 раз, следовательно F*(x) =

Вопросы для самопроверки:

Перечислите основные задачи математической статистики
Что называется выборкой?
Что называется объемом выборки?
Что называется генеральной совокупностью?
Какая выборка называется репрезентативной?
Какая выборка называется повторной?
Перечислите различные способы отбора
При каких способах отбора генеральная совокупность разбивается на части?
Что называется вариационным рядом?
Что называется модой, медианой?
Что называется размахом вариации?
Как строится полигон частот?
Как строится гистограмма частот?
Какая функция называется эмпирической функцией распределения ?

Тема 16. Статистические оценки

Цель лекции: ознакомление с основными видами оценок и основными требованиями к оценкам

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

Основные требования к оценкам
Точечные оценки
Интервальные оценки

1. Основные требования к оценкам

На практике числовые характеристики случайной величины приходится определять из опыта, проводя серии наблюдений над объектами выборки, извлеченной из генеральной совокупности. За параметры распределения, точные значения которых, нам обычно неизвестны, принимаются их статистические оценки.

Опр. Статистической оценкой * неизвестного параметра  теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Оценка * является случайной величиной в отличии от параметра - величины неслучайной, т.к. зависит от объема выборки, от способа отбора, от закона распределения с.в. Х.

Требования к оценкам:

1).Несмещенность.

Опр. Оценка * параметра  называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е М(*) = .

Требование несмещённости гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценке параметров.

2).Эффективность.

Опр. Несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра.

3).Состоятельность

Опр. Оценка называется состоятельной, если она подчиняется закону больших чисел, т.е. чем больше объем выборки , тем больше вероятность того, что ошибка оценки не превысит сколь угодно малого положительного числа .

lim{P| * -  | <  } = 1

n

4).Достаточность.

Опр. Оценка называется достаточной, если она использует всю информацию относительно оцениваемого параметра, содержащегося в выборке.

2. Точечные оценки

Существуют два вида оценок: точечные и интервальные.

Опр. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

Пусть из генеральной совокупности произведена выборка объема n. Статистической оценкой м.о. с.в. Х является среднее арифметическое наблюдаемых значений . Оно называется выборочным средним.

Если значения признака различны, то вычисляют по формуле (1), если значения признака имеют частоты n1, n2, n3, …n k,, то вычисляют по формуле (2).

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней.

Пример. Найти несмещённую оценку генеральной средней.

хi	1	3	6	26
ni	8	40	10	2

Решение

Статистической оценкой дисперсии с.в. Х является выборочная дисперсия, которая будет обозначаться DВ и определяется формулой (3)

DB = (3) Для вычислений более удобна формула (3).

Выборочная дисперсия DВ является смещенной оценкой генеральной дисперсии, т.е. математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии.

Статистической оценкой с.к.о. с.в. Х является выборочное с.к.о (стандарт). Оно определяется как корень квадратный из выборочной дисперсии:

т.е. (4)

Если число опытов n мало (n30), то в знаменателе формулы (3) для выборочной дисперсии вместо n нужно брать (n-1). Получаем исправленную выборочную дисперсию , которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

(5)

Исправленное среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из исправленной дисперсии:S=, т.е. (6)

При большом числе опытов n весь интервал значений Х разбивают на несколько интервалов равной длины. В качестве вариант принимают середины интервалов.

3 .Интервальные оценки

Опр. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами- концами интервала.

Опр. Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью  покрывает неизвестный параметр.

Границы интервала называются доверительными границами, - доверительной вероятностью или надежностью.

Обычно надежность оценки задается наперед, берут число близкое к единице, например 0,95; 0,99; 0,999.

Доверительные интервалы строятся для оценки точности и надежности статистических параметров распределения.

Рассмотрим способы построения доверительных интервалов для математического ожидания, дисперсии и с.к.о. случайной величины при нормальном законе распределения.

1). Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормальной случайной величины Х при известном имеет вид:

  (7)

где , - точность оценки,

величина t определяется из условия 2Ф(t)=  ,

t-аргумент функции Лапласа (приложение 2),

s - с.к.о. рассматриваемой с.в.,

n-объем выборки.

2). Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормальной случайной величины Х при неизвестном и данной доверительной вероятности  имеет вид, что и (7), только вместо неизвестного в этом случае с.к.о. s стоит выборочное с.к.о. S, а величина t для данного  определяется по таблице распределения Стьюдента (приложение 3) при числе степеней свободы k на единицу меньше объема выборки, т.е. k=n-1.

  (8)

3). Доверительный интервал для дисперсии при данной доверительной вероятности  при нормальном распределении с.в. имеет вид:

где n – объем выборки, S2-выборочная дисперсия, S- выборочное с.к.о., а c21

c22 определяются по таблице распределения c2 (хи-квадрат) с (n-1) степенями свободы

Вопросы для самопроверки:

Что называется статистической оценкой?
Перечислите основные требования к оценкам?
Какие два вида оценок существуют?
Какая оценка называется точечной?
Что является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней.?
Запишите формулу выборочной средней, выборочной дисперсии, исправленной выборочной дисперсии
Какая оценка называется интервальной?
Какой интервал называют доверительным?
Как вычислить доверительный интервал для оценки математического ожидания нормальной случайной величины Х при неизвестном и известном ?

Литература: 10 стр.185-230, 15стр286-330

Тема 17. Проверка статистических гипотез

Цель лекции: ознакомление с понятием «статистическая гипотеза», знать основные этапы проверки гипотезы, уметь применять критерий Пирсона для проверки гипотезы о нормальном распределении.

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

1.Понятие статистической гипотезы.

2.Основные этапы проверки гипотезы

3.Критерий Пирсона для проверки гипотезы о нормальном распределении.

1.Понятие статистической гипотезы.

Располагая эмпирическим (статистическим) распределением, можем ставить вопрос об отнесении этого распределения к некоторому теоретическому типу или вопрос о предполагаемой величине параметра такого распределения.

Опр. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Опр. Простой гипотезой называется гипотеза, состоящая из одного предположения.

Опр. Сложной гипотезой называется гипотеза, состоящая из конечного или бесконечного множества предположений.

2.Основные этапы проверки гипотезы

Этап1.

Располагая выборочными данными х1 , х2 , ... , хn формулируют гипотезу Но и Н1

Проверяемую гипотезу Но будем называть нулевой (основной), а противоречащую ей гипотезу Н1 – альтернативной (конкурирующей). Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное значение которой известно.

Этап 2.

Задаются вероятностью  ( уровнем значимости).

Решение о том, можно ли считать высказывание Но справедливым для генеральной совокупности, принимается по выборочным данным, т.е. по ограниченному ряду наблюдений, следовательно это решение может быть ошибочным. При подтверждении или отрицании гипотезы мы можем совершить ошибки двух видов.

1). Ошибка первого рода, когда нулевая гипотеза Но отвергается, тогда как она в действительности верна.

2). Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза, т.е. принимаем нулевую гипотезу, в то время, когда она неверна.

Если критическая область выбрана, то вероятности ошибок первого и второго рода можно рассчитать, обозначим их соответственно через  и .

Опр. Уровнем значимости  называют вероятность совершить ошибку первого рода, т.е. вероятность отвергнуть нулевую гипотезу Но, когда она верна.

-вероятность того, что будет принята гипотеза H1, если на самом деле в генеральной совокупности верна гипотеза Но.

Вероятность  задается заранее, поскольку это вероятность ошибочного значения, берут одно из чисел: 0,05; 0,01; 0,001,0,005.

Например, =0,05 означает, что если гипотезу Но проверять по каждой из 100 выборок одинакового объема, то в среднем в 5 случаях из 100 мы совершим ошибку первого рода.

Вероятность ошибки второго рода обозначают , т.е. -вероятность того, что будет принята гипотеза Но, если на самом деле верна гипотеза H1

Величина 1- называется мощностью критерия.

Опр. Мощностью критерия называют вероятность не допустить ошибку второго рода, т.е. отвергнуть гипотезу Но, когда она неверна.

Этап 3.

Находят величину, которая будучи величиной случайной в силу случайности выборки х1 , х2 , ... , хn подчиняется при выполнении гипотезы Но некоторому известному закону распределения.

Опр. Статистическим критерием называют случайную величину, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Значения критерия (случайной величины) позволяют судить о расхождении выборки с гипотезой Но.

Этап 4.

После выбора критерия множество его значений, т.е. результаты наблюдений х1 , х2 , ... , хn разбиваются на две непересекающиеся части R1 и R2 . При этом принадлежность чисел х1 , х2 , ... , хn к множеству R1 будем считать подтверждением проверяемой гипотезы а принадлежность к R2 - отрицанием проверяемой гипотезы . Опр. Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Критическая область выбирается так, чтобы вероятность попадания в нее была минимальной (равной ), если верна нулевая гипотеза Но и максимальной в противном случае.

Граничные точки критической области называются критическими точками.

Опр. Наблюдаемым значением критерия Кнабл. называется значение критерия, вычисленное по данным выборки.

Опр Левосторонней критической областью называется область, определяемая условием: Кнабл.  Ккр  0

Опр. Правосторонней критической областью называется область, определяемая условием: Кнабл.  Ккр  0

Опр. Двусторонней критической областью называется область, определяемая условием: Кнабл.  Ккр1 , Кнабл.  Ккр2 , Ккр1  Ккр2

Нулевая гипотеза принимается, если выполняется условие: Ккр  Кнабл.  0

Нулевая гипотеза отвергается, если выполняется условие: Кнабл.  Ккр  0

Этап 5.

В формулу критерия подставляют конкретные числа, полученные в результате n наблюдений и подсчитывают числовое значение критерия.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы- гипотезу принимают.

3. Критерий Пирсона ( критерий 2 ) для проверки гипотезы о нормальном распределении

Нормальное распределение является одним из основных теоретических распределений. Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике. Объяснение этому было дано в центральной предельной теореме теории вероятностей А. М. Ляпуновым: если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Выбор правила проверки гипотезы эквивалентен выбору критической области Проверка гипотез осуществляется с помощью различных критериев. Рассмотрим наиболее распространенный критерий Пирсона ( критерий 2 ).

Пусть имеется случайная величина Х, о которой мы высказываем предположение, что она распределена по некоторому закону (например, нормальному). Это предположение мы назовем нулевой гипотезой Нo.

Проводим серию испытаний. Всю зону рассеивания с.в. разобьем на k интервалов (а, а1), (а1, а2), …, (аk-1,аk) и подсчитаем частоты попадания наблюдаемых значений с.в. в эти интервалы. Результаты занесем в две первые строки таблицы

Таблица 1

Интервалы

(а0, а1)

(а1, а2)

(а2, а3)

…

(аk-1, ak)

Частота ni

…

Теор.част.ni 

n1 

n 2 

n3 

nk 

Подсчитаем выборочное среднее и выборочное с.к.о. s и будем предполагать, что интересующая с.в. Х распределена по нормальному закону с параметрами:

с.к.о.  = s , м.о. а= .

При этом предположении, используя интеграл вероятностей Ф(t), мы определим вероятности pi попадания с.в. в каждый из интервалов (аi-1, ai) (i=1, 2, 3, …, k). Эти вероятности помещены в нижней строке таблицы. Заключение о справедливости выдвинутой гипотезы основывается на величине меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями. Эта мера расхождения, обозначаемая 2 определяется формулой:

, где - наблюдаемые частоты, - теоретические частоты

(ni = npi), k – число интервалов, n –объем выборки. Назначим какую - либо малую вероятность  (например =0,05), которую назовем уровнем значимости и для этого  по таблице распределения хи - квадрат при числе степеней свободы r =k-m-1, где

k – число интервалов эмпирического распределения,

m- число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным

Найдем соответствующее значение 2, которое назовем критическим и обозначим 2кр. После этого сравниваем 2 набл , т.е. вычисленное по формуле и 2кр.

При этом, если окажется, что 2 набл  2кр – гипотеза принимается,

2 набл > 2кр - гипотеза отклоняется при заданном уровне значимости .

Замечание. Вероятности pi при нормальном законе распределения с параметрами и s вычисляются по формуле, где Ф(t) – интеграл вероятностей, причем полагают а0= - , ак= + .

Вопросы для самопроверки:

Что называется статистической гипотезой?
Какая гипотеза называется сложной?
Какая гипотеза называется простой?
Что называется мощностью критерия?
Что называется уровнем значимости?
В чем состоит ошибка первого рода?
В чем состоит ошибка второго рода?
Какая критическая область называется левосторонней?
Какая критическая область называется правосторонней?
Какая критическая область называется двусторонней?
Как проверить гипотезу с помощью критерия Пирсона?

Литература: 10стр282-288,15стр334-371

ТЕСТЫ

1. Найти градиент функции z = в точке M(1;1).

A) 4

B) +

C) 6+

D) 6+2

E) 2+6

2. Найти полный дифференциал функции

А)

В)

С)

Е)

3. Производная функции по направлению вектора в точке M0(1;1) равна

4. Если ряд сходится, а ряд образованный из абсолютных величин его членов расходится, то данный ряд называется

A) гармоническим B) условно сходящимся C) сходящимся

D) расходящимся E) абсолютно сходящимся

5. Если члены знакочередующеюся ряда убывают по абсолютной величине и его общий член стремится к нулю при , то ряд сходится

A) по признаку Даламбера B) по признаку Лейбница

C) по признаку Коши D) по интегральному признаку Коши

E) по признаку сравнения

6. Ряд называется:

A) рядом Тейлора B) геометрическим C) степенным D) гармоническим

E) рядом Маклорена

7.Функциональный ряд вида:,

где - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда, называется

A) сходящимся B) геометрическим C) степенным

D) расходящимся E) гармоническим

8. Указать формулу общего члена для ряда:

А) B)

C) D)

9. Среди следующих дифференциальных уравнений найти линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

А) .

В) .

С) .

D) .

E) .

10. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами :

А) .

В) .

С) .

D) .

Е) .

11. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка:

А) .

В) .

С) .

D) .

Е) .

12. Выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается результат, называется

А) событием В) испытанием С) исходом D) вероятностью

Е) частотой

13. Какое из следующих событий является достоверным:

А) выигрыш автомобиля по билету денежно- вещевой лотереи

В) появление герба при подбрасывании монеты

С) выход бракованного изделия с конвейера предприятия

D) на верхней грани игральной кости выпало не более 6 очков

Е) на верхней грани игральной кости выпало число 3

14. В ящике 6 деталей, из которых три стандартные. Токарь один за другим взял 2 детали. Найти вероятность того, что взятые детали стандартные.

А) В) С) D) Е)

15. Буквы А, М, И, Ш, Н, А написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой. Какова вероятность того, что получится слово «МАШИНА»?

А) В) С) D) Е)

16. Декан факультета вызвал через старосту трёх студентов из группы, состоящую из 5 не выполнивших задания человек. Староста забыл фамилии вызванных студентов и отправил наудачу трёх студентов из этой группы. Какова вероятность, что к декану явятся вызванные им три студента.

А) В) 1 С) D) Е)

17. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Определить вероятность того, что все пассажиры выйдут на пятом этаже.

А) В) С) D) Е)

18. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий А и В имеет вид: Р(АВ) =

А) Р(А)  РА(В) В) Р(А)  Р(В) С) Р(А) Р() + Р() Р(В)

D) Р(А) / Р(В) Е) Р(А) +Р(В) – Р(АВ)

19. Студент выучил 10 из 30 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором два вопроса.

А) В) С) D) 0 Е) 1

20. Чему равна сумма вероятностей двух противоположных событий ?

А) 0 В) 0,5 С) pq D) 1 Е) 0,2

21. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что двигатель начнет работать при третьем включении зажигания.

А) 1 В) 0,096 С) 0,36 D) 0,24 Е) 0,216

22. В электрическую цепь последовательно включены 3 элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны: 0,1; 0,15; 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

А) 0,003 В) 0,95 С) 0,388 D) 0,02 Е) 0,1

23.Указать формулу Пуассона:

А) В) С)

D) Е)

24. Контрольный тест состоит из 5 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответа, среди которых только один правильный. Найти вероятность правильного ответа на два вопроса теста для неподготовленного студента.

А) 0,4 В) 0,35 С) 0 D) 0,26 Е) 0,25

25. В среднем из 100 автомобилей, поступающих на продажу, 30 некомплектны. Найти вероятность того, что из 100 автомобилей, поступивших на продажу ровно 30 будут некомплектны.

А) В) С) D) Е)

26. На базу отправлено 4000 генераторов для автомобильного двигателя. Вероятность изготовления бракованного генератора равна 0,0005. Найти вероятность того, что прибудут три бракованных генератора.

А) В) С) D) Е)

27. Математическое ожидание НСВ ( непрерывной случайной величины) равно:

А) В) С) D) Е)

28. М(С) =

А) 0 В) С2 С) 1 D) С Е) -С

29. D (CX – У) =

А) D(СХ) – D(У) В) С D(Х) + D(У) С) С2 D(Х) + D(У)

D) С2 D(Х) - D(У) Е) С D(Х) - D(У)

30. Число продаж Х автомашин в течение дня подчиняется следующему закону распределения

Х	0	1	2	3	4
Р	0,15	0,2	0,3	0,25	0,1

Найти математическое ожидание ежедневной продажи числа машин.

А) 1, 5 В) 4,65 С) 2 D) 6 Е) 1,95

31 . D(X) = 3; D(У) = 5. Найти D(5X- У) .

А) 75 В) 21 С) 57 D) 60 Е) 80

32. Плотность распределения вероятностей нормальной СВ имеет вид:

А) В) С)

D) Е)

33. Задана таблица распределения случайной величины.

Х	0	1	2	3	4
Р	1/4	1/8	1/4	1/8	1/4

Найти F(3).

А) 3/8 В) 5/8 С) 1/2 D) 3/4 Е) 1/8

34. Выборка, правильно представляющая пропорции генеральной совокупности, называется:

А) репрезентативной В) случайной С) повторной

D) типичной Е) бесповторной

35.Функция F*(x), определяющая для каждого значения х относительную частоту события Х<х называется:

А) эмпирической функцией распределения

В) интегральной функцией распределения

С) плотностью распределения вероятности

D) модой

Е) медианой

36. Модой называется:

А) варианта с наибольшей частотой;

В) варианта, находящаяся в центре вариационного ряда;

С) варианта, разбивающая выборку на две равные части;

D) наибольшая варианта; Е) наименьшая варианта

37. Медианой называется:

А) варианта с наибольшей частотой;

В) варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант

С) варианта, разбивающая выборку на две части;

D) наибольшая варианта;

Е) варианта, находящаяся в центре вариационного ряда;

38. Дано статистическое распределение выборки

xi	2	5	7	9	11
ni	4	6	19	5	5

Найти моду и медиану.

А) 9; 7 В) 19; 5 С) 7; 7 D) 5; 11 Е) 7; 6

39. Статистической оценкой математического ожидания случайной величины Х является:

А) выборочная дисперсия В) выборочная средняя

С) доверительная вероятность D) среднее квадратическое отклонение Е) исправленное среднее квадратическое отклонение

40. Интервал, который с заданной надежностью  покрывает неизвестный параметр называется:

А) статистическим В) случайным С) доверительным

D) точечным Е) средним

41. Дано статистическое распределение выборки

xi	3	4	6	8	10	12
ni	2	1	3	1	1	2

Найти выборочное среднее

А) 9 В) 7 С) 5 D) 4,3 Е) 8,1

42.Дано статистическое распределение выборки

xi	3	4	5	6	8	10
ni	1	2	1	2	1	3

Найти выборочную дисперсию 

А) 4,9 В) 7,1 С) 7,4 D) 6,64 Е) 5,08

43.Найти с надежностью =0,9544 доверительный интервал для математического ожидания нормальной СВ, если выборочное среднее =10,  = 3, n= 200, Ф(2)= 0,4772

А) (9,58; 10,42) В) ( 5,58; 10,62) С) ( 19,52; 21,42)

D) ( 3,73; 14,67) Е) ( 7,85; 10,13)

44. Дано статистическое распределение

xi	1	4	9	12
ni	2	6	1	1

Найти значение эмпирической функции распределения F*(x) при х = 9.

А) 0,6 В) 0,8 С) 2 D) 0,1 Е) 1

45. Статистической гипотезой называется

А) выдвинутая гипотеза;

В) гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений;

С) гипотеза, состоящая из бесконечного множества предположений;

D) гипотеза, состоящая из одного предположения

Е) гипотеза о параметрах известного распределения

46.. Нулевой гипотезой называется

А) гипотеза, состоящая из бесконечного множества предположений;

В) гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений;

С) выдвинутая гипотеза; D) гипотеза, состоящая из одного предположения

Е) гипотеза о параметрах известного распределения

47. Сложной гипотезой называется:

А) Выдвинутая гипотеза.

В) Гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

С) Гипотеза, состоящая из конечного или бесконечного множества предположений.

D) Гипотеза, состоящая из одного предположения.

Е) Гипотеза о параметрах известного распределения.

48. Критерий Пирсона служит для проверки гипотезы о

А) биномиальном распределении

В) геометрическом распределении

С) равномерном распределении

D) нормальном распределении

Е) показательном распределении

49. Ошибка второго рода состоит в том, что:

А) Отвергнута выдвинутая гипотеза.

В) Принята альтернативная гипотеза.

С) Принята выдвинутая гипотеза .

D) Отвергнута правильная гипотеза.

Е) Принята неправильная гипотеза.

50. Ошибка первого рода состоит в том, что:

А) Отвергнута выдвинутая гипотеза.

В) Принята альтернативная гипотеза.

С) Принята выдвинутая гипотеза .

D) Отвергнута правильная гипотеза.

Е) Принята неправильная гипотеза.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ

Функция нескольких переменных. Основные понятия.
Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных.
Производная по направлению. Градиент функции и его свойства.
Экстремум функции нескольких переменных.
Числовые ряды. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости числового ряда.
Достаточные признаки сходимости числовых рядов
Разложение функций в ряд Тейлора и ряд Маклорена. Примеры.
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения. Основные понятия: порядок уравнения, решение, общее и частное решение, начальные условия. Задача Коши.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие, элементарное событие, вероятность.
Три определения вероятности.
Элементы комбинаторики
Теоремы сложения и умножения. Вероятность появления хотя бы одного события.
Полная вероятность и формула Байеса
Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Примеры.
Функции распределения вероятностей непрерывной СВ. Свойства.
Плотность распределения вероятностей непрерывной СВ. Свойства.
Числовые характеристики ДСВ и НСВ, их свойства.
Основные виды распределений ДСВ и НСВ.
Закон больших чисел.
Вариационный ряд (дискретный, интервальный).
Эмпирическая функция распределения.
Точечная и интервальная оценки параметров. Требования к оценкам.
Выборочные характеристики. Оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и неизвестном .
Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Критическая область.
Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий 2 Пирсона.

EMBED Photoshop.Image.7 \s

EMBED Equation.3

a=a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6

EMBED Equation.3

1. Тема 8 ДЕРЖАВНИЙ КРЕДИТ 8
2. ФРИК Bob Torres Jenn Torres 2005 Oleg Ozerov [o
3. Динамика безопасность и надежность ЯЭУ Название лабораторных работ- Эхо~метод ультразвуков
4. а используют дифференцированно в зависимости от возраста детей состояния их здоровья с учетом подготовле
5. В фанерном производстве исчисляется себестоимость шпона по данным бухгалтерского учета 32
6. Иностранные языки
7. [2] Аграрная реформа
8. Применение логистики на предприятии
9. В качестве типовых предлагаются фермы с параллельными поясами и треугольной решеткой с дополнительными ст
10. МЕДИЦИНАЛЫ~ ПРОФИЛАКТИКАЛЫ~ ІСІ 5В11400 ЭЛЕКТИВ КУРСІ БОЙЫНША ТУБЕРКУЛЕЗДІ~ ЭПИДЕМИОЛОГИЯСЫ Ж~НЕ ПРОФИЛАК
11. на тему-Проектування полігона поховання твердих побутових відходів
12. 120Гц монотонность работы длительное нахождение в сидячем положении и постоянное напряжение зрительной сис
13. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата філологічних наук Київ ~
14. Исследование заземляющих и зануляющих устройств электроустановок Р.html
15. Реферат- Ценности и ценностные ориентации личности
16. Тема 1 Законы отражения и преломления электромагнитных волн Задание 1 При переходе света из вакуума возд
17. Понятие о бухгалтерском учете, его основные задачи
18. Исследование особенностей для реализации физического воспитания
19. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук4
20. Известия 1989 С 176184

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе

тематики С

ББК 22.1.

Р.95

ББК 22.1.

ИМиКТ, корпус 1а, кафедра математики, каб.226

Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика

Итого за 2 семестр

Итого за 2 семестр

30

Итого за 2 семестр

15

Итого за 2 семестр

РК-Рубежный контроль, ПО-письменный опрос, ПЗ-письменное задание

ИДЗ-индивидуальное домашнее задание

Решение

Скорость наибольшего возрастания поля равна модулю градиента

Решение.

Найдем частные производные по х и по у. Подставим в производные координаты точки М.

Вопросы, выносимые на рассмотрение

Цель лекции: ознакомление с основными свойствами двойного интеграла и его приложениями

Вопросы, выносимые на рассмотрение

2. Основные свойства двойного интеграла

Цель лекции: ознакомление с необходимым и достаточными признаками сходимости числового ряда

Вопросы, выносимые на рассмотрение

Вопросы для самопроверки:

Вопросы для самопроверки:

В результате деления получим уравнение

Решение

2. Аксиоматическое построение теории вероятностей

Термины теории множеств

i=1

Моменты ДСВ

Моменты НСВ

Цель лекции: ознакомление с основными теоремами закона больших чисел

Цель лекции: ознакомление с основными задачами и понятиями математической статистики: выборкой, вариационными рядами, эмпирической функцией распределения.

Количество объектов в выборке называется объемом выборки.

Пример. Дано статистическое распределение выборки

Цель лекции: ознакомление с основными видами оценок и основными требованиями к оценкам

Опр. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами- концами интервала.

Вопросы, выносимые на рассмотрение:

Располагая выборочными данными х1 , х2 , ... , хn формулируют гипотезу Но и Н1