Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Кинематика – это раздел механики, который занимается описанием механического движения материальных точек без анализа причин, вызывающих это движение. Частным случаем механического движения тела является поступательное движение, при котором любая прямая, проведённая в этом теле, перемещается вместе с ним без изменения своей ориентации в пространстве. При поступательном движении тела все его точки движутся одинаково. Тело отсчёта (тело, относительно которого определяется положение и рассматривается перемещение др. тел), связанная с ним система координат и прибор для измерения времени составляют систему отсчёта. 3 способа описания движения: векторный, координатный, естественный. Положение некоторого тела 1 в декартовой прямоугольной системе координат (1) определяется координатами (x1, y1, z1). Кроме того, положение этого же тела 1 в данной системе отсчёта можно определить с помощью радиус-вектора (2) r1. Связь между (1) и (2): где , , – единичные векторы-орты. Модуль вектора определяется
Материальной точкой называют тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь. Числом степеней свободы м.т. наз. число независимых координат, которые полностью определяют её положение в пространстве. Траектория – линия, описываемая телом при движении. Быстрота и направление м.т. характеризуется скоростью. - предел отношения приращения радиус-вектора премещения к промежутку ->0
Характеристики, имеющие одинаковые значения в разных системах отсчёта, называют инвариантными. Величины, зависящие от выбора системы отсчёта, в которой производится их измерение, называют относительными.
Закон, выражаемый формулой , называется классическим законом сложения скоростей. При неравномерном движении скорость изменяется. Для характеристики быстроты изменения скорости вводится физическая величина – ускорение . Среднее ускорение:
.
Ускорение численно равно изменению скорости в единицу времени.
Мгновенное ускорение:.
При прямолинейном движении величина мгновенного ускорения ;
величина среднего ускорения.
Абсолютно твердым телом называется тело, дефоpмациями котоpого по условиям задачи можно пpенебpечь. У абсолютно твердого тела pасстояние между любыми его точками с течением вpемени не меняется. Положение абсолютно твеpдого тела в пpостpанстве хаpактеpизуется шестью кооpдинатами. Вращательным движением называется движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях по окружностям, центры которых лежат на одной прямой (ось вращения).положение тела в каждый момент времени характеризуется двухгранным углом его изменение со временем наз. уравнением вращательного движ. ||=рад , - единичный вектор. При увеличении его поизводная () по знаку положительна, след. ; при вращении тв.т. в противоположную сторону уменьшается, соответственно по знаку отрицательна, след. .определяет быстроту изменения. При равнопеременном вращении тела (- const) формулы, определяющие иимеют вид:
1. Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерно движется до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не изменит это состояние (закон инерции).
Воздействие тел друг на друга хар-ся силой. Сила – векторная величина, хар-ся численным значением, направлением, точкой приложения и подчиняется правилу сложения векторов. Масса – мера инертности; величина аддитивная.
2. В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе. - основное уравнение динамики
3. Силы, с которыми 2 мат.т. действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.
Силы, возникающие парами, никогда не уравновешивают друг друга, т.к. приложены к различным телам.
Законы Ньютона выполняются в ИСО.
Векторная величина, равная - импульс (Р)
Из 2ЗН: , интегрируя в пределах от t1 до t2, получаем приращение Р за промежуток времени t= t2 - t1
Если F – const,
Если внешние силы, действующие на систему, отсутствуют, то она называется замкнутой.
Импульс системы тел – векторная сумма импульсов тел, входящих в систему.
Точку, положение которой в пространстве задаётся
Наз. центром масс системы, либо центром инерции.
Центр масс системы совпадает с центром тяжести.
Работа силы – физическая величина, равная произведению силы на перемещение. В случае переменной силы определяется элементарная работа на малом перемещении, и после суммирования элементарных работ получается работа силы на конечном перемещении:
Энергию, которой обладает тело вследствие своего движения, называют кинетической энергией.
Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела. => A = Ek2 – Ek1.
Приращение кинетической энергии частицы равно работе результирующих сил, действующих на неё:
Физический смысл кинетической энергии:
Кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью υ, показывает, какую работу должна совершить сила, действующаяна покоящееся тело, чтобы сообщить ему эту скорость.
Если тело находится в таких условиях, что в каждой точке пространства оно подвергается действию других тел с некоторой силой, которая изменяется от точки к точке, то говорят, что тело находится в поле сил.
Поле сил, в котором работа, совершаемая не зависимо от пути, а определяется только начальным и конечным положениями, называется потенциальным, а действующая в поле сил – консервативными.
Консервативные: тяги, упругости, электростатическая; Неконсервативные: трения, сопротивления.
В потенциальном поле работа конс. сил по замкнутому контуру равна 0.
Гироскопические силы зависят от скорости и их направления действия перпендикулярно скорости (сила Лоренца, Кареолиса)
Диссепативные силы зависят от конфигурации тел, от их относительных скоростей (они всегда направлены против скорости)
Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность некого тела (или материальной точки) совершать работу за счет своего нахождения в поле действия сил. П.э. относится не к частице, а к системе взаимодействующих частиц при перемещении частицы из одной точки поля в другую. Работа равна изменению п.э. со знаком минус, это соотношение справедливо и для элементов перемещения
Проекция силы поля в данной т. в направлении перемещения равна производной потенциальной энергии по данному направления со знаком минус.
- градиент скалярной функции U
grad U – вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания п.э. (), где - оператор Гамильтона
След. сила поля и п.э. связаны соотношением
Вращательное движение - движение твёрдого тела, при котором какая-то одна его точка О остаётся неподвижной, а все другие точки движутся по поверхности сфер, имеющих центр в точке О.
Чтобы тв.т. с закреплённой осью привести во вращение, к нему необходимо приложить силу, непроходящую через ось вращения и параллельную ей.
Момент инерции - величина, характеризующая распределение масс в теле.
Для количественной оценки внешнего механического действия на вращающееся тело вводится момент силы.
Уравнение динамики вращательного движения или 2ЗН для вращ. движ.
Если ось вращения не проходит через центр инерции. То суммарный момент инерции определяется по формулам Штейнера:момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч):
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJi. Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч):
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R1, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
Поскольку объём и масса кольца равны
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
Однородный диск (сплошной цилиндр):
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
Сплошной однородный шар:
Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
Масса и момент инерции такого диска составят
Момент инерции сферы найдём интегрированием:
Тонкий стержень (ось проходит через центр):
Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна
Интегрируя, получим
Тонкий стержень (ось проходит через конец)
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
Если тело одновременно учавствует в двух движениях (поступательном и вращательном) со скоростью V и массой m, то полная кинетическая энергия складывается из:
Работа внеш. сил постоянных по модулю, совершаемая при вращении тела:
Если M-const, то , она совершается за счёт вращающегося тела.
=>
- основное уравнение вращательного движения
Момент импульса/ момент количества движения/ угловой момент характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.
Модуль равен:
Продифферинцируем L по t
Для м.т., расстояние которых от оси вращения постоянно :
В замкнутой системе момент внешних сил и откуда
(4)
Выражение (4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.
Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса.
Уравнение гармонических колебаний имеет вид: ,
A - амплитуда колебаний; - фаза; - начальная фаза.
- дифференциальные уравнения гармонических колебаний
Смещение, скорость и ускорение сдвинуты друг относительно друга на П/2.
Для колебания т. на пружине:
- выводится из законов син. и кос.
Из этой ф-лы след., что Е пружинного маятника изменяется в пределах от 0 до Е.
Математический: идеализированная система, состоящая из нерастяжимой невесомой нити и подвешенного на неё тела массой, сосредоточенной в одной точке.
На отклонении от ПУР:
Уравнение динамики вращательного движения:
- уравнение колебаний мат. маятника.
Решение:
формула Томпсона (для малых углов)
Физический: твёрдое тело способное совершать колебания около неподвижной оси, точки, несовпадающей с центром инерции.
Приведённая длина – такая длина мат. маятника, который колеблется синхронно с физическим, т.е. имеет одинаковую длину.
Если точки центров качания маятника взаимозаменяемы, то маятник оборотный.
Крутильный: тв. тело, подвешенное на упругой нити, верхний конец которой закреплён, совершающий вращательное движение вокруг закреплённой оси. Его колебания обусловлены упругими силами, возникающими в нити при её закручивании. Вращающий момент ~ углу поворота от ПУР.
, где с – коэффициент кручения.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний крутильного маятника:
Решение:
Гарм. колеб. можно представить графически, с помощью вращающегося вектора амплитуд (метод векторных диаграмм).
Сложение колебаний, имеющих одинаковые направления и период, но различные амплитуду и фазу.
1)Если складываемые колебания синфазны, т.е. , n=1,2,3…, то возникает максимум, и в этом случае
2)Если складывающиеся колебания находятся в противофазе, то - условия минимума; результирующая амплитуда
3)Если , а Т и мало отличаются друг от друга, т.е. , то возникают биения.
Свободные колебания, амплитуда которых из-за потерь реальной энергии колебательной системы с течением времени уменьшается, называются свободными затухающими колебаниями.
Причинами диссипации механической Е в колебательной системе могут в частности явиться силы трения. Закон затухающих колебаний определяется свойствами самой системы.
Для колебаний пружинного маятника:
из 2ЗН
где - коэффициент затухания, - циклическая частота затухающих колебаний,
, где - время затухания
- амплитуда затухающих колебаний
Отношение амплитуд двух последних колебаний характеризует скорость затухания, её называют декрементом затухания.
Логарифмический декремент затухания:
, где Q-число колебаний за .
Вынужденные колебания – колебания возникающие под действием внешних сил.
Пусть
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
Частное решение данного уравнения будем искать в виде
Подставляя выражение для s и его производных ( и ), найдем
Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω.
Это комплексное число представим в экспоненциальной форме:
где
Значит, решение уравнения в комплексной форме будет иметь вид
Его вещественная часть равна
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения равно
Решение уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения
теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света.
В основе специальной теории относительности лежат два принципа или постулата, сформулированные Эйнштейном в 1905 г.
1. Принцип относительности: все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это означает, что во всех инерциальных системах физические законы (не только механические) имеют одинаковую форму. Таким образом, принцип относительности классической механики обобщается на все процессы природы, в том числе и на электромагнитные. Этот обобщенный принцип называют принципом относительности Эйнштейна.
2. Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в СТО занимает особое положение. Это предельная скорость передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую.
В процессе обмена энергией и массой участвует большое число тел. Выделенная реальными или условными границами Совокупность взаимодействующих тел (элементов) называется Системой.
При применении законов классической механики для описания динамики большого числа взаимодействующих микрочастиц возникает несколько проблем. Во-первых, такое описание требует составления и решения большого числа дифференциальных уравнений (более 1026 для одного литра воды или одного кубометра атмосферного воздуха), описывающих движение каждой микрочастицы. При этом необходимо точное знание характера взаимодействия частиц, что зачастую достаточно сложно установить, так как это требует соответствующих экспериментальных измерений силы взаимодействия отдельных микрочастиц (например, молекул газа или жидкости). Во-вторых, даже в случае построения указанных уравнений, движение всех частиц может быть описано только в том случае, если известны все их начальные координаты и скорости. Указанные обстоятельства делают использование первого метода описания достаточно затруднительным, и его применение обычно ограничивается модельными задачами для ограниченного числа частиц.
Для изучения тепловых процессов в естествознании сформировался Термодинамический метод исследования. Он заключается в том, что состояние термодинамической системы задается Термодинамическими параметрами (параметрами системы), характеризующими ее свойства. В качестве таковых обычно выбирают Абсолютную Температуру (температуру по шкале Кельвина – Т), Давление (Р), Молярный объем (объем одного моля вещества – VМ). Параметры связаны друг с другом, поэтому состояние системы можно представить в виде уравнения. Например, для идеального газа массой в один моль эту связь выражает уравнение Менделеева-Клапейрона:PVМ = RT
Термодинамический метод устанавливает связи между макроскопическими свойствами тел, рассматривая эти свойства как бы снаружи, не вникая в структуру вещества. Он изучает общие закономерности передачи и превращения энергии.
Поведение громадного числа молекул, составляющих макротела, изучается также Статистическим Методом, который основан на том, что свойства макротел определяются свойствами молекул, особенностями их движения (скоростью, энергией, импульсом и т. д.) и взаимодействия. Например, температура может быть выражена через среднее значение кинетической энергии движения молекул. Статистический метод дает представление о механизме тепловых процессов, рассматривая их как бы изнутри макротел, он существенно дополняет термодинамический метод.
Первое начало термодинамики — один из трёх основных законов термодинамики, представляет собой закон сохранения энергии для термодинамических систем:
«Количество теплоты, полученное системой, идёт на изменение её внутренней энергии и совершение работы против внешних сил»
ФУНКЦИЯ СОСТОЯНИЯ - функция независимых параметров, определяющих равновесное состояние термодинамич. системы. Не зависит от пути (хар-ра процесса), следуя которому система пришла в рассматриваемое равновесное состояние. Относятся, в частности, характеристические функции системы (внутр. энергия, энтальпия, энтропия и др.). Работа и кол-во теплоты не являются функцией состояния.
Термодинамические параметры – это однозначно определяющие термодинамическое состояние системы, не учитывающие молекулярное строение тел и описывающие их макроскопическое строение.
(температура, плотность, давление, объем, удельное электрическое сопротивление и другие физические величины).
Уравнение состояния — уравнение, связывающее между собой термодинамические (макроскопические) параметры системы, такие, как температура, давление, объём, химический потенциал и др.
Например, таковым является уравнение состояния идеального газа, уравнение Менделеева – Клапейрона.
Идеальный газ — математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.
Изопроцессы:
Изобарный процесс - процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении ()
Закон Гей-Люссака: При постоянном давлении и неизменных значениях массы газа и его молярной массы, отношение объёма газа к его абсолютной температуре остаётся постоянным: V/T = const.
-Изохорный процесс — процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объёме (). Для идеальных газов изохорический процесс описывается законом Шарля: для данной массы газа при постоянном объёме, давление прямо пропорционально температуре:
Ещё стоит указать что поданная к газу энергия расходуется на изменение внутренней энергии то есть Q = 3* ν*R*T/2=3*V*ΔP, где R — универсальная газовая постоянная, ν количество молей в газе, T температура в Кельвинах, V объём газа, ΔP приращение изменения давления.
-Изотермический процесс — процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре ()(). Изотермический процесс описывается законом Бойля — Мариотта:
При постоянной температуре и неизменных значениях массы газа и его молярной массы, произведение объёма газа на его давление остается постоянным: PV = const.
-Изоэнтропийный процесс — процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной энтропии (). Изоэнтропийным является, например, обратимый адиабатический процесс: в таком процессе не происходит теплообмена с окружающей средой. Идеальный газ в таком процессе описывается следующим уравнением:
, где — показатель адиабаты, определяемый типом газа.
Теплоемкость идеального газа — это отношение количества теплоты, сообщенного газу, к изменению температуры δТ, которое при этом произошло.
Теплоемкость идеального газа в изопроцессах:
-Адиабатический:
В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть . Однако, объём, давление и температура меняются, то есть .
Следовательно, теплоемкость идеального газа в адиабатическом процессе равна нулю: .
-Изотермический:
В изотермическом процессе постоянна температура, то есть . При изменении объема газу передается (или отбирается) некоторое количество тепла. Следовательно, теплоемкость идеального газа стремится к бесконечности:
-Изохорный:
В изохорном процессе постоянен объем, то есть . Элементарная работа газа равна произведению изменения объема на давление, при котором происходит изменение (). Первое Начало Термодинамики для изохорного процесса имеет вид:
А для идеального газа
Таким образом,
где — число степеней свободы частиц газа.
-Изобарный:
В изобарном процессе ():
CP=δQ/νΔT=CV+R=((i+2)/2)*R
Политропный процесс, политропический процесс — термодинамический процесс, во время которого удельная теплоёмкость газа остаётся неизменной.В соответствии с сущностью понятия теплоёмкости , предельными частными явлениями политропного процесса являются изотермический процесс () и адиабатный процесс ().
В случае идеального газа, изобарный процесс и изохорный процесс также являются политропными.
Показатель политропы.
Кривая на термодинамических диаграммах, изображающая политропный процесс, называется «политропа». Для идеального газа уравнение политропы может быть записано в виде:
где р — давление, V — объем газа, n — «показатель политропы».
. Здесь — теплоёмкость газа в данном процессе, и — теплоемкости того же газа, соответственно, при постоянном давлении и объеме.
В зависимости от вида процесса, можно определить значение n:
Второе начало термодинамики — физический принцип, накладывающий ограничение на направление процессов передачи тепла между телами.
Второе начало термодинамики запрещает так называемые вечные двигатели второго рода, показывая, что коэффициент полезного действия не может равняться единице, поскольку для кругового процесса температура холодильника не может равняться абсолютному нулю.
Существуют несколько эквивалентных формулировок второго начала термодинамики:
Обратимые и необратимые процессы, пути изменения состояния термодинамической системы. Процесс называют обратимым, если он допускает возвращение рассматриваемой системы из конечного состояния в исходное через ту же последовательность промежуточных состояний, что и в прямом процессе, но проходимую в обратном порядке. При этом в исходное состояние возвращается не только система, но и среда.
Необратимые процессы могут протекать самопроизвольно только в одном направлении; таковы диффузия, теплопроводность, вязкое течение и другое.
Связанная энергия – та часть внутренней энергии, которая не может быть превращена в работу, – это обесцененная часть внутренней энергии. При одной и той же температуре связанная энергия тем больше, чем больше энтропия. Таким образом, энтропия системы есть мера обесцененности ее энергии (т.е. мера той энергии, которая не может быть превращена в работу).
Здесь мы берем тетрадочку по физике и смотрим различные задачи по расчету/с расчетом энтропии.
Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при котором система, проходя через ряд состояний, возвращается в первоначальное. Если за цикл совершается положительная работа A=∫pdV>0 (цикл идет по часовой стрелке), то он называется прямым, если за цикл осуществляется отрицательная работа A=∫pdV<0 (цикл идет против часовой стрелки), то он называется обратным.
Прямой цикл применяется в тепловых двигателях — периодически действующих двигателях, которые совершают работу за счет полученной извне теплоты. Обратный цикл применяется в холодильных машинах — периодически действующих установках, в которых за счет работы внешних сил теплота переходит к телу с более высокой температурой.
Тепловая машина — устройство, преобразующее тепловую энергию в механическую работу (тепловой двигатель) или механическую работу в тепло (холодильник). Преобразование осуществляется за счёт изменения внутренней энергии рабочего тела — на практике обычно пара или газа.
Идеальная тепловая машина — машина, в которой произведённая работа и разница между количеством подведённого и отведённого тепла равны. Работа идеальной тепловой машины описывается циклом Карно.
Функция состояния, полный дифференциал которой равен , называется энтропией (от греч. entropia – поворот, превращение) – мера способности теплоты
превращаться в другие виды энергии.
Энтропия S – это отношение полученной или отданной теплоты к температуре, при которой происходил этот процесс.
Отношение теплоты Q в изотермическом процессе к температуре, при
которой происходила передача теплоты, называется приведенной
теплотой.
Уравнение называется неравенством Клаузиуса.
Таким образом, сумма приведенных теплот любого цикла равна нулю (обратимый процесс ) или меньше нуля (необратимый процесс).
Все тела (вещества) состоят из частиц (молекул, атомов, ионов), между которыми есть промежутки. Опытные обоснования: - крошение вещества - испарение жидкостей - смешивание веществ; диффузия - фотографии туннельного микроскопа
Частицы находятся в постоянном, беспорядочном (хаотичном) движении (тепловое движение). Опытные обоснования: - испарение (вылет частиц с поверхности вещества) - диффузия
Частицы вещества взаимодействуют друг с другом: притягиваются на небольших расстояниях и отталкиваются, когда эти расстояния уменьшаются.
Число степеней свободы молекулы – число независимых переменных
(координат), полностью определяющих положение системы в пространстве.
Молекулу одноатомного газа (в виду ее малости) можно рассматривать как
материальную точку, которой приписывают три степени свободы
поступательного движения: i=iпост.
Молекула двухатомного газа рассматривается как совокупность двух
материальных точек, жестко связанных недеформируемой связью. Кроме трех поступательных степеней свободы, у такой
молекулы появляются две вращательные степени свободы: i=iпост+iвращ=5
Трехатомная и многоатомная
нелинейные молекулы имеют шесть степеней свободы:
три поступательных и три вращательных i=iпост+iвращ=6
На основе использования основных положений молекулярно-кинетической теории было получено уравнение, которое позволяло вычислить давление газа, если известны масса m0 молекулы газа, среднее значение квадрата скорости молекул и концентрация n молекул:
Уравнение называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории. Обозначив среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа :
,
получим
Давление идеального газа равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема.
Внутренняя энергия тела (обозначается как E или U) — это сумма энергий молекулярных взаимодействий и тепловых движений молекулы. Внутренняя энергия является однозначной функцией состояния системы. Внутреннюю энергию тела нельзя измерить напрямую. Можно определить только изменение внутренней энергии:
где
Эта формула является математическим выражением первого начала термодинамики
Теплоемкость идеального газа — это отношение количества теплоты, сообщенного газу, к изменению температуры δТ, которое при этом произошло.
Теплоемкость идеального газа в изопроцессах
Адиабатический .
Изотермический
Изохорный
Изобарный CP=δQ/νΔT=CV+R=((i+2)/2)*R
Идеальный газ — математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.
Свойства идеального газа описываются уравнением Менделеева — Клапейрона
,
где - универсальная газовая постоянная, — масса, — молярная масса.
или
где — концентрация частиц, — постоянная Больцмана.
Микросостояние — это состояние системы, определяемое одновременным заданием координат и импульсов всех составляющих систему частиц. Макросостояние — это состояние системы, характеризуемое небольшим числом макроскопических параметров. Одно макросостояние может быть реализовано большим числом микросостояний за счет перестановки частиц, не меняющей наблюдаемого состояния.
Термодинамическая вероятность — число способов, которыми может быть реализовано состояние физической системы. В термодинамике состояние физической системы характеризуется определёнными значениями плотности, давления, температуры и др. измеримых величин. Перечисленные величины определяют состояние системы в целом (её макросостояние). Однако при одной и той же плотности, температуре и т. д. частицы системы могут различными способами распределиться в пространстве и иметь различные импульсы. Каждое данное распределение частиц называется микросостоянием системы. Термодинамическая вероятность (обозначается W) равна числу микросостояний, реализующих данное макросостояние, из чего следует, что .
Термодинамическая вероятность связана с одной из основных макроскопических характеристик системы энтропией S соотношением Больцмана: , где — постоянная Больцмана.
Термодинамическая энтропия S, часто просто именуемая энтропия, в химии и термодинамике является функцией состояния термодинамической системы.
Понятие энтропии было впервые введено в 1865 году Рудольфом Клаузиусом. Он определил изменение энтропии термодинамической системы при обратимом процессе как отношение общего количества тепла к величине абсолютной температуры (то есть тепло, переданное системе, при постоянной температуре):
.
,
где — приращение (дифференциал) энтропии некоторой системы, а — бесконечно малое количество теплоты, полученное этой системой.
Часто S = .
В термодинамически неравновесных системах происходят особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых осуществляется пространственный перенос массы, импульса, энергии. К явлениям переноса относятся теплопроводность (перенос энергии), диффузия (перенос массы) и внутреннее трение (перенос импульса).
молекул больше, чем во второй, то вследствие постоянных столкновений молекул с течением времени происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т. е., выравнивание температур. Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье: где jE — плотность теплового потока — величина, которая определяется энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, λ — теплопроводность, — градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. |
|
2. Диффузия. При происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел; диффузия есть обмен масс частиц этих тел, при этом явление возникает и продолжается, пока существует градиент плотности. |
|
Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика: где jm — плотность потока массы — величина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, D — диффузия (коэффициент диффузии), dρ/dx — градиент плотности, который равен скорости изменения плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. |
|
Диффузия D численно равна плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице. Согласно кинетической теории газов,
|
|
3. Внутреннее трение (вязкость). Суть механизма возникновения внутреннего трения между параллельными слоями газа (жидкости), которые движущутся с различными скоростями, есть в том, что из-за хаотического теплового движения осуществляется обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, который движется быстрее, уменьшается, который движется медленнее — увеличивается, что приводит к торможению слоя, который движется быстрее, и ускорению слоя, который движется медленнее. Как известно, сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона: где η — динамическая вязкость (вязкость), dν/dx — градиент скорости, который показывает быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев, S — площадь, на которую действует сила F. |
|
Динамическая вязкость η численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости, равном единице; она вычисляется по формуле
|
Больцман Людвиг (1844–1906) – австрийский физик-теоретик, один из основоположников классической статистической физики.
Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT, заменим P и P0 в барометрической формуле на n и n0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:
|
|
|
(2.5.1) |
где n0 и n - число молекул в единичном объёме на высоте h = 0 и h.
Так как а , то можно представить в виде
|
|
|
(2.5.2) |
С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh – это потенциальная энергия U, то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:
|
|
, |
|
(2.5.3) |
– это закон распределения частиц по потенциальным энергиям – распределение Больцмана. Здесь n0 – число молекул в единице объёма там, где U = 0.
На рисунке показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.
|
Барометрическая формула — зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа, имеющего постоянную температуру и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид: где — давление газа в слое, расположенном на высоте , — давление на нулевом уровне (), — молярная масса газа, — газовая постоянная, — абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону: где — масса молекулы газа, — постоянная Больцмана. Барометрическая формула может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле. Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной . Чем выше температура , тем медленнее убывает плотность с высотой. |
|
(2.5.4) |
Молекулы газа при своем движении постоянно сталкиваются. Скорость каждой молекулы при столкновении изменяется. Она может возрастать и убывать. Однако среднеквадратичная скорость остается неизменной. Это объясняется тем, что в газе, находящемся при определенной температуре, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Скорость отдельной молекулы с течением времени может меняться, однако доля молекул со скоростями в некотором интервале скоростей остается неизменной.
Необходимые измерения показали, что доля молекул , отнесенная к интервалу скорости Δv, т.е. , имеет вид, показанный на рис. 3.3. Максвелл в 1859 г. теоретически на основании теории вероятности определил эту функцию. С тех пор она называется функцией распределения молекул по скоростям или законом Максвелла.
Аналитически она выражается формулой:
где m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана.
Установление этой зависимости позволило определить кроме уже известной среднеквадратичной скорости еще две характерные скорости – среднюю и наиболее вероятную. Средняя скорость – это сумма скоростей всех молекул, деленная на общее число всех молекул в единице объема.
Средняя скорость, подсчитанная на основании закона Максвелла, выражается формулой
или
Наиболее вероятная скорость – это скорость, вблизи которой на единичный интервал скоростей приходится наибольшее число молекул. Она рассчитывается по формуле: