Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Семинар 35 (11-ый семинар второго семестра)
Системы тождественных частиц: перестановочная симметрия волновой функции
Обсудить принцип тождественности частиц в микромире и его основное следствие – перестановочную симметрию волновой функции системы тождественных частиц. Дать определение бозонов и фермионов, сформулировать теорему о связи спина и статистики.
Сформулировать цель занятия – нахождение волновых функций систем тождественных частиц и исследование их основных свойств.
Задача 1. Оператор Гамильтона системы двух тождественных бозонов имеет вид
Найти энергии и волновые функции (без спиновой части) стационарных состояний этой системы двух частиц, считая что собственные значения и собственные функции гамильтониана известны, причем собственные значения невырождены.
Задача 2. Построить нормированную волновую функцию стационарного состояния системы трех тождественных невзаимодействующих бозонов (фермионов), находящихся в стационарных состояниях одночастичного гамильтониана , , . Рассмотреть различные случаи , и . Убедиться, что волновая функция фермионов может быть записана в виде определителя
Задача 3. Два тождественных, невзаимодействующих бозона со спином находятся в трехмерном осцилляторном потенциале. Рассмотреть уровень энергии системы с энергией ( - осцилляторная частота). Какова кратность вырождения этого уровня?
Задача 4. Два тождественных невзаимодействующих бозона со спином находятся в таком состоянии, в котором один из них описывается волновой функцией , другой - . Обе функции имеют определенную четность. Найти вероятность того, что обе частицы имеют координату . Сравнить эту вероятность с аналогичной величиной для различимых частиц. Дать интерпретацию полученного результата в терминах корреляций в движении частиц.
Задача 5. Два тождественных бозона со спином связаны потенциалом . Какие значения может принимать орбитальный момент относительного движения? Каковы энергетические интервалы между стационарными состояниями внутреннего движения системы?
Задача 6. Доказать, что в системе двух частиц (не обязательно тождественных) с одинаковыми спинами волновые функции состояний с определенным значением суммарного спина имеют определенную симметрию по отношению к перестановкам спиновых координат частиц. При этом состояния с суммарным спином , , , ... являются симметричными относительно перестановок спиновых координат частиц, а состояния с суммарным спином , , ... -- антисимметричными.
Задача 7. Две тождественных частицы со спином находятся в состоянии с определенным значением квадрата суммарного спина. Обладает ли пространственная часть волновой функции определенной симметрией по отношению к перестановке аргументов?
Задача 8. Два тождественных бозона (фермиона) со спином находятся в состоянии с определенным значением проекции суммарного спина на ось . Обладает ли пространственная часть волновой функции определенной симметрией по отношению к перестановке аргументов?
Задача 9. Доказать, что в системе тождественных невзаимодействующих фермионов со спином в одном и том же пространственном одночастичном состоянии могут находится не более двух фермионов (принцип Паули). А если бы частицы имели спин ?
Задача 10. Доказать, что полный спин системы двух тождественных невзаимодействующих бозонов со спинами 2, находящихся в одинаковых пространственных состояниях, может принимать значения 0, 2, 4.
Задача 11. Может ли волновая функция описывать состояние системы из двух тождественных фермионов со спином каждый?
а. да б. нет в. зависит от , г. зависит от нормировочного множителя
Задача 12. Может ли волновая функция , где и - функции одной переменной, описывать пространственное состояние системы из двух тождественных бозонов со спином каждый?
а. да, поскольку эта функция антисимметрична относительно перестановок б. нет, поскольку эта функция антисимметрична относительно перестановок, а спиновой части эта функция не содержит в. да, если спиновая часть волновой функции антисимметрична в. это
Домашнее задание
1. Два тождественных невзаимодействующих бозона со спином находятся в таком состоянии, в котором один из них описывается волновой функцией , второй - . Найти вероятность того, что обе частицы находятся в некотором объеме . Сравнить эту вероятность с аналогичной величиной для различимых частиц. Дать интерпретацию полученного результата в терминах корреляций в движении частиц. Рассмотреть предельный случай .
2. Два тождественных невзаимодействующих фермиона со спином находятся в состоянии с определенным значением суммарного спина (). Пространственное состояние одного фермиона описывается волновой функцией , другого - . Найти вероятность того, что обе частицы находятся в некотором объеме . Сравнить эту вероятность с аналогичной величиной для различимых частиц. Дать интерпретацию полученного результата в терминах корреляций в движении частиц. Рассмотреть предельный случай .
3. Может ли волновая функция , где и - функции одной переменной, описывать пространственное состояние системы из двух тождественных фермионов со спином каждый?
а. да, поскольку эта функция симметрична относительно перестановок б. нет, поскольку эта функция симметрична относительно перестановок в. да, если спиновая часть волновой функции антисимметрична г. это зависит от ,
4. Два тождественных невзаимодействующих фермиона со спинами находятся в одинаковых пространственных состояниях с волновыми функциями . Какие значения может принимать полный спин системы?
3