Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема 5. Кристаллооптика.
Факультативно. Механизм замедления света в среде.
Свет, проходя через среду, раскачивает электрические диполи атомов. Излучение диполей складывается с проходящей мимо световой волной, в результате сложения получается волна с измененной фазой. Изменение фазы относительно волны в вакууме означает другую фазовую скорость света в среде. В анизотропной среде для разных направлений вектора различается величина наведенного электрического диполя и изменение фазы световой волны. В результате оказывается, что скорость света в кристалле зависит не от направления луча, а от направления вектора в световой волне.
Факультативно. Главные диэлектрические оси кристалла.
По определению вектора электрической индукции , где — поляризация среды или объемная плотность дипольного момента. Если дипольные моменты пропорциональны полю , то и вектор пропорционален . Для анизотропной среды коэффициент пропорциональности является симметричной матрицей .
или , где — условие симметричности матрицы .
Поворотом системы координат симметричную матрицу всегда можно привести к диагональному виду: .
Оси, в которых матрица — диагональная называются главными диэлектрическими осями кристалла. Не путать с осями кристалла, о которых речь пойдет ниже.
Факультативно. Аналог волнового уравнения в кристалле.
=>
, но
, тогда
Направления векторов , , , , , плоской световой волны в кристалле.
Для любой плоской волны получаем . Тогда уравнения Максвелла можно записать в виде , откуда получаем и, учитывая для вектора Пойнтинга, из трех последних равенств системы и равенства для вектора Пойнтинга получаем . Кроме того, из получаем . Следовательно, тройка векторов , , — взаимно ортогональна и тройка векторов , , — взаимно ортогональна.
Тогда векторы , , , ортогональны вектору , а угол между векторами и равен углу между векторами и .
Лучевая и фазовая скорости световой волны в кристалле.
Обе скорости являются аналогом фазовой скорости света в изотропной среде. Лучевая скорость световой волны в кристалле определяется направлением распространения энергии и совпадает с направлением вектора Пойнтинга , где — объемная плотность энергии электромагнитного поля световой волны.
Фазовая скорость световой волны — скорость движения поверхности с постоянным значением фазы. — фаза любой волны. Выберем ось z в направлении вектора световой волны. , тогда и уравнение постоянной фазы примет следующий вид . Продифференцируем это уравнение по времени и получим , откуда . Окончательно для фазовой скорости
и .
Рассматривая перемещение поверхности равных фаз можно получить
, где — угол между векторами и , и он же угол между векторами и .
Факультативно. Величина лучевой и фазовой скорости в простейшем случае.
Простейший случай — это когда направление вектора световой волны совпадает с одной из главных диэлектрических осей кристалла (пусть с осью x). В главных диэлектрических осях связь векторов и выглядит достаточно просто . Откуда получаем . Если вектор направлен вдоль оси x, то , откуда вектор тоже имеет только составляющую . Следовательно, в рассматриваемом случае векторы и сонаправлены и кристаллическая среда ведет себя аналогично изотропной среды. Величина лучевой скорости в кристалле всегда зависит только от направления вектора , а не от направления света. Тогда — лучевая и фазовая скорости совпадают по величине и направлению (угол между лучевой и фазовой скоростями равен углу между векторами и , который равен нулю).
Фазовая пластинка.
Рассмотрим случай, когда свет распространяется вдоль одной из главных диэлектрических осей кристалла. Пусть . Поскольку , вектор лежит в плоскости x,y. Разложим вектор на составляющие вдоль осей x и y. Каждая из двух составляющих будет иметь вектор , направленный вдоль главной диэлектрической оси кристалла. Следовательно, каждая из двух составляющих поля будет иметь свою лучевую скорость, совпадающую с фазовой скоростью, . Для этих двух лучей показатели преломления не равны — двулучепреломление.
Фазовая пластинка — плоско параллельная кристаллическая пластинка, у которой две главные диэлектрические оси с различающимися диэлектрическими проницаемостями лежат в плоскости пластины.
Пластинки и .
Фазовая пластинка с оптической разностью хода для двух линейных поляризаций называется пластинкой .
Для пластинки разность хода — и соответственно .
Лучевой эллипсоид. Определение поляризации и лучевой скорости лучей по лучевому эллипсоиду (без доказательства).
Направим оси координат вдоль главных диэлектрических осей кристалла. Рассмотрим поверхность так называемого лучевого эллипсоида, уравнение которого . Главные полуоси эллипсоида имеют длины , , , равные лучевым скоростям, когда вектор направлен вдоль соответствующих осей.
Алгоритм нахождения поляризаций двух световых волн для заданного направления луча следующий. , поэтому векторы обеих волн лежат в плоскости перпендикулярной лучу. Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью перпендикулярной лучу , проходящей через центр эллипсоида. Сечение эллипсоида — эллипс. Оси эллипса — направления вектора двух лучей. Длина полуосей эллипса — лучевые скорости двух лучей.
Оптическая ось кристалла (лучевая ось). Одноосные и двуосные кристаллы.
Нельзя путать оси кристалла с главными диэлектрическими осями кристалла.
Кристаллы называются одноосными, если . Если , то кристалл двуосный.
Направление луча, для которого лучевая скорость любой поляризации света одинакова, называется осью кристалла (оптической осью, лучевой осью).
Если , то кристалл имеет две оси в плоскости x,z.
Обыкновенный и необыкновенный лучи.
В одноосном кристалле один луч обыкновенный, другой — необыкновенный. В двуосном кристалле оба луча необыкновенные.
Рассмотрим одноосный кристалл. Рассмотрим центральное сечение лучевого эллипсоида. Всегда одна из полуосей сечения перпендикулярна оси кристалла. Ее длина не зависит от направления плоскости сечения. Лучевая скорость соответствующего луча не зависит от направления луча. Это и есть обыкновенный луч. для луча этой поляризации кристалл изотропен.
Рассмотрим плоскопараллельную пластинку из одноосного кристалла. Пусть на пластинку под углом к нормали падает неполяризованный свет. При вращении пластинки вокруг нормали обыкновенный луч неподвижен, а необыкновенный луч на выходе из пластинки смещается параллельно самому себе.
Факультативно. Построение двойной лучевой поверхности с помощью лучевого эллипсоида.
Нельзя путать лучевую поверхность с рассмотренной ранее поверхностью лучевого эллипсоида.
Выберем в пространстве некоторую точку O, вокруг которой и будем строить лучевые поверхности. Для каждого направления луча отложим из одной и той же точки O два отрезка, равные лучевым скоростям двух лучей для выбранного направления луча. Величины лучевых скоростей двух лучей находятся как длины полуосей сечения лучевого эллипсоида плоскостью перпендикулярной выбранному направлению луча. Вторые концы двух отрезков при изменении направления луча образуют две лучевые поверхности.
Факультативно. Построения Гюйгенса в изотропной и анизотропной среде.
Лучевая скорость направлена в точку касания фронта волны лучевой поверхности.
Фазовая скорость направлена перпендикулярно фронту волны.
Поляризаторы на основе призмы Николя и Волластона.
Призма Николя. Две призмы из исландского шпата, склеены канадским бальзамом. , где n — показатель преломления канадского бальзама. Свет одной из линейных поляризаций испытывает на границе полное внутреннее отражение и выходит из рассмотрения. Свет, проходящий сквозь границу, будет линейно поляризован и слегка ослаблен.
Призма Волластона состоит из двух призм, в которых направления оси кристалла ортогональны. На границе двух призм свет двух линейных поляризаций преломляется отклоняясь в разные стороны.
Тема 6. Геометрическая оптика.
Центрированные оптические системы, оптическая ось, параксиальная оптика.
Центрированная оптическая система — это система, в которой все преломляющие границы сферические, и центры всех сфер лежат на одной прямой.
Эта прямая называется оптической осью системы.
Приближение параксиальной оптики состоит в двух допущениях. Все лучи имеют малый угол с оптической осью. Каждый луч, проходя преломляющую границу, находится на малом расстоянии от оптической оси. Расстояние мало по сравнению с радиусом кривизны преломляющей поверхности.
Преломление света на сферической границе.
Пусть , — угол между лучом и оптической осью до и после преломления на границе, — угол между оптической осью и нормалью к границе в точке преломления луча. Тогда — закон Снеллиуса., где в приближении параксиальной оптики синусы можно опустить. Тогда , где , где — радиус кривизны границы двух сред. Окончательно получаем
Матричная оптика. Опорная плоскость. Координаты луча.
Матрица трансляции. Матрица преломления на сферической границе.
Оптическая сила сферической границы.
Плоскость перпендикулярную оптической оси назовем опорной плоскостью.
Рассмотрим две опорные плоскости. Каждый луч в первой опорной плоскости будем характеризовать двумя координатами: расстояние от оптической оси и произведение , где — показатель преломления в первой опорной плоскости, — угол между лучом и оптической осью. Из двух координат луча можно составить вектор в некотором абстрактном пространстве. Здесь индекс 1 относится к первой опорной плоскости. Координаты луча во второй опорной плоскости, если между плоскостями однородная среда с показателем преломления , можно найти из системы , где , , — один и тот же показатель преломления среды между опорными плоскостями, — расстояние между опорными плоскостями.
Тогда координаты луча во второй опорной плоскости можно выразить через координаты луча в первой опорной плоскости с помощью некоторой матрицы : , где
называется матрицей трансляции.
Для преломления на сферической границе , где второе уравнение было получено в предыдущем вопросе. Тогда
— матрица преломления на сферической границе, где
— оптическая сила сферической границы.
Заметим, что если рассмотреть три опорные плоскости, то , так как каждая часть равенства равна вектору .
Следовательно, перемножением матриц трансляции и преломления на сферической границе можно найти матрицу оптической системы любой сложности. Порядок перемножения матриц обратный по отношению к порядку, в котором луч встречает элементы оптической схемы.
Оптическая сила тонкой линзы.
Матрица тонкой линзы , где и — оптические силы двух границ тонкой линзы. Если ввести обозначение для оптической силы линзы , то матрица тонкой линзы будет выглядеть также как матрица сферической границы .
Для тонкой линзы из материала с показателем преломления , расположенной в вакууме оптическая сила равна .
— оптическая сила тонкой линзы, где и — радиусы кривизны двух поверхностей линзы. Здесь для двояковыпуклой линзы .
В параксиальной оптике удобно принять следующее правило знаков для величин с размерностью длины. Пусть ось x направлена вдоль оптической оси. Пусть — положение сферической границы или тонкой линзы. Будем считать, что радиус кривизны границы , если центр кривизны имеет x координату .
Формула тонкой линзы. Сопряженные плоскости.
Фокусное расстояние. Фокальная плоскость. Фокус.
Рассмотрим две опорные плоскости на расстояниях и с двух сторон тонкой линзы с оптической силой . Матрица перехода от первой ко второй опорной плоскости = .
В соответствии с этой матрицей . Рассмотрим это уравнение применительно к точечному предмету в первой опорной плоскости и его изображению во второй опорной плоскости. Плоскости предмета и изображения называются сопряженными плоскостями. Тогда пучок лучей, выходящих из точки под любыми углами должен собраться в точку . Если равенство сохраняется при любом , то коэффициент при должен быть равен нулю . Откуда .
Если среды слева и справа от тонкой линзы имеют показатели преломления и , то во всех формулах этого вывода нужно заменить и . Тогда .
Учтем теперь правило знаков в параксиальной оптике. Если предмет слева от линзы и его x координата равна , а изображение справа от линзы и его x координата равна , то
— формула тонкой линзы.
Пусть теперь на линзу падает параллельный пучок лучей (), тогда точка, в которой он собирается, называется фокусом линзы (задним фокусом). Координата фокуса относительно линзы называется фокусным расстоянием . Тогда
, откуда .
Если свет выходит из некоторой точки на оптической оси, и после линзы свет идет в виде параллельного пучка лучей, то и свет выходит из переднего фокуса, а его координата относительно линзы равна переднему фокусному расстоянию .
.
Оба фокусных расстояния связаны с оптической силой линзы соотношением
.
Фокальная плоскость — плоскость перпендикулярная оптической оси и проходящая через фокус.
Построение изображений в тонкой линзе. Действительное и мнимое изображение.
Для построения изображения точечного источника в тонкой линзе достаточно найти пересечение двух любых лучей, выходящих из точечного источника. Есть три удобных луча. Луч, который до линзы идет параллельно оптической оси, после линзы обязан пройти через ее задний фокус. Луч, который до линзы проходит через передний фокус, после линзы пойдет параллельно оптической оси. Луч, который проходит через центр тонкой линзы, пойдет за линзой без изменения направления, если показатель преломления среды до и после линзы один и тот же.
Изображение действительное, если оно расположено за линзой. Изображение мнимое, если лучи за линзой не пересекаются, а пересекаются лишь их продолжения в область перед линзой.
Построение хода произвольного луча при прохождении тонкой линзы.
Возьмите произвольный луч. Пусть этот луч падает на тонкую линзу в точке A. Рассмотрите луч, параллельный заданному лучу и проходящий через передний фокус линзы. Этот второй луч после линзы пойдет параллельно оптической оси и пересечет заднюю фокальную плоскость в некоторой точке B. Заданный луч после линзы проходит через точки A и B.
Сферическое зеркало.
Рассмотрим вогнутое сферическое зеркало. Рассмотрим луч, падающий на зеркало параллельно оптической оси. Из геометрических соображений точка, в которой отраженный луч пересечет оптическую ось, расположена на расстоянии от зеркала, где — фокусное расстояние сферического зеркала, — радиус кривизны зеркала. Для вогнутого зеркала по правилу знаков обе величины положительны.
Толстая линза. Матрица толстой линзы. Главные плоскости.
Матрица толстой линзы:
= ,
где , — оптические силы двух сферических поверхностей, — толщина линзы, — показатель преломления линзы.
Главные плоскости оптической системы — сопряженные плоскости с единичным коэффициентом усиления.
Гомоцентрический пучок лучей. Приведенный радиус кривизны. Правило ABCD.
В изотропной среде лучи перпендикулярны поверхности равных фаз. Сферический фронт волны соответствует гомоцентрическому пучку лучей. — приведенный радиус гомоцентрического пучка лучей, где — радиус соответствующего сферического фронта волны.
Для любой точки гомоцентрического пука лучей выполняется соотношение , где — расстояние от точки на фронте волны до оптической оси, — угол между лучом, проходящем через рассматриваемую точку, и оптической осью. Тогда — приведенный радиус равен отношению координат луча.
Пусть гомоцентрический пучок лучей проходит через оптическую систему с матрицей . Тогда . Откуда
— правило ABCD, или правило преобразования приведенного радиуса гомоцентрического пучка лучей.
Факультативно. Гауссовы пучки.
Хорошим приближением для лазерного пучка лучей является гауссов пучок. Пусть световая волна распространяется вдоль оси z. Будем называть пучок лучей гауссовым, если поле световой волны можно найти по формуле
,
где .
Здесь — зависимость радиуса пучка от координаты вдоль оси пучка, — радиус шейки каустики, шейка каустики — самое узкое место каустической поверхности , каустическая поверхность — поверхность, огибающая все лучи. — зависимость радиуса кривизны гомоцентрического пучка лучей от координаты вдоль оси пучка. — фазовый сдвиг относительно фазы плоской волны вдоль оси z.
Шейка каустики не отображается линзой по законам геометрической оптики. Преобразование гауссова пучка лучей тонкой линзой определяется изменением приведенного радиуса кривизны по правилу ABCD. Если рассмотреть две опорные плоскости непосредственно перед тонкой линзой и сразу после линзы, то . По первым двум уравнениям приведенной выше системы из трех уравнений по известным значениям и можно найти и новой каустической поверхности.
Глаз.
На пути света в глаз свет сначала проходит защитную роговую оболочку глаза, затем — радужную оболочку, которая играет роль ирисовой диафрагмы. Затем на пути света встречается зрачок — открытая ирисовой диафрагмой часть хрусталика. Далее расположен хрусталик — линза глаза. Далее — стекловидное тело и сетчатка.
Аккомодация глаза — способность подстраивать оптическую силу хрусталика так, чтобы изображение предмета попадало на сетчатку глаза.
Свет и цвет.
Свет имеет цвет, который зависит от частоты или длины волны.
Сетчатка содержит два типа клеток — реагирующие только на интенсивность света и чувствительные к спектру света. Светочувствительные клетки второго вида по-разному реагируют на свет в синей, зеленой и красной области спектра. Соответственно на экране монитора делают синие, зеленые и красные светящиеся зерна.
Чернила цветного принтера должны не пропускать один из трех основных цветов спектра. Желтые чернила поглощаю синий свет. Лиловые чернила поглощают зеленый свет. Бирюзовые чернила поглощают красный свет.
Лупа. Увеличение лупы.
Лупа — это линза, используемая для получения увеличенного мнимого изображения предмета. Предмет располагают близко к фокусу линзы, но чуть ближе к линзе, чем положение фокуса.
Чем ближе предмет расположен к фокусу линзы, тем больше увеличение линзы, но тем дальше расположено изображение предмета. При этом угловой размер изображения стремиться к константе.
Если мнимое изображение находится далеко, то угловой размер изображения не зависит от расстояния между глазом и линзой. Для анализа работы лупы удобно считать, что лупа расположена вплотную к глазу. В таком случае можно считать, что лупа вместе с хрусталиком глаза образуют одну сложную линзу.
Размер изображения на сетчатке глаза пропорционален и полностью определяется угловым размером предмета. Это следует из рассмотрения луча, исходящего из края предмета и проходящего через центр сложной линзы или хрусталика. Угловой размер обратно пропорционален расстоянию до предмета.
Без линзы считают, что предмет рассматривают на расстоянии 25 см. При рассмотрении предмета через лупу считают, что глаз аккомодирован на бесконечность, при этом предмет расположен в фокальной плоскости лупы. Если с лупой для резкого изображения предмета на сетчатке глаза предмет нужно приблизить в какое-то число раз (по сравнению с расстоянием 25 см), то угловой размер предмета увеличится, и размер изображения на сетчатке увеличится в это же число раз. Это число и называют увеличением лупы, оно равно , где — фокусное расстояние лупы в метрах.
Окуляр.
Окуляр, как и лупа, дает увеличенное мнимое изображение предмета. Окуляр всегда ставят вплотную к глазу, поэтому нет смысла делать диаметр окуляра (в отличие от лупы) гораздо больше диаметра зрачка глаза.
Подзорная труба или телескоп. Труба Кеплера. Труба Галилея.
Угловое увеличение телескопа.
Телескоп (или подзорная труба) служит для рассмотрения удаленных предметов.
Телескоп — это одна линза (объектив) и экран в фокальной плоскости линзы, так как изображение удаленного предмета расположено близко к фокальной плоскости объектива. Изображение в фокальной плоскости объектива обычно рассматривают через окуляр, поэтому обычно подзорная труба — это пара линз.
Считается, что при наблюдении в телескоп, глаз аккомодирован на бесконечность. От предмета расположенного на бесконечности в глаз идет почти параллельный пучок лучей. Чтобы глаз, аккомодированный на бесконечность, видел изображение резко, нужно чтобы подзорная труба преобразовывала параллельный пучок лучей в параллельный пучок лучей. Следовательно, две линзы подзорной трубы имеют общий фокус. Рассмотрев ход лучей в подзорной трубе, можно сделать вывод, что увеличение (угловое увеличение) телескопа равно отношению фокусных расстояний объектива и окуляра: .
Подзорная труба Кеплера состоит из двух собирающих линз. Подзорная труба Галилея — из собирающей и рассеивающей линз.
Микроскоп.
Микроскоп, как и телескоп — это одна линза (объектив) и экран. Микроскоп, как лупа и окуляр, дает увеличенное изображение предмета, но в отличие от лупы и окуляра микроскоп дает действительное, а не мнимое изображение. Чтобы получить сильно увеличенное изображение предмета его нужно расположить почти в фокальной плоскости объектива. Чтобы изображение было действительным, расстояние от объектива до предмета должно быть чуть больше фокусного расстояния объектива.
Изображение, полученное объективом микроскопа, обычно рассматривают через окуляр, поэтому обычно микроскоп — это пара линз.
Призменный спектрометр. Выбор положения элементов схемы: источника света,
конденсорной линзы, коллиматорной линзы, призмы, репера и окуляра.
В простейшем варианте призменный спектрометр состоит из следующих расположенных по ходу луча элементов: источник света, конденсорная линза, входная щель спектрометра, коллиматорная линза, призма, зеркало, объектив, репер, окуляр.
Положение конденсорной линзы выбирают так, чтобы она собирала свет источника (давала изображение источника) на входную щель спектрометра. Положение источника выбирают так, чтобы свет, прошедший через входную щель спектрометра, точно заполнил весь объектив. Положение объектива выбирают так, чтобы щель спектрометра была в его фокальной плоскости. Тогда после объектива идет параллельный пучок лучей (от каждой точки входной щели). Ориентацию призмы выбирают так, чтобы параллельный пучок внутри призмы шел примерно параллельно одной из ее граней. Показатель преломления призмы зависит от длины волны, поэтому свет с разными частотами идет внутри призмы в виде параллельных пучков в несколько различных направлениях. Зеркало поворачивает параллельный пучок лучей той или иной частоты в направлении объектива. В фокальной плоскости объектива получаются цветные изображения входной щели спектрометра или спектр источника света. Поворотом зеркала можно сдвигать спектр относительно репера, расположенного в фокусе объектива. Окуляр расположен так, чтобы в нем резко был виден репер. Перемещением окуляра вместе с репером добиваются того, чтобы спектр и репер были в одной плоскости. При этом глаз, аккомодированный на бесконечность, будет резко видеть спектр и репер.
Поворот зеркала связан с поворотом барабана с делениями, по которому можно отсчитывать положение каждой линии спектра при ее совпадении с репером.
Аберрация (искажение). Хроматическая аберрация, сферическая аберрация,
астигматизм, дисторсия, кома.
Хроматическая аберрация связана с зависимостью показателя преломления от длины волны. Оптическая сила тонкой линзы связана с ее показателем преломления соотношением . Следовательно, оптическая сила линзы и ее фокусное расстояние тоже зависят от длины волны света. Эта зависимость проявляется в том, что параллельный пучок белого света собирается в фокусе линзы на разных расстояниях для света разного цвета.
Сферическая аберрация связана с тем, что линза со сферическими границами только в первом приближении собирает параллельный пучок лучей в одну точку. Точнее, лучи дальше отстоящие от оптической оси, собираются в точку ближе к линзе.
Астигматизм проявляется в том, что свет, идущий параллельно оптической оси Z, собирается не в точку, а в отрезок. На одном расстоянии от линзы — в отрезок по оси X, на другом расстоянии — в отрезок по оси Y. Этот дефект проявляется, если поверхность линзы не совсем сферическая и имеет два радиуса кривизны. Аналогичный эффект будет в том случае, если за обычной линзой поставить слабую цилиндрическую линзу.
Дисторсия или бочка — такое искажение изображения, при котором предмет в виде сетки имеет изображение в виде бочки.
Кома проявляется только для внеосевых пуков света. Проявляется кома в том, что луч, проходящий через центр линзы, дает изображение в одной точке, а лучи проходящие через края линзы дают изображение, смещенное от оптической оси и размазанное в кружок. Лучи, проходящие через все части линзы, дают изображение в виде воланчика или кометы.
Факультативно. Апертурная диафрагма. Входной и выходной зрачки.
Апертура. Относительное отверстие.
Эти понятия применимы к оптической системе, состоящей из нескольких линз.
Рассмотрим точечный предмет, расположенный на оптической оси, и его изображение. Лучи, проходящие через линзы оптической системы, диафрагмируются размерами линз или специально установленными диафрагмами.
Диафрагма, которая сильнее всего диафрагмирует пучок лучей, называется апертурной диафрагмой.
Изображение апертурной диафрагмы в той части оптической системы, которая расположена перед этой диафрагмой, называется входным зрачком оптической системы. В изображение попадают те, и только те лучи, выходящие из точечного источника, которые направлены в область входного зрачка системы.
Выходной зрачок системы — изображение апертурной диафрагмы в той части оптической схемы, которая расположена за этой диафрагмой.
Апертура — угловой диаметр входного зрачка при наблюдении его из точки расположения предмета.
Относительное отверстие — отношение диаметра выходного зрачка к расстоянию от выходного зрачка до точки изображения.
Распространение света в неоднородной среде. Эйконал. Уравнение эйконала.
Пусть — геометрическая длина пути. По определению эйконал — оптическая длина пути вдоль луча , где — показатель преломления среды. Если среда неоднородная и показатель преломления среды изменяется при переходе от точки к точке, то или , где производная взята по направлению вдоль луча.
Оптическая длина пути введена так, чтобы быть пропорциональной разности фаз волны в начале и в конце пути. Действительно , где — волновое число в вакууме.
Бегущая плоская волна в однородной среде имеет следующий вид . По аналогии можно записать выражение для бегущей волны в неоднородной среде , которое тоже можно считать определением эйконала. Здесь — начальная фаза колебаний поля в точке с радиус-вектором , поэтому можно сказать, что эйконал по определению — величина пропорциональная фазе.
Рассмотрим небольшой объем, в котором среду можно считать почти однородной. В однородной среде свет распространяется перпендикулярно поверхности равных фаз.
Точки поверхности равных фаз имеют одинаковую начальную фазу, и уравнение поверхности равных фаз имеет вид , что эквивалентно уравнению .
Для любого поля вектор направлен перпендикулярно поверхности . Следовательно, свет распространяется в направлении вектора или направление вектора совпадает с направлением луча в каждой точке волны.
Производная от эйконала по направлению луча равна показателю преломления , а производная от по направлению равна длине вектора . Поскольку направление одно и тоже, получаем . Или
— уравнение эйконала.
Введем единичный вектор вдоль луча , где — вектор Пойнтинга или плотность потока энергии . Тогда
Уравнение для вычисления траектории луча в неоднородной среде.
Возьмем градиент от уравнения и получим
или откуда выразим и получим уравнение, позволяющее вычислять траекторию луча в неоднородной среде:
И действительно, перепишем это уравнение в виде . Это уравнение позволяет найти изменение направления луча при небольшом смещении вдоль луча.
Последнее уравнение показывает, что луч, как и вектор , поворачивает в направлении вектора , то есть луч поворачивает в оптически более плотную среду.
Распространение света в среде, в которой показатель преломления n зависит только от вертикальной координаты z.
Закон Снеллиуса естественно обобщить на этот случай в виде уравнения , где — угол между вертикалью и лучом.
Этот же результат можно получить более строго. Одно из промежуточных равенств предыдущего вопроса имеет вид , где в нашем случае .
=> => => => => => =>
Принцип Ферма.
Свет распространяется по пути, который занимает минимум времени.
Минимальное время означает, что <==> <==> .
Пусть — перемещение вдоль реального луча, — перемещение вдоль любой мыслимой кривой. Тогда достаточно доказать, что . В дальнейших формулах нужно внимательно следить за тем, где стоит , а где — .
=>
= = = = = = = = = .
Что и требовалось доказать.
Миражи. Рефракция.
Рефракция — несколько четырехсмысленное понятие. В одном смысле рефракция — просто преломление. В другом смысле рефракция — изменение направления луча в неоднородной среде с переменным показателем преломления. В третьем смысле рефракция — явление, в результате которого солнце видно, когда оно находится за горизонтом. В четвертом смысле рефракция — некий коэффициент в законе Лоренц-Лорентца , где — концентрация молекул, — поляризуемость одной молекулы.
— рефракция или молекулярная рефракция, — число Авогадро.
Тема 7. Спектр света.
Разложение света по положительным частотам.
Прямое и обратное преобразование Фурье для вещественной напряженности электрического поля в одной точке пространства имеют следующий вид
, здесь коэффициент может быть разделен на два сомножителя в интегралах произвольным образом.
Вещественность накладывает некоторые ограничения на вид ее Фурье образа . И действительно, из вещественности следует равенство . Подставим в обе части равенства вместо величины ее представление в виде Фурье интеграла и получим . Заменим в первом интеграле и перенесем все в правую часть равенства. Тогда получим
. Это равенство можно рассматривать, как Фурье разложение по частотам нуля, который стоит в правой части равенства. Из единственности разложения по частотам следует, что Фурье образ нуля должен быть тождественно нулем, тогда , откуда получаем . То есть, Фурье образ поля на отрицательных частотах может быть выражен, как комплексно сопряженная величина к Фурье образу на положительных частотах. Тогда Фурье интеграл по всем частотам можно выразить через Фурье интеграл только по положительным частотам.
= =
В первом интеграле заменим и воспользуемся равенством , тогда = . Заметим, что первое слагаемое является комплексно сопряженным ко второму, тогда
, так как при сложении комплексно сопряженных величин вещественная часть удваивается, а мнимая сокращается.
В результате получаем разложение вещественного электрического поля по всем частотам и по положительным частотам
.
Комплексным полем можно считать выражение , если не брать от него вещественную часть. Величина показывает, сколько в поле содержится сигнала с частотой .
Обычно мы не знаем величину электрического поля на бесконечном временном интервале. В таком случае за пределами известного интервала времени либо считают поле равным нулю, либо считают, что поле периодически повторяется с периодом . Пусть поле — периодическая функция времени. Тогда ее можно разложить в ряд Фурье по кратным частотам.
, где .
Из-за вещественности поля амплитуды разложения по отрицательным частотам, аналогично интегралу Фурье по отрицательным частотам, могут быть выражены, как комплексно сопряженные величины к амплитудам на положительных частотах . В результате можно получить разложение поля как по частотам обоих знаков, так и только по положительным частотам.
Если на левое равенство подействовать оператором , где вместо жирной точки нужно подставить левую и правую часть равенства, то все слагаемые в правой части равенства кроме -ого слагаемого обнуляются в результате интегрирования. Откуда получаем амплитуды ряда Фурье .
Окончательно для периодической функции получаем представление в виде ряда Фурье
Спектр света. Спектральная плотность интенсивности света и ее связь с интенсивностью.
Рассмотрим разложение светового поля в ряд Фурье в выражении для интенсивности света
= = =
Последняя сумма состоит из слагаемых, осциллирующих на частотах . Если эта частота не равна нулю, то при усреднении по времени слагаемое обращается в нуль. Следовательно, отличны от нуля только слагаемые, для которых выполнено условие , что справедливо только при . Тогда в выражении для интенсивности вместо двойной суммы остается одинарная сумма, в которой слагаемые не осциллируют и не нуждаются в усреднении по времени.
= = = = .
Окончательно получаем
,
что означает, что интенсивность света равна сумме интенсивностей волн на составляющих частотах. Здесь введены обозначения
и
при .
Если в разложении присутствует только одна частота, то выражение — это обычная связь интенсивности света и комплексной амплитуды световой волны на частоте .
В случае непрерывного спектра аналогичные формулы будут иметь вид
, где
Величина называется спектральной плотностью интенсивности света или просто спектром света. Обратите внимание, что спектром света называют спектральную плотность интенсивности , а не Фурье образ светового поля .
Спектр огибающей светового импульса и спектр самого импульса.
Огибающая светового импульса — медленно по сравнению с оптической частотой изменяющаяся амплитуда света при наблюдении в фиксированной пространственной точке. Частота заполнения огибающей светового импульса называется несущей частотой светового импульса.
Рассмотрим световое поле в виде произведения двух косинусов , где . Тогда выражение можно рассматривать, как медленно меняющуюся амплитуду (или огибающую) света с несущей частотой . Преобразуем произведение косинусов в сумму других косинусов.
Оказалось, что свет содержит две спектральных компоненты с частотами и . Каждая из двух спектральных компонент имеет интенсивность , а сумма их интенсивностей вдвое меньше интенсивности , соответствующей огибающей светового поля. Различие вдвое связано с тем, что среднее значение квадрата косинуса несущей частоты равно половине .
Если огибающая светового импульса содержит несколько частот (модуляции), то для каждой частоты в огибающей в спектре светового импульса появятся две компоненты равной интенсивности и симметрично расположенные относительно несущей частоты.
Если огибающую разложить в непрерывный спектр по частотам обоих знаков, то спектр светового импульса по форме совпадает со спектром огибающей, но оказывается сдвинутым по оси абсцисс на величину равную несущей частоте.
Преобразование Фурье гауссовой функции времени.
Соотношение неопределенности времени и частоты.
, ,
, ,
, ,
, ,
Факультативно. Разложение света по плоским монохроматическим волнам.
, где из
, где из
Тема 8. Интерференция.
Явление интерференции. Ширина полос. Видность.
— интерференция.
— видность интерференционной картины.
Интенсивность света при сложении двух световых волн ортогональных поляризаций.
Интенсивность света при сложении двух световых волн одинаковой поляризации как функция разности фаз.
,
Связь ширины интерференционных полос и угла между интерферирующими волнами.
Метод деления амплитуды.
Интерференция волн отраженной и прошедшей полупрозрачную пластинку.
Интерференция света при отражении от плоскопараллельной пластины.
Интерферометр Майкельсона.
Метод деления волнового фронта.
Опыт Юнга.
Бипризма Френеля.
Зеркало Ллойда.
Билинза Бийе.
Порядок интерференции. Номер интерференционной полосы.
, где m — номер полосы, Δ — оптическая разность хода.
Когерентность. Частично когерентный свет.
Квазимонохроматический свет. Спектральная ширина источника света.
Время когерентности. Длина когерентности.
=>
=>
=> =>
— длина когерентности,
— время когерентности.
Пространственная когерентность.
, где — длина пространственной когерентности, — угловой размер источника света.
, где b — линейный размер источника света, L — расстояние от точки наблюдения до источника света,
, где — максимально допустимая апертура интерференции.
Объем когерентности.
Звездный интерферометр Майкельсона. Измерение угловых размеров звезд.
Понятие об эффекте группировки фотонов. Параметр вырождения света.
Оптический аналог опыта Брауна-Твисса.
— для нелазерных источников света,
— для лазерных источников света.
Локализация интерференционной картины
на примере наблюдения интерференции в схеме с бипризмой Френеля.
Полосы равного наклона.
, где — оптическая разность хода, — угол преломления плоскопараллельной пластинки толщиной h.
Полосы равной толщины.
Кольца Ньютона.
, где R — радиус кривизны сферической поверхности, α — угол между вертикалью и направлением из центра кривизны на точку наблюдения интерференционной картины
— разность хода для темной полосы с номером m =>
— радиус m-ого темного кольца =>
Полосы равного наклона и равной толщины в интерферометре Майкельсона.
Интерферометр Жамена.
Интерферометр Рождественского (Маха-Цендера).