Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

Подписываем
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
9
Министерство образования, науки, молодежи и спорта Украины
Одесский национальный политехнический университет
Институт промышленных технологий, дизайна и менеджмента
Кафедра информационных технологий проектирования в машиностроении
Методические указания
к выполнению расчетно-графической работы
по дисциплине «Теория принятия решений»
для студентов, обучающихся по направлению
6.050101 – «Комп’ютерні науки»
Одесса,2013
ТЕОРИЯ ИГР И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Теоретические сведения
В теории игр рассматриваются ситуации, связанные с принятием решений, в которых два или более разумных противника имеют конфликтующие цели. Само слово «игра» применяется для обозначения некоторого набора правил и соглашений, составляющих данный вид игры, например: футбол, карточная игра, шахматы. Эти ситуации принятия решений отличаются от ситуаций принятия решений в условиях риска, где природа, хотя и может находиться в различных состояниях, но не преследует каких-либо целей и, следовательно, не рассматривается в роли соперника.
В игре заинтересованные стороны называются игроками, каждый из которых имеет некоторое множество вариантов выбора (не меньше двух, иначе он фактически не участвует в игре, поскольку заранее известно, что он предпримет). В экономике модель поведения лиц в виде игры возникает, например, при попытке нескольких фирм завоевать наиболее выгодное место на конкурентном рынке, или, например, при желании нескольких лиц (кампаний) разделить некоторое количество продукта (ресурса, финансовых средств) между собой так, чтобы каждому досталось как можно больше. Игроками в конфликтных экономических ситуациях, моделируемых в виде игры, являются производственные и непроизводственные фирмы, банки, отдельные люди и другие экономические агенты. В военных приложениях модель игры используется, например, для наилучшего выбора средств (из имеющихся или потенциально возможных) поражения военных целей противника или защиты от его нападения.
Для игр характерна неопределенность результата. Причины или источники неопределенности относятся к трем группам:
1) Комбинаторные источники (шахматы);
2) Случайные факторы (игра в орлянку, кости, карточные игры, где случаен расклад);
3) Неопределенность имеет стратегическое происхождение: игрок не знает, какого рода образа действий придерживается его противник. Здесь неопределенность исходит от другого лица.
Далее рассмотрены игровые модели конфликтов, в которых участвуют два противника, каждый из которых имеет конечное число вариантов выбора решений. С каждой парой решений связан платеж, который один из игроков выплачивает другому (т.е. выигрыш одного игрока равен проигрышу другого). Такие игры принято называть конечными играми двух лиц с нулевой суммой.
В игре принимают участие два игрока: A и B. В распоряжении каждого игрока имеется конечное множество вариантов выбора – стратегий. Пусть – множество стратегий игрока A, – множество стратегий игрока B. С каждой парой стратегий связан платеж, который один из игроков выплачивает другому. Т.е., когда игрок А выбирает стратегию (свою i-ю стратегию), а игрок В — стратегию , то результатом такого выбора становится платеж . Поскольку стратегий конечное число, то платежи образуют матрицу размерности , называемую матрицей платежей (или матрицей игры). Строки этой матрицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В.
Пусть два игрока А и В играют в игру, основанную на подбрасывании монеты. Игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают герб (Г) или решку (Р). Если результаты двух подбрасываний монеты совпадают (т.е. ГГ или РР), то игрок А получает один доллар от игрока В. Иначе игрок А платит один доллар игроку В.
Для каждого из игроков возможны 2 варианта результатов: выпадения герба или решки, следовательно матрица платежей имеет размерность 2 х 2.
ВГ |
ВР |
|
АГ |
||
АР |
Если результаты двух подбрасываний (т.е. подбрасываний монеты игроками А и В) совпадают, то платеж в 1 доллар получает игрок А. Будем строить матрицу игры, с точки зрения игрока А, т.е. его выигрыши оценивать как положительные, а проигрыши – как отрицательные (с точки зрения В все будет наоборот и мы вполне могли бы построить матрицы платежей, ориентируясь на его точку зрения).
ВГ |
ВР |
|
АГ |
1 |
|
АР |
1 |
Если результаты подбрасывания различаются, то доллар получает В, значит платеж А равняется –1 доллар. В игре с нулевой суммой выигрыш игрока B равносилен проигрышу игрока A и равен поэтому .
ВГ |
ВР |
|
АГ |
1 |
–1 |
АР |
–1 |
1 |
Т.о., мы построили матрицу игры, описывающую заданную ситуацию. Предполагается, что матрица игры обоим игрокам известна.
Исход игры зависит от поведения обоих игроков, которое основывается на выборе правильных стратегий игры, т.е. таких вариантов, при которых так платеж данному игроку будет наибольшим. Однако, в отличие от методов оптимизации, в теории игр игрок не может просто стремиться к максимуму, он вынужден считаться с действиями соперника. Существенно, что ни один из партнеров не знает, какую стратегию применит его противник. Таким образом, имеет место ситуация полной неопределенности, при которой теория вероятности также не может помочь игрокам в выборе решения.
Рассмотрим процесс принятия решений обеими сторонами, предполагая, что оба игрока будут действовать рационально. Если игрок А не знает, как поступит его противник, то, действуя наиболее целесообразно и не желая рисковать, он выберет такую стратегию, которая гарантирует ему наибольший из наименьших выигрышей при любой стратегии противника.
В1 |
В2 |
В3 |
|
А1 |
2 |
-3 |
4 |
А2 |
-3 |
4 |
-5 |
А3 |
4 |
-5 |
6 |
Т.е., А предполагает, что В умен и будет вести себя так, чтобы доставить противнику набольшие неприятности. Тогда, при выборе 1-й стратегии, А может рассчитывать лишь на худший для себя результат –3. При выборе 2-й и 3-й стратегий он может рассчитывать на –5. Из всех возможных стратегий целесообразнее выбрать ту, что принесет максимальный возможный доход (минимальные возможные убытки, как в нашем случае). В нашем случае это стратегия 1.
Принято говорить, что при таком образе действий игрок А руководствуется принципом максиминного выигрыша. Этот выигрыш определяется формулой
.
Величина называется нижней ценой игры, максиминным выигрышем, или сокращенно максимином. Это тот гарантированный минимум, который игрок А может себе обеспечить, придерживаясь наиболее осторожной стратегии.
Очевидно, аналогичное рассуждение можно провести и за игрока В. Так как он заинтересован в том, чтобы обратить выигрыш А в минимум, он должен просмотреть каждую свою стратегию с точки зрения максимального выигрыша при этой стратегии. Поэтому внизу матрицы мы выпишем максимальные значения по каждому столбцу
.
Все эти максимумы хороши для А, но крайне неприятны для В. Поскольку противник также учитывает нашу разумность, то выбирает из этих вариантов наименьший
– больше этой суммы игрок В точно не потеряет. Величина азывается верхней ценой игры, иначе – «минимаксом».
Принцип осторожности, который определяет выбор партнерами стратегий, соответствующих максиминному выигрышу или минимаксному проигрышу, часто называют принципом минимакса, а стратегии, вытекающие из этого принципа, –минимаксными стратегиями. Можно доказать, что всегда , чем и объясняются названия "нижняя цена" и "верхняя цена".
В1 |
В2 |
В3 |
αi |
|
А1 |
2 |
-3 |
4 |
-3 |
А2 |
-3 |
4 |
-5 |
-5 |
А3 |
4 |
-5 |
6 |
-5 |
βj |
4 |
4 |
6 |
Матрица игры в общем виде
В1 |
В2 |
… |
Вm |
αi |
|
А1 |
a11 |
a12 |
… |
a1m |
α1 |
А2 |
a21 |
a22 |
… |
a2m |
α2 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
An |
an1 |
an2 |
… |
anm |
αm |
βj |
β1 |
β2 |
… |
βn |
Нижняя цена игры ; верхняя цена игры . Наша максиминная стратегия есть А1; применяя ее систематически, мы можем твердо рассчитывать выиграть не менее –3 (проиграть не более 3). Минимаксная стратегия противника есть любая из стратегий В1 и В2, применяя их систематически, он, во всяком случае, может гарантировать, что проиграет не более 4. Если мы отступим от своей максиминной стратегии (например, выберем стратегию А2), противник может нас «наказать» за это, применив стратегию В3 и сведя наш выигрыш к – 5. Но если противник выберет стратегию B3, то мы в свою очередь можем выбрать A3 и он проиграет 6 и т.д. Таким образом, положение, при котором оба игрока пользуются своими минимаксными стратегиями, является неустойчивым и может быть нарушено поступившими сведениями о стратегии противной стороны.
Однако существуют некоторые игры, для которых минимаксные стратегии являются устойчивыми. Это те игры, для которых нижняя цена равна верхней: . Если нижняя цена игры равна верхней, то их общее значение называется ценой игры, и обозначают .
Например, в игре, матрица которой приведена ниже, верхняя и нижняя цены игры оказываются равными: .
Элемент 0,6, выделенный в платежной матрице, является одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. В геометрии точку на поверхности, обладающую аналогичным свойством (одновременный минимум по одной координате и максимум по другой), называют седловой точкой. По аналогии этот термин применяется и в теории игр. Элемент матрицы, обладающий этим свойством, называется седловой точкой матрицы, а про игру говорят, что она имеет седловую точку.
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
αi |
|
А1 |
0,4 |
0,5 |
0,7 |
0,3 |
0,3 |
А2 |
0,8 |
0,4 |
0,3 |
0,7 |
0,3 |
А3 |
0,7 |
0,6 |
0,8 |
0,9 |
0,6 |
A4 |
0,7 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,2 |
βj |
0,8 |
0,6 |
0,8 |
0,9 |
Для игр с седловой точкой решение игры обладает следующим замечательным свойством. Если один из игроков (например А) придерживается своей оптимальной стратегии, а другой игрок (В) будет любым способом отклоняться от своей оптимальной стратегии, то для игрока, допустившего отклонение, это никогда не может оказаться выгодным. Это утверждение легко проверить на примере рассматриваемой игры с седловой точкой.
В этом случае наличие у любого игрока сведений о том, что противник избрал свою оптимальную стратегию, не может изменить собственного поведения игрока: если он не хочет действовать против своих же интересов, он должен придерживаться своей оптимальной стратегии. Т.е. пара оптимальных стратегий в игре с седловой точкой является как бы «положением равновесия».
Анализируя матрицу игры, мы пришли к заключению, что если каждому игроку предоставлен выбор одной-единственной стратегии, то в расчете на разумно действующего противника этот выбор должен определяться принципом минимакса. Придерживаясь этой стратегии, мы при любом поведении противника заведомо гарантируем себе выигрыш, равный нижней цене игры . Возникает естественный вопрос: нельзя ли гарантировать себе средний выигрыш, больший , если применять не одну-единственную «чистую» стратегию, а чередовать случайным образом несколько стратегий? Такие комбинированные стратегии, состоящие в применении нескольких чистых стратегий, чередующихся по случайному закону с определенным соотношением частот, в теории игр называются смешанными стратегиями.
Для матричной игры обозначим через – смешанную стратегию игрока А, где и . Через обозначим смешанную стратегию игрока В, где и . Здесь – вероятности использования игроком А в смешанной стратегии своих чистых стратегий . И – вероятности использования игроком B в смешанной стратегии своих чистых стратегий .
Математическое ожидание выигрыша игрока А запишется в виде
.
Смешанная стратегия, которая гарантирует игроку наибольший возможный средний выигрыш (или наименьший возможный средний проигрыш), называется его оптимальной смешанной стратегией. Пусть – смешанная стратегия игрока А, – смешанная стратегия игрока В. Пара смешанных стратегий , при которой , называют седловой точкой игры, а математическое ожидание выигрыша – ценой игры, причем всегда
Общим методом нахождения решения игры любой конечной размерности является ее сведение к задаче линейного программирования. Из основного положения теории игр следует, что при использовании смешанных стратегий такое оптимальное решение всегда существует и цена игры находится между верхним и нижним значениями игры ().
Допустим, что смешанная стратегия игрока А складывается из стратегий с вероятностями (некоторые из значений вероятностей могут быть равны нулю). Оптимальная смешанная стратегия игрока В складывается из стратегий с вероятностями . Условия игры определяются платежной матрицей с элементами , ; . Если игрок А применяет оптимальную смешанную стратегию, а игрок B – чистую стратегию , то средний выигрыш игрока А (математическое ожидание выигрыша) составит
.
Игрок А стремится к тому, чтобы при любой стратегии игрока В его выигрыш был не меньше, чем цена игры , а сама цена игры была максимальной. Такое поведение игрока А описывается следующей задачей линейного программирования:
(игрок А стремится максимизировать свой выигрыш)
Используя обозначения и соотношение , получим . Отсюда
Эта задача всегда имеет решение , получив которое (например, с помощью надстройки Поиск решения MS Excel) можно найти цену игры и оптимальные значения вероятностей – оптимальную смешанную стратегию игрока А.
Обратите внимание на то, что матрица игры представлена в неравенствах в транспонированном виде.
Поведению игрока B соответствует двойственная задача линейного программирования:
(эквивалентно : игрок B стремится минимизировать свой средний проигрыш)
Здесь .
Если в исходной платежной матрице имеется хотя бы один неположительный элемент, то первым шагом в процедуре сведения игры к задаче линейного программирования должно быть ее преобразование к матрице, все элементы которой строго положительны. Для этого достаточно увеличить все элементы исходной матрицы на одно и то же число
, .
При таком преобразовании матрицы оптимальные стратегии игроков не изменятся. Если исходная матрица увеличивалась на , то для получения цены первоначальной игры, нужно уменьшить на .
Индивидуальные задания
Цель: Приобрести навыки поиска рациональных решений в условиях неопределенности вызванной конфликтом интересов.
Для каждого задания представляется:
Задание 1. Решение игры с заданной матрицей платежей
Порядок выполнения:
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
||||||||||||
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|||
А1 |
8 |
6 |
2 |
8 |
А1 |
4 |
-4 |
-5 |
6 |
А1 |
1 |
9 |
6 |
0 |
А2 |
8 |
9 |
4 |
5 |
А2 |
-3 |
-4 |
-9 |
-2 |
А2 |
-2 |
3 |
8 |
4 |
А3 |
7 |
5 |
3 |
5 |
А3 |
6 |
7 |
-8 |
-9 |
А3 |
-5 |
-2 |
10 |
-3 |
А4 |
7 |
3 |
-9 |
5 |
А4 |
7 |
4 |
-2 |
-5 |
|||||
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
||||||||||||
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В1 |
В2 |
В3 |
||||
А1 |
-1 |
9 |
6 |
8 |
А1 |
0,8 |
0,6 |
0,2 |
-0,8 |
А1 |
3 |
6 |
1 |
|
А2 |
-2 |
10 |
4 |
6 |
А2 |
-0,8 |
0,9 |
-0,4 |
0,5 |
А2 |
5 |
2 |
3 |
|
А3 |
5 |
3 |
0 |
7 |
А3 |
1,7 |
0,5 |
0,3 |
0,6 |
А3 |
2 |
2 |
-5 |
|
А4 |
7 |
-2 |
8 |
4 |
||||||||||
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
||||||||||||
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|||
А1 |
3 |
7 |
1 |
3 |
А1 |
10 |
40 |
12 |
9 |
А1 |
-2 |
1 |
9 |
-2 |
А2 |
4 |
8 |
0 |
-6 |
А2 |
17 |
16 |
13 |
14 |
А2 |
-2 |
5 |
4 |
6 |
А3 |
6 |
-9 |
-2 |
4 |
А3 |
23 |
8 |
10 |
25 |
А3 |
3 |
2 |
0 |
0 |
А4 |
7 |
-2 |
8 |
4 |
||||||||||
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
||||||||||||
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|||
А1 |
-3 |
2 |
9 |
6 |
А1 |
-8 |
6 |
0 |
7 |
А1 |
1 |
9 |
6 |
0 |
А2 |
-2 |
5 |
4 |
6 |
А2 |
3 |
-1 |
4 |
4 |
А2 |
-2 |
3 |
8 |
4 |
А3 |
5 |
3 |
1 |
-5 |
А3 |
5 |
4 |
3 |
4 |
А3 |
-5 |
-2 |
10 |
-3 |
А4 |
8 |
-2 |
8 |
4 |
А4 |
7 |
4 |
-2 |
-5 |
Задание 2. Решение игры
Порядок выполнения:
Вариант 1
По условиям игры «Камень – вода – ножницы – стекло – бумага»:
Эти соотношения можно выразить с помощью следующего рисунка, на котором стрелками указаны направления подчинения:
Обозначив выигрыш, проигрыш и ничью соответственно как 1, –1 и 0, постройте платежную матрицу и определите оптимальные стратегии игроков и цену игры.
Вариант 2
Известный актер обдумывает, где бы ему провести в текущем году отпуск. Он рассматривает 6 возможных вариантов: Монте-Карло (МК), Гавайские острова (Г), Багамские острова (Б), Канарские острова (К), Сочи (С), озеро Байкал (ОБ). Единственный критерий для выбора места отдыха – стремление избежать журналистов, которые могут испортить ему отдых. Если они его «выследят», отдых будет испорчен (полезность равна 0). В противном случае, все будет, как запланировано (полезность равна 1). Вследствие различных географических условий, журналисты могут обнаружить актера с определенной (известной) вероятностью: в Монте-Карло с вероятностью 0,34; на Гавайских островах с вероятностью 0,12; на Багамских островах с вероятностью 0,16; на Канарских островах с вероятностью 0,4; в Сочи с вероятностью 0,5; на озере Байкал с вероятностью 0,2.
Опишите данную ситуацию, как игру двух лиц с нулевой суммой (актер – игрок 1, журналисты – игрок 2).
Вычислите цену игры и определите минимаксные стратегии обоих игроков. Чему равна максимальная ожидаемая полезность отпуска актера? С какой вероятностью актер поедет в отпуск на Байкал? Чему равна верхняя цена игры? В каком из мест наиболее вероятно будет отдыхать актер?
Вариант 3
Однажды на «Диком Западе» произошел следующий случай. Группа из пяти индейцев осадила лагерь, охраняемый четырьмя белыми. У лагеря два входа Е1 и Е2. Белый разведчик установил, что перед входом Е1 находится как минимум один индеец, а перед входом Е2 как минимум два индейца. Расположение других индейцев неизвестно. Командир осажденных может расположить себя и трех солдат у входов Е1 и Е2. Причем, у каждого входа должен быть как минимум один человек. Предполагается, что численно превосходящая (у каждого входа) группа берет в плен всю группу противника без собственных потерь, в то время как при равенстве сил перед каким-либо входом потерь с обеих сторон нет. В качестве платежа (выигрыша) выступает разность числа пленных.
а) Определите все чистые стратегии обоих противников.
б) Постройте платежную матрицу, считая игроком 1 обороняющуюся сторону.
в) Упростите матрицу насколько это возможно и найдите оптимальные стратегии сторон.
г) с какой частотой следует белым использовать стратегию: расположить по два человека у каждого входа?
д) кто больше в среднем захватит пленных, белые или индейцы? (1 - белые, 2 - индейцы)
е) какова абсолютная величина разности числа захваченных обеими сторонами пленных?
ж) с какой частотой следует белым использовать стратегию: расположить у первого входа одного, а у второго трех человека?
з) с какой частотой следует индейцам использовать стратегию: расположить у первого входа трех, а у второго двух воинов?
Вариант 4
В нашем распоряжении имеются три вида вооружения: A1, A2, А3; у противника – три вида самолетов: B1, В2, В3. Наша задача – поразить самолет; задача противника – сохранить его непораженным. Самолеты В1, В2 и В3 поражаются при использовании вооружения А1 соответственно с вероятностями 0,9, 0,4 и 0,2; при использовании А2 – с вероятностями 0,3, 0,6 и 0,8; при использовании А3 – с вероятностями 0,5, 0,7 и 0,2.
Вариант 5
Сельскохозяйственное предприятие производит картофель. Посевная площадь картофеля составляет 100 га. Хозяйство имеет договор с магазином, который гарантированно закупит весь произведённый картофель по цене 4 у.д.е. за 1 кг. При выращивании картофеля хозяйство может принять одно из трёх решений, различающихся по сумме затрат на производство продукции:
A1. Провести комплексную обработку растений для предотвращения поражения сорняками, вредителями и болезнями (затраты – 6 млн. у.д.е.).
A2. Провести частичную обработку растений (затраты – 4 млн. у.д.е.).
A3. Не проводить обработку растений (затраты – 2.5 млн. у.д.е.).
В зависимости от погодных условий, наличия и развития сорняков, вредителей и болезней возможны следующие ситуации:
S1. Условия для развития сорняков, вредителей и болезней неблагоприятные.
S2. Условия для развития сорняков, вредителей и болезней обычные.
S3. Условия для развития сорняков, вредителей и болезней благоприятные.
Значения урожайности картофеля (ц/га) в зависимости от решений сельскохозяйственного предприятия и развития сорняков, вредителей и болезней приведены в таблице
Стратегии хозяйства |
Развитие сорняков, вредителей и болезней |
||
S1 |
S2 |
S3 |
|
A1 |
260 |
260 |
260 |
A2 |
255 |
200 |
1450 |
A3 |
250 |
100 |
40 |
Определите наиболее оптимальную стратегию предприятия и цену игры. Дайте экономическую интерпретацию результатов решения задачи.
Вариант 6
Сторона В засылает подводную лодку в один из двух районов. Сторона A, располагая тремя противолодочными кораблями, стремится обнаружить лодку противника. Сторона В стремится этого избежать. Вероятность обнаружения подводной лодки в 1-м районе одним противолодочным кораблем равна p1 = 0,4, во втором – p2 = 0,6.
Предполагается, что обнаружение лодки каждым кораблем является независимым событием. Сторона А может посылать в различные районы разное количество кораблей (распределение кораблей по районам и есть ее стратегия).
Считая сторону А игроком 1, построить игру и найти оптимальное распределение противолодочных кораблей по регионам.
Какова цена игры? С какой частотой стороне А следует посылать в регион 2 три противолодочных корабля? С какой частотой стороне А следует посылать в регион 1 один противолодочный корабль? С какой частотой стороне В следует посылать подлодку в регион 2?
Вариант7
В одном сельскохозяйственном районе погода в течение вегетационного периода в среднем может быть холодной или теплой. На ферме с площадью в 1500 акров планируется посев двух культур. Если вегетационный период холодный, то ожидаемая прибыль от урожая составляет 20 долларов на акр для культуры I и 10 долларов на акр для культуры II. Если же вегетационный период теплый, то ожидаемая прибыль оценивается в 10 долларов за акр для культуры I и 30 долларов за акр для культуры II.
Опишите конкуренцию между фермером и погодой как матричную игру.
Какова оптимальная стратегия фермера, когда нет никакой информации относительно вероятностей теплой или холодной погоды? Если погода с равной вероятностью может быть теплой или холодной, то сколько акров следует отвести фермеру под каждую культуру?
Вариант 8
В экспериментах ворон и попугайчиков обучают распознаванию чисел до семи. Используется следующая схема эксперимента. Рацион вороны R и попугайчика С должен определяться матричной игрой. Каждой птице показывают три карточки с нанесенными на них двумя, четырьмя и семью точками. Если обе птицы выбирают одну и ту же карточку, то R получает из рациона С количество червяков, равное удвоенному числу точек на карточке. Если они выбирают разные карточки, то С получает из рациона R количество червей, равное разнице в числе точек на карточках.
В предположении, что ходы делаются независимо (например, с помощью двух наборов карточек), требуется описать этот эксперимент как матричную игру. Найти оптимальные чистые стратегии игроков. Чьи шансы на выигрыш предпочтительнее в случае чистых стратегий? Найти оптимальные смешанные стратегии. Чьи шансы предпочтительнее в этом случае?
Вариант 9
В игре двух лиц, именуемой двухпальцевой игрой Морра, каждый игрок показывает один или два пальца и одновременно отгадывает число пальцев, которые покажет его противник. Игрок, который угадал, выигрывает сумму, равную суммарному числу показанных противниками пальцев. Иначе игра заканчивается вничью.
Сформулируйте задачу в виде игры двух лиц с нулевой суммой и решите игру методами линейного программирования. Существует ли в данной игре седловая точка в чистых стратегиях? Кто из игроков в среднем выигрывает и сколько? Как часто игрок А должен говорить, что его противник показал два пальца?
Вариант 10
Джек часто ездит между двумя городами. При этом есть возможность выбрать один из двух маршрутов: маршрут А представляет собой скоростное шоссе в четыре полосы, маршрут В – узкую объездную дорогу.
Патрулирование дорог осуществляется ограниченным числом полицейских. Если все полицейские расположены на одном маршруте, то Джек, обычно едущий «на грани фола», несомненно, получит штраф в 100 долл. за превышение скорости. Если полицейские патрулируют на двух маршрутах в соотношении 50 на 50, то имеется 50 % -ная вероятность, что Джек получит штраф в 100 долл. на маршруте А и 30 %-ная вероятность, что он получит такой же штраф на маршруте В. Кроме того, маршрут В длиннее, поэтому бензина расходуется на 15 долл. больше, чем на маршруте А. Определите наилучшую стратегию для Джека.
Вариант 11
В магазине работает охранная служба – двое полицейских в штатском. Торговый зал магазина делится на две условные зоны – в зоне А почти всегда посетителей значительно больше, чем в зоне В. Имеется некоторая позиция Т вне торговой площади, в T установлена телекамера. В каждой из двух условных зон может находиться вор. Полицейские же могут находиться в А, в В или в Т. Предполагается, что известны вероятности обнаружения вора в определенной зоне при условии, что полицейский находится в фиксированном месте. Так, вора, находящегося в А, полицейский на том же месте заметит с вероятностью 0.4; из зоны Т он заметит его в зоне А с вероятностью 0.3; и т.д. в соответствии с таблицей
T |
A |
B |
|
A |
0.3 |
0.4 |
0.1 |
B |
0.5 |
0.2 |
0.7 |
Так как полицейских двое, то они могут находиться вместе или в разных местах.
Для каждой из ситуаций необходимо подсчитать вероятность обнаружения вора в каждой зоне и построить на ее основе матрицу игры (название строки – место вора, столбца – охраны). Определить, существует ли в игре седловая точка. Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры.
Литература
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА
Теоретические сведения
К задачам принятия решений в условиях риска, относятся задачи, исходные данные в которых можно описать с помощью вероятностных распределений. В подобных моделях термин риск имеет вполне определенный смысл: рассматривается несколько состояний природы, и мы можем сделать предположения о вероятностях наступления каждого возможного состояния природы.
Если решение принимается в условиях риска, то стоимости альтернатив обычно описываются вероятностными распределениями. Т.е. прибыль (затраты), связанная с каждым альтернативным решением, является случайной величиной (вернут или вернут кредит: в одном случае мы получим прибыль, в другом – убытки). Поэтому в качестве критерия принятия решения используется ожидаемое значение стоимости – математическое ожидание (М). Все альтернативы сравниваются с точки зрения максимизации ожидаемой прибыли или минимизации ожидаемых затрат.
Пример 1. Для финансирования проекта бизнесмену нужно занять сроком на один год 15000 долл. Банк может одолжить ему эти деньги под 15% годовых или вложить в дело со 100%-ным возвратом суммы, но под 9% годовых. Из прошлого опыта банкиру известно, что 4% таких клиентов ссуду не возвращают. Что делать? Давать ему заем или нет?
Построение дерева решений.
Результат А1 = 15000 + 15% от 15000 = 17250
Результат A0 = 0
Результат B1 = 15000 + 9% от 15000 = 16350
Чистый доход, получаемый в случае выбора альтернативы А:
M(давать заем) = (17250 * 0,96 + 0 * 0,04) - 15000 = 16500 - 15000 = 1560 долл.
Выбор альтернативы B дает:
M(не давать заем) = (16350 * 1,0 – 15000) = 1350 долл.
Поскольку ожидаемый чистый доход больше для альтернативы А, то принимаем решение выдать заем.
Анализ чувствительности. Решения, принимаемые при помощи «дерева», зависят от вероятностей исходов. Чувствительность решения определяется размером изменений вероятности. Выбирая решение, мы должны знать, насколько оно зависит от изменений вероятностей, и, следовательно, насколько можно полагаться на этот выбор.
Проанализируем чувствительность в только что рассмотренном примере. Ожидаемые чистые доходы в «узлах» А и В довольно близки: 1560 и 1350 долл. Выбор решения зависит от значения вероятностей. Анализ чувствительности позволяет нам вычислить «разброс» вероятностей, которые меняют наш выбор.
Обозначим вероятность «невозврата» займа через процесса через р. Тогда вариант А дает чистый доход
17250*(1-p) + 0*p – 15000 = 2250 – 17250*p
Вариант В дает чистый доход 1350 долл. Уравнивание этих результатов дает:
2250 – 17250*p = 1350 => p = 900/17250 = 0,052
Поскольку результат p0,05 оказался близок к p0,04, это показывает, что выбор решения очень чувствителен к расчетам величины вероятности, и малейшая ошибка может привести к смене выбора. Что показывает важность анализа чувствительности в процессе принятия решений.
Пример 2. Посредническая фирма еженедельно закупает и распространяет химические реактивы для фотолабораторий. Стоимость закупки ящика составляет 50 долл., прибыль от продажи ящика — 80 долл. Статистика исследования спроса приведена в таблице.
Недельный спрос, ящиков |
Вероятность |
11 |
0,4 |
12 |
0,4 |
13 |
0,2 |
Если закупленный ящик остался непроданным, фирма несет убыток 50 долларов. Определить размер запаса, который целесообразно создать фирме. Изменится ли решение, если неудовлетворенный спрос клиента будет оценен в 45 долларов?
Дерево решений запишется в виде
Итоговая таблица решения задачи в Excel (файл Фотобумага.XLS) имеет вид
Ожидаемый чистый доход максимален при выборе альтернативы А (330 долл.). С учетом штрафов за неудовлетворенный спрос максимальный чистый доход дает альтернатива В (319 долл.).
Пример 3. Банк решает вопрос, проверять ли конкурентоспособность клиента, перед тем, как выдавать заем. Аудиторская фирма берет с банка 80 ф. ст. за проверку. В результате этого перед банком встают две проблемы: первая проводить или нет проверку, вторая – выдавать после этого заем или нет.
Решая первую проблему, банк проверяет правильность выдаваемых аудиторской фирмой сведений. Для этого выбираются 1000 человек, которые были проверены и которым впоследствии выдавались ссуды.
Рекомендации аудиторской фирмы и возврат ссуды
Рекомендации после проверки кредитоспособности |
Фактический результат |
Всего |
|
Клиент ссуду вернул |
Клиент ссуду не вернул |
|
|
Давать ссуду |
735 |
15 |
750 |
Не давать ссуду |
225 |
25 |
250 |
960 |
40 |
1000 |
Решение задачи состоит из следующих этапов.
Этап. 1. Строим дерево решений (см. ниже).
Этап 2. Используя данные таблицы, вычислим вероятности каждого исхода:
Этап 3. Слева направо проставим денежные исходы каждого из «узлов», используя результаты, вычисленные ранее. Любые встречающиеся расходы вычитаем из ожидаемых доходов. Таким образом подсчитываем все «дерево». После того, как пройдены квадраты «решений», выбирается «ветвь», ведущая к наибольшему из возможных при данном решении ожидаемому доходу.
Сначала посмотрим на кружки исходов В и С, являющиеся следствием квадрата 2 (выдавать ли заем клиенту?)
Доход, ожидаемый от исхода В: M (В) = 17250 долл. х 0,98 + 0 х 0,02 = 16905 долл.; чистый ожидаемый доход: NM (В) = 16905 - 15000 = 1905 долл.
Доход, ожидаемый от исхода С: M (С) = 16350 долл. х 1,0 = 16350 долл.; чистый ожидаемый доход: NM (С) = 16350 - 15000 = 1350 ф. ст.
Предположим, что мы сейчас в квадрате 2. Максимальный ожидаемый доход 1905 долл. достигается в кружке В, поэтому принимаем решение выдать заем.
Приняв решение, корректируем «дерево», проставив чистый ожидаемый доход 1905 долл. над квадратом 2. «Ветвь» «не давать заем» зачеркивается.
То же самое делаем с кружками исходов D и Е. Доход, ожидаемый от исхода D: M(D) = (17250 долл. х 0,9) + (0 х 0,1)= 15525 долл.; чистый ожидаемый доход: NM (D) = 15525 - 15000 = 525 долл.
Аналогично для исхода Е: M (Е) = 16350 долл. х 1,0 = 16350 долл.; чистый ожидаемый доход: NМ (Е) = 16350 - 15000 = 1350 долл.
Если бы мы были в квадрате 3, то максимальный ожидаемый доход был бы равен 1350 долл. и можно было бы принять решение не выдавать заем.
Наконец приступаем к расчету кружков исходов F и G, которые являются результатами решения 4.
М (F) = 17250 долл. х 0,96 + 0 х 0,04 = 16560 долл.;
NМ (F) - 16560 - 15000 = 1560 долл.;
М (G) = 16350 долл. х 1,0 = 16350 долл.;
NМ (G) = 16350 - 15000 = 1350 долл.
В квадрате 4 максимальный ожидаемый чистый доход составляет 1560 долл., и поэтому принимаем решение выдать клиенту ссуду. Сумма 1560 долл. надписывается над квадратом 4, а альтернативная «ветвь» перечеркивается.
Теперь вернемся к «узлам» А и 1. Используя ожидаемые чистые доходы над квадратами 2 и 3, рассчитаем математическое ожидание для кружка А:
M (А) = (1905 долл. х 0,75) + (1350 долл. х 0,25) = 1766 долл.
Так как аудиторская проверка стоит 80 долл., ожидаемый чистый доход составит:
NM (А) = 1766 - 80 = 1686 долл.
Теперь можно проставить значения первого решения квадрата 1. Должен ли банк воспользоваться аудиторской проверкой? В этом «узле» максимальное математическое ожидание — 1686 долл., поэтому перечеркиваем альтернативную «ветвь».
На рис. ниже стрелками показана последовательность решений, ведущая к максимальному чистому доходу: в квадрате 1 воспользуемся аудиторской проверкой. Если выдача займа рекомендуется фирмой, тогда в квадрате 2 — выдать ссуду, если не рекомендуется, то в квадрате 3 — не выдавать ссуду, а инвестировать эти деньги под стабильные 9% годовых.
Построение индивидуальной функции полезности. В предыдущих примерах платежи выражались в виде реальных денег. Зачастую возникают ситуации, когда при анализе следует использовать скорее «полезность», чем реальную величину платежей. Для демонстрации этого предположим следующее. Существует шанс 50 на 50, что инвестиция в 20 000 долл. или принесет прибыль в 40 000 долл., или будет полностью потеряна. Соответствующая ожидаемая прибыль равна
40 000 х 0,5 – 20 000 х 0,5 = 10000 долл.
Хотя ожидается прибыль в виде чистого дохода, разные люди могут по-разному интерпретировать полученный результат. Инвестор, который идет на риск (или миллионер), может вложить деньги, чтобы с вероятностью 50 % получить прибыль в 40 000 долл. Наоборот, осторожный инвестор (студент?) может не захотеть рисковать потерей 20 000 долл.
Определение полезности является субъективным. Оно зависит от нашего отношения к риску. Рассмотрим, как можно построить функцию полезности отражающую наше отношение к деньгам, например, к риску выиграть или проиграть определенную сумму.
В примере, приведенном выше, наилучший платеж равен 40 000 долл., а наихудший (–20 000) долл. Мы устанавливаем шкалу полезности U (utility), изменяющуюся от 0 до 100, где 0 соответствует полезности –20 000, а 100 – 40000, т.е. U(–20000) = 0 и U(40000) = 100. Разумеется, 0 и 100 как границы шкалы выбраны произвольно
Если отношение ЛПР беспристрастно к риску, то результирующая функция полезности является прямой линией, соединяющей точки (0, –20000) и (100, 40000). В этом случае полезность равна денежной оценке результата. В более реальных ситуациях функция полезности может принимать другой вид. Ниже на рисунке иллюстрируется вид функции полезности для трех индивидуумов X, Y и Z.
X осторожен и не склонен к риску, так как проявляет большую чувствительность к потере, чем к прибыли. Это следует из того, что для индивидуума X при изменении в 10 000 долл. вправо и влево от точки, соответствующей 0 долларов, увеличение прибыли изменяет полезность на величину ab, которая меньше изменения полезности bс, обусловленной потерями такой же величины, т.е. ab < bс. Z, наоборот, настроен на риск. Такие же изменения в ±10 000 долл., обнаруживают противоположное поведение; здесь de > ef. А индивидуум Y является нейтральным к риску, так как упомянутые изменения порождают одинаковые изменения полезности.
В общем случае индивидуум может быть, как не расположен к риску, так и настроен на риск, в зависимости от суммы риска. В этом случае соответствующая кривая полезности будет иметь вид удлиненной буквы S.
Определим теперь полезность, соответствующую промежуточным значениям платежей, например, –10 000, 0, 10 000, 20 000 или 30 000. Для определения полезности суммы реальных денег х, будем использовать такую формулу
U(x) = p*U(-20000) + (1-p)*U(40000) = 100*(1-p), 0<p<1.
Для определения значения U(x) просят ЛПР сообщить свое предпочтение между гарантированной наличной суммой х и возможностью сыграть в лотерею, в которой с вероятностью р реализуется проигрыш в сумме 20000 долл. и с вероятностью 1-р имеет место выигрыш в 40000 долл. Под предпочтением понимается выбор значения «нейтральной» вероятности р, при котором, с точки зрения лица, принимающего решение, возможности сыграть в лотерею или получить гарантированную сумму х являются одинаково привлекательными. Например, если х = 10000 долл., лицо, принимающее решение, может заявить, что гарантированные 10000 долл. наличными и лотерея одинаково привлекательны при р = 0,3. В этом случае вычисляется полезность для х = 10000 по следующей формуле.
U(10000) = 100*(1 - 0,3) = 70.
Эта процедура продолжается до тех пор, пока не будет получено достаточное количество точек (х, U(х)) для определения формы функции полезности. Затем можно определить U(х) путем интерполяции между полученными точками.
Индивидуальные задания
Цель: Приобрести навыки поиска рациональных решений в условиях риска с использованием пакета MS Excel.
В отчете представляется:
Задание Определение наилучшей альтернативы в условиях риска
и построение индивидуальной функции полезности
Порядок выполнения работы.
Вариант 1
Вас пригласили на телевизионную игру «Колесо фортуны». Колесо управляется с помощью двух кнопок, которые сообщают ему сильное (В) или слабое (Н) вращение. Само колесо разделено на равные области – белую (Б) и черную (Ч). Вам сообщили, что в белой области колесо останавливается с вероятностью 0,3, а в черной – 0,7. Плата, которую вы получаете за игру, равна (в долл.) следующему. Построить дерево решений. Каково ожидаемое значение прибыли?
Б |
Ч |
|
Н |
800 |
200 |
В |
-2500 |
1000 |
Вариант 2
Фермер может выращивать либо кукурузу, либо соевые бобы. Вероятность того, что цены на будущий урожай этих культур повысятся, останутся на том же уровне или понизятся, равна соответственно 0,25, 0,30 и 0,45. Если цены возрастут, урожай кукурузы даст 30 000 долл. чистого дохода, а урожай соевых бобов – 10 000 долл. Если цены останутся неизменными, фермер лишь покроет расходы. Но если цены станут ниже, урожай кукурузы и соевых бобов приведет к потерям в 35 000 и 5 000 долл. соответственно. Постройте дерево решений. Какую культуру следует выращивать фермеру? Каково ожидаемое значение его прибыли?
Вариант 3
Фирма планирует открыть новое предприятие в Арканзасе. В настоящее время имеется возможность построить либо крупное предприятие, либо небольшое, которое через два года можно будет расширить при условии высокого спроса на выпускаемую им продукцию. Рассматривается задача принятия решений на десятилетний период. Фирма оценивает, что на протяжении этих 10 лет вероятность высокого и низкого спроса на производимую продукцию будет равна 0,75 и 0,25 соответственно. Стоимость немедленного строительства крупного предприятия равна 5 млн. долл., а небольшого – 1 млн. долл.
Расширение малого предприятия через два года обойдется фирме в 4,2 млн. долл. Прибыль, получаемая от функционирования производственных мощностей на протяжении 10 лет, приводится в следующей таблице.
Альтернатива |
Ожидаемый доход за год (тыс. долл.) |
|
Высокий спрос |
Низкий спрос |
|
Крупное предприятие сейчас |
1000 |
300 |
Небольшое предприятие сейчас |
250 |
200 |
Расширенное предприятие через 2 года |
900 |
200 |
Постройте соответствующее дерево решений, принимая во внимание, что через два года фирма может либо расширить небольшое предприятие, либо не расширять его. Сформулируйте стратегию строительства для фирмы на планируемый 10-летний период. (Для простоты не принимайте во внимание возможную инфляцию.)
Вариант 4
Допустим, у вас имеется возможность вложить деньги в три инвестиционных фонда открытого типа: простой, специальный (обеспечивающий максимальную долгосрочную прибыль от акций мелких компаний) и глобальный. Прибыль от инвестиции может измениться в зависимости от условий рынка. Существует 10%-ная вероятность, что ситуация на рынке ценных бумаг ухудшится, 50%-ная, что рынок останется умеренным и 40%-ная, что рынок будет возрастать. Следующая таблица содержит значения процентов прибыли от суммы инвестиции при трех возможностях развития рынка.
Постройте дерево решений. Какой фонд открытого типа вам следует выбрать? Какой процент прибыли при этом ожидается?
Альтернатива (фонды) |
Процент прибыли от инвестиции, % |
||
Ухудшающийся рынок |
Умеренный рынок |
Растущий рынок |
|
Простой |
+5 |
+7 |
+8 |
Специальный |
-10 |
+5 |
+30 |
Глобальный |
+2 |
+7 |
+20 |
Вариант 5
Предположим, у вас имеется возможность вложить деньги либо в 7,5%-ные облигации, которые продаются по номинальной цене, либо в специальный фонд, который выплачивает лишь 1% дивидендов. Если существует вероятность инфляции, процентная ставка возрастет до 8%, и в этом случае номинальная стоимость облигаций увеличится на 10%, а цена акций фонда – на 20%. Если прогнозируется спад, то процентная ставка понизится до 6%. При этих условиях ожидается, что номинальная стоимость облигаций поднимется на 5%, а цена акций фонда увеличится на 20%. Если состояние экономики останется неизменным, цена акций фонда увеличится на 8%, а номинальная стоимость облигаций не изменится. Экономисты оценивают в 20% шансы наступления инфляции и в 15% – наступление спада. Ваше решение относительно инвестиций принимается с учетом экономических условий следующего года.
Представьте задачу в виде дерева решений. Будете ли вы покупать акции фонда или облигации? Какая прибыль при этом ожидается?
Вариант 6
Издатель обратился в отдел маркетинга, чтобы выяснить предполагаемый спрос на книгу. Исследования отдела маркетинга показали:
Спрос на книгу в ближайшие три года, кол-во экз. |
2000 |
3000 |
4000 |
5000 |
Вероятность |
0,1 |
0,5 |
0,2 |
0,2 |
Прибыль от продажи составляет 9 ф. ст. за книгу. Если книга не продается, убытки составляют 4 ф. ст. за штуку. Если издатель не удовлетворяет спрос, убытки по неудовлетворенному спросу составят 1 ф. ст. (для поддержания репутации фирмы и будущего спроса).
Определите, сколько должно быть издано книг в расчете на трехлетний период.
Вариант 7
Фирма планирует производство новой продукции быстрого питания в национальном масштабе. Исследовательский отдел убежден в большом успехе новой продукции и хочет внедрить ее немедленно, без рекламной кампании на рынках сбыта фирмы. Отдел маркетинга положение вещей оценивает иначе и предлагает провести интенсивную рекламную кампанию. Такая кампания обойдется в 100 тыс. долл., а в случае успеха принесет 950 тыс. долл. годового дохода. В случае провала рекламной кампании (вероятность этого составляет 30%) годовой доход оценивается лишь в 200 тыс. долл. Если рекламная кампания не проводится вовсе, годовой доход оценивается в 400 тыс. долл. при условии, что покупателям понравится новая продукция (вероятность этого равна 0,8), и в 200 тыс. долл. с вероятностью 0,2, если покупатели останутся равнодушными к новой продукции.
Постройте соответствующее дерево решений. Как должна поступить фирма в связи с производством новой продукции?
Вариант 8
Небольшая химическая фирма «Hetros Hetrosone Ltd» выпускает дорогой промышленный растворитель «Hetrosone», который быстро портится. Поэтому запасы «Hetrosone» нельзя держать больше, чем один месяц. Объемы выпуска продукции планируются в начале каждого месяца, и под эти планы закупается необходимое сырье. Продажная цена «Hetrosone» – 2400 ф. ст. за 1 т, производственные расходы – 1500 ф. ст. за 1 т.
Анализируя спрос за последние несколько месяцев, менеджер по сбыту установил, что спрос колеблется между 10 и 20 т в месяц. Для того чтобы упростить анализ спроса, он подразделил его на три типа — «низкий» (10 т), «средний» (15 т) и «высокий» (20 т) с соответствующими вероятностями:
Спрос, т |
Вероятность |
10 |
0,3 |
15 |
0,6 |
20 |
0,1 |
Вариант 9
Пекарня печет хлеб на продажу магазинам. Себестоимость одной булки составляет 30 пенсов, ее продают за 40 пенсов. В таблице приведены данные о спросе за последние 50 дней:
Спрос в день, тыс. шт. |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
Число дней |
5 |
10 |
15 |
15 |
5 |
Если булка испечена, но не продана, то убытки составят 20 пенсов за штуку. Определите, сколько булок нужно выпекать в день.
Вариант 10
Фирма производит партии продукции с 0,8, 1, 1,2 и 1,4 % бракованных изделий с вероятностями 0,4, 0,3, 0,25 и 0,05 соответственно. Три потребителя А, В и С заключили контракт на получение партий изделий с процентом некачественных изделий не выше 0,8, 1,2 и 1,4% соответственно. Фирма штрафуется в сумме 1000 долл. за каждый пункт процента (одна десятая процента) в случае, если процент некачественных изделий выше указанного. Наоборот, поставка партий изделий с меньшим процентом бракованных изделий, чем оговорено в контракте, приносит фирме прибыль в 500 долл. за каждый пункт процента. Предполагается, что партии изделий перед отправкой не проверяются.
Постройте соответствующее дерево решений. Какой из потребителей должен иметь наивысший приоритет при получении своего заказа?
Вариант 11
Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине задается следующим распределением вероятностей.
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
|
0,20 |
0,25 |
0,30 |
0,15 |
0,10 |
Магазин покупает булочку по 55 центов, а продает по 1,20 долл. Если булочка не продана в тот же день, то к концу дня она может быть реализована за 25 центов. Величина запаса булочек может принимать одно из возможных значений спроса, которые перечислены выше.
Постройте соответствующее дерево решений. Сколько булочек необходимо заказывать ежедневно?
Вариант 12
Компания «Brownhill Manufacturing Company» собирается производить новый товар, для чего нужно будет построить новый завод. После рассмотрения нескольких вариантов были оставлены три основных.
А. Построить завод стоимостью 600000 ф. ст. При этом варианте возможны: большой спрос с вероятностью 0,7 и низкий спрос с вероятностью 0,3. Если спрос будет большим, то ожидается годовой доход в размере 250000 ф. ст. в течение следующих пяти лет; если спрос низкий, то ежегодные убытки из-за больших капиталовложений составят 50000 ф. ст.
Б. Построить маленький завод стоимостью 350000 ф. ст. Здесь также возможны большой спрос с вероятностью 0,7 и низкий спрос с вероятностью 0,3. В случае большого спроса ежегодный доход в течение пяти лет составит 150000 ф. ст., при низком спросе – 25000 ф. ст.
В. Сразу завод не строить, а отложить решение этого вопроса на один год для сбора дополнительной информации, которая может быть позитивной или негативной с вероятностями 0,8 и 0,2 соответственно. Через год, если информация окажется позитивной, можно построить большой или маленький завод по указанным выше ценам. Руководство компании может решить вообще никакого завода не строить, если информация будет негативной. Вне зависимости от типа завода вероятности большого и низкого спроса меняются на 0,9 и 0,1 соответственно, если будет получена позитивная информация. Доходы на последующие четыре года остаются такими же, какими они были в вариантах А и Б.
Все расходы выражены в текущей стоимости и не должны дисконтироваться.
Литература